Experimento de probabilidade
Tipos de probabilidade
Probabilidade condicional
Relações entre eventos
Exercícios
TAD0022 Estatística Aplicada
Probabilidade
Rafael Beserra Gomes
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Material compilado em 9 de setembro de 2014.
Licença desta apresentação:
http://creativecommons.org/licenses/
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Experimento de probabilidade
Ação com a finalidade de obter resultados específicos através de
contagem, medições e ou respostas
Resultado: uma única tentativa
Espaço amostral: todos os resultados possíveis
Evento: subgrupo do espaço amostral (um ou mais resultados)
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A probabilidade de um evento E é denotada por P(E)
0 ≤ P(E) ≤ 1
X
P(E) = 1
P(E 0 ) é a probabilidade do complemento do evento E
P(E) = 1 − P(E 0 )
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Princípio fundamental da contagem
Seja um primeiro evento com m resultados possíveis e um segundo
evento com n resultados possíveis. O número de resultados
possíveis da sequência primeiro e segundo eventos é de m × n.
Exemplo, o lançamento de uma moeda seguido do sorteio de uma
carta de copas
:)
$
...
A♥ 2♥ 3♥ 4♥ 5♥
...
K♥
A♥ 2♥ 3♥ 4♥ 5♥
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K♥
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Probabilidade clássica (ou probabilidade teórica)
É obtida através de análise teórica:
P(E) =
número de resultados de E
número total de resultados no espaço amostral
Exemplos (seja o lançamento de um dado):
Evento A: lançar um 3
Evento B: lançar um 7
Evento C: lançar um número menor que 3
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Probabilidade empírica (ou probabilidade estatística)
É obtida através de observações em experimentos de probabilidade.
P(E) =
frequência do evento E
frequência total
Exemplos (seja um experimento de 60 lançamentos de um dado):
1: 15 vezes
2: 8 vezes
3: 12 vezes
4: 9 vezes
5: 11 vezes
6: 5 vezes
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Probabilidade subjetiva
É obtida através de suposições fundamentadas e intuição.
Exemplos:
Um médico pode afirmar que seu paciente tem 70% de chances
de se curar
Pelo que vem jogando, o Vasco tem uns 90% de chances de
voltar para a série A
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Lei dos grandes números
Conforme um experimento é repetido várias vezes, a probabilidade
empírica de um evento se aproxima da sua probabilidade teórica.
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Definição
Regra do produto
Regra da adição
Teorema da probabilidade total
Teorema de Bayes
Probabilidade condicional
Definição
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Definição
Regra do produto
Regra da adição
Teorema da probabilidade total
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Probabilidade condicional
Probabilidade de um evento B ocorrer dado que outro evento A já
tenha ocorrido.
P(B|A)
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Definição
Regra do produto
Regra da adição
Teorema da probabilidade total
Teorema de Bayes
P(A)
P(B)
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Definição
Regra do produto
Regra da adição
Teorema da probabilidade total
Teorema de Bayes
P(B|A)
P(B|A) =
P(A ∩ B)
P(A)
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B)
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Regra do produto
Regra da adição
Teorema da probabilidade total
Teorema de Bayes
Seja o seguinte conjunto de cartas: 2♥, 3♥, 4♥, 5♥, 6♥.
Qual a probabilidade de sortear 3♥?
2♥ 3♥ 4♥ 5♥ 6♥
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Regra do produto
Regra da adição
Teorema da probabilidade total
Teorema de Bayes
Seja o seguinte conjunto de cartas: 2♥, 3♥, 4♥, 5♥, 6♥.
Qual a probabilidade de sortear 3♥ de copas depois de já ter
sorteado 4♥? (com reposição)
2♥ 3♥ 4♥ 5♥ 6♥
2♥ 3♥ 4♥ 5♥ 6♥
2♥ 3♥ 4♥ 5♥ 6♥
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Regra do produto
Regra da adição
Teorema da probabilidade total
Teorema de Bayes
Seja o seguinte conjunto de cartas: 2♥, 3♥, 4♥, 5♥, 6♥.
Qual a probabilidade de sortear 3♥ de copas depois de já ter
sorteado 4♥? (sem reposição)
2♥ 3♥ 4♥ 5♥ 6♥
3♥ 4♥ 5♥ 6♥
2♥ 3♥ 5♥ 6♥
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Regra do produto
Regra da adição
Teorema da probabilidade total
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Regra do produto
P(A e B) = P(A ∩ B) = P(A)P(B|A)
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Regra do produto
Regra da adição
Teorema da probabilidade total
Teorema de Bayes
Pelo diagrama de Venn:
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Regra do produto
Regra da adição
Teorema da probabilidade total
Teorema de Bayes
Exercício 1
Na população em geral, uma mulher de cada oito irá desenvolver
câncer de mama. Uma pesquisa mostrou que uma entre cada 600
mulheres carrega uma mutação do gene BRCA. Oito de cada 10
mulheres com essa mutação desenvolvem câncer.
I
(a) Encontre a probabilidade de que uma mulher selecionada
aleatoriamente desenvolverá câncer de mama dado que ela
tenha a mutação do gene BRCA
I
(b) Encontre a probabilidade de que uma mulher selecionada
aleatoriamente carregará a mutação do gene BRCA e
desenvolverá câncer de mama
I
(c) Os eventos de carregar a mutação e desenvolver o câncer
são dependentes ou independentes?
