Questão 1
Os números inteiros x e y satisfazem a equação 2 x + 3 + 2 x + 1 = 5 y + 3 + 3 ⋅ 5 y . Então x − y
é:
a) 8
b) 5
c) 9
d) 6
e) 7
alternativa B
2
x+3
+2
x +1
= 5y+ 3 + 3 ⋅ 5y ⇔
⇔ 2 x + 1 (2 2 + 1) = 5 y (5 3 + 3) ⇔
⇔ 2 x + 1 ⋅ 5 = 5 y ⋅ 2 7 ⇔ 2 x − 6 = 5 y −1
Como x e y são inteiros, pelo Teorema Fundamental da Aritmética, devemos ter:
x −6 =0
x =6
⇔
y −1 = 0
y =1
(5 − 0) 2 + (3 − 0) 2 = 34 .
Portanto x − y = 6 − 1 = 5.
Questão 3
Questão 2
A região triangular limitada pelas retas
y − x = 1, y + x = 5 e x = 5 tem a forma de
um triângulo retângulo. A distância do ponto médio da hipotenusa do triângulo à origem O(0, 0) é igual a:
a) 17
b) 4
O triângulo ABC é retângulo em C, pois
ar ⋅ as = 1 ⋅ ( −1) = −1. Assim o ponto médio da
5 +5 6 +0
hipotenusa AB é M = 
;
 = (5; 3),
 2
2 
que tem distância à origem (0; 0) igual a
c) 34
d) 5
e) 3
Para que o sistema de equações lineares
 |a|x + 3y = 4
, nas variáveis x e y, admita

 6x + |a| y = −1
solução única, com x = 1, é necessário que o
produto dos possíveis valores de a seja:
a) 49
b) 21
c) −21
d) 441
e) −49
alternativa E
alternativa C
Sejam as retas r : y = x + 1, s : y = −x + 5 e
t : x = 5.
A intersecção de r e t é ponto A, de coordenadas
y = x +1
y =6
. A intersecção de s e t é o
⇔
x =5
x =5
y = −x + 5
y =0
,
ponto B, de coordenadas
⇔
x =5
x =5
e a intersecção de r e s é C, de coordenadas
y = −x + 5
x =2
.
⇔
y = x +1
y =3
Sendo (1; y) a única solução de tal sistema linear:
| a | ⋅ 1 + 3y = 4
⇔
6 ⋅ 1 + | a | y = −1
4 − |a |
3
⇔
⇔
 4 − |a | 
6 ⋅ 1 + |a | ⋅ 
 = −1
 3

y =
⇔
y =
4 − |a |
3
( | a | ) 2 − 4( | a | ) − 21 = 0
⇔
matemática 2
⇔
4 − |a |
y = −1
⇔
3
(a = 7 ou a = −7 )
( | a | = 7 ou | a | = −3 )
y =
|a | 3
≠ 0, o sistema admi6 |a |
te solução única. Portanto o produto dos possíveis valores de a é 7 ⋅ ( − 7) = −49.
Como para | a | = 7,
Questão 4
Questão 6
O polinômio P(x) = x2 + x + a é divisível por
x + b e por x + c , em que a, b, e c são números reais, distintos e não nulos. Então b + c é
igual a:
a) −1
b) −2
c) 2
d) 0
e) 1
alternativa E
O total de crianças com idade para freqüentar o Ensino Fundamental (1ª a 8ª série) corresponde a 30% da população de uma pequena cidade do interior. Sabe-se que 20% dessas
crianças estão fora da escola e que 25% dos
jovens dessa faixa etária, que estão matriculados em escolas de Ensino Fundamental, são
atendidos pela rede privada de ensino. Que
porcentagem da população total dessa cidade
é atendida pela rede pública de Ensino Fundamental?
a) 18%
b) 30%
c) 22,5%
d) 10%
e) 75%
Sendo P(x) divisível por x + b e x + c , temos que
−b e −c são suas raízes. Assim, pelas relações
entre coeficientes e raízes,
1
( −b) + ( −c) = − ⇔ b + c = 1.
1
alternativa A
ordem 2.
b) A22 = I2 , sendo I2 a matriz identidade de
Como 20% das crianças estão fora da escola,
100% − 20% = 80% das crianças estudam. Isso
corresponde a 30% ⋅ 80% = 24% da população.
Das crianças que estudam, 25% estão na rede
privada, então 75% ⋅ 24% = 18% da população estuda na rede pública.
Questão 7
0 1
Com relação à matriz A = 
 , a opção
−1 −1
correta é:
a) A24 = I2 , sendo I2 a matriz identidade de
ordem 2.
c) A21 = A
d) A21 = A2
e) A22 = A2
alternativa A
Questão 5
A reta x + 3y − 3 = 0 divide o plano determinado pelo sistema cartesiano de eixos em dois
semiplanos opostos. Cada um dos pontos
(− 2, 2) e (5, b) está situado em um desses
dois semiplanos. Um possível valor de b é:
1
3
1
1
3
a)
c)
e) −
b) −
d) −
4
4
2
4
4
alternativa D
Sendo f(x; y) = x + 3y − 3, então f(−2; 2) =
= −2 + 3 ⋅ 2 − 3 = 1 > 0. Logo, como (−2; 2) e (5; b)
estão em semiplanos distintos, f(5; b) < 0 ⇔
2
⇔ 5 + 3b − 3 < 0 ⇔ b < − .
3
3
Assim, um possível valor de b é − .
4
1  −1 −1 
 0
⋅
 =
;
 −1 −1  1 0 
1 1 0 
 −1 −1   0
A3 = A2 ⋅ A = 
⋅
 =
 =
 1 0   −1 −1 0 1 
= I2 .
Logo A 21 = (A 3 )7 = (I2 )7 = I2 ; A 22 = A 21 ⋅ A =
1
 0
A2 = 

