Introdução à Geometria - 2007-2008
3a lista de exercı́cios
1) Em R3 considere o referencial R = (O; B) onde O = (1, 2, 3) e
B = (v1 , v2 , v3 ) com
v1 = (0, 1, 1), v2 = (0, 0, 1), v3 = (1, 1, 0).
Complete as afirmações seguintes:
A)
B)
C)
D)
E)
F)
O vector u tal que uB = (1, 2, 7) é o vector . . . . . .
Se u = (1, 2, 7) então uB = . . . . . .
O ponto P tal que PR = (1, 2, 7) é o ponto P = . . . . . .
Se P = (0, 0, 0) então PR = . . . . . .
O ponto P tal que PR = (0, 0, 0) é o ponto P = . . . . . .
Se o vector (1, 2, 7) é o vector de coordenadas de um ponto Q
em relação a R, então Q = . . . . . .
2) Considere em R3 o referencial R do exercı́cio anterior e F o plano
definido em relação a R pela equação x − z = 5. Diga quais das
seguintes afirmações são verdadeiras:
A) A origem do referencial R pertence a F.
B) O vector (1, 0, 1) pertence ao subespaço vectorial associado a
F.
C) O vector v tal que vB = (1, 0, 1) pertence ao subespaço vectorial
associado a F.
D) O ponto O + v1 + v3 pertence a F.
E) O ponto P tal que PR = (1, 0, 1) pertence a F.
F) O ponto Q = (6, 01) pertence a F.
G) O ponto P tal que PR = (6, 7, 1) pertence a F.
H) O plano definido, em relação a R, pela equação x + y + z = 3
é paralelo a F.
3) Em R3 determine as equacões cartesianas, paramétricas e vectoriais
de:
a) a recta n que passa pelos pontos P = (−5, 6, 1), Q = (3, 3, 0).
b) a√recta r definida pelo ponto P = (−5, 6, 2) e pelo vector v =
(π, 2, −3).
c) um plano que contenha os pontos (1, 0, 0), (0, 2, 1), (3, 3, 3).
1
2
4) Em R2 considere a recta m que passa pelos pontos (−1, 4) e (5, −14).
Determine um referencial R em R2 tal que em relação a esse referencial a recta m seja definida pela equação cartesiana y = 0. Esse
referencial é único?
5) Seja A um espaço afim de dimensão n ≥ 2 sobre um corpo K.
Demonstre as seguintes proposições:
Proposição 1 Sejam F um m-plano de A. Dado um ponto P ∈ A,
existe um e um só m-plano G a passar por P e paralelo a F.
Proposição 2 Sejam r uma recta e H um hiperplano de A. Se
r ∩ H = ∅ então r é paralela a H.
6) Será possı́vel generalizar a proposição 2, substituindo hiperplano
por subespaço afim de dimensão arbitrária?
7) Diga quais das seguintes expressões fazem sentido e que significado
têm, sendo P, Q, R pontos de um espaço afim real ou complexo:
−→
a) P + (2 + i)P Q b) −(1 + i)P + (2 + i)Q
c) 12 P + 31 Q + 16 R
e) P + Q + R
g) 2P − Q
d) 21 P + 13 Q + 56 R
f) 31 P + 31 Q + 13 R
h) 2P + Q
8) Em R3 determine o subespaço afim F gerado pelos pontos P1 =
(−1, −2, 0), P2 = (0, 1, 1), P3 = (−1, 0, 1), P4 = (1, 0, 0) e diga qual
a sua dimensão.
9) Considere os pontos P0 = (0, 1, 2), P1 = (1, 0, 0) de R3 e determine
se existirem pontos P2 e P3 de R3 de forma a que o conjunto ordenado {P0 , P1 , P2 , P3 } seja um referencial de R3 .
10) Considere em R3 a famı́lia de rectas rt , (t ∈ R) tais que
rt := (t2 + 1, t, 1)+ < (t2 , t, 1) >
e a famı́lia de planos Hs , (s ∈ R) definidos pelas equações cartesianas
x + sy = 3.
a) Determine, para cada s, uma equação vectorial de Hs e para cada
t um sistema de equações cartesianas que defina rt .
b) Determine, se existirem, os pares (s, t) tais que rt é paralela a
Hs .
c) Diga, justificando, se existe algum plano em R3 que contenha as
rectas r0 e r−2 .
3
d) Diga, justificando, se existe algum plano em R3 que contenha
todas as rectas rt .
11) Diga, justificando, se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
Dados uma recta e um plano de R3 , existe sempre um
( referencial
x=0
em relação ao qual a recta é definida pelas equações
eo
y=0
plano pela equação z = 0.
12) Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
1) Em R2 duas rectas distintas que não se intersectem são paralelas.
2) Em R3 duas rectas distintas que não se intersectem são paralelas.
3) Em R2 por três pontos distintos não passa nenhuma recta.
4) O subespaço afim gerado por duas rectas em Rn tem no máximo
dimensão 3.
5) Se o subespaço afim gerado por duas rectas distintas em Rn tem
dimensão 2, então as duas rectas ou são paralelas ou são concorrentes.
6) Dada uma recta r em R2 , existe um referencial em relação ao
qual a recta tem equação cartesiana x = 0.
7) Dada uma recta r em Rn , existe um referencial em relação ao
qual a recta tem equações cartesianas x1 = 0,..., xn−1 = 0.
8) Em Rn uma recta e um hiperplano ou são paralelos ou a sua
intersecção é um ponto.
9) Em Rn por um ponto passa um único plano paralelo a um plano
dado.
10) Em Rn por um ponto passa um único plano paralelo a um 3plano dado.
11) Em R3 a intersecção de dois planos distintos ou é vazia ou é
uma recta.
12) Em R5 a intersecção de dois planos distintos ou é vazia ou é
uma recta.
13) Em R5 dois planos que não se intersectem são necessáriamente
paralelos.
14) Em Cn o subespaço afim gerado por dois planos tem dimensão
no máximo 5.
15) Em Rn o subespaço afim gerado por dois planos paralelos tem
dimensão no máximo 3.
4
16) O subespaço afim gerado por duas rectas tem no máximo dimensão 2.
17) O subespaço afim gerado por um m-plano e um k-plano tem no
máximo dimensão m + k + 1.
18) Dados dois 4-planos em R8 existe sempre uma recta paralela a
ambos os 4- planos.
19) Dados dois 4-planos em C6 existe sempre uma recta paralela a
ambos os planos.
13) Seja A um espaço afim de dimensão 2 sobre um corpo K qualquer.
Demonstre o Teorema de Tales:
Sejam H1 , H2 , H3 três rectas paralelas distintas e sejam l, m duas
rectas não paralelas a H1 , H2 , H3 . Sendo, para i = 1, 2, 3, Pi = l∩Hi
−−→
−−→
e Qi = m ∩ Hi , então os escalares α e β, tais que P1 P3 = αP1 P2 e
−−−→
−−−→
Q1 Q3 = β Q1 Q2 , são iguais.
P1 l
P2 P3 A
A
AQ1
A
A
A Q2
A
A
A
A
A Q3
A
A
A
A
m
H1
H2
H3