Prof. M. Sc. Jarbas Thaunahy Santos de Almeida
1
Aula 4
Probabilidades
2
Roteiro
Introdução
Conceitos
básicos
Probabilidade
condicional
Teorema de
Bayes
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Introdução
Os princípios de probabilidade
ajudam a fazer uma ponte entre o
mundo da estatística descritiva e o
mundo da estatística inferencial.
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Conceitos básicos
Uma probabilidade é o valor numérico que representa a
chance, a probabilidade ou a possibilidade de que um
determinado evento venha a ocorrer.
Por exemplo, o caso do aumento do preço de uma
determinada ação em bolsa, um dia de chuva ou uma
unidade de produção fora dos padrões de conformidade.
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Conceitos básicos
A probabilidade corresponde a uma proporção ou
fração cujo valor se estende entre 0 e 1, inclusive.
Um evento que não apresente nenhuma chance de
ocorrência (evento impossível) tem uma
probabilidade igual a 0. Um evento cuja ocorrência
seja garantida (evento certo) apresenta uma
probabilidade igual a 1.
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Conceitos básicos
Existem três tipos de probabilidade:
- A priori;
- Empírica;
- Subjetiva.
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Conceitos básicos
Em uma probabilidade a priori, a probabilidade de sucesso é
baseada no conhecimento prévio do processo envolvido.
No caso mais simples, em que cada um dos resultados está
igualmente propenso a ocorrer, a chance de ocorrência do
evento está definida na seguinte fórmula:
número de maneiras em que o evento ocorre
Probabilidade de ocorrência 
número total de resultados possíveis
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Conceitos básicos
Na abordagem da probabilidade empírica, os
resultados são baseados em dados observados, e não
no conhecimento prévio sobre um determinado
processo. Pesquisas são geralmente utilizadas para
gerar probabilidades empíricas.
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Conceitos básicos
A probabilidade subjetiva, difere das outras duas
abordagens pelo fato de que a probabilidade
subjetiva varia de pessoa para pessoa.
A atribuição de probabilidades subjetivas a vários
resultados é geralmente baseada em uma
combinação entre a experiência passada, a
opinião pessoal e a análise de uma determinada
situação por parte de um indivíduo.
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Eventos e espaços amostrais
Cada resultado possível de uma
variável é conhecido como evento.
Um evento simples é descrito por
uma única característica.
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Eventos e espaços amostrais
Evento combinado é um evento que
apresenta duas ou mais caraterísticas.
O complemento do evento A
(representado pelo símbolo A’) inclui
todos os eventos que não fazem parte
de A.
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Eventos e espaços amostrais
A coletânea de todos os eventos possíveis é chamada
de espaço amostral.
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Eventos e espaços amostrais
Espaço amostral?
Evento simples?
Evento combinado?
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Probabilidade simples
Refere-se à probabilidade de
ocorrência de um evento simples, P(A).
X
Probabilidade de ocorrência 
T
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Probabilidade simples
Qual a probabilidade de selecionar um domicílio que tenha planejado a compra de um
aparelho de televisão com tela grande?
número de domicílios que planejaram comprar
P(planejou comprar) 
número total de domicílios
P(planejou comprar) 
250
 0,25
1000
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Probabilidade simples
Encontre a probabilidade de que, caso um domicílio que tenha adquirido um aparelho
de televisão com tela grande venha a ser selecionado aleatoriamente, com tela de
plasma.
P(Tela de plasma) 
quantidade de aparelhos com tela de plasma
número total de aparelhos de TV
P(Tela de plasma) 
80
 0,267
300
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Probabilidade combinada
Enquanto a probabilidade simples ou probabilidade marginal
se refere à probabilidade de ocorrência de eventos simples,
a probabilidade combinada refere-se à probabilidade de uma
ocorrência envolvendo dois ou mais eventos.
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Probabilidade combinada
Qual a probabilidade de ser escolhido, aleatoriamente, um indivíduo que tenha
planejado comprar e efetivamente comprou um aparelho de TV com tela grande?
200
P(Planejou comprar e efetivamente comprou) 
 0,20
1000
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Probabilidade combinada
Qual a probabilidade de ser escolhido, aleatoriamente, um indivíduo que tenha
comprado um aparelho de TV com tela de plasma e adquirido um gravador de vídeo
digital?
38
P(Tela de plasma e DVR) 
 0,127
300
20
Probabilidade marginal
Consiste em um conjunto de probabilidades combinadas.
P(A) = P(A e B1) + P(A e B2) + ... + P(A e Bk)
Onde B1, B2, ..., Bk correspondem a k eventos mutuamente excludentes
e coletivamente exaustivos.
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Probabilidade marginal
Dois eventos são mutuamente excludentes se ambos os eventos
não podem ocorrer simultaneamente.
Um conjunto de eventos é coletivamente exaustivo se
um dos eventos deve necessariamente ocorrer.
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Probabilidade marginal
Qual a probabilidade de selecionar um domicílio que tenha planejado a compra de um
aparelho de televisão com tela grande?
P(planejou comprar)  P(planejou comprar e comprou)  P(planejou comprar e não comprou)
P(planejou comprar) 
200
50