 −1 −1
= I2 ⋅ A = A e A 24 = (A 3 ) 8 = (I2 ) 8 = I2 .
Questão 8
Podemos afirmar que a equação x6 − 5x 5 +
+ 10x 3 − 3x2 − 5x + 2 = 0 admite:
a) duas raízes duplas e duas raízes simples.
b) duas raízes duplas e uma raiz tripla.
c) uma raiz simples, uma raiz dupla e uma raiz
tripla.
matemática 3
K ⋅ x t = 18
d) uma raiz tripla e três raízes simples.
e) duas raízes triplas.
⇔
alternativa A
1
1
1
1
1
−5
0
−4
−4
−3
−7
−4
−3
−5
2
10
6
−1
2
0
−3
−5
3
2
0
−2
2
0
0
 3 

⇔ 18 ⋅  3
 5 
⇔
5 + 17
5 − 17
ou x =
.
2
2
Logo a equação dada possui duas raízes
duplas (1 e −1) e duas raízes simples
 5 + 17
5 − 17 
 .

e
2
2


Questão 9
É consenso, no mercado de veículos usados,
que o preço de revenda de um automóvel importado decresce exponencialmente com o
tempo, de acordo com a função V = K ⋅ x t . Se
18 mil dólares é o preço atual de mercado de
um determinado modelo de uma marca famosa de automóvel importado, que foi comercializado há 3 anos por 30 mil dólares, depois de
quanto tempo, a partir da data atual, seu valor de revenda será reduzido a 6 mil dólares?
3
É dado que log15
= 0,4
c) 6 anos
alternativa C
Seja t o tempo transcorrido desde a compra do automóvel até a data atual, em anos, e V = K ⋅ x t o
seu valor em milhares de dólares. Então:
K ⋅ x t = 18
K ⋅ x = 18
⇔ 3 18
⇔
x =
K ⋅ x t − 3 = 30
30
t
a
a
 9 
1
 = log15
⇔
= 6 ⇔ log15  3
3
 15 
a
⋅ (2 log15 3 − 1) = −log15 3
3
Adotando a aproximação log15 3 ≅ 0,4,
a≅
x 2 − 5x + 2 = 0 ⇔ x =
b) 7 anos
e) 3 anos
3
5
K ⋅ xt + a = 6 ⇔ K ⋅ xt ⋅ x a = 6 ⇔
As demais raízes da equação são as raízes de
a) 5 anos
d) 8 anos
3
Queremos determinar a, em anos, tal que:
As possíveis raízes racionais da equação são os
divisores do termo independente 2, ou seja, 1, −1,
2 ou −2. Usando o algoritmo de Briot-Ruffini, temos:
1
1
−1
−1
x =
3 ⋅ ( −0,4)
= 6 anos.
2 ⋅ 0,4 − 1
Questão 10
Uma caixa contém duas moedas honestas e
uma com duas caras. Uma moeda é selecionada ao acaso e lançada duas vezes. Se ocorrem duas caras, a probabilidade de a moeda
ter duas caras é:
1
1
1
1
2
b)
c)
d)
e)
a)
2
3
6
4
3
alternativa E
Ao lançarmos uma moeda honesta duas vezes,
podemos obter 2 ⋅ 2 = 4 resultados, um dos quais
é obter duas caras.
Se lançarmos uma moeda com duas caras duas
vezes, podemos obter 4 resultados, sendo que
em todos obtemos duas caras.
Assim, das 2 ⋅ 1 + 4 = 6 possibilidades de ocorrerem duas caras (1 para cada moeda honesta e 4
para a moeda com duas caras), em 4 a moeda
