Lista de exercícios: Trigonometria – Parte 02 – Profº Fernandinho
01.(Unesp) A temperatura, em graus Celsius (C), de uma câmara frigorífica, durante um dia completo, das
𝜋.𝑡
𝜋.𝑡
0 hora às 24 horas, é dada aproximadamente pela função: 𝑓 (𝑡) = cos ( 12 ) − 𝑐𝑜𝑠 ( 6 ), 0  t  24, com t em
horas. Determine a temperatura da câmara frigorífica às 2 horas e às 9 horas. (Use √2 = 1,4 e √3 = 1,7).
02.(GV) A previsão de vendas mensais de uma empresa para 2015, em toneladas de um produto, é dada por
𝜋.𝑥
𝑓 (𝑥 ) = 100 + 0,5. 𝑥 + 3. 𝑠𝑒𝑛 ( 6 ), em que x = 1 corresponde a janeiro de 2015, x = 2 corresponde a fevereiro
de 2015 e assim por diante. Qual é a previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro trimestre de 2015? (Use
a aproximação decimal √3 = 1,7).
03.(Unesp) A figura abaixo mostra a órbita elíptica de um satélite S em torno do planeta Terra. Na elipse estão
assinalados dois pontos: o ponto A (apogeu), que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra, e o
ponto P (perigeu), que é o ponto da órbita mais próximo do centro da Terra. O ponto O indica o centro da Terra
e o ângulo 𝑃𝑂̂𝑆 tem medida , com 0    360. A altura h, em km, do satélite à superfície da Terra,
7980
dependendo do ângulo , é dada aproximadamente pele função: ℎ = 100. (− 64 + 100 + 5.cos 𝛼). Determine:
a) A altura h do satélite quando este se encontra no perigeu e também quando se encontra no apogeu.
b) Os valores de , quando a altura h do satélite é de 1580 km.
𝜋
04.(Unifesp) A função 𝐷 (𝑡) = 12 + 1,6. 𝑐𝑜𝑠 [180 . (𝑡 + 10)] fornece uma aproximação da duração do dia
(diferença em horas entre o horário do pôr do sol e o horário do nascer do sol) numa cidade do Sul do país, no
dia t de 2015. A variável inteira t, que representa o dia, varia de 1 a 365, sendo t = 1 correspondente ao dia 01
de janeiro e t = 365 corresponde ao dia 31 de dezembro. O ângulo da função cosseno é medido em radianos.
Com base nessa função, determine a duração do dia 19 de fevereiro de 2015, expressando o resultado em horas
e minutos.
05.(Unesp) No hemocentro de um hospital, o número de doações de sangue tem variado periodicamente.
Admita que, neste hospital, no ano de 2014, este número, de janeiro (t = 0) a dezembro (t = 11), seja dado,
(𝑡−1).𝜋
aproximadamente, pela expressão 𝑆(𝑡) = 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 [ 6 ], com 𝛼 uma constante positiva, S(t) em milhares e t
em meses, 0  t  11. Determine:
a) A constante , sabendo que no mês de fevereiro houve 2 mil doações de sangue.
b) Em quais meses houve 3 mil doações de sangue?
06.(Unesp) Do solo, você observa um amigo numa roda gigante. A altura h em metros de seu amigo em relação
𝜋
ao solo é dada pela expressão ℎ(𝑡) = 11,5 − 10. 𝑠𝑒𝑛 [12 . (26 − 𝑡)], onde o tempo t é dado em segundos e a
medida angular em radianos. Determine a altura em que seu amigo estava quando a roda começou a girar (t =
0).
07.(Ufscar) O número de turistas de uma cidade, no período de janeiro de 2010 a dezembro de 2011, pode ser
𝜋.𝑥
modelado pela função 𝑓 (𝑥 ) = 2,1 + 1,6. 𝑠𝑒𝑛 ( 6 ), onde x representa o mês do ano (1 para janeiro de 2010, 2
para fevereiro de 2010, 3 para março de 2010, e assim por diante até 24 para dezembro de 2011) e f(x) o
número de turistas no mês x (em milhares).
a) Qual é o número de turistas na cidade em maio de 2010?
b) Quais os meses em que a cidade recebe 1300 turistas?