 0,25
1000 1000
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Regra geral de adição
A probabilidade de A ou B é igual à probabilidade de A somada à
probabilidade de B, subtraindo-se a probabilidade de A e B.
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
Qual a probabilidade de que um domicílio tenha planejado comprar
ou tenha efetivamente comprado um aparelho de televisão com tela
grande?
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Regra geral de adição
Resolvendo sem o conceito da regra da adição
P(planejou comprar ou efetivamente comprou) 
P(planejou comprar e comprou)  P(planejou comprar e não comprou)  P(não planejou comprar e comprou)
P(planejou comprar ou efetivamente comprou) 
200
50
100


 0,35
1000 1000 1000
25
Regra geral de adição
Resolvendo com o conceito da regra da adição
P(planejou comprar ou efetivamente comprou) 
P(planejou comprar)  P(efetivamente comprou) - P(planejou comprar e efetivamente comprou)
P(planejou comprar ou efetivamente comprou) 
250
300
200


 0,35
1000 1000 1000
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Regra geral de adição
P(comprou aparelho com tela de plasma ou gravador de vídeo digital) 
P(comprou com tela de plasma)  P(comprou DVR)  P(comprou tela de plasma e DVR)
P(comprou com tela de plasma e DVR) 
80 108 38


 0,50
300 300 300
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Probabilidade condicional
Refere-se à probabilidade de ocorrer um
evento A, tendo ocorrido um evento B.
28
Probabilidade condicional
A probabilidade do evento A, sendo B
conhecido, é igual à probabilidade de A e B
dividida pela probabilidade de B.
P(A e B)
P( A | B) 
P(B)
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Probabilidade condicional
A probabilidade do evento B, sendo A
conhecido, é igual à probabilidade de A e B
dividida pela probabilidade de A.
P(A e B)
P( B | A) 
P(A)
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Regra geral de adição
Sabendo que um determinado domicílio planejou comprar um aparelho de televisão
com tela grande, qual é a probabilidade de que o domicílio tenha efetivamente
comprado a televisão?
P(Efetivamente comprou | Planejou comprar) 
P(planejou comprar e efetivamente comprou)
P(planejou comprar)
P(Efetivamente comprou | Planejou comprar) 
200
1000  200  0,80
250
250
1000
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Regra geral de adição
Caso um determinado domicílio tenha comprado um aparelho de televisão com
tela de plasma, qual é a probabilidade de que ele também tenha comprado um
gravador de vídeo digital?
P(Comprou DVR | Comprou com tela de plasma) 
P(Comprou com tela de plasma e Comprou DVR)
P(Comprou com tela de plasma)
P(Comprou DVR | Comprou com tela de plasma) 
38
300  38  0,475
80
80
300
32
Árvores de decisão
Constitui uma alternativa à tabela de
contingência.
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Árvores de decisão
Efetivamente
comprou
Planejou comprar
P(A e B) = 200/1000
P(A) = 250/1000
Não comprou
P(A e B’) = 50/1000
Conjunto de
domicílios
Efetivamente
comprou
Não planejou comprar
P(A’ e B) = 100/1000
P(A)’ = 750/1000
Não comprou
P(A’ e B’) = 650/1000
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Árvores de decisão
P(Efetivamen te comprou | Planejou comprar) 
P(planejou comprar e efetivamen te comprou)
P(planejou comprar)
200
1000  200  0,80
P(Efetivamen te comprou | Planejou comprar) 
250
250
1000
35
Árvores de decisão
Comprou DVR
Comprou com tela de
plasma
P(A) = 80/300
P(A e B) = 38/300
Não comprou DVR
P(A e B’) = 42/300
Conjunto de
domicílios
Comprou DVR
Não comprou com
tela de plasma
P(A)’ = 220/300
P(A’ e B) = 70/300
Não comprou DVR
P(A’ e B’) = 150/300
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Árvores de decisão
P(Comprou DVR | Comprou com tela de plasma) 
P(Comprou com tela de plasma e Comprou DVR)
P(Comprou com tela de plasma)
P(Comprou DVR | Comprou com tela de plasma) 
38
300  38  0,475
80
80
300
37
Independência
Quando o resultado de um evento não afeta a probabilidade de
ocorrência de outro evento, diz-se que os eventos são
independentes.
Dois eventos, A e B, são independentes se P(A|B) = P(A)
P(A|B) = probabilidade condicional de A, sendo conhecido B
P (A) = probabilidade marginal de A
38
Independência
Na pesquisa de continuidade de estudo realizado junto aos 300 domicílios
que efetivamente compraram aparelhos de televisão com tela grande, foi
perguntado aos domicílios se estavam satisfeitos com a compra.
Determine se estar satisfeito com a compra e o tipo de aparelho de televisão
comprado são independentes.
39
Independência
P( Satisfeito | Comprou com tela de plasma) 
P( Satisfeito) 
64
300  64  0,80
80
80
300
240
 0,80
300
Independentes!
40
Independência
Determine se comprar aparelho de TV com tela de plasma e comprar DVR são
independentes.
P(Comprou DVR | Comprou com tela de plasma) 
P(Comprou DVR) 
38
300  38  0,475
80
80
300
108
 0,36
300
Dependentes!
41
Regras de multiplicação
REGRA GERAL DE MULTIPLICAÇÃO
A probabilidade de A e B é igual à probabilidade de A, dado
que B é conhecido, multiplicada pela probabilidade de B.
P(A e B) = P(A|B) . P(B)
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Regras de multiplicação
Considere 80 domicílios que compraram aparelhos de
televisão com tela de plasma. Observa-se que 64
domicílios ficaram satisfeitos com a compra, enquanto
16 domicílios ficaram insatisfeitos. Suponha que dois
domicílios sejam aleatoriamente selecionados a partir
de 80 domicílios. Encontre a probabilidade de que
ambos os domicílios estejam satisfeitos com a
compra.
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Regras de multiplicação
A = segundo domicílio selecionado está satisfeito
B = primeiro domicílio selecionado está satisfeito
P(A e B) = P(A|B) . P(B)
 63   64 
P(A e B)   .   0,6380
 79   80 
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Regras de multiplicação
REGRA DE MULTIPLICAÇÃO PARA EVENTOS INDEPENDENTES
Se A e B forem independentes, a probabilidade de A e B é igual à
probabilidade de A multiplicada pela probabilidade de B.
P(A e B) = P(A) . P(B)
45
Regras de multiplicação
Se essa regra se mantém verdadeira para dois eventos, A e B,
então A e B são independentes.
Por conseguinte, existem duas maneiras para se determinar a
independência:
1. Os eventos A e B são estatisticamente independentes se, e
somente se, P(A|B) = P(A).
2. Os eventos A e B são estatisticamente independentes se, e
somente se, P(A e B) = P(A) . P(B)
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Regras de multiplicação
PROBABILIDADE MARGINAL UTILIZANDO A REGRA GERAL
DE MULTIPLICAÇÃO
P(A) = P(A|B1).P(B1) + P(A|B2).P(B2) +...+ P(A|Bk).P(Bk)
Em que B1, B2,..., Bk correspondem a k eventos
mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos.
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Regras de multiplicação
Qual a probabilidade de selecionar um domicílio que tenha planejado a compra de um
aparelho de televisão com tela grande?
P(A) = probabilidade de “planejou comprar”
P(B1) = probabilidade de “efetivamente comprou”
P(B2) = probabilidade de “efetivamente não comprou”
P(A) = P(A|B1).P(B1) + P(A|B2).P(B2)
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Regras de multiplicação
P(A) = P(A|B1).P(B1) + P(A|B2).P(B2)
 200   300   50   700 
P( A)  
.

