Posições de Retas
Introdução: Conceitos Primitivos
Algumas definições sobre retas foram sistematizadas por Euclides, por volta de
300a.C.
A partir dessas definições estabeleceram-se os termos geométricos fundamentais e
conceitos primitivos:
PONTO – RETA – PLANO
Ponto: Representado por uma marca feita com a ponta do lápis sobre o papel. É
algo sem dimensão, sem massa, sem volume e é indicado por uma letra maiúscula
do alfabeto.
Reta: Representada por uma linha, é algo sem espessura, sem começo e sem fim.
Indicada por uma letra minúscula do nosso alfabeto
Plano: Representado por uma superfície plana, sem espessura e que se estende
infinitamente em todas as direções. Representado por uma letra minúscula do
alfabeto grego.
Na Figura 1 podem-se observar esses três elementos.
Figura 1
- Os pontos A, B, C e D representam os vértices do retângulo.
- A reta r contém a diagonal ̅̅̅̅ do retângulo.
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Na Figura 2 o plano α contém o triângulo M,N e P.
Figura 2
Figura 3 – Plano, reta e pontos no R3
A partir da análise da Figura 3 conclui-se:
- O plano β contém os vértices E, F, G e H e a face FEGH do cubo.
- A reta s contém a aresta ̅̅̅ do cubo.
- Os pontos E, F, G, H, I, J, K e L são os vértices do cubo.
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Postulados
Postulados, ao contrário das proposições, são afirmações verdadeiras sem
necessidade de demonstração.
Vejamos alguns postulados:
1. Em uma reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos.
Figura 4 - Reta e pontos
Dessa forma, conclui-se que uma reta é formada a partir da união de infinitos
pontos, alinhados em uma determinada direção.
2. Por um ponto passam infinitas retas.
Figura 5
Na figura 5 tem-se o ponto A, passando por ele algumas retas. Por este único ponto
podem-se passar infinitas retas.
3. Dois pontos distintos determinam uma reta.
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Figura 6
APENAS uma reta passa por dois pontos distintos.
4. Em um plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos.
Figura 7
Na Figura 7 pode-se observar o plano β e alguns pontos. Destaca-se que alguns
desses pontos estão no plano e outros não.
Os pontos que estão no plano são: Q; R; V; U; T e S.
Os demais pontos, Z e W, estão fora do plano.
5. Toda reta que tem dois pontos distintos em um plano está inteiramente contida
nesse plano.
Figura 8
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Como os pontos U e V estão no plano, e a reta r passa por estes pontos, pode-se
afirmar que esta reta também está contida no plano.
TIPOS DE RETAS
Retas coplanares
Considerando duas restas, r e s. Se existir um plano que contenha r e s, dizemos
que essas retas são coplanares.
Figura 9
Na figura 9 observa-se que as retas r e s pertencem ao plano
coplanares.
Retas Concorrentes
As retas são concorrentes quando possuem um único ponto em comum.
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, logo, são
Figura 10
Na figura 10, este ponto está destacado na cor vermelha.
Retas paralelas
São retas não tem nenhum ponto em comum, jamais se tocam. Conforme a Figura
11, as retas r, s, t e u são paralelas.
Figura 11
Retas coincidentes
Esse tipo de reta ocorre quando TODOS os pontos de uma reta coincidem com os
pontos da outra.
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Figura 12
Na figura 12 pode-se observar que a reta r sobrepõe a reta s. Se elas se sobrepõem,
elas se coincidem.
Retas Transversais
Uma reta t é dita transversal quando concorre com r e s, ao mesmo tempo.
Figura 13
Quatro desses oito ângulos estão situados na região de plano limitada pelas retas r
e s e são chamados de ângulos internos. Os outros quatro são chamados de
ângulos externos.
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Na sequência tem se as representações gráficas dos ângulos.
Ângulos Internos
Figura 14
Na figura 14 observam-se os ângulos internos formados pela reta transversal.
Ângulos Externos
Figura 15
Considerando a relação entre esses ângulos, podemos nomeá-los da seguinte
maneira:
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Ângulos correspondentes: um deles é interno, o outro é externo, ambos estão do
mesmo lado em relação à reta transversal t e com vértices diferentes.
𝛼𝑒𝛽
Figura 16
Ângulos Alternos Internos: Ambos são internos, estão em lados opostos em
relação à reta transversal t e com vértices diferentes.
Figura 17
Ângulos Alternos Externos: Ambos são externos, estão em lados opostos em
relação à reta transversal t e com vértices diferentes.
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Figura 18
Ângulos Colaterais Internos: Ambos são internos, estão do mesmo lado em
relação à reta t e com vértices diferentes.
Figura 19
Ângulos Colaterais Externos: Ambos são externos, estão no mesmo lado, em
relação à reta t e com vértices diferentes.
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Figura 20
RETAS PARALELAS
Retas paralelas são retas que JAMAIS se cruzam. Na Figura 20 tem-se dois ares de
reta. Essas retas são paralelela? Interaja com o aplicativo e descubra !
Figura 21
Para verificar o paralelismo de duas retas, podemos traçar uma transversal t às retas
r e s e observarmos os ângulos formados.
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Se os dois ângulos correspondentes são congruentes, então as duas retas cortadas
pela transversal são paralelas e vice-versa.
Figura 22
Usando a simbologia, podemos escrever:
Se ̂
̂ , então r // s
A congruência entre dois ângulos correspondentes é uma condição suficiente para
que as retas sejam paralelas. Logo, podemos afirmar que essa condição trata-se de
um critério de paralelismo.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BONJORNO, J. R.; BONJORNO, R. A.; OLIVARES, Ayrton. Matemática: Fazendo a
diferença. São Paulo: FTD, 2006.
DANTE, L. R. Matemática. Vol. Único. São Paulo: Ática, 2005.
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