Medidas Estatísticas
Medidas
Estatísticas
Posição
Variação
Média
Amplitude
Mediana
Desvio médio
Moda
Variância
Desvio Padrão
Forma
Assimetri
a
Outras
Coeficiente
de variação
Distância
Interquartil
Medidas Estatísticas
Posição
(Tendência Central)
Variação
(Dispersão)
Forma
Quem está com a razão?
$4.000,00
$700,00
... Empregados reclamam
que, na maioria, recebem
apenas $200,00 por mês.
$500,00
$300,00
$200,00
... Presidente diz
que, em média, eles
recebem $700,00!
Notação
Medida
Média
Desv. Padrão
Amostra
População
`X
m
S
s
Variância
S
Tamanho
n
2
s
N
2
Medidas de Posição
(Tendência Central)
Medidas
Estatísticas
Posição
Variação
Média
Amplitude
Mediana
Desvio médio
Moda
Variância
Desvio Padrão
Forma
Assimetri
a
Outras
Coeficiente
de variação
Distância
Interquartil
Média

Uma das medidas mais utilizadas para
representar uma distribuição de dados

Reflete um ponto de equilíbrio

Influenciada por valores extremos

Só deve ser utilizada em distribuições:
Não heterogêneas
Simétricas ou levemente assimétricas
Média
População
N
m=
 Xi
i =1
=
X1 + X 2 + L + X N
N
Amostra
X =
N
n
xi
i =1
n
=
x1+ x
2
+L+ x
n
n
Exemplo

Dados: 10 4
8
11
6
7
n
X =
=
 Xi
i =1
n
=
X1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6
6
10 + 4 + 8 + 11 + 6 + 7
= 7,67
6
Medidas
Estatísticas
Posição
Variação
Média
Amplitude
Mediana
Desvio médio
Moda
Variância
Desvio Padrão
Forma
Assimetri
a
Outras
Coeficiente
de variação
Distância
Interquartil
Mediana
 Valor que divide a distribuição em duas partes iguais

Se o  de obs. for ímpar, a mediana será a obs. que
ocupa a posição central

Se o  de obs. for par, a mediana será a média dos dois
valores centrais
 Não é influenciada por valores extremos
Mediana: Método de Cálculo
1.
Ordenar a série de valores
2.
Determinar a posição da mediana
n +1
Se n é ímpar:
2
Se n é par:
n
2
e n +1
2
O valor da mediana é o valor da variável relativo à
posição encontrada
Mediana: Exemplo 1



Dados:
24
Ordenar: 21
Posição: 1
Posição
Mediana= 22
22
22
2
21
22
3
23
23
4
22
24
5
n +1 5 +1
=
=
=3
2
2
Mediana: Exemplo 2



Dados: 10
Ordenar: 4
Posição: 1
4
6
2
8
7
3
11
8
4
6
10
5
Posição1 = n = 6 = 3
2
2
n
6
Posição2 = + 1 = +1 = 4
2
2
7 + 8
Mediana =
=7 ,5
2
7
11
6
Medidas
Estatísticas
Posição
Variação
Média
Amplitude
Mediana
Desvio médio
Moda
Variância
Desvio Padrão
Forma
Assimetri
a
Outras
Coeficiente
de variação
Distância
Interquartil
Moda
 Valor mais freqüente
 Não é afetada por valores extremos
 Pode haver mais de uma moda
 Pode ser utilizada para dados qualitativos e
quantitativos
Uso do Cinto de Segurança
500
Moda = ‘SEMPRE’
499
400
300
200
124
115
Algumas
vezes
Nunca
100
0
Sempre
Resumo das Medidas de Posição
Medida
Equação
Média
S Xi / n
Ponto de equilíbrio
( n +1) Posição
2
-
Valor central
quando ordenado
Mediana
Moda
Descrição
Mais freqüente
Medidas de Variação
Medidas
Estatísticas
Posição
Variação
Média
Amplitude
Mediana
Desvio médio
Moda
Variância
Desvio Padrão
Forma
Assimetri
a
Outras
Coeficiente
de variação
Distância
Interquartil
Amplitude
 Diferença entre a maior e a menor observação
 Ignora como os dados estão distribuídos
Amplitude = Xmáx - xmín
7 8 9 10
7 8 9 10
Medidas
Estatísticas
Posição
Variação
Média
Amplitude
Mediana
Desvio médio
Moda
Variância
Desvio Padrão
Forma
Assimetri
a
Outras
Coeficiente
de variação
Distância
Interquartil
Desvio Médio
Indica o desvio das observações em
relação à média da distribuição
m
DM =

