CAPÍTULO 04
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
1. ESPAÇO AMOSTRAL
É o conjunto de todos os possíveis resultados de
um experimento aleatório.
No lançamento de uma moeda perfeita (não viciada)
o espaço amostral é
S = { cara; coroa };
Supondo um espaço amostral S” equiprovável, ou
seja, onde todos os eventos têm a mesma chance de
ocorrer:
p(E) 


No lançamento de um dado não viciado:
S = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 };
No lançamento de dois dados distintos, não viciados,
o espaço amostral está representado ao lado:
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
S = { (1,1); (1,2); (1,3); ... ; (6,6) },
3. PROBABILIDADE DE UM EVENTO
número de casos favoráveis n(E)

total de casos possíveis
n(S)
O número de casos favoráveis é o número de
elementos do subconjunto E;
O Total de casos possíveis é o número de
elementos do espaço amostral S.
Exemplo: Considere dois dados, cada um deles com
seis faces numeradas de 1 a 6. Se os dados são
lançados ao acaso, qual a probabilidade das faces
obtidas darem soma maior ou igual a 8?
(utilizando o espaço amostral apresentado no item 1)
Resolução:
n (S) = 36
1.1. DIAGRAMA DE ÁRVORE
Exemplo: Um casal sadio pretende ter filhos
(menino ou menina) em três gestações consecutivas,
gerando um bebê em cada gravidez.
Apresente o espaço amostral para esta situação.
Verificamos que temos (1 + 2 + 3 + 4 + 5) casos
favoráveis em um total de 36 possíveis resultados.
A probabilidade “P” que atende ao enunciado será:
15  3
5
P

36  3 12
ATENÇÃO: A unidade da grandeza presente no
numerador (item 3) tem que ser a mesma unidade da
grandeza presente no denominador, ou seja:
Se no numerador fossem duplas de bolas,
conseqüentemente, no denominador deverá ser total
de duplas de bolas.
2. EVENTO “E”
É qualquer subconjunto do Espaço Amostral, ou
seja, E  S ... (E está contido em S).


No lançamento de um dado não viciado, o
subconjunto E = { 2; 4; 6 } é o evento que
acontece se o número mostrado na face de cima
é par;
No lançamento de dois dados não viciados,
distintos, o subconjunto E = { (4,6); (5,5); (6,4);
(5,6); (6,5); (6,6) }, composto por 6 elementos, é
o evento que acontece se a soma dos números
mostrados nas respectivas faces superiores
determina uma soma maior ou igual a 10.
Se fosse para determinar a probabilidade de acertar
a Mega-Sena com um único cartão com 6 dezenas
marcadas; no numerador teremos o número 1
representando um grupo de seis dezenas e no
denominador teremos todos os grupos de 6 dezenas
com 60 dezenas possíveis
 60 
60 !
  
.
6
! 54 !
6
 
Assim, a probabilidade de acertar a Mega-Sena com
um único cartão será:
P
1
6 ! 54 !
1


 0,000002 %
60 !
60 !
50 063 860
6 ! 54 !
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
1) (AMERICANO) Em três lançamentos sucessivos
de uma moeda perfeita:
a) Apresente o espaço amostral usando o diagrama
de árvore;
b) Qual é a probabilidade de serem obtidas pelo
menos 2 caras?
c) Qual é a probabilidade de serem obtidas
exatamente 2 caras?
4. PROBABILIDADE DE
EVENTOS INDEPENDENTES
(SUCESSIVOS OU SIMULTÂNEOS)
Aqui temos o conectivo “e” que tem como
significado a intersecção de eventos (regra do
produto).
Dois eventos são ditos independentes quando
a ocorrência de um não influencia a ocorrência
do outro.
Se dois ou mais eventos independentes ocorrem
seqüencialmente, a probabilidade de ocorrência
deles será calculada multiplicando os resultados
obtidos nas probabilidades de cada evento isolado.
p(E1  E2 )  p(E1)  p(E2 )
Exemplo: Numa urna foram depositadas 2 bolas
verdes e 3 bolas vermelhas. Retiradas com
reposição, qual a probabilidade de obtermos uma
bola verde seguida de uma vermelha?
Resolução: Considerando E 1 a probabilidade de
retirada da bola verde e E 2 da bola vermelha:
2 3

