Processos Estocásticos aplicados à
Computação
Lista de Exercı́cios
Universidade Federal do Espı́rito Santo
Professor: Magnos Martinello
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Lista de Exercicios
1) Considere dois dados (cada um com seis faces). Defina o evento A como sendo ”os dois
dados são pares”e o evento B como sendo ”a soma dos dados é menor que 7”. Responda:
• Determine o espaço amostral (os possı́veis resultados do experimento aleatório).
• Enumere o conjunto de elementos que formam o evento A.
• Enumere o conjunto de elementos que formam o evento B.
• Qual é a probabilidade do evento A ocorrer ?
• Qual é a probabilidade do evento B ocorrer ?
• O evento A e B são mutuamente exclusivos ? Mostre sua resposta.
• Dado o evento A, qual é a probabilidade do evento B ocorrer ? (dica: utilizar
probabilidade condicional ).
• A probabilidade condicional calculada no item anterior (P [A|B]) é maior, igual ou
menor que a probabilidade do evento A ocorrer? Por que ? Este resultado sempre
ocorre ou depende dos eventos A e B ? Justifique sua resposta.
2) Seja um dado honesto com 6 faces. Se ao jogar o dado lhe informam que o resultado
é um número maior do que 4, qual é a probabilidade do resultado ser 6 ?
3) Qual é a probabilidade condicional que o primeiro dado seja 6, dado que o evento
denotando a soma de dois dados jogados sequencialmente é 7 ?
4) Uma mensagem é enviada entre dois hosts A e B. Entre os hosts A e B, a comunicação é feita por dois comutadores C1 e C2. Assumindo que a probabilidade de C1 estar
funcionando é de 0.9 e C2 é 0.8, qual é a probabilidade do comutador C2 não estar funcionando, dado que a mensagem não atingiu seu destino ? Dica: P[ mensagem não chegar,
[A]
, P [B] = P [B|A]P [A]+P [B|Ac ]P [Ac ],
dado que C2 não funciona ] = 1, P [A|B] = P [B|A]P
P [B]
c
A denota o complemento de A.
5) Considere que o número de mensagens que chegam em um sistema em um intervalo
t possui distribuição Poisson com parâmetro λ = 3. Calcule a probabilidade dos seguintes
eventos:
a) Exatamente 3 mensagens chegarem em um intervalo de 10 segundos.
b) No máximo 20 mensagens chegarem em um perı́odo de 20 segundos .
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c) O número de chegadas de mensagens em um intervalo de 5s ser entre 3 e 7
6) Um porcento das falhas que ocorrem em um sistema precisam de uma pessoa para
reparar, ao passo que 99% são resolvidas com um reboot. Encontre a probabilidade de
não haver nenhuma falha que precise de uma pessoa em um conjunto de 200 falhas.
7) Um fabricante produz placas de memória de computador, das quais 1% possuem
defeito. Calcule a probabilidade de não haver nenhuma placa defeituosa em um conjunto
de 100 placas. Calcule a diferença entre o resultado encontrado e o resultado obtido caso
fosse usado a variável aleatória de Poisson para encontrar a probabilidade anterior.
8) Considere um sistema RAID, onde discos redundantes são usados para aumentar a
confiabilidade do sistema de armazenamento. Assumir que o sistema está em operação se
ao menos 1 disco estiver funcionando. Seja p a probabilidade de um disco falhar. Supondo
que os discos são indênticos e as falhas ocorrem de maneira independente, responda:
• Qual é a confiabilidade (probabilidade do sistema estar em operação ) de um sistema
RAID com 2 discos ? Mostre o resultado.
• Qual é a confiabilidade (probabilidade do sistema estar em operação ) de um sistema
RAID com k discos ? Mostre o resultado.
• Considere que o fabricante dos discos estabeleceu que p = 10−2 . Seu cliente gostaria
de comprar um sistema de armazenamento cuja confiabilidade seja no mı́nimo
0.99999. Qual é o número mı́nimo de discos que o sistema RAID precisa ter para
garantir as exigências do cliente ? Mostre o resultado.
9) Considere um sistema no qual componentes redundantes são usados de algum
modo para aumentar a confiabilidade do sistema. Seja Xi a variável aleatória tal que
P [Xi = 1] = pi = 1 − P [Xi = 0]. O valor de pi denota a probabilidade do componente
i estar funcionando, sendo chamada de confiabilidade do componente i. Supondo que
os componentes sejam idênticos pi = p e as falhas ocorrem de maneira independente,
responda:
• O sistema está estruturado de acordo com a Figura 1. Qual é a confiabilidade do
sistema ?
• Considere que o fabricante dos componentes estabeleceu que p = 0.9. Seu cliente
gostaria de comprar um sistema de comunicação cuja confiabilidade seja no mı́nimo
0.9999. Qual é o número mı́nimo de componentes que o sistema precisa ter para
garantir as exigências do cliente, supondo :
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Figura 1: Configuração do Sistema
a) Um sistema que para estar funcionando precisa de apenas 1 componente em
n.
b) Um sistema que para estar funcionando precisa de todos os n componentes
em n.
• Se o sistema precisa de ao menos 2 componentes funcionando em um total de 4,
qual é a confiabilidade neste caso ?
10) Um número x é escolhido ao acaso no intervalo [−1, 1], de modo que a distribuição
de X é uniforme neste intervalo, obtenha:
a) P [−1/2 < X < 0]
b) E[X]
c) V ar[X] = E[X 2 ] − (E[X])2
11) Considere que o número de requisições que chegam em um servidor segue a distribuição de Poisson
i
P [X = i] = eλ λi! com parâmetro λ. Supondo que em média duzentas (200) requisições
chegam por hora, calcule:
a) A probabilidade de ocorrer ao menos 1 chegada durante o primeiro minuto.
b) A probabilidade de não ocorrer chegadas durante os primeiros 5 minutos.
c) Obtenha o valor esperado E[X] para a Variável Aleatória de Poisson.
12) Seja a função densidade de probabilidade da variável aleatória X, f (x) = λe−λx se
0 < x < ∞ e f (x) = 0 se x < 0, então:
a) Encontre a distribuição cumulativa de probabilidade (cdf) F (x) = P [X ≤ x].
b) Calcule a probabilidade F (x) = P [X > 20], para λ = 2.
c) Qual é o valor esperado da variável aleatória X, E[X] ?
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