Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Aplicações do R na Inferência Estatı́stica Silvano Cesar da Costa Departamento de Estatı́stica Universidade Estadual de Londrina 10 de maio de 2013 Variáveis Aleatórias Discretas Tópicos a serem abordados I Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Tópicos a serem abordados I Variáveis Aleatórias Discretas I Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Tópicos a serem abordados I Variáveis Aleatórias Discretas I Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Principais Modelos Discretos Modelo Bernoulli; Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Principais Modelos Discretos Modelo Bernoulli; Modelo Binomial; Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Principais Modelos Discretos Modelo Bernoulli; Modelo Binomial; Modelo Poisson; Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Principais Modelos Discretos Modelo Bernoulli; Modelo Binomial; Modelo Poisson; Modelo Geométrico; Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Principais Modelos Discretos Modelo Bernoulli; Modelo Binomial; Modelo Poisson; Modelo Geométrico; Modelo Hipergeométrico. Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Principais Modelos Discretos Modelo Bernoulli; Modelo Binomial; Modelo Poisson; Modelo Geométrico; Modelo Hipergeométrico. Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Bernoulli Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Bernoulli Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I O experimento é realizado uma única vez; Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Bernoulli Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I O experimento é realizado uma única vez; I A variável resposta tem dois resultados possı́veis: Sucesso ou Fracasso. Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Bernoulli Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I O experimento é realizado uma única vez; I A variável resposta tem dois resultados possı́veis: Sucesso ou Fracasso. A função de probabilidade é dada por: P(Y = yi ) = p yi (1 − p)1−yi , yi = 0, 1. Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Bernoulli Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I O experimento é realizado uma única vez; I A variável resposta tem dois resultados possı́veis: Sucesso ou Fracasso. A função de probabilidade é dada por: P(Y = yi ) = p yi (1 − p)1−yi , yi = 0, 1. Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Binomial Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I Realização de uma série de n experimentos independentes de Bernoulli; Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I Realização de uma série de n experimentos independentes de Bernoulli; I A probabilidade de sucesso em cada experimento é sempre constante e igual a p; Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I Realização de uma série de n experimentos independentes de Bernoulli; I A probabilidade de sucesso em cada experimento é sempre constante e igual a p; I O número de sucessos observado é um número inteiro entre 0 e n. Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I Realização de uma série de n experimentos independentes de Bernoulli; I A probabilidade de sucesso em cada experimento é sempre constante e igual a p; I O número de sucessos observado é um número inteiro entre 0 e n. A função de probabilidade é dada por n y P(Y = y ) = p (1 − p)n−y , y = 0, 1, . . . , n. y Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I Realização de uma série de n experimentos independentes de Bernoulli; I A probabilidade de sucesso em cada experimento é sempre constante e igual a p; I O número de sucessos observado é um número inteiro entre 0 e n. A função de probabilidade é dada por n y P(Y = y ) = p (1 − p)n−y , y = 0, 1, . . . , n. y I Notação: Y ∼ Bin(n, p). Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I Realização de uma série de n experimentos independentes de Bernoulli; I A probabilidade de sucesso em cada experimento é sempre constante e igual a p; I O número de sucessos observado é um número inteiro entre 0 e n. A função de probabilidade é dada por n y P(Y = y ) = p (1 − p)n−y , y = 0, 1, . . . , n. y I Notação: Y ∼ Bin(n, p). Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Usando o R Uma moeda é lançada cinco vezes. Qual a probabilidade de se obter duas caras? Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Usando o R Uma moeda é lançada cinco vezes. Qual a probabilidade de se obter duas caras? > dbinom(2, size=5, prob=0.5) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Usando o R Uma moeda é lançada cinco vezes. Qual a probabilidade de se obter duas caras? > dbinom(2, size=5, prob=0.5) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Usando o R Uma moeda é lançada cinco vezes. Qual a probabilidade de se obter duas caras? > dbinom(2, size=5, prob=0.5) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > moedas = data.frame(Pr=dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Usando o R Uma moeda é lançada cinco vezes. Qual a probabilidade de se obter duas caras? > dbinom(2, size=5, prob=0.5) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > moedas = data.frame(Pr=dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)) > rownames(moedas) = 0:5 Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Usando o R Uma moeda é lançada cinco vezes. Qual a probabilidade de se obter duas caras? > dbinom(2, size=5, prob=0.5) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > moedas = data.frame(Pr=dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)) > rownames(moedas) = 0:5 > moedas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Usando o R Uma moeda é lançada cinco vezes. Qual a probabilidade de se obter duas caras? > dbinom(2, size=5, prob=0.5) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > moedas = data.frame(Pr=dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)) > rownames(moedas) = 0:5 > moedas Qual a probabilidade do número de caras ser maior que 1 e menor que 5? Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Usando o R Uma moeda é lançada cinco vezes. Qual a probabilidade de se obter duas caras? > dbinom(2, size=5, prob=0.5) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > moedas = data.frame(Pr=dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)) > rownames(moedas) = 0:5 > moedas Qual a probabilidade do número de caras ser maior que 1 e menor que 5? > sum(dbinom(2:4, 5, 0.5)) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Usando o R Uma moeda é lançada cinco vezes. Qual a probabilidade de se obter duas caras? > dbinom(2, size=5, prob=0.5) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > moedas = data.frame(Pr=dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)) > rownames(moedas) = 0:5 > moedas Qual a probabilidade do número de caras ser maior que 1 e menor que 5? > sum(dbinom(2:4, 5, 0.5)) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Gráfico da Função de Probabilidade > plot(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), xlab=’Número de Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, las=1, bty=’l’) Função de Distribuição Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Gráfico da Função de Probabilidade > plot(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), xlab=’Número de Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, las=1, bty=’l’) > points(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), pch=19, col=’blue’) Função de Distribuição Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Gráfico da Função de Probabilidade > plot(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), xlab=’Número de Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, las=1, bty=’l’) > points(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), pch=19, col=’blue’) Função de Distribuição Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Gráfico da Função de Probabilidade > plot(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), xlab=’Número de Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, las=1, bty=’l’) > points(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), pch=19, col=’blue’) Função de Distribuição > (Acum = pbinom(0:5, size=5, prob=0.5, lower.tail=TRUE)) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Gráfico da Função de Probabilidade > plot(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), xlab=’Número de Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, las=1, bty=’l’) > points(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), pch=19, col=’blue’) Função de Distribuição > (Acum = pbinom(0:5, size=5, prob=0.5, lower.tail=TRUE)) > moedas = data.frame(Acum) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Gráfico da Função de Probabilidade > plot(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), xlab=’Número de Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, las=1, bty=’l’) > points(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), pch=19, col=’blue’) Função de Distribuição > (Acum = pbinom(0:5, size=5, prob=0.5, lower.tail=TRUE)) > moedas = data.frame(Acum) > rownames(moedas) = 0:5 Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Gráfico da Função de Probabilidade > plot(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), xlab=’Número de Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, las=1, bty=’l’) > points(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), pch=19, col=’blue’) Função de Distribuição > (Acum = pbinom(0:5, size=5, prob=0.5, lower.tail=TRUE)) > moedas = data.frame(Acum) > rownames(moedas) = 0:5 > moedas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Gráfico da Função de Probabilidade > plot(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), xlab=’Número de Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, las=1, bty=’l’) > points(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), pch=19, col=’blue’) Função de Distribuição > (Acum = pbinom(0:5, size=5, prob=0.5, lower.tail=TRUE)) > moedas = data.frame(Acum) > rownames(moedas) = 0:5 > moedas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Função de Distribuição > (Acum = cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5))) Gráfico da distribuição de probabilidade Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Função de Distribuição > (Acum = cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5))) > moedas = data.frame(Acum) Gráfico da distribuição de probabilidade Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Função de Distribuição > (Acum = cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5))) > moedas = data.frame(Acum) > rownames(moedas) = 0:5 Gráfico da distribuição de probabilidade Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Função de Distribuição > (Acum = cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5))) > moedas = data.frame(Acum) > rownames(moedas) = 0:5 > moedas Gráfico da distribuição de probabilidade Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Função de Distribuição > (Acum = cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5))) > moedas = data.frame(Acum) > rownames(moedas) = 0:5 > moedas Gráfico da distribuição de probabilidade > plot(0:5, cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)), xlab=’Número de Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”s”, las=1, bty=’l’) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Função de Distribuição > (Acum = cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5))) > moedas = data.frame(Acum) > rownames(moedas) = 0:5 > moedas Gráfico da distribuição de probabilidade > plot(0:5, cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)), xlab=’Número de Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”s”, las=1, bty=’l’) > points(0:5, cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)), pch=19, col=’blue’) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Binomial Função de Distribuição > (Acum = cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5))) > moedas = data.frame(Acum) > rownames(moedas) = 0:5 > moedas Gráfico da distribuição de probabilidade > plot(0:5, cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)), xlab=’Número de Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”s”, las=1, bty=’l’) > points(0:5, cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)), pch=19, col=’blue’) > abline(h=0, col=’gray’) Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Poisson Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I as condições permanecem estáveis no decorrer do tempo, isto é, a taxa média de ocorrências (λ) é constante ao longo do tempo; Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I as condições permanecem estáveis no decorrer do tempo, isto é, a taxa média de ocorrências (λ) é constante ao longo do tempo; I intervalos de tempo disjuntos são independentes, isto é, a informação sobre o número de ocorrências em um intervalo nada revela sobre o número de ocorrências em outro intervalo. Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I as condições permanecem estáveis no decorrer do tempo, isto é, a taxa média de ocorrências (λ) é constante ao longo do tempo; I intervalos de tempo disjuntos são independentes, isto é, a informação sobre o número de ocorrências em um intervalo nada revela sobre o número de ocorrências em outro intervalo. A função de probabilidade é dada por P(Y = y ) = e −λ λy , y! y = 0, 1, . . . Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I as condições permanecem estáveis no decorrer do tempo, isto é, a taxa média de ocorrências (λ) é constante ao longo do tempo; I intervalos de tempo disjuntos são independentes, isto é, a informação sobre o número de ocorrências em um intervalo nada revela sobre o número de ocorrências em outro intervalo. A função de probabilidade é dada por P(Y = y ) = e −λ λy , y! I Notação: Y ∼ Poi(λ). y = 0, 1, . . . Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I as condições permanecem estáveis no decorrer do tempo, isto é, a taxa média de ocorrências (λ) é constante ao longo do tempo; I intervalos de tempo disjuntos são independentes, isto é, a informação sobre o número de ocorrências em um intervalo nada revela sobre o número de ocorrências em outro intervalo. A função de probabilidade é dada por P(Y = y ) = e −λ λy , y! y = 0, 1, . . . I Notação: Y ∼ Poi(λ). I λ é igual ao número médio de ocorrências do evento. Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I as condições permanecem estáveis no decorrer do tempo, isto é, a taxa média de ocorrências (λ) é constante ao longo do tempo; I intervalos de tempo disjuntos são independentes, isto é, a informação sobre o número de ocorrências em um intervalo nada revela sobre o número de ocorrências em outro intervalo. A função de probabilidade é dada por P(Y = y ) = e −λ λy , y! y = 0, 1, . . . I Notação: Y ∼ Poi(λ). I λ é igual ao número médio de ocorrências do evento. Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a 0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes: Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a 0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes: a) seis animais Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a 0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes: a) seis animais > dpois(6, lambda=5) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a 0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes: a) seis animais > dpois(6, lambda=5) b) dois animais ou mais Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a 0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes: a) seis animais > dpois(6, lambda=5) b) dois animais ou mais > 1-sum(ppois(0:1, lambda=5)) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a 0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes: a) seis animais > dpois(6, lambda=5) b) dois animais ou mais > 1-sum(ppois(0:1, lambda=5)) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a 0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes: a) seis animais > dpois(6, lambda=5) b) dois animais ou mais > 1-sum(ppois(0:1, lambda=5)) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > nao.imunes = data.frame(Pr=dpois(0:10, lambda=5)) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a 0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes: a) seis animais > dpois(6, lambda=5) b) dois animais ou mais > 1-sum(ppois(0:1, lambda=5)) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > nao.imunes = data.frame(Pr=dpois(0:10, lambda=5)) > rownames(nao.imunes) = 0:10 Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a 0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes: a) seis animais > dpois(6, lambda=5) b) dois animais ou mais > 1-sum(ppois(0:1, lambda=5)) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > nao.imunes = data.frame(Pr=dpois(0:10, lambda=5)) > rownames(nao.imunes) = 0:10 > nao.imunes Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a 0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes: a) seis animais > dpois(6, lambda=5) b) dois animais ou mais > 1-sum(ppois(0:1, lambda=5)) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > nao.imunes = data.frame(Pr=dpois(0:10, lambda=5)) > rownames(nao.imunes) = 0:10 > nao.imunes Qual a probabilidade do número animais não imuzinados ser maior que 5 e menor que 10? Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a 0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes: a) seis animais > dpois(6, lambda=5) b) dois animais ou mais > 1-sum(ppois(0:1, lambda=5)) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > nao.imunes = data.frame(Pr=dpois(0:10, lambda=5)) > rownames(nao.imunes) = 0:10 > nao.imunes Qual a probabilidade do número animais não imuzinados ser maior que 5 e menor que 10? > sum(dpois(6:9, lambda=5)) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a 0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes: a) seis animais > dpois(6, lambda=5) b) dois animais ou mais > 1-sum(ppois(0:1, lambda=5)) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > nao.imunes = data.frame(Pr=dpois(0:10, lambda=5)) > rownames(nao.imunes) = 0:10 > nao.imunes Qual a probabilidade do número animais não imuzinados ser maior que 5 e menor que 10? > sum(dpois(6:9, lambda=5)) Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Poisson Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Poisson Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > nao.imunes = 0:10 Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Poisson Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > nao.imunes = 0:10 > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > nao.imunes = 0:10 > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5), xlab=“Número de Animais Não Imunes”, ylab=“Probabilidades”, axes=“F”, main=’ ’, col=’blue’, type=“h”) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > nao.imunes = 0:10 > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5), xlab=“Número de Animais Não Imunes”, ylab=“Probabilidades”, axes=“F”, main=’ ’, col=’blue’, type=“h”) > points(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5), pch=16, col=’blue’) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > nao.imunes = 0:10 > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5), xlab=“Número de Animais Não Imunes”, ylab=“Probabilidades”, axes=“F”, main=’ ’, col=’blue’, type=“h”) > points(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5), pch=16, col=’blue’) > abline(h=0, col=’gray’, cex=2) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > nao.imunes = 0:10 > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5), xlab=“Número de Animais Não Imunes”, ylab=“Probabilidades”, axes=“F”, main=’ ’, col=’blue’, type=“h”) > points(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5), pch=16, col=’blue’) > abline(h=0, col=’gray’, cex=2) > axis(1, 0:10) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > nao.imunes = 0:10 > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5), xlab=“Número de Animais Não Imunes”, ylab=“Probabilidades”, axes=“F”, main=’ ’, col=’blue’, type=“h”) > points(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5), pch=16, col=’blue’) > abline(h=0, col=’gray’, cex=2) > axis(1, 0:10) > axis(2, seq(0, 0.18, .03), las=1) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > nao.imunes = 0:10 > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5), xlab=“Número de Animais Não Imunes”, ylab=“Probabilidades”, axes=“F”, main=’ ’, col=’blue’, type=“h”) > points(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5), pch=16, col=’blue’) > abline(h=0, col=’gray’, cex=2) > axis(1, 0:10) > axis(2, seq(0, 0.18, .03), las=1) > box(bty=’l’) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > nao.imunes = 0:10 > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5), xlab=“Número de Animais Não Imunes”, ylab=“Probabilidades”, axes=“F”, main=’ ’, col=’blue’, type=“h”) > points(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5), pch=16, col=’blue’) > abline(h=0, col=’gray’, cex=2) > axis(1, 0:10) > axis(2, seq(0, 0.18, .03), las=1) > box(bty=’l’) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > nao.imunes = 0:10 Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > nao.imunes = 0:10 > naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes, lambda=5)) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > nao.imunes = 0:10 > naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes, lambda=5)) > rownames(naoimunes.acum) = 0:10 Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > nao.imunes = 0:10 > naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes, lambda=5)) > rownames(naoimunes.acum) = 0:10 > cbind(naoimunes.acum) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > nao.imunes = 0:10 > naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes, lambda=5)) > rownames(naoimunes.acum) = 0:10 > cbind(naoimunes.acum) Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > nao.imunes = 0:10 > naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes, lambda=5)) > rownames(naoimunes.acum) = 0:10 > cbind(naoimunes.acum) Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > F = ppois(nao.imunes, lambda=5) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > nao.imunes = 0:10 > naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes, lambda=5)) > rownames(naoimunes.acum) = 0:10 > cbind(naoimunes.acum) Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > F = ppois(nao.imunes, lambda=5) > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > nao.imunes = 0:10 > naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes, lambda=5)) > rownames(naoimunes.acum) = 0:10 > cbind(naoimunes.acum) Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > F = ppois(nao.imunes, lambda=5) > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(nao.imunes, F, xlab=“Número de Animais Não Imunes”, ylab=“Probabilidades Acumuladas”, main=”, type=“S”, col=’blue’, lwd=1.5, las=1, bty=’l’, axes=’F’)) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > nao.imunes = 0:10 > naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes, lambda=5)) > rownames(naoimunes.acum) = 0:10 > cbind(naoimunes.acum) Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > F = ppois(nao.imunes, lambda=5) > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(nao.imunes, F, xlab=“Número de Animais Não Imunes”, ylab=“Probabilidades Acumuladas”, main=”, type=“S”, col=’blue’, lwd=1.5, las=1, bty=’l’, axes=’F’)) > abline(h=0, col=’gray’, cex=2) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > nao.imunes = 0:10 > naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes, lambda=5)) > rownames(naoimunes.acum) = 0:10 > cbind(naoimunes.acum) Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > F = ppois(nao.imunes, lambda=5) > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(nao.imunes, F, xlab=“Número de Animais Não Imunes”, ylab=“Probabilidades Acumuladas”, main=”, type=“S”, col=’blue’, lwd=1.5, las=1, bty=’l’, axes=’F’)) > abline(h=0, col=’gray’, cex=2) > axis(1, 0:10) ; axis(2, seq(0, 1, .05), las=1) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > nao.imunes = 0:10 > naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes, lambda=5)) > rownames(naoimunes.acum) = 0:10 > cbind(naoimunes.acum) Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > F = ppois(nao.imunes, lambda=5) > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(nao.imunes, F, xlab=“Número de Animais Não Imunes”, ylab=“Probabilidades Acumuladas”, main=”, type=“S”, col=’blue’, lwd=1.5, las=1, bty=’l’, axes=’F’)) > abline(h=0, col=’gray’, cex=2) > axis(1, 0:10) ; axis(2, seq(0, 1, .05), las=1) > box(bty=’l’) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Poisson Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > nao.imunes = 0:10 > naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes, lambda=5)) > rownames(naoimunes.acum) = 0:10 > cbind(naoimunes.acum) Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > F = ppois(nao.imunes, lambda=5) > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(nao.imunes, F, xlab=“Número de Animais Não Imunes”, ylab=“Probabilidades Acumuladas”, main=”, type=“S”, col=’blue’, lwd=1.5, las=1, bty=’l’, axes=’F’)) > abline(h=0, col=’gray’, cex=2) > axis(1, 0:10) ; axis(2, seq(0, 1, .05), las=1) > box(bty=’l’) Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Geométrico Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I Y é o número de tentativas necessárias para obter o primeiro sucesso; Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I Y é o número de tentativas necessárias para obter o primeiro sucesso; I as tentativas são sucessivas e independentes, com probabilidade de sucesso p; Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I Y é o número de tentativas necessárias para obter o primeiro sucesso; I as tentativas são sucessivas e independentes, com probabilidade de sucesso p; I experimento realizado até que ocorra o primeiro sucesso. Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I Y é o número de tentativas necessárias para obter o primeiro sucesso; I as tentativas são sucessivas e independentes, com probabilidade de sucesso p; I experimento realizado até que ocorra o primeiro sucesso. A função de probabilidade é dada por P(Y = y ) = p × (1 − p)y −1 y = 1, 2, . . . Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I Y é o número de tentativas necessárias para obter o primeiro sucesso; I as tentativas são sucessivas e independentes, com probabilidade de sucesso p; I experimento realizado até que ocorra o primeiro sucesso. A função de probabilidade é dada por P(Y = y ) = p × (1 − p)y −1 I Notação: Y ∼ G (p). y = 1, 2, . . . Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I Y é o número de tentativas necessárias para obter o primeiro sucesso; I as tentativas são sucessivas e independentes, com probabilidade de sucesso p; I experimento realizado até que ocorra o primeiro sucesso. A função de probabilidade é dada por P(Y = y ) = p × (1 − p)y −1 I Notação: Y ∼ G (p). y = 1, 2, . . . Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito numa esquina é 0, 20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito numa esquina é 0, 20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? a) P(Y = 5) = 0, 20 × (1 − 0, 20)5 Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito numa esquina é 0, 20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? a) P(Y = 5) = 0, 20 × (1 − 0, 20)5 > dgeom(5, prob=0.20) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito numa esquina é 0, 20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? a) P(Y = 5) = 0, 20 × (1 − 0, 20)5 > dgeom(5, prob=0.20) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito numa esquina é 0, 20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? a) P(Y = 5) = 0, 20 × (1 − 0, 20)5 > dgeom(5, prob=0.20) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > Y = data.frame(Pr=dgeom(0:30, prob=0.20)) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito numa esquina é 0, 20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? a) P(Y = 5) = 0, 20 × (1 − 0, 20)5 > dgeom(5, prob=0.20) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > Y = data.frame(Pr=dgeom(0:30, prob=0.20)) > rownames(Y) = 0:30 Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito numa esquina é 0, 20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? a) P(Y = 5) = 0, 20 × (1 − 0, 20)5 > dgeom(5, prob=0.20) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > Y = data.frame(Pr=dgeom(0:30, prob=0.20)) > rownames(Y) = 0:30 > Y Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito numa esquina é 0, 20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? a) P(Y = 5) = 0, 20 × (1 − 0, 20)5 > dgeom(5, prob=0.20) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > Y = data.frame(Pr=dgeom(0:30, prob=0.20)) > rownames(Y) = 0:30 > Y Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Geométrico Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Geométrico Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > Y = 0:30 Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Geométrico Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > Y = 0:30 > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > Y = 0:30 > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(Y, dgeom(Y, prob=0.20), type=’h’, las=1, xlab=’Número de Tentativas’, ylab=’Probabilidades’, bty=’l’, col=’blue’, lwd=1.5) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > Y = 0:30 > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(Y, dgeom(Y, prob=0.20), type=’h’, las=1, xlab=’Número de Tentativas’, ylab=’Probabilidades’, bty=’l’, col=’blue’, lwd=1.5) > points(Y, dgeom(Y, prob=0.20), pch=16, col=’blue’, cex=.5) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > Y = 0:30 > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(Y, dgeom(Y, prob=0.20), type=’h’, las=1, xlab=’Número de Tentativas’, ylab=’Probabilidades’, bty=’l’, col=’blue’, lwd=1.5) > points(Y, dgeom(Y, prob=0.20), pch=16, col=’blue’, cex=.5) > abline(h=0, col=’gray’, cex=1.5) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > Y = 0:30 > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(Y, dgeom(Y, prob=0.20), type=’h’, las=1, xlab=’Número de Tentativas’, ylab=’Probabilidades’, bty=’l’, col=’blue’, lwd=1.5) > points(Y, dgeom(Y, prob=0.20), pch=16, col=’blue’, cex=.5) > abline(h=0, col=’gray’, cex=1.5) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > Y.acum = data.frame(Pr = pgeom(0:30, prob=0.20)) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > Y.acum = data.frame(Pr = pgeom(0:30, prob=0.20)) > rownames(Y.acum) = 0:30 Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > Y.acum = data.frame(Pr = pgeom(0:30, prob=0.20)) > rownames(Y.acum) = 0:30 > Y.acum Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > Y.acum = data.frame(Pr = pgeom(0:30, prob=0.20)) > rownames(Y.acum) = 0:30 > Y.acum Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > Y.acum = data.frame(Pr = pgeom(0:30, prob=0.20)) > rownames(Y.acum) = 0:30 > Y.acum Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > Y.acum = data.frame(Pr = pgeom(0:30, prob=0.20)) > rownames(Y.acum) = 0:30 > Y.acum Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(Y, pgeom(Y, prob=0.20), type=’S’, xlab=’Número de Tentativas’, ylab=’Probabilidade Acumulada’, bty=’l’, col=’blue’, lwd=1.5, las=1) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Geométrico Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > Y.acum = data.frame(Pr = pgeom(0:30, prob=0.20)) > rownames(Y.acum) = 0:30 > Y.acum Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(Y, pgeom(Y, prob=0.20), type=’S’, xlab=’Número de Tentativas’, ylab=’Probabilidade Acumulada’, bty=’l’, col=’blue’, lwd=1.5, las=1) Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Hipergeométrico Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I a distribuição hipergeométrica não necessita de independência e se baseia em amostragem feita sem reposição. Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I a distribuição hipergeométrica não necessita de independência e se baseia em amostragem feita sem reposição. A função de probabilidade é dada por: m n−m P(Y = k) = k r −k n r , k = 0, 1, . . . , min(r , m) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I a distribuição hipergeométrica não necessita de independência e se baseia em amostragem feita sem reposição. A função de probabilidade é dada por: m n−m P(Y = k) = k r −k n r , k = 0, 1, . . . , min(r , m) I Este tipo de modelo surge da contagem de objetos de certo tipo, retirados ao acaso e sem reposição, de um conjunto contendo dois tipos de objetos. Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Função de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I a distribuição hipergeométrica não necessita de independência e se baseia em amostragem feita sem reposição. A função de probabilidade é dada por: m n−m P(Y = k) = k r −k n r , k = 0, 1, . . . , min(r , m) I Este tipo de modelo surge da contagem de objetos de certo tipo, retirados ao acaso e sem reposição, de um conjunto contendo dois tipos de objetos. Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico A notação usada no R é: P(Y = k) = m x n k−x m+n k Usando o R Qual a probabilidade de acertar a quina no jogo da mega-sena? Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico A notação usada no R é: P(Y = k) = m x n k−x m+n k Usando o R Qual a probabilidade de acertar a quina no jogo da mega-sena? 6 5 54 1 60 6 a) P(Y = 5) = Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico A notação usada no R é: P(Y = k) = m x n k−x m+n k Usando o R Qual a probabilidade de acertar a quina no jogo da mega-sena? 6 5 54 1 60 6 a) P(Y = 5) = > dhyper(x=5, m=6, n=54, k=6) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico A notação usada no R é: P(Y = k) = m x n k−x m+n k Usando o R Qual a probabilidade de acertar a quina no jogo da mega-sena? 6 5 54 1 60 6 a) P(Y = 5) = > dhyper(x=5, m=6, n=54, k=6) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico A notação usada no R é: P(Y = k) = m x n k−x m+n k Usando o R Qual a probabilidade de acertar a quina no jogo da mega-sena? 6 5 54 1 60 6 a) P(Y = 5) = > dhyper(x=5, m=6, n=54, k=6) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > YY = data.frame(Pr=dhyper(4:6, m=6, n=54, k=6)) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico A notação usada no R é: P(Y = k) = m x n k−x m+n k Usando o R Qual a probabilidade de acertar a quina no jogo da mega-sena? 6 5 54 1 60 6 a) P(Y = 5) = > dhyper(x=5, m=6, n=54, k=6) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > YY = data.frame(Pr=dhyper(4:6, m=6, n=54, k=6)) > rownames(YY) = 4:6 Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico A notação usada no R é: P(Y = k) = m x n k−x m+n k Usando o R Qual a probabilidade de acertar a quina no jogo da mega-sena? 6 5 54 1 60 6 a) P(Y = 5) = > dhyper(x=5, m=6, n=54, k=6) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > YY = data.frame(Pr=dhyper(4:6, m=6, n=54, k=6)) > rownames(YY) = 4:6 > YY Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico A notação usada no R é: P(Y = k) = m x n k−x m+n k Usando o R Qual a probabilidade de acertar a quina no jogo da mega-sena? 6 5 54 1 60 6 a) P(Y = 5) = > dhyper(x=5, m=6, n=54, k=6) Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da: > YY = data.frame(Pr=dhyper(4:6, m=6, n=54, k=6)) > rownames(YY) = 4:6 > YY Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Probabilidades da Mega-sena Qual a probabilidade de acertar a quina num jogo de 8 números? Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Probabilidades da Mega-sena Qual a probabilidade de acertar a quina num jogo de 8 números? > dhyper(5, m=6, n=54, k=8) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Probabilidades da Mega-sena Qual a probabilidade de acertar a quina num jogo de 8 números? > dhyper(5, m=6, n=54, k=8) Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Hipergeométrico Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Hipergeométrico Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > Acertos = 0:6 Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Hipergeométrico Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > Acertos = 0:6 > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > Acertos = 0:6 > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(Acertos, dhyper(Acertos, m=6, n=54, k=5), xlab=”Número de Acertos”, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, bty=’l’, las=1, col=’blue’) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > Acertos = 0:6 > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(Acertos, dhyper(Acertos, m=6, n=54, k=5), xlab=”Número de Acertos”, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, bty=’l’, las=1, col=’blue’) > points(Acertos, dhyper(Acertos, m=6, n=54, k=5), pch=16, col=’blue’) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > Acertos = 0:6 > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(Acertos, dhyper(Acertos, m=6, n=54, k=5), xlab=”Número de Acertos”, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, bty=’l’, las=1, col=’blue’) > points(Acertos, dhyper(Acertos, m=6, n=54, k=5), pch=16, col=’blue’) > abline(h=0, col=’gray’, cex=1.5) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > Acertos = 0:6 > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(Acertos, dhyper(Acertos, m=6, n=54, k=5), xlab=”Número de Acertos”, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, bty=’l’, las=1, col=’blue’) > points(Acertos, dhyper(Acertos, m=6, n=54, k=5), pch=16, col=’blue’) > abline(h=0, col=’gray’, cex=1.5) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > YY = data.frame(Pr = phyper(0:6, m=6, n=54, k=6)) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > YY = data.frame(Pr = phyper(0:6, m=6, n=54, k=6)) > rownames(YY) = 0:6 Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > YY = data.frame(Pr = phyper(0:6, m=6, n=54, k=6)) > rownames(YY) = 0:6 > YY Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > YY = data.frame(Pr = phyper(0:6, m=6, n=54, k=6)) > rownames(YY) = 0:6 > YY Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > YY = data.frame(Pr = phyper(0:6, m=6, n=54, k=6)) > rownames(YY) = 0:6 > YY Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > Acertos = 0:6 Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > YY = data.frame(Pr = phyper(0:6, m=6, n=54, k=6)) > rownames(YY) = 0:6 > YY Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > Acertos = 0:6 > Acertos = rep(Acertos, rep(2, length(Acertos))) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > YY = data.frame(Pr = phyper(0:6, m=6, n=54, k=6)) > rownames(YY) = 0:6 > YY Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > Acertos = 0:6 > Acertos = rep(Acertos, rep(2, length(Acertos))) > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > YY = data.frame(Pr = phyper(0:6, m=6, n=54, k=6)) > rownames(YY) = 0:6 > YY Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > > > > Acertos = 0:6 Acertos = rep(Acertos, rep(2, length(Acertos))) par(mai=c(1, 1, .2, .2)) plot(Acertos[-1], phyper(Acertos, m=6, n=54, k=5)[-length(Acertos)], xlab=”Número de Acertos”, ylab=”Probabilidades Acumuladas”, main=, type=”l”, col=’blue’, lwd=1.5, bty=’l’, las=1) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Hipergeométrico Usando o R Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada > YY = data.frame(Pr = phyper(0:6, m=6, n=54, k=6)) > rownames(YY) = 0:6 > YY Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > > > > Acertos = 0:6 Acertos = rep(Acertos, rep(2, length(Acertos))) par(mai=c(1, 1, .2, .2)) plot(Acertos[-1], phyper(Acertos, m=6, n=54, k=5)[-length(Acertos)], xlab=”Número de Acertos”, ylab=”Probabilidades Acumuladas”, main=, type=”l”, col=’blue’, lwd=1.5, bty=’l’, las=1) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Principais Modelos Contı́nuos Modelo Uniforme; Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Principais Modelos Contı́nuos Modelo Uniforme; Modelo Exponencial; Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Principais Modelos Contı́nuos Modelo Uniforme; Modelo Exponencial; Modelo Logı́stico; Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Principais Modelos Contı́nuos Modelo Uniforme; Modelo Exponencial; Modelo Logı́stico; Modelo Normal; Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Principais Modelos Contı́nuos Modelo Uniforme; Modelo Exponencial; Modelo Logı́stico; Modelo Normal; Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Normal Função Densidade de Probabilidade Principais caracterı́sticas: Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Normal Função Densidade de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I f (y ) é simétrica em relação à media (µ); Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Normal Função Densidade de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I f (y ) é simétrica em relação à media (µ); I f (y ) → 0 quando y → ±∞. Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Normal Função Densidade de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I f (y ) é simétrica em relação à media (µ); I f (y ) → 0 quando y → ±∞. I o valor de máximo de f (y ) se dá para y = µ. Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Função Densidade de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I I I I f (y ) é simétrica em relação à media (µ); f (y ) → 0 quando y → ±∞. o valor de máximo de f (y ) se dá para y = µ. os pontos de inflexão da função são: y = µ ± σ. Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Função Densidade de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I I I I f (y ) é simétrica em relação à media (µ); f (y ) → 0 quando y → ±∞. o valor de máximo de f (y ) se dá para y = µ. os pontos de inflexão da função são: y = µ ± σ. A função densidade de probabilidade é dada por: f (y ) = √ 1 2πσ 2 1 − e 2 y −µ σ 2 , para − ∞ < Y < ∞. Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Função Densidade de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I I I I f (y ) é simétrica em relação à media (µ); f (y ) → 0 quando y → ±∞. o valor de máximo de f (y ) se dá para y = µ. os pontos de inflexão da função são: y = µ ± σ. A função densidade de probabilidade é dada por: f (y ) = √ 1 2πσ 2 1 − e 2 y −µ σ I Notação: Y ∼ N(µ, σ 2 ). 2 , para − ∞ < Y < ∞. Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Função Densidade de Probabilidade Principais caracterı́sticas: I I I I f (y ) é simétrica em relação à media (µ); f (y ) → 0 quando y → ±∞. o valor de máximo de f (y ) se dá para y = µ. os pontos de inflexão da função são: y = µ ± σ. A função densidade de probabilidade é dada por: f (y ) = √ 1 2πσ 2 1 − e 2 y −µ σ I Notação: Y ∼ N(µ, σ 2 ). 2 , para − ∞ < Y < ∞. Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Usando o R A estatura média dos alunos da UEL é de µ = 1, 75 m e desvio padrão σ = 0, 15 m. Assumindo-se que a variável estatura (Y ) seja normalmente distribuı́da, calcule a probabilidade de um aluno aleatoriamente selecionado ter estatura inferior a 1, 70 m. Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Usando o R A estatura média dos alunos da UEL é de µ = 1, 75 m e desvio padrão σ = 0, 15 m. Assumindo-se que a variável estatura (Y ) seja normalmente distribuı́da, calcule a probabilidade de um aluno aleatoriamente selecionado ter estatura inferior a 1, 70 m. Z 1,70 a) P(Y < 1, 70 m) = −∞ 1 p 2π(0, 15)2 1 e 2 − y − 1, 75 0, 15 2 dy Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Usando o R A estatura média dos alunos da UEL é de µ = 1, 75 m e desvio padrão σ = 0, 15 m. Assumindo-se que a variável estatura (Y ) seja normalmente distribuı́da, calcule a probabilidade de um aluno aleatoriamente selecionado ter estatura inferior a 1, 70 m. Z 1,70 a) P(Y < 1, 70 m) = −∞ 1 p 2π(0, 15)2 1 e 2 − y − 1, 75 0, 15 2 > pnorm(c(1.70), mean=1.75, sd=0.15, lower.tail=TRUE) dy Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Usando o R A estatura média dos alunos da UEL é de µ = 1, 75 m e desvio padrão σ = 0, 15 m. Assumindo-se que a variável estatura (Y ) seja normalmente distribuı́da, calcule a probabilidade de um aluno aleatoriamente selecionado ter estatura inferior a 1, 70 m. Z 1,70 a) P(Y < 1, 70 m) = −∞ 1 p 2π(0, 15)2 1 e 2 − y − 1, 75 0, 15 2 > pnorm(c(1.70), mean=1.75, sd=0.15, lower.tail=TRUE) b) P(1, 70 < Y < 1, 85) dy Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Usando o R A estatura média dos alunos da UEL é de µ = 1, 75 m e desvio padrão σ = 0, 15 m. Assumindo-se que a variável estatura (Y ) seja normalmente distribuı́da, calcule a probabilidade de um aluno aleatoriamente selecionado ter estatura inferior a 1, 70 m. Z 1,70 a) P(Y < 1, 70 m) = −∞ 1 p 2π(0, 15)2 1 e 2 − y − 1, 75 0, 15 2 dy > pnorm(c(1.70), mean=1.75, sd=0.15, lower.tail=TRUE) b) P(1, 70 < Y < 1, 85) > pnorm(c(1.85), mean=1.75, sd=0.15, lower.tail=TRUE) pnorm(c(1.70), mean=1.75, sd=0.15, lower.tail=TRUE) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Usando o R A estatura média dos alunos da UEL é de µ = 1, 75 m e desvio padrão σ = 0, 15 m. Assumindo-se que a variável estatura (Y ) seja normalmente distribuı́da, calcule a probabilidade de um aluno aleatoriamente selecionado ter estatura inferior a 1, 70 m. Z 1,70 a) P(Y < 1, 70 m) = −∞ 1 p 2π(0, 15)2 1 e 2 − y − 1, 75 0, 15 2 dy > pnorm(c(1.70), mean=1.75, sd=0.15, lower.tail=TRUE) b) P(1, 70 < Y < 1, 85) > pnorm(c(1.85), mean=1.75, sd=0.15, lower.tail=TRUE) pnorm(c(1.70), mean=1.75, sd=0.15, lower.tail=TRUE) Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Normal Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Normal Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100) Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Normal Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100) > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100) > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(Estaturas, dnorm(Estaturas, mean=1.75, sd=0.15), xlab=”Estaturas (m)”, ylab=”Densidades”, main=, type=”l”, col=’blue’, lwd=2, las=1, bty=’l’) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100) > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(Estaturas, dnorm(Estaturas, mean=1.75, sd=0.15), xlab=”Estaturas (m)”, ylab=”Densidades”, main=, type=”l”, col=’blue’, lwd=2, las=1, bty=’l’) > abline(h=0, col=”gray”) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Usando o R Gráfico da Função de Probabilidade > Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100) > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(Estaturas, dnorm(Estaturas, mean=1.75, sd=0.15), xlab=”Estaturas (m)”, ylab=”Densidades”, main=, type=”l”, col=’blue’, lwd=2, las=1, bty=’l’) > abline(h=0, col=”gray”) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Usando o R Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Usando o R Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Usando o R Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100) > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Usando o R Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100) > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(Estaturas, pnorm(Estaturas, mean=1.75, sd=0.15), xlab=”Estaturas (m)”, ylab=”Probabilidades Acumuladas”, main=, type=”l”, col=’blue’, lwd=2, las=1, bty=’l’) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Usando o R Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100) > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(Estaturas, pnorm(Estaturas, mean=1.75, sd=0.15), xlab=”Estaturas (m)”, ylab=”Probabilidades Acumuladas”, main=, type=”l”, col=’blue’, lwd=2, las=1, bty=’l’) > abline(h=0, col=”gray”) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Usando o R Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade > Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100) > par(mai=c(1, 1, .2, .2)) > plot(Estaturas, pnorm(Estaturas, mean=1.75, sd=0.15), xlab=”Estaturas (m)”, ylab=”Probabilidades Acumuladas”, main=, type=”l”, col=’blue’, lwd=2, las=1, bty=’l’) > abline(h=0, col=”gray”) Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Normal Construção da Tabela da Normal Usando o R > x = seq(0, 3.99, by=0.01) Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Normal Construção da Tabela da Normal Usando o R > x = seq(0, 3.99, by=0.01) > zc = pnorm(x) - 0.5 Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Normal Construção da Tabela da Normal Usando o R > x = seq(0, 3.99, by=0.01) > zc = pnorm(x) - 0.5 > zc = matrix(zc, nc=10, byrow=T) Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Modelo Normal Construção da Tabela da Normal Usando o R > x = seq(0, 3.99, by=0.01) > zc = pnorm(x) - 0.5 > zc = matrix(zc, nc=10, byrow=T) > colnames(zc) = 0:9 Variáveis Aleatórias Contı́nuas Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Construção da Tabela da Normal Usando o R > x = seq(0, 3.99, by=0.01) > zc = pnorm(x) - 0.5 > zc = matrix(zc, nc=10, byrow=T) > colnames(zc) = 0:9 > rownames(zc) = paste(rep(0:3,each=10), ”,”, rep(0:9,4), sep=“ ”) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Construção da Tabela da Normal Usando o R > x = seq(0, 3.99, by=0.01) > zc = pnorm(x) - 0.5 > zc = matrix(zc, nc=10, byrow=T) > colnames(zc) = 0:9 > rownames(zc) = paste(rep(0:3,each=10), ”,”, rep(0:9,4), sep=“ ”) > zc Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Construção da Tabela da Normal Usando o R > x = seq(0, 3.99, by=0.01) > zc = pnorm(x) - 0.5 > zc = matrix(zc, nc=10, byrow=T) > colnames(zc) = 0:9 > rownames(zc) = paste(rep(0:3,each=10), ”,”, rep(0:9,4), sep=“ ”) > zc > xtable(zc, caption=”Probabilidades p = P[0 ≤ Z ≤ Zt ] da Distribuição Normal padrão com valores de Zt dados nas margens da tabela”, dig=c(1,rep(5,ncol(zc)))) Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Contı́nuas Modelo Normal Construção da Tabela da Normal Usando o R > x = seq(0, 3.99, by=0.01) > zc = pnorm(x) - 0.5 > zc = matrix(zc, nc=10, byrow=T) > colnames(zc) = 0:9 > rownames(zc) = paste(rep(0:3,each=10), ”,”, rep(0:9,4), sep=“ ”) > zc > xtable(zc, caption=”Probabilidades p = P[0 ≤ Z ≤ Zt ] da Distribuição Normal padrão com valores de Zt dados nas margens da tabela”, dig=c(1,rep(5,ncol(zc))))
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