08.(Unesp) Uma equipe de mergulhadores, dentre eles um estudante de ciências exatas, observou o fenômeno
das marés em determinado ponto da costa brasileira e concluiu que o mesmo era periódico e podia ser
𝜋.𝑡
5𝜋
aproximado pela expressão 𝑃 (𝑡) = 10,5 + 2. 𝑐𝑜𝑠 ( 6 + 4 ) , onde t é o tempo (em horas) decorrido após o
início da observação (t = 0) e P (t) é a profundidade da água (em metros) no instante t. Determine quantas horas
após o início a profundidade nesse ponto da costa brasileira chegou a 12,5 metros.
09.(Unesp) Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura (em C) do solo em uma determinada
região, durante três dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita às 0 hora da
manhã do primeiro dia (t = 0) e terminou 72 horas depois (t = 72). Os dados puderam ser aproximados pela
𝜋.𝑡
3𝜋
função trigonométrica 𝐻 (𝑡) = 15 + 5. 𝑠𝑒𝑛 ( + ), onde t indica o tempo (em horas) decorrido após o início
12
2
da observação e H (t) a temperatura (em C) no instante t. Determine os horários, após o início da coleta de
dados, que a temperatura atingiu 20°𝐶.
10..(GV) Em certa cidade litorânea, verificou-se que a altura da água do mar em um certo ponto era dada por
𝜋.𝑥
𝑓 (𝑥 ) = 4 + 3. 𝑐𝑜𝑠 ( 6 ) em que x representa o número de horas decorridas a partir de zero hora de determinado
dia, e a altura f(x) é medida em metros. Em que instantes, entre 0 e 30 horas, a maré atingiu a altura de 2,5
metros?
11.(Unesp) Em uma pequena cidade, um matemático modelou a quantidade de lixo doméstico total (orgânico e
reciclável) produzida pela população, mês a mês, durante um ano, através da função
𝜋.𝑥
4𝜋
𝑓 (𝑥 ) = 200 + (𝑥 + 50). 𝑐𝑜𝑠 ( 3 − 3 ), onde f(x) indica a quantidade de lixo, em toneladas, produzida na
cidade no mês x, com 1 ≤ x ≤ 12, x inteiro e positivo. Sabendo que f(x), nesse período, atinge seu valor máximo
𝜋.𝑥
4𝜋
em um dos valores de x no qual a função 𝑐𝑜𝑠 ( 3 − 3 ) atinge seu máximo, determine o mês x para o qual a
produção de lixo foi máxima e quantas toneladas de lixo foram produzidas pela população nesse mês.
12.(Unesp) Há famílias que sobrevivem trabalhando na coleta de material para reciclagem, principalmente em
cidades turísticas. Numa tal cidade, uma família trabalha diariamente na coleta de latas de alumínio. A
quantidade (em quilogramas) que essa família coleta por dia varia, aumentando em finais de semana e feriados.
Um matemático observou a quantidade de alumínio coletada por essa família durante dez dias consecutivos e
𝜋.𝑥
2𝜋
modelou essa situação através da função 𝑓 (𝑥 ) = 10 + (𝑥 + 1). 𝑐𝑜𝑠 ( 3 − 3 ), onde f(x) indica a quantidade de
alumínio, em quilogramas, coletada pela família no dia x, com 1 ≤ x ≤ 10, x inteiro e positivo. Sabendo que
𝜋.𝑥
2𝜋
f(x), nesse período, atinge seu valor máximo em um dos valores de x no qual a função cos ( 3 − 3 ) atinge seu
máximo, determine o valor de x para o qual a quantidade coletada nesse período foi máxima e quantos quilos de
alumínio foram coletados pela família nesse dia.
13.(Anglo) Calcule o valor de sen 15º + cos 15°.
14.(Mack) Determine o valor da expressão y = sen 55º.cos 35° + sen 35°. cos 55º.
𝜋
15.(Anglo) Qual é o valor da expressão E = 𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝑥 ) + 𝑐𝑜𝑠 (2 − 𝑥), para qualquer valor de x?
16.(Fuvest) Simplifique a expressão y = sen (150º + a) + sen (150°– a).
