PROBABILIDADE
ESPAÇO AMOSTRAL
É o conjunto de todos os possíveis resultados
de um experimento aleatório. A este conjunto
de elementos denominamos de espaço
amostral ou conjunto universo, simbolizado
por S.
O número de elementos do conjunto S é
representado por n(S).
EVENTO
Qualquer subconjunto do espaço amostral S
do experimento aleatório chamamos de
evento, simbolizado por A.
CONCEITO DE PROBABILIDADE
As probabilidades são utilizadas para exprimir as
chances de ocorrência de um determinado evento.
A probabilidade P (A) de ocorrência de um evento
A, é a razão entre o número de casos favoráveis ao
evento A, representado por n(A) e o número total de
possibilidades do espaço amostral S, representado
por n(S).
O número de elementos do conjunto A é
representado por n(A).
EVENTO COMPLEMENTAR
Chama-se de evento complementar de um
evento A num espaço amostral S, ao evento
tal que:
PROPRIEDADES E AXIOMAS
1
2
3
4
PRINCÍPIO DE INCLUSÃO - EXCLUSÃO
Probabilidade de união de dois eventos
Sejam dois conjuntos A e B de um espaço
amostral S.
TESTES
TESTES
01. (METODISTA) Numa classe com 32
meninas e 8 meninos, escolhendo um aluno
ao acaso, qual a probabilidade, em termos
percentuais, de que este seja menino?
• 02. O número da chapa do carro
é par. A probabilidade de o
algarismo das unidades ser zero
é:
02
0
2
4
6
8
03. (UFPR) Suponha que a chance
de um filho nascer do sexo
masculino ou do sexo feminino
seja exatamente igual. Qual é a
probabilidade de que todos os
filhos nasçam do mesmo sexo no
caso de um casal que esteja
planejando ter quatro filhos?
03
M M M M OU
F
F
F
F
04. (UFRJ-NCE) Um sargento vai atribuir, ao
acaso, cinco tarefas de diferentes níveis de
dificuldade a cinco cabos, um dos quais é o
cabo Armênio. A probabilidade de que o cabo
Armênio fique com a tarefa mais difícil é
então de:
• 05. Uma urna possui cinco bolas
vermelhas e duas bolas
brancas. Calcule as
probabilidades de:
• a) em duas retiradas, sem05
reposição da primeira bola
retirada, sair uma bola vermelha
(V) e depois uma bola branca (B).
• b) em duas retiradas, com05
reposição da primeira bola
retirada, sair uma bola vermelha
e depois uma bola branca.
06. A probabilidade de uma bola branca
aparecer ao se retirar uma única bola de uma
urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas
e 5 azuis é:
• 07. Uma carta é retirada de um
baralho comum, de 52 cartas, e,
sem saber qual é a carta, é
misturada com as cartas de um
outro
baralho
idêntico
ao
primeiro. Retirando, em seguida,
uma carta do segundo baralho, a
probabilidade de se obter uma
dama é:
1º baralho
⎧4 Q
52⎨
⎩48 ~ Q
Q
07
2º baralho
⎧4 Q
52⎨
⎩48 ~ Q
07
4x13 = 52
A 2 3 4 5
J
1º baralho
⎧5 Q
53 ⎨
⎩48 ~ Q
⎧4 Q
52⎨
⎩48 ~ Q
Q
~Q
08. Analisando um lote de 360 peças para
computador, o departamento de controle de
qualidade de uma fábrica constatou que 40
peças estavam com defeito. Retirando-se
uma das 360 peças, ao acaso, a
probabilidade de esta peça NÃO ser
defeituosa é:
Q
6 7 8 9 10
K
07
2º baralho
⎧4 Q
52⎨
⎩48 ~ Q
⎧4 Q
53⎨
⎩49 ~ Q
Q
09. (AFA) Uma urna contém 12
peças boas e 5 defeituosas. Se 3
peças
forem
retiradas
aleatoriamente, sem reposição, qual
a probabilidade de serem 2 (duas)
boas e 1 (uma) defeituosa?
10. (VUNESP) Um grupo de pessoas está
classificado da seguinte forma:
Fala inglês
Fala francês
Fala espanhol
Homens
45
17
42
Mulheres
30
33
58
Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Sabendose que essa pessoa fala espanhol, a
probabilidade de que ela seja mulher é
11. Uma caixa contém três bolas vermelhas e
cinco bolas brancas e outra possui duas bolas
vermelhas
e
três
bolas
brancas.
Considerando-se que uma bola é transferida
da primeira caixa para a segunda, e que uma
bola é retirada da segunda caixa, podemos
afirmar que a probabilidade de que a bola
retirada seja da cor vermelha é:
Estado
geral
Ótimo
Bom
deficiente
Ruim
Péssimo
total
Extensão avaliada
(km)
1.291
12.864
30.009
980
150
45.294
10.
Fala inglês
Fala francês
Fala espanhol
Homens
45
17
42
Mulheres
30
33
58
pessoa fala espanhol, a probabilidade de que
ela seja mulher é
• (CESPE) Em 2001, no relatório
de pesquisa rodoviária publicado
pela Confederação Nacional de
Transportes, foi divulgada a
tabela ao lado, que mostra as
condições de conservação de
45.294 quilômetros de estradas
brasileiras. Com base nesses
dados, julgue os itens seguintes.