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Regra do produto
Regra da adição
Teorema da probabilidade total
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Regra da adição
P(A ou B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
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Pelo diagrama de Venn:
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Teorema da probabilidade total
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Teorema da probabilidade total
P(B) = P(B ∩ A1 ) + P(B ∩ A2 ) + ... + P(B ∩ An ), desde que:
I
A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = S (espaço amostral)
I
Ai ∩ Aj = ∅, para i 6= j
útil em situações em que particionamos o espaço amostral
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Exemplo:
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Regra da adição
Teorema da probabilidade total
Teorema de Bayes
Exercício 2
Uma empresa produz diariamente inúmeros produtos em 3 fábricas
distintas. A probabilidade de um produto sair defeituoso na fábrica 1
é de 0.8%, na fábrica 2 é de 0.3% e na fábrica 3 de é de 0.9%. As
fábricas 2 e 3 produzem o mesmo número de produtos por dia e a
fábrica 1 produz o dobro das outras duas fábricas juntas. Qual a
probabilidade de um produto advindo de uma dessas três fábricas vir
com defeito?
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Teorema da probabilidade total
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Exercício 3
Você joga um dado de 6 lados. Caso você obtenha 3 ou menos, você
joga novamente o dado. Qual a probabilidade da soma dos dados
(ou o valor do dado no caso de apenas um lançamento) ser pelo
menos 6?
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Regra da adição
Teorema da probabilidade total
Teorema de Bayes
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P(A|B) =
P(B|A)P(A)
P(B)
Interpretação
utilizado para rever probabilidades previamente calculadas
(probabilidade a priori) quando novas informações aparecem
P(A) e P(B): probabilidades a priori
P(A|B) e P(B|A): probabilidades a posteriori
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Exercício 4
Um homem te disse ter tido uma boa conversa no trem com uma
pessoa. Seja o evento A ter tido a conversa com uma mulher e o
evento H ter tido a conversa com um homem. Supondo que o número
de mulheres é igual ao número de homens, então P(A) = 0.5.
Depois, o homem disse que a pessoa tinha cabelos compridos
(evento C). Supondo, por exemplo, que 90% das mulheres possuem
cabelos compridos e apenas 20% possuem dos homens possuem
cabelos compridos, qual a probabilidade de ele ter conversado com
uma mulher, dado que essa pessoa tinha cabelos compridos?
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Exercício 5
Você está escrevendo um programa servidor de emails. Infelizmente,
você ainda não providenciou um filtro para realizar a filtragem de
spam. Para isso, você decidiu fazer uma análise estatística como
forma de bloquear as mensagens indesejáveis. Durante os 5
primeiros meses de funcionamento do servidor, você permitiu que o
usuário marcasse uma dada mensagem como spam. Terminado
esse prazo você verificou que:
I
100 das 1000 mensagens eram spam
I
200 das 1000 mensagens tinham a palavra grátis
I
90 das 100 mensagens de spam tinham a palavra grátis
Qual a probabilidade de uma dessas mensagens ser spam dado que
tem a palavra grátis?
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Exercício 6
Estudos sobre uma determinada doença mostraram que ela acomete
1 em cada 500 pessoas e, devido aos efeitos danosos que esta
doença apresenta aos pacientes, um teste de diagnóstico foi
desenvolvido. O teste funciona de tal forma que, se o indivíduo tiver a
doença, o resultado do teste será positivo em 95% dos casos e, se
não a tiver, será positivo em apenas 5% das vezes. Se um indivíduo
selecionado aleatoriamente fizer o teste e este der positivo, qual a
probabilidade dele ter a doença.
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Eventos dependentes e independentes
Eventos mutuamente exclusivos
Eventos dependentes e independentes
Dois eventos A e B são independentes se P(B|A) = P(B), logo
nesse caso temos:
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
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Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se não puderem
ocorrer ao mesmo tempo. Nesse caso, teremos P(A ∩ B) = 0 e,
portanto:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
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Pelo diagrama de Venn:
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Exercício 7
Em um programa de auditório, o convidade deve escolher uma
dentre três portas. Atrás de uma das portas há um carro e atrás de
cada uma das outras duas há um bode. O convidade ganhará como
prêmio o que estiver atrás da porta; devemos supor neste problema
que o convidado prefere ganhar o carro. O procedimento para
escolha da porta é o seguinte: o convidado escolhe inicialmente, em
caráter provisório, uma das três portas. O apresentador do
programa, que sabe o que há atrás de cada porta, abre neste
momento uma das outras duas portas, sempre revelando um dos
dois bodes. O convidado agora tem a opção de ficar com a primeira
porta que ele escolheu ou trocar pela outra porta fechada. Que
estratégia deve o convidado adotar? Com uma boa estratégia, que
probabilidade tem o convidado de ganhar o carro?
(Nicolau C. Saldanha, 1998)
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Exercício 8
Um móvel tem três gavetas iguais. Em uma gaveta há duas bolas
brancas, em outra há duas bolas pretas e na terceira há uma bola
branca e outra preta. Abrimos uma gaveta ao acaso e tiramos uma
bola ao acaso sem olhar a segunda bola que está na gaveta. A bola
que tiramos é branca. Qual é a probabilidade de que a segunda bola
que ficou sozinha na gaveta seja também branca?
(Nicolau C. Saldanha, 1998)
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