.

 300   1000   700   1000 
 200   50  250
P( A)  
 0,25


 1000   1000  1000
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Teorema de Bayes
É utilizado para reexaminar, à luz de novas informações,
probabilidades anteriormente calculadas.
Desenvolvida por Thomas Bayes, no século XVIII, o
teorema de Bayes é uma extensão da probabilidade
condicional.
P( Bi | A) 
P( A | Bi ).P( Bi )
P( A | B1 ).P( B1 )  P( A | B2 ).P( B2 )  ...  P( A | Bk ).P( Bk )
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Teorema de Bayes
A probabilidade de que uma pessoa seja portadora de uma
determinada enfermidade é de 0,03. Testes para diagnósticos
médicos encontram-se disponíveis para determinar se a pessoa
efetivamente é portadora da enfermidade. Se a enfermidade
estiver realmente presente, a probabilidade de que o teste de
diagnóstico médico venha a apresentar um resultado positivo é
igual a 0,90. Se a enfermidade não estiver efetivamente
presente, a probabilidade de um resultado positivo para o teste
é igual a 0,02. Suponha que o teste para diagnóstico médico
tenha apresentado um resultado positivo. Qual é a
probabilidade de que a enfermidade esteja efetivamente
presente?
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Teorema de Bayes
Sejam:
Evento D = é portador da enfermidade
Evento D’ = não é portador da enfermidade
Evento T = o teste é positivo
Evento T’ = o teste é negativo
P( D | T ) 
PT | D .P( D)
P(T | D).P( D)  P(T | D' ).P( D' )
P(D) = 0,03
P(D’) = 0,97
P(T|D) = 0,90
P( D | T ) 
0,90.0,03
0,90.0,03  0,02.0,97
P(T|D’) = 0,02
P( D | T )  0,582
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Cálculo de probabilidades com
planilha eletrônica
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