Resolução da ficha de trabalho: Combinatória e Probabilidades/Triângulo de Pascal – Escolha Múltipla
1. Recorda que:
Dois acontecimentos
e
Como os acontecimentos
Resposta (C)
2. Recorda que:
dizem-se incompatíveis se e só se
e
.
são incompatíveis tem-se que
logo
.
Regra de Laplace
Se os acontecimentos elementares fores equiparáveis, a probabilidade de um acontecimento
é dada por:
O número de casos possíveis é
(número de maneiras de, no conjunto de 16 bolas, escolher duas bolas).
O número de casos favoráveis é 3 (
,
e
).
Assim, usando a regra de Laplace, temos que a probabilidade pedida é
Resposta (B)
3. O terceiro elemento de certa linha do Triângulo de Pascal é dado por
equação
.
. Assim, basta resolver a seguinte
Aplicando a fórmula resolvente obtemos
. Como o penúltimo elemento de qualquer linha do Triângulo de
Pascal é igual ao segundo elemento dessa mesma linha, temos que o penúltimo número da linha 11 é dado por
.
Resposta (B)
4. No lançamento de um dado a probabilidade de sair face
é . Portanto, a probabilidade de não sair face
é .
Numa série de 15 lançamentos tem-se que:
- a probabilidade de nunca sair face
- a probabilidade de sair face
Assim,
é
;
uma única vez é
.
é a probabilidade de, nos quinze lançamentos, sair face
Pelo que
no máximo uma vez.
representa a probabilidade de, nos
quinze lançamentos, sair face pelo menos duas vezes.
Resposta (B)
5. ____ ____ ____ ____ 2 ou 4
Podem escrever-se
números pares com os algarismos do número 12345.
Resposta (B)
6. Como o segundo elemento de certa linha do Triângulo de Pascal é o 2009 podemos concluir que a linha em
causa é a linha 2009. Esta linha tem 2010 elementos.
O valor do terceiro elemento desta linha do triângulo de Pascal é dado por
. Como o terceiro
elemento é maior do que um milhão, apenas os dois primeiros e os dois últimos elementos desta linha são
menores do que um milhão. Assim, temos
elementos maiores do que um milhão.
Resposta (C)
1/3
7. A probabilidade de o Zé Mão Quente falhar um lance livre é 0,1. Portanto, a probabilidade de ele concretizar um
lance livre é 0,9.
Numa série de oito lances livres tem-se que
- a probabilidade de concretizar os oito lances que executou é
;
- a probabilidade de concretizar sete dos oito lances executados é
.
Assim,
representa a probabilidade de, nos oito lançamentos, concretizar sete ou oito
lançamentos. Pelo que,
representa a
probabilidade de concretizar no máximo seis lançamentos dos oito executados.
Resposta (C)
8. Quer-se formar números de três algarismos diferentes não usando o algarismo 2 nem o algarismo 5. Por isso
dispomos dos algarismos 0, 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9.
Como se trata de um número de três algarismos, o zero não pode estar na primeira posição. Assim, para a
primeira posição temos os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9, ou seja, temos sete possibilidades para a primeira
posição. Para a segunda posição temos também sete possibilidades pois como os números têm de ser todos
diferentes podemos incluir, na segunda posição, o zero mas não podemos incluir o número que saiu na primeira
posição. Por fim, para a terceira posição temos todos os algarismos com exceção dos que foram usados na
primeira e na segunda posição, ou seja, temos seis possibilidades para a terceira posição.
Assim, há
números diferentes de três algarismos não utilizando os algarismos 2 e 5.
Resposta (D)
9. O número de casos favoráveis é 1 pois só há uma possibilidade do Pedro acertar todas as respostas.
Relativamente ao número de casos possíveis temos que: para se colocar as cinco letras A nas oito respostas têmse
possibilidades. Para cada um destas 56 possibilidades, existem 3 hipóteses para se colocar a letra B.
As duas opções D ocupam as restantes posições. Assim, o número de casos possíveis é:
Aplicando a regra de Laplace tem-se que a probabilidade pedida é
.
.
Resposta (C)
10. Como a soma dos dois primeiros elementos é 13 e como sabemos que o primeiro elemento de qualquer linha do
Triângulo de Pascal é 1 concluímos que o segundo elemento desta linha do Triângulo de Pascal é 12. Portanto,
trata-se da linha 12 do Triângulo de Pascal. O terceiro elemento é dado por
e o quarto elemento é
dado por
. Como o quarto elemento já é maior do que 70 resulta que apenas os três primeiros e os
três últimos elementos são menores que 70, ou seja, temos 6 elementos menores que 70.
Resposta (C)
11. Uma das condições para pintar o círculo deve ficar pintado com duas ou com quatro cores. Assim, no caso de o
círculo ficar pintado apenas com duas cores temos que a posição 1 pode ser pintada de qualquer cor, a posição 2
pode ser pintada de quatro cores, a posição 3 tem que ficar pintada da mesma cor da primeira e a posição 4 tem
que ficar pintada com a cor da segunda posição. Portanto temos
maneira de pintar o círculo
com duas cores.
Relativamente à possibilidade de pintar o círculo com quatro cores, temos para a posição 1 cinco cores, para a
posição 2 quatro cores, para a posição 3 três cores e para a posição 4 duas cores. Portanto temos
maneiras de pintar o círculo com quatro cores.
No total temos
maneiras de pintar o círculo nas condições pedidas.
Resposta (A)
2/3
12. Queremos sentar 5 pessoas num banco corrido de maneira que fique uma rapariga no meio. Assim, temos três
possibilidades para escolher uma rapariga para o lugar do meio. As restantes 4 pessoas sentam-se
aleatoriamente nos quatro lugares restantes e por isso temos
maneiras de os sentar. Portanto, temos
maneiras de sentar as cinco pessoas num banco corrido de maneira a ficar uma rapariga no lugar do
meio.
Resposta (B)
13. Se a linha tem 9 elementos então trata-se da linha 8. Assim, o primeiro e o último elemento são iguais a 1 e o
segundo e o penúltimo são iguais a 8. O número de casos possíveis é
(maneiras de escolher dois
elementos dos nove elementos da linha). O número de casos favoráveis é
(maneiras de escolher
um dos uns e um dos oitos). Assim, pela regra de Laplace, temos que a probabilidade pedida é
.
Resposta (B)
14. A soma dos dois últimos elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é igual à soma dos dois primeiros
elementos dessa linha do Triângulo de Pascal. Como a soma dos dois primeiros elementos é 31 e como sabemos
que o primeiro elemento de qualquer linha do Triângulo de Pascal é 1 concluímos que o segundo elemento desta
linha do Triângulo de Pascal é 30. Portanto, trata-se da linha 30 do Triângulo de Pascal. Assim, o quinto elemento
da linha anterior é dado por
.
Resposta (A)
3/3