PNV2340 - Mecânica dos Meios Contı́nuos
Segunda Lista de Exercı́cios
1. Dado o campo de velocidade cujas componentes são vi =
uma partı́cula material em função do tempo.
Resp.: ρ =
kxi
1+kt ,
determine a densidade de
ρ0
(1+kt)3 .
2. Considere o movimento xi (X, t) = 1+t
k Xi , onde k é constante. Usando o princı́pio da
conservação de massa e a condição inicial ρ = ρ0 em t = 0, determine a expressão da
densidade ρ em função de ρ0 , t e k.
Resp.: ρ =
ρ0 k 3
(k+t)3 .
3. Escreva a equação da continuidade
∂ρ
∂t
+ div(ρ~v ) = 0 em coordenadas cilı́ndricas.
4. Verifique se os seguintes campos de velocidade de um escoamento incompressı́vel satisfazem
a equação da continuidade:
(a) ~v (x1 , x2 ) = −x1 e2~1 −x22 e~2 ; (b) ~v (x1 , x2 ) = −x√1 e~12−x22e~2
x1 +x2
(c) ~v (r, θ, z) = c(1 −
r2
),
R2
x1 +x2
onde c e R são constantes.
p
5. Dado o campo de velocidade: ~v = (ax1 − bx2 )e~1 + (bx1 + ax2 )e~2 + c x21 + x22 e~3 , onde a, b
e c são constantes, determine: (a) em que condição a equação da continuidade é satisfeita;
(b) em que condição o movimento é isocórico.
Resp.: (a) Somente se ρ = ρ0 e−2at . (b) Somente se a = 0.
∂
6. A equação da continuidade em sua forma material (ou diferencial lagrangeana) é ∂t
(ρJ) = 0,
onde J(X, t) é o jacobiano do movimento. Demonstre que ela é equivalente à equação da
continuidade em sua forma espacial (ou diferencial euleriana) ∂ρ
v ) = 0.
∂t + div(ρ~
7. O campo de velocidade entre duas placas paralelas ao plano de e~1 e e~3 e separadas entre si
por uma distância h é ~v (x2 ) = [ xh2 v0 − c xh2 (1 − xh2 )]e~1 para 0 < x2 < h, onde x2 é medido
perpendicular e a partir da placa de baixo, x1 é medido ao longo do comprimento das
placas e c e v0 são constantes. (a) Verifique se o campo de velocidade satisfaz a equação
da continuidade; (b) determine a vazão volumétrica entre as placas e (c) a velocidade
média.
Resp.: (b) Q = h6 (3v0 − c) por unidade de comprimento.


2 −1 3
0  M P a.
8. O estado das tensões em um certo ponto é dado pelo tensor [T]b = −1 4
3
0 −1
(a) Determine o campo de densidade de forças superficiais (ou campo vetorial de tensão)
em um ponto no plano cuja normal é ~n = 2e~1 + 2e~2 + e~3 . (b) Determine a magnitude das
tensões normal e de cisalhamento neste plano.
Resp.: (a) ~s = 53 e~1 + 2e~2 + 53 e~3 ; (b) t~n = 3M P a, t~c = 0.745M P a
1
9. Repita o exercı́cio anterior considerando que o ponto em questão pertença a um plano
paralelo ao plano x1 − 2x2 + 3x3 = 4.
Resp.: (a) ~s = 3.47e~1 − 2.41e2 ; (b) t~n = 2.21M P a, t~c = 3.60M P a
 2

βx2 βx2 0
0 0, onde β é constante. (a) Determine
10. Considere o tensor das tensões [T]b = βx2
0
0 0
e represente graficamente a distribuição de tensão no plano x1 = 0 limitado pelo quadrado
de vértices (0,1,1), (0,-1,1), (0,1,-1) e (0,-1,-1). (b) Encontre a força resultante e o momento
em relação à origem das tensões que atuam na região do ı́tem anterior.