| `X
i
-X
i=1
S fi
|
fi
Medidas
Estatísticas
Posição
Variação
Média
Amplitude
Mediana
Desvio médio
Moda
Variância
Desvio Padrão
Forma
Assimetri
a
Outras
Coeficiente
de variação
Distância
Interquartil
Variância & Desvio Padrão
 Medidas mais comuns de variação absoluta
 Indica como os dados estão distribuídos em
torno da média
` X = 8,3
4
6
8 10 12
Variância da Amostra
Fórmula
n
S =
2
=
( X - X )2
 i
i =1
n -1
n - 1 no denominador!
(Use N no caso de
Variância da População)
( X - X )2 + ( X - X )2 + L + ( X - X )2
1
2
n
n -1
Desvio Padrão
Fórmula
S=
S
2
n
=
=

i =1
(X
(X i
2
)
-X
n -1
1
2
)
(
X
+ X
2
2
(
)
)
+ L + Xn - X
2 - X
n -1
Variância
Exemplo

Dados:
(
 X
S =
S =
2
i =1
(
)
-X
i
n -1
10 - 8
= 6,8
4
8
11
6
9
6
2
n
2
10
onde
X =
) +( 4 -8 )
2
2
6 -1
 Xi
i =1
6
(
+L+
=8
9-8
)
2
Medida de Forma
Medidas
Estatísticas
Posição
Variação
Média
Amplitude
Mediana
Desvio médio
Moda
Variância
Desvio Padrão
Forma
Assimetri
a
Outras
Coeficiente
de variação
Distância
Interquartil
Forma
 Descreve a forma da distribuição
 Medida pelo coeficiente de assimetria
Assimetria negativa
Simétrica
Assimetria positiva
Média Mediana Moda Média = Mediana = Moda Moda Mediana Média
Outras Medidas
Medidas
Estatísticas
Posição
Variação
Média
Amplitude
Mediana
Desvio médio
Moda
Variância
Desvio Padrão
Forma
Assimetri
a
Outras
Coeficiente
de variação
Distância
Interquartil
Coeficiente de Variação

Medida relativa de variação

Indica se a distribuição é heterogênea ou
homogênea

Mede a dispersão dos dados em relação à
média
CV =
Desvio Padrão
Média
Se o Coeficiente de
Variação for menor do que
20%, a amostra é
considerada homogênea
Quartis & Box Plots
Quartis
 Medidas de posição
 Separa os dados ordenados em 4 partes iguais
25%
25%
Q1
25%
Q2
25%
Q3
Posição o i-ésimo Quartil = i . ( n + 1 )
4
Quartil (Q1): Exemplo



Dados:
10
Ordenados:4
Posição: 1
4
6
2
8
7
3
11
8
4
6
10
5
7
11
6
1  (n+ 1) 1  (6+ 1)
Q 1 Posição =
.
=
= 175
@2
4
4
Q1 = 6
Quartil (Q2): Exemplo



Dados:
10
Ordenados:4
Posição: 1
4
6
2
8
7
3
11
8
4
6
10
5
2  (n+ 1) 2  (6+ 1)
Q 2 Posição =
=
= 3.5
4
4
7 +8
Q2 =
= 7.5
2
7
11
6
Quartil (Q3): Exemplo



Dados:
10
Ordenados: 4
Posição:
1
4
6
2
8
7
3
11
8
4
6
10
5
7
11
6
3  (n+ 1) 3  (6+ 1)
Q 3 Posição =
=
= 5.25 @ 5
4
4
Q 3 = 10
Medidas
Estatísticas
Posição
Variação
Média
Amplitude
Mediana
Desvio médio
Moda
Variância
Desvio Padrão
Forma
Assimetri
a
Outras
Coeficiente
de variação
Distância
Interquartil
Distância Interquartil

Medida de dispersão

Diferença entre o 3º & o 1º quartis

Não é afetado por valores extremos
Distância Interquartil
=Q3- Q
1
Box Plot
 Apresenta a dispersão dos dados usando 5
números resumo
X mín
4
Q1
6
Mediana Q 3
8
10
X máx
12
Outlier

Observação discrepante
Distância Interquartil (d)
Q1
OUTLIER
*
4
Q3
1,5 d
6
OUTLIER
*
1,5 d
8
10
12
Forma & Box Plot
Assimetria
negativa
Q 1 Mediana Q 3
Assimetria
positiva
Simétrico
Q 1 Mediana
Q3
Q 1 Mediana Q 3
Medidas de Variação:
Resumo
Medida
Amplitude
Intervalo Quartílico
Fórmula
X maior
- X menor
Q3 - Q1
Desvio Padrão
(Amostra)
 (X
Variância
(Amostra)
S (X i - `X )2
Desvio Médio
i
- X)
n -1
n-1
S Xi - X
n
Coeficiente de
Variação
Descrição
s
X
Variação dos dados
Variação dos 50% centrais
2
Dispersão em torno da
Média da Amostra
Dispersão quadrática em
torno da média da amostra
Dispersão em torno da
Média Amostral
Medida relativa de variação