tem duas caras.
4
2
Logo a probabilidade pedida é
= .
6
3
Questão 11
A soma das raízes da equação
x −a
= 0 é:
x − b
a) a ⋅ b
d) 0
x+a
+
x+ b
+
b) a ⋅ b
e) a − b
c) a + b
matemática 4
alternativa D
Supondo que o universo da equação é U = C :
x +a
x −a
+
=0 ⇔
x +b
x −b
⇔
⇔
(x + a)(x − b) + (x − a)(x + b) = 0
⇔
x ≠ −b e x ≠ b
x 2 = ab
Questão 14
As coordenadas do ponto da circunferência
(x − 8)2 + (y − 6)2 = 25 que fica mais afastado da origem O (0, 0) são:
b) (4,3)
a) (8,6)
d) (13,12)
e) (12,9)
x 2 ≠ b2
•
Se ab = b 2 ⇔ a = b ou b = 0, a equação não
admite solução.
•2Se ab ≠ b 2 , a equação é equivalente a
x − ab = 0 e, nesse caso, pelas relações entre
coeficientes e raízes, a soma das duas raízes
0
dessa equação é − = 0.
1
c) (0,25)
alternativa E
A circunferência (x − 8) 2 + (y − 6) 2 = 25 tem
centro C = (8; 6) e raio r = 5.
Questão 12
Multiplicando os valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente as desigualdades
| x − 2|≤ 3 e |3x − 2|> 5, obtemos:
a) 12
b) 60
c) −12
d) −60
e) 0
alternativa B
3x − 2 < −5 ⇔ x >
O ponto mais afastado da origem O é A(a; b), intersecção da reta OC com a circunferência, com
a > 8.
No ∆OCB temos OC 2 = 6 2 + 8 2 ⇔ OC = 10 e
no ∆OAD temos OA = OC + 5 ⇔ OA = 15 . Como
8
a
∆OCB ~ ∆OAD (caso AA),
=
⇔ a = 12 e
10
15
6
b
=
⇔ b = 9, ou seja, A = (12; 9).
10
15
Questão 13
Questão 15
• |x − 2 | ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x − 2 ≤ 3
• |3x − 2 | > 5 ⇔ 3x − 2 > 5 ou
⇔ −1 ≤ x ≤ 5 ;
7
ou x < −1.
3
Os valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente as desigualdades anteriores são tais que
7
< x ≤ 5 , ou seja, x = 3, x = 4 e x = 5 , cujo
3
produto é 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60.
O valor da expressão y =
x2 − 0,27
para
0,1 + x
x = −1,4 é:
a) 2,6
d) −0,3
c) −1,3
b) −13
e) 1,3
Na figura, os pontos A e B estão no mesmo
plano que contém as retas paralelas r e s.
Assinale o valor de α.
alternativa C
Para x = −1,4 temos y =
=
( −1,4) 2 − 0,27
=
0,1 + ( −1,4)
1,96 − 0,27
1,69
=
= −1,3.
−1,3
−1,3
a) 30o
b) 50o
c) 40o
d) 70o
e) 60o
matemática 5
alternativa D
Prolongando a reta AB, obtêm-se os pontos C e D
de r e s, respectivamente.
$ é ângulo externo. Logo,
No triângulo BEC, EBA
$
sendo β = m (BCE),
β + 30o = 40o ⇔ β = 10o .
$
$
Como r // s, m (ADF)
= m (BCE)
= β = 10o (ângulos alternos internos). Sendo BÂF ângulo externo do
triângulo DAF, α = β + 60o = 10o + 60o = 70o .