β
βX3 0
0
0.
11. Refaça o exercı́cio anterior considerando o tensor das tensões [T]b = βX3
0
0
0
12. O estado das tensões em um certo ponto de um contı́nuo é dado pelo tensor T = −pI, onde
p é um escalar e I é o tensor identidade. (a) Mostre que não há tensão de cisalhamento
em nenhum plano que contenha este ponto. (b) Escreva como se reduz a equação local do
movimento para o caso geral em que p = p(x, t).
13. A distribuição de tensão em um corpo é dada pelas componentes do tensor de Cauchy
T(i=j) = −p0 + ρgx2 ; Ti6=j = 0, onde p0 e ρ são constantes. Considerando um cubo de
aresta a com um dos vértices na origem: (a) represente graficamente a distribuição de
tensões nas seis faces do cubo e (b) encontre a força resultante que age nas faces x1 = 0 e
x2 = 0.
Resp.: (b) F~(x1 =0) = p0 a2 e~2 ; F~(x2 =0) = (p0 a2 −
ρga3
2 )e~1 .
14. Na ausência de forças de corpo, verifique se os estados de tensões descritos pelos coeficientes
a seguir satisfazem as equações de equilı́brio:
(a) T11 = x22 + k(x21 + x22 ), T12 = −2kx1 x2 , T22 = x21 + k(x22 − x21 ), T13 = T23 = 0, T33 =
k(x21 + x22 ), onde k é uma constante.
(b) T11 = α(x1 + x2 ), T12 = T21 = α(2x1 − x2 ), T22 = α(x1 − 3x2 ), T33 = αx1 e os demais
Tij = 0, onde α é uma constante.
(c) T11 = α[x22 + k(x21 − x22 )], T22 = α[x21 + k(x22 − x21 )], T12 = T21 = −2αkx1 x2 , T33 =
αk(x21 + x22 ) e os demais Tij = 0, onde α e k são constantes.


x1 + x2
T12
0
x1 − 2x2 0 , determine T12 = T12 (x1 , x2 )
15. Dado o tensor de Cauchy [T]b =  T12
0
0
x2
para que o estado de tensões represente um corpo em equilı́brio sem a ação de forças de
corpo e de modo que o campo de tensões no plano x1 = 1 seja dado por ~s = (1 + x2 )e~1 +
(5 − x2 )e~2 .
Resp.: T12 = 2x1 − x2 + 3.


x2 −x3
0
0
−x2 , determine T33 de modo que o
16. Dado o tensor de Cauchy [T]b = α −x3
0
−x2 T33
estado de tensões satisfaça as equações de equilı́brio para um corpo sob ação de força de
corpo dada por ~b = −ρg e~3 , onde α e g são constantes.
Resp.: T33 = (1 + ρg/α)x3 + f (x1 , x2 ).
2
17. Na ausência de forças de corpo, a distribuição de tensões em um corpo em estado de
equilı́brio é dada por T11 = Ax2 , T12 = T21 = x1 , T22 = Bx1 + Cx2 , T33 = (T11 + T22 )/2
e os demais Tij = 0, onde A, B e C são constantes. Na superfı́cie do corpo definida pelo
plano x1 − x2 = 0 as tensões são nulas. Determine A, B e C.
Resp.: A = 1, B = 2 e C = −1.
18. Uma viga em balanço (comprimento L na direção de x1 , altura h em x2 e largura b em
x3 ) é presa por uma extremidade (em x1 = 0) e recebe uma carga pontual aplicada na
direção de e~2 na extremidade livre (em x1 = L) . O momento fletor em relação ao eixo de
e~3 é dado por M3 = −P x1 . A tensão normal na direção de e~1 é T11 = MI33x2 = − P xI13x2 ,
onde I3 é o momento de inércia da seção da viga em relação ao eixo de e~3 . Partindo destas
equações, use as equações de equilı́brio para um estado plano de tensões para determinar
T12 = T21 e T22 em função de x1 e x2 .
Resp.: T12 = T21 = − 2IP3 (h2 − x22 ); T22 = 0; onde I3 =
2bh3
3 .
19. Sejam ~s(m)
~ e ~s(~n) os campos vetoriais de tensão nos planos de normal m
~ e ~n que passam
pelo ponto P . Demonstre que se p~ é a normal que define um plano que contenha ambos
~s(m)
~ e ~s(~n), então ~s(~
p) é perpendicular a m
~ e ~n.


T11 T12 0
20. Em um estado plano de tensões o tensor de Cauchy é do tipo [T]b = T21 T22 0.
0
0 0
(a) Determine o valor e a direção das tensões principais. (b) Determine a máxima tensão
de cisalhamento.
21. O estado de tensões em que as únicas tensões não nulas são um par de tensões de cisalhamento é chamado de estado de cisalhamento simples. No caso em que T12 = T21 6= τ e
os demais Tij = 0, determine: (a) o valor e a direção das tensões principais; (b) a máxima
tensão de cisalhamento e o plano em que ela atua.
Resp.: (a) Para λ1 = τ , n~1 = √12 (e~1 + e~2 ); para λ2 = −τ , n~2 =
n~3 = e~3 . (b) (t~c )max = τ e ocorre nos planos ~n = e~1 e ~n = e~2 .
√1 (e~1 − e~2 );
2
para λ3 = 0,


1 4 0
22. Dado o tensor de Cauchy [T]b = 4 1 0 M P a, determine: (a) o campo de tensão no
0 0 1
plano de normal ~n = e~1 + e~2 ; (b) a tensão normal a este plano; (c) a magnitude da tensão
de cisalhamento; (d) a máxima tensão de cisalhamento e os planos onde ela ocorre.
3