Microeconomia II
Cursos de Economia e de Matemática
Aplicada à Economia e Gestão
AULA 1.1
Descrição de Jogos não-cooperativos (forma
normal)
Isabel Mendes
2007-2008
1.1 Descrição de Jogos Não-Cooperativos: forma normal
1. Teoria dos Jogos: definição e contexto histórico
DEFINIÇÃO: é a ciência da estratégia; pretende determinar matemática e
logicamente as acções escolhidas pelos jogadores, de forma a que estes
obtenham o melhor resultado possível para si próprios, quando estes
resultados dependem das escolhas (estratégias) dos outros jogadores.
O conceito de JOGO aplica-se sempre em qualquer situação (matemática,
política, militar, económica, social, desportiva) em que haja interdependência
entre os agentes, independentemente de existirem ou não conflitos de
interesses.
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1.1 Descrição de Jogos Não-Cooperativos: forma normal
1. Teoria dos Jogos: definição e contexto histórico
Exemplo de jogo de conflito de interesses: jogos de soma nula → os
interesses dos jogadores estão totalmente em conