Um Problema para TODAS
as Idades
José Maria de Jesus Souza
• Licenciado em Matemática.
•Engenheiro Químico
•Especialista em Docência do 3º. Grau
• Professor Titular III da Unama (Universidade da Amazônia).
Belém - Pará
Tendo em vista a prática em sala de
aula exercida por mim ao longo dos
anos, tive a O portunidade de me
deparar nas diversas séries em
que ministrei aulas com o
seguinte
roblema:
P
O Coelho e a Galinha ...
O Coelho e a Galinha ...
‘’ Num quintal existem galinhas e coelhos,
ao todo 11 cabeças e 30 pés.
Quantas são as galinhas e quantos são os
coelhos do quintal ? ‘’
A
primeira experiência:
Com alunos da 7ª série - Estudo dos métodos de
resolução de sistemas de equações e
problemas do 1º Grau, temos:
1 Galinha
1 Coelho
2 pés
4 pés
 Resolução da 7ª série.
Todos sabemos que cada galinha possui 2 pés e cada
coelho 4. Sendo assim se no quintal existissem:
• 3 galinhas, teriam então 2 × 3 = 6 pés
• 5 galinhas, teriam então 2 × 5 = 10 pés
• 8 galinhas, teriam então 2 × 8 = 16 pés
• X galinhas, teriam então 2x pés
Da mesma forma, se existissem no quintal y coelhos,
teriam 4y pés de coelho neste quintal.
O problema nos informa que, no quintal existem
11 cabeças, logo existem:
11 animais = (nº. de galinhas + nº. de coelhos )
Desta forma se x é o nº. de galinhas e y o nº. de coelhos,
simbolicamente podemos escrever que x
+ y = 11 (I).
O problema também nos informa que o total de pés
existentes no quintal é 30. Isto é:
(pés de galinhas + pés de coelhos = 30)
que simbolicamente fica
2x + 4y = 30 (II)
O Sistema de Equações (I) e (II).
x + y = 11
2x + 4y = 30
Resolvendo o sistema indicado, encontramos: x = 7 e y = 4.
Resposta: No quintal existem 7 galinhas e 4 coelhos.
A
Segunda experiência:
Com alunos da 6ª série – Solução baseada em uma
equação simples do 1º Grau.
Para facilitar o raciocinio de alguns alunos mostrei
a eles que se dos 11 animais (11 cabeças):
• 8 fossem galinhas, o nº. de coelhos seria 11 - 8 = 3
• 6 fossem galinhas, o nº. de coelhos seria 11 - 6 = 5
• 3 fossem galinhas, o nº. de coelhos seria 11 - 3 = 8
Dessa forma: Se existem 11 animais e o nº. de galinhas é x,
o nº. de coelhos é 11 - x.
 Resolução da 6ª série.
Como existem x galinhas, existem 2x pés de galinhas e
sendo 11 - x o nº. de coelhos, 4(11 - x)
é o nº. de pés de coelhos.
O problema nos informa que no quintal existem 30 animais,
logo:
( pés de galinhas + pés de coelhos ) = 30, ou,
Simbolicamente: 2x + 4(11 - x) = 30
Resolvendo esta equação, encontramos: x = 7.
Logo, o nº. de galinhas é 7 e o nº. de coelhos é 4.
A
Terceira experiência:
Realizei a experiência com 2 turmas de 5ª série.
Para a primeira turma - Solução puramente aritmética.
Procedi da seguinte maneira:
Se no quintal existissem apenas galinhas, o nº. de pés
seria 22, visto que, uma galinha possui 2 pés e 11
galinhas totalizariam 2 x 11 = 22 pés.
Porém, o nº. de pés registrados no quintal foi de 30,
faltando então 8 (30 - 22), o que me levou a afirmar
que no quintal havia animais com mais de 2 pés,
no caso os coelhos com 4.
Esses 8 pés são de coelhos !!!. Dando 2 para cada um,
encontramos a quantidade dos mesmos.
Logo o nº. de coelhos é 4 (8 : 2).
E se o nº. de coelhos é 4, conclui que o nº. de galinhas é
7 (11 - 4).
A
Terceira experiência:
Para a segunda turma - Solução puramente aritmética.
A suposição foi feita de outra maneira:
Se no quintal os animais fossem só coelhos, o nº. de
pés seria 44, pois cada coelho possui 4 pés e o total de
pés de 11 coelhos é de 11 x 4 = 44, resultado este que
não bate com o nº. de pés fornecido no problema.
O nº de pés excedentes 14 (44 - 30) correspondem
aos pés de galinhas contados a mais que devem
ser retirados aos pares, facilitando o cálculo da
quantidade desas galinhas.
Sendo assim:
o nº. de galinhas é 7 (14 : 2) e,
o nº. de coelhos 4 (11 - 7).
A
Quarta experiência:
Fazendo o acompanhamento de professores de 1ª a 4ª
séries em sala de aula, por incrível que pareça, o
problema surgiu novamente.
E encarei com a maior naturalidade e parti para a
solução numa turma de 3ª série, que era, no momento a
série de acompanhamento.
Professor: Quantas cabeças existem no quintal ?
Alunos: 11 (onze).
Professor: Então tem onze animais, concordam ?
Alunos: Sim.
Professor: Perguntei ainda, quantos pés tem uma
galinha e um coelho ?
Alunos: Uma galinha tem 2 (dois) pés e um coelho 4
(quatro) pés.
Professor: Se já responderam corretamente as
perguntas, estão capacitados para solucionar o nosso
problema !!!.
Professor: Vamos então ao quadro de giz enumerar
as cabeças, simbolizando cada uma delas com uma
bolinha, fazendo em conjunto a contagem das
mesmas;
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Professor: Vamos agora colocar dois pezinhos em
cada um dos animais. E não esqueçam de fazer as
contagens;
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
22 pés
Professor: Colocaram os 2 (dois) pezinhos ?
Alunos: Sim.
Professor: Quantos foram colocados ?
Alunos: 22 (vinte e dois).
Professor: Então estão sobrando pés, não acham ?
Alunos: Sim professor sobraram 30 - 22 = 8 (oito) pés.
Professor: Vamos agora colocar desses 8 (oito) pés,
mais dois para cada animal. Façam isso por favor ...
E eles fizeram ...
22 pés
2
4
6
8
10
12
14
16
18
16 pés
14 pés
4 Coelhos
7 Galinhas
20
22
Professor: Todos os pés foram distribuídos não
foram ?
Alunos: Sim.
Professor: Então, quantos animais têm 2 pés ?
Alunos: 7 professor.
Professor: E quantos possuem 4 pés ?
Alunos: 4 professor.
Professor: Muito bem !!!
No quintal existem 7 Galinhas e 4 Coelhos
Conclusão:
Em diferentes situações, a resolução de um problema, quando quantificado,
requer uma formulação matemática adequada. Para tanto, nestas
condições, utiliza-se o que chamamos de “modelo matemático”, que nada
mais é do que um conjunto de símbolos e relações matemáticas que
procuram traduzir um fenômeno ou problema real, possibilitando uma
melhor compreensão, simulação e previsão do fenômeno em questão.
No processo ensino-aprendizagem, cabe ao professor o papel de orientador
e parceiro do aluno, procurando conduzi-lo ao ingrediente fundamental que
é o estímulo à criatividade.
A formação de um cidadão consiste então em estimulá-lo a resolver
problemas novos e desafiantes que propiciem o desenvolvimento da
imaginação e criatividade.Como parte dessa formação é que apresentamos
o problema acima, onde o aluno, dependendo de seu grau de conhecimento
pode resolvê-lo. Dá para notar que com o auxílio do professor os alunos
foram conduzidos aos diversos raciocínios, cada um com suas limitações,
fazendo-os perceberem que existem regras para soluções desses
problemas, que podem ser traduzidas para a linguagem matemática e
solucionadas através da resolução das equações, dos sistemas
correspondentes e também com a utilização de cálculos aritméticos.
O professor, como orientador e parceiro do aluno, mostrando a eles as
regras, traduzindo-as para a linguagem simbólica etc.dá-se por satisfeito,
achando que sua missão está cumprida.
Cabe ao aluno aprofundar essas técnicas e desmistificar a matemática tida
até então,como sendo um bicho de sete cabeças.