 p(E1 )  p(E 2 )  5  5
2
3

p(E1 )  e p(E 2 ) 
5
5
 p(E )  p(E )  6
1
2

25
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
2) (AMERICANO) Numa urna temos 3 bolas verdes e
2 bolas vermelhas. Sabendo-se que as bolas só
diferem entre si pelas cores, calcule a
probabilidade de, sorteando-se duas bolas, numa
única retirada, serem ambas verdes.
3) (AMERICANO) Uma pessoa tem 3 sacolas de
bonés: uma para times de futebol, outra para times
de basquete e outra para times de voley. Na 1ª
sacola são 5 brancos e 5 verdes. Na 2ª sacola são
5 pretos e 20 azuis. Na 3ª sacola são oito
vermelhos e 2 amarelos. Retirando um boné de
cada sacola, determine a probabilidade de serem:
1ª sacola (verde), 2ª sacola (preto) e 3ª sacola
(amarelo).
5. PROBABILIDADE DA UNIÃO DE
EVENTOS INDEPENDENTES
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
(PROB. DE OCORRER O EVENTO A OU B)
Aqui temos o conectivo “ou” que tem como
significado a união de eventos (regra da adição).

CASO 1: E1  E 2  
Probabilidade de ocorrer E1 ou E2 sendo que
E1  E 2   . (eventos mutuamente exclusivos).
4) (AMERICANO) Ao lançar um dado vermelho e um
dado branco, qual a probabilidade de obter 1 no
dado branco ou 2 no dado vermelho?
p(E1  E2 )  p(E1)  p(E2 )
Exemplo:
Um baralho completo possui 52 cartas dispostas em
4 naipes onde, em cada naipe, a cartas são
numeradas conforme apresentado ao lado.
Se utilizarmos um baralho completo, qual a
probabilidade de sua retirada ser um valete ou um 2?
Resolução: Como E1  E 2  
Uma carta nº 1 (Ás)
Nove cartas com
numeração de 2 a 10
4
4

52 52
7
p(E1  E 2 ) 
13
p(E1  E 2 ) 
Uma carta Valete
Uma carta Dama
Uma carta Rei

CASO 2: E1  E2  
Probabilidade de ocorrer
que E1  E2   .
E1 ou
E2
sendo
p(E1  E2 )  p(E1)  p(E2 )  p(E1  E2 )
Exemplo: Retirando aleatoriamente uma carta de
um baralho completo, qual a probabilidade de obter
uma dama ou uma carta de espadas?
Resolução:
Sendo o evento E 1 (dama) e o evento E 2 (espadas):
13
4
p(E1) 
, p(E2 ) 
52
52
Sabemos que existe a carta “dama” que também é
do naipe “espadas”, ou seja, existe a probabilidade
E1  E2   que é igual a 1/52.
p(E1  E2 ) 
Resposta:
4
.
13
4 13
1 16
4




52 52 52 52 13
5) (AMERICANO) Num sorteio, a urna “A” tem 2
bolas brancas e 3 bolas pretas. A urna “B” tem 5
bolas brancas e 5 bolas pretas. Foi retirada uma bola
da urna “A”, não se sabe sua cor, e foi colocada na
urna “B”; em seguida, foi sorteada uma bola da urna
“B”. Qual é a probabilidade desta bola ser branca?
6. EVENTOS COMPLEMENTARES
PROBABILIDADE DE
NÃO OCORRER UM EVENTO
Em alguns problemas o cálculo da probabilidade de
um evento A está condicionado ao conhecimento da
probabilidade de um evento B (independente de já
ter ocorrido ou não o evento B), é a chamada
Probabilidade Condicional.
Quando os eventos de um espaço amostral S, E 1 e
E 2 são tais que: E  E   e E  E  S ,
1
2
1
Muitos problemas de probabilidade
condicional podem ser resolvidos
“reduzindo-se
adequadamente o espaço amostral”,
a partir de uma informação parcial
do resultado do experimento.
2
E 1 e E 2 são “eventos complementares”.
Exemplo: No lançamento simultâneo de dois dados
perfeitos distinguíveis, qual a probabilidade de
NÃO SAIR soma 5?
Resolução: O espaço amostral para o lançamento
de 2 dados distinguíveis é composto por 36
elementos;
O evento E 1 : “sair soma 5”
4
1
{ (1,4), ( 4,1), (2,3), (3,2) }  p(E1 ) 
 (E1 )  ;
9
36
A probabilidade do evento E 2 : “não sair soma 5”
1
8
 p(E 2 )  .
9
9
8
Resposta: .
9
p(E 2 )  1 
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
6) (UNESP-SP) Para uma partida de futebol, a
probabilidade de o jogador R não ser escalado é 0,2
e a probabilidade de o jogador S ser escalado é 0,7.
Sabendo que a escalação de um deles é
independente da escalação do outro, a probabilidade
de os dois serem escalados é:
a) 0,06
b) 0,14
c) 0,24
d) 0,56
e) 0,72
10. PROBABILIDADE CONDICIONAL
Exemplo-1: (PUCC-SP) Lança-se um par de dados
não viciados. Se a soma, nos dois dados, é igual a 8,
calcule a probabilidade de ocorrer a face 5 em um
deles.
Resolução: É conhecido que o espaço amostral
inicial S possui 36 elementos;
Como já fomos informados de que a soma dos
números nos dois dados vale 8 podemos reduzir o
nosso espaço amostral “S” para “S 1 ”, onde
S1  { (2,6) , (6,2) , (3,5) , (5,3) , ( 4,4) }  n (S1 )  5
Assim, a probabilidade de ocorrência da face 5 em
um dos dados será:
P = 2/5.
Exemplo-2: (AMERICANO) Em janeiro de 2009, na
festa de aniversário (50 anos) do professor
“RUBENS DOMINGOS”, conhecido popularmente
como “RUBÃO”, houve um sorteio de um notebook
de última geração.
Os bilhetes foram numerados de 1 a 50. Entretanto,
foi anunciado que o número sorteado era par.
Se o professor “Marcelo Renato”, convidado-irmão,
só tinha 4 bilhetes pares, qual era a probabilidade,
em %, do professor “Marcelo Renato” NÃO ser
sorteado?
Resolução: É conhecido que o espaço amostral
inicial S possui 50 elementos;
Como já fomos informados de que o número
sorteado é PAR ...
... podemos reduzir o nosso espaço amostral “S”
para “S 1 ”,
S1  { 2, 4 , 6 ,  , 50 }  n(S1)  25 ;