• 12. A probabilidade de um
• viajante que transita nessas
estradas passar por pelo menos 1
km de estrada em condições
ótimas ou boas é maior que 30%.
Estado
geral
Ótimo
Bom
total
Extensão avaliada 12
(km)
1.291
12.864
45.294
P(O)
ou P(B)
P(O)
+
P(O)
P(B)
> 30%
12
CESPE > 30%
P(B)
• 13. Da extensão total de estradas
avaliadas, menos de 3/5 estão
em condições deficientes.
Estado
geral
deficiente
total
P(D)
13
P(D)
+
< 3/5
Extensão avaliada
(km)
30.009
45.294
13
CESPE < 3/5
14. Se escolhermos ao acaso dois números
naturais distintos de 1 a 40, a probabilidade
de que o produto dos números escolhidos
seja par é:
15. Uma urna contém 10 bolas pretas e 8
bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas sem
reposição. Qual é a probabilidade de as duas
primeira serem pretas e a terceira vermelha?
Espaço amostral
• 17.(FAE-PR) Num teste de
seleção com 10 questões do tipo
“verdadeiro
ou
falso”,
a
probabilidade de um candidato
que responde a todas as
questões ao acaso acertar
exatamente 6 questões é igual a:
Conjunto favorável
“n(F)”
16. De um grupo de 200 estudantes, 80 estão
matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40
não estão matriculados nem em Inglês nem
em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos
200 estudantes. A probabilidade de que o
estudante selecionado esteja matriculado em
pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em
Inglês ou em Francês) é igual a
“n(E)”
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
V V V V V V V V V V
F F F F F F F F F F
17
Cálculo final
P(F) =
n(F)
n(E)
17
18. De um lote de 20 parafusos, 16 são
perfeitos e 4 têm defeitos. Escolhendo 3
parafusos ao acaso, a probabilidade de que
exatamente 2 sejam perfeitos é igual a:
19. Se um certo casal tem 3 filhos, então a
probabilidade de os três serem do mesmo
sexo, dado que o primeiro filho é homem,
vaIe:
20. No jogo da Sena seis números distintos
são sorteados dentre os números 1, 2, ... , 50.
A probabilidade de que, numa extração, os
seis números sorteados sejam ímpares vale
aproximadamente:
21. Se sortearmos ao acaso uma pessoa de
um grupo de N pessoas, a probabilidade de
que cada pessoa seja escolhida é 1/N. O
elenco de uma equipe de futebol é composto
por dois goleiros, oito zagueiros, seis
armadores e quatro atacantes. Se sortearmos
ao acaso um jogador desse elenco, a
probabilidade de que ele seja um armador
22. Uma urna contém 12 peças
boas e 5 defeituosas. Se 3 peças
forem retiradas aleatoriamente, sem
reposição, qual a probabilidade de
serem 2 (duas) boas e 1 (uma)
defeituosa?
22. 12 peças boas 5 defeituosas.
Se 3 peças 2 (duas) boas e 1 (uma)
defeituosa?
23.
(UNESP)
Lançando-se
simultaneamente dois dados nãoviciados, a probabilidade de que
suas superiores exibam soma igual
a 7 ou 9 é:
23.
24. Foram preparadas noventa empadinhas
de camarão, sendo que, a pedido, sessenta
delas deveriam ser mais apimentadas. Por
pressa e confusão de última hora, foram
todas colocadas ao acaso, numa mesma
travessa,
para
serem
servidas.
A
probabilidade de alguém retirar uma
empadinha mais apimentada é:
25. Um número é escolhido ao acaso
entre os 20 inteiros, de 1 a 20. A
probabilidade de o número escolhido ser
primo ou quadrado perfeito é:
26. Um prédio de três andares, com dois
apartamentos por andar, tem apenas três
apartamentos ocupados. A probabilidade de
que cada um dos três andares tenha
exatamente um apartamento ocupado é:
27. (UFRJ-NCE) Em um saco preto há 90
bolas, das quais 32 bolas são vermelhas, 25
são azuis, 12 são brancas, 14 são pretas e as
demais são verdes. As bolas são, todas, lisas,
de mesmo tamanho e feitas com o mesmo
material. Se tirarmos ao acaso, sem olhar,
uma bola do saco, é mais provável que a bola
seja:
28. (FEI-SP) Numa moeda viciada, a
probabilidade de ocorrer face cara
num lançamento é igual a quatro
vezes a probabilidade de ocorrer
coroa. A probabilidade de ocorrer
cara num lançamento desta moeda
é:
29. Uma moeda é viciada, de forma
que as coroas são cinco vezes mais
prováveis de aparecer do que as
caras. Determine a probabilidade de
num lançamento sair coroa.
30. (PUC-SP) Uma urna contém
apenas cartões marcados com
números
de
três
algarismos
distintos, escolhidos de 1 a 9. Se,
nessa urna, não há cartões com
números repetidos, a probabilidade
de ser sorteado um cartão com um
número menor que 500 é:
31. Três estudantes A, B e C estão em uma
competição de natação. A e B têm as
mesmas “chances” de vencer e, cada um,
tem duas vezes mais “chances” de vencer do
que C. Pede-se calcular a probabilidades de
A ou C vencer, considerando que não haverá
empate em qualquer colocação.