17.(Unesp) Seja x um arco do primeiro quadrante e y um arco do segundo quadrante, tal que cos x = 0,8 e
sen y = 0,6. Qual é o valor de sen (x + y).
1
𝜋
𝜋
18.(Anglo) Sendo 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 4 e 2 < 𝑥 < 𝜋, calcule o valor de 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 − 3 ).
2
19.(Anglo) Sendo 𝑠𝑒𝑛 𝑎 = 3, cos 𝑏 =
20.(Unicamp) Se x – y =
2𝜋
3
√3
,
2
0<𝑎<
𝜋
e0<𝑏<
2
𝜋
2
, calcule o valor de cos(𝑎 + 𝑏).
, calcular o valor da expressão 𝐸 = (cos 𝑥 − cos 𝑦)2 + (𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑦)2 .
21.(Unesp) Sejam os ângulos a e b, tais que a = 2b. Se vale a relação (cos 𝑎 + cos 𝑏 )2 + (𝑠𝑒𝑛 𝑎 + 𝑠𝑒𝑛 𝑏)2 =
3, e sabendo-se que 0 < 𝑎 < 𝜋 𝑒 0 < 𝑏 < 𝜋, determine o valor de a e b.
𝜋
𝜋
5
5
22.(Unifesp) Resolver em ℝ a equação: 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . cos + cos 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛
𝜋
= 1.
1
23.(Fuvest) Sejam x e y números reais positivos tais que x + y = 2 . Sabendo-se que 𝑠𝑒𝑛(𝑦 − 𝑥 ) = 3, calcule o
valor de 𝑡𝑔2 𝑦 − 𝑡𝑔2 𝑥.
24.(Unicamp) Uma ponte levadiça, com 50 metros de comprimento, estende-se sobre um rio. Para dar
passagem a algumas embarcações, pode-se abrir a ponte a partir de seu centro, criando um vão AB, conforme
mostra a figura abaixo. Considerando que os pontos A e B têm alturas iguais, não importando a posição da
ponte e
que 𝛼 = 75°, quanto mede AB? (Utilize para cálculos √6 = 2,45 𝑒 √2 = 1,41).
̂ são ângulos retos, BC = x, CD = 2x, AD =
25.(GV) No quadrilátero ABCD mostrado na figura abaixo, 𝐵̂ 𝑒 𝐷
3x e 𝐴̂ = 𝜃. Determine:
a) o comprimento dos segmentos AC e AB em função de x.
b) o valor de 𝑠𝑒𝑛 𝜃.
Gabarito:
ℎ = 1200 𝑘𝑚
ℎ = 2000 𝑘𝑚
𝑏) 𝛼 = 90° 𝑒 𝛼 = 270°
01.
𝑓(2) = 0,35°𝐶
𝑓(9) = −0,7°𝐶
02. Previsão = 310,05 ton.
03.
05.
𝑎) 𝛼 = 3
𝑏) 𝑀𝑎𝑖𝑜 𝑒 𝑁𝑜𝑣𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜
06. h = 6,5 metros
07.
08. t = 4,5h
09. t = 12, t = 36 e t = 60
10. t = 4, t = 8, t = 16, t = 20 e t = 28
11. x = 10 e 260 ton.
12. x = 8 e 19 kg
13.
15. E = 0
16. y = cos a
17. 0
20. E = 3
21. 𝑎 =
19.
√15−2
6
22. 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ⁄𝑥 =
3𝜋
10
+ ℎ. 2𝜋, ℎ ∈ ℤ}
𝑎) 𝐴𝐶 = 𝑥√13 𝑒 𝐴𝐵 = 2𝑥√3
25.
𝑏) 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
4√3+3
13
23.
𝑎)
04. Duração = 12h48
𝑎) 2900 𝑡𝑢𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠
𝑗𝑢𝑙ℎ𝑜 𝑒 𝑛𝑜𝑣𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝑑𝑒 2010
𝑏)
𝑗𝑢𝑙ℎ𝑜 𝑒 𝑛𝑜𝑣𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝑑𝑒 2011
√6
2
3
2
14. y = 1
18.
2𝜋
3
𝑒𝑏=
√3− √15
8
𝜋
3
24. 37 metros