pares
O professor “Marcelo Renato”, com 4 números pares,
tinha a probabilidade de ser sorteado igual a
4
, porém, a sua probabilidade de NÃO ser
P1 
25
sorteado era de
4
21
P2  1 
 P2 
25
25
.
21 4
P2 
 P2  84%

25  4
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
Assim, a probabilidade de obtermos 3 caras (K) e 3
coroas (C) em 6 lançamentos será:
7) (AMERICANO) Numa urna estão 100 bolas,
numeradas de 1 até 100. A probabilidade de ser
sorteado um número par sabendo ser ele múltiplo de
5 é:
 1  1
P  20      
2 2
a) 10%
b) 20%
c) 30%
d) 40%
e) 50%
11. EXPERIMENTOS BINOMIAIS
Há experimentos que apresentam apenas dois
possíveis resultados. Por exemplo, do lançamento de
uma moeda só pode resultar cara ou coroa; um
exame laboratorial para detecção de alguma doença
pode resultar positivo ou negativo.
Experimentos dessa natureza, repetidos um número
finito de vezes, em condições idênticas, levando-se
em conta que essas repetições constituam eventos
independentes,
caracterizam
experimentos
binomiais.
Seja uma experiência realizada com n tentativas
independentes e com dois resultados possíveis em
cada tentativa, sucesso ou fracasso:
evento E (sucesso) e evento E (fracasso)
Probabilidade de ocorrência de “E”:
“p”
Probabilidade de ocorrência de “ E ”: " q  1  p"
Sendo " " a probabilidade de obtermos “r” vezes o
resultado desejado (sucesso):
3
3
6
1
5
 1
P  20     P  20 
 P
64
16
2
5
Resposta:
16
Exemplo-2: (AMERICANO) O médico geriatra do
professor JÚNIOR BOLA (o papa da Geografia)
constatou em uma pesquisa recente sobre a
fertilidade na 3ª idade que JÚNIOR BOLA, num
exame específico, apresentou a probabilidade de
gerar filhos do sexo feminino 5 vezes maior do que a
de gerar filhos do sexo masculino.
Com base na pesquisa do referido geriatra, qual a
probabilidade de um casal (onde o homem tem as
mesmas características de fertilidade que o professor
JÚNIOR BOLA) gerar 2 filhas e 3 filhos em 5
gestações sucessivas?
Resolução: Considerando H (filho) e M (filha),
Considerando também que “p” é a probabilidade do
casal em questão gerar “filho-H” e “5p” a de gerar
“filha-M”,
1

P 
1  H 6
p  5p  100%  p  5p  1  p 

5
6 
P 
 M 6
Uma das situações favoráveis pode ser representada
por: M – M – H – H – H
Sabemos que os 5 elementos que compõem a
situação favorável poderão permutar entre si, fato
esse que viabilizará outras condições favoráveis.
5!
M
H
H  P52, 3 

H
 P52, 3  10

M







2
!
3
!
2, 3
P5
Assim, a probabilidade do nascimento de 2 filhas (M)
e 3 filhos (H) em 5 gestações sucessivas será:
  ( Pnr , n  r )  pr  qn  r
Onde Pnr , nr é uma permutação com elementos
repetidos (conforme estudado no capítulo de Análise
Combinatória).
Exemplo-1: (AMERICANO) Uma moeda é lançada 6
vezes. Qual a probabilidade de obtermos 3 caras (K)
e 3 coroas (C)?
Resolução: Uma das situações favoráveis pode ser
representada por: K – K – K – C – C – C
Sabemos que os 6 elementos que compõem a
situação favorável poderão permutar entre si, fato
esse que viabilizará outras condições favoráveis.
K
K
C
C 
K

C

P63 , 3
P63, 3
6!

 P63, 3  20

3! 3 !
2
3
5  1
 25   1 
P  10        P  10  
  
6 6
 36   36 
125
P
 P  19,3%
648
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
8) (FGV-SP) Uma moeda é viciada de tal forma que
os resultados possíveis, cara e coroa, são tais que a
probabilidade de sair cara num lançamento é o triplo
da de sair coroa.
a) Lançando-se uma vez a moeda, qual a
probabilidade de sair cara?
b) Lançando-se três vezes a moeda, qual a
probabilidade de sair exatamente uma cara?
TESTES COMPLEMENTARES
1) (UFMG 2006)O número de respostas a uma
pesquisa está disposto no diagrama abaixo.
3) (Cesgranrio-RJ) Num jogo com um dado, o
jogador X ganha se tirar, no seu lance, um número
de pontos maior ou igual ao do lance do jogador Y. A
probabilidade de X ganhar é:
a) 1/2
b) 2/3
c) 7/12
d) 13/24
e) 19/36
4) (Fuvest-SP) Uma urna contém bolas numeradas
de 1 a 9. Sorteiam-se, com reposição, duas bolas. A
probabilidade de que o número da segunda bola seja
estritamente maior do que o da primeira é:
O objetivo era saber, dos entrevistados o quanto
eles confiam em pesquisas de mercado com
respeito ao presidente. Considerando que cada
pessoa deu uma única resposta, qual a
probabilidade de ser selecionada aleatoriamente
uma pessoa que não é muito confiante nas
pesquisas?
a)
b)
c)
d)
e)
1
200
1
300
1
5
1
50
1
4
2) (UFMG 2007 adaptada) Um grupo de pessoas é
formado por 5 crianças (entre elas Paulinho) e 4
adultos, dos quais 3 possuem habilitação para dirigir
automóvel.
Com um automóvel de 5 lugares (2 na frente e 3
atrás), tendo a restrição de que criança não pode
viajar no banco da frente, escolhida ao acaso uma
das maneiras de se efetuar a lotação do automóvel,
a probabilidade de Paulinho não fazer parte da
lotação é de:
a) 4/7
b) 3/7
c) 3/5
d) 2/5
e) 1/2
a) 72/81
b) 1/9
c) 36/81
d) 30/81
e) 45/81
5) (FEI-SP) Numa moeda viciada a probabilidade de
ocorrer face cara num lançamento é igual a quatro
vezes a probabilidade de ocorrer coroa. A
probabilidade de ocorrer cara num lançamento desta
moeda é:
a) 40%
b) 80%
c) 25%
d) 20%
e) 50%
6) (Mack-SP) No lançamento de dois dados, a
probabilidade de serem obtidos números iguais é:
a) 1/6
b) 1/2
c) 1/3
d) 2/3
e) 1/4
7) (UFRGS) Numa maternidade, aguarda-se o
nascimento de três bebês. Se a probabilidade de que
cada bebê seja menino é igual à probabilidade de
que cada bebê seja menina, a probabilidade de que
os três bebês sejam do mesmo sexo é:
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/6
e) 1/8
8) (UFRGS) Considere dois dados, cada um deles
com seis faces, numeradas de 1 a 6. se os dados
são lançados ao acaso, a probabilidade de que a
soma dos números sorteados seja 5
a) 1/15
b) 2/21
c) 1/12
d) 1/11
e) 1/9
9) (Vunesp-SP) Um baralho consiste em 100 cartões
numerados de 1 a 100. Retiram-se 2 cartões ao
acaso (sem reposição). A probabilidade de que a
soma dos dois números dos cartões retirados seja
igual a 100 é:
a) 49/4950
b) 50/4950
c) 1%
d) 49/5000
e) 51/4851
14) (Unirio-RJ) Um armário tem 8 repartições, em 4
níveis, como mostra a figura abaixo. Ocupando-se
metade das repartições, a probabilidade de que de
tenha uma repartição ocupada em cada nível é de:
a) 2/35
b) 4/35
c) 6/35
d) 8/35
e) 2/7
10) (Unesp-SP) Dois dados perfeitos e distinguíveis
são lançados ao acaso. A probabilidade de que a
soma dos resultados obtidos seja 3 ou 6 é:
15) (UNIP-SP) Uma carta é retirada de um baralho
comum, de 52 cartas, e, sem saber qual é a carta, é
misturada com as cartas de outro baralho idêntico ao
primeiro. Retirando, em seguida, uma carta do
segundo baralho, a probabilidade de se obter uma
dama é:
a) 7/18
b) 1/18
c) 7/36
d) 7/12
e) 4/9
a) 3/51
b) 5/53
c) 5/676
d) 1/13
e) 5/689
11) (FEI-SP) Em um exame de seleção com 1800
candidatos, 600 ficaram reprovados em Matemática,
450 ficaram reprovados em Português e 240 ficaram
reprovados em Matemática e Português. Se um dos
participantes for escolhido ao acaso, qual é a
probabilidade de ele ter sido reprovado em
Matemática e aprovado em Português?
16) (FEI-SP) Uma urna contém, em seu interior,
cinco fichas de mesmo tamanho e formato, sendo
duas brancas e três vermelhas. Quatro pessoas,
identificadas por A, B, C e D, nessa ordem, retiram
uma ficha da urna ao acaso, sem reposição. A
primeira a retirar uma ficha branca receberá um
prêmio. A probabilidade de ser a pessoa D a
premiada é:
a) 1/5
b) 3/4
c) 1/3
d) 2/5
e) 1/10
a) 1,0%
b) 10,0 %
c) 20,0%
d) 5,0%
e) 2,5%
12) (FUVEST-SP) Ao lançar um dado muitas vezes,
uma pessoa percebeu que a face 6 saía com o dobro
de frequência da face 1, e que as outras faces saíam
com a freqüência esperada em um dado não viciado.
Qual a freqüência da face 1?
17) (Mack-SP) Uma caixa contém 2 bolas brancas, 3
vermelhas e 4 pretas. Retiradas, simultaneamente,
três bolas, a probabilidade de pelo menos uma ser
branca é:
a) 1/3
b) 2/3
c) 1/9
d) 2/9
e) 1/12
13) (Mack-SP) Num grupo de 10 pessoas estão A e
B. Escolhidas ao acaso 5 pessoas do grupo, a
probabilidade de A e B serem escolhidas é:
a) 1/5
b) 1/10
c) 2/9
d) 5/9
e) 9/10
a) 1/3
b) 7/12
c) 2/9
d) 2/7
e) 5/12
18) (FAMECA) Dois prêmios devem ser sorteados
entre 25 alunos de escolas superiores, entre os quais
5 cursam Medicina. Qual é a probabilidade de 2 dos
futuros médicos serem contemplados?
a) 1/5
b) 2/25
c) 1/30
d) 2/5
e) 9/25
19) (Mack-SP) No lançamento de 4 moedas
honestas, a probabilidade de ocorrerem duas caras e
duas coroas é:
a) 1/16
b) 3/16
c) 1/4
d) 3/8
e) 1/2
20) (Unesp-SP) Uma prova é constituída de 12
questões do tipo múltipla escolha, cada uma delas
com 5 alternativas. Um candidato pretende fazer esta
prova “chutando” todas as respostas, assinalando
uma alternativa por questão sem qualquer critério de
escolha. A probabilidade de ele acertar 50% da
prova é
4
a) 924   
5
6
4
b) 792   
5
6
6
 1
c) 924   
5
RESPOSTAS SÉRIE AULA – DISCURSIVAS
1a) Considerando Cara (K) e Coroa (C):
12
2
d) 924   
5
12
2
e) 792   
5
1b) Eb  {(K, K, K ); (K, K, C); (K, C, K ); (C, K, K )}
Pb 
4
1
 Pb 
 Pb  50%
8
2
1c) E c  {(K, K, C); (K, C,K ); (C, K, K )}  Pc 
2) 30%
3) 2%
4)
8a) 75%
11
36
5)
27
55
6) D
3
8
7) E
8b) 9/64
GABARITO
TESTES COMPLEMENTARES
1
C
6
A
11
A
16
B
2
A
7
C
12
C
17
B
3
C
8
E
13
C
18
C
4
C
9
A
14
D
19
D
5
B
10
C
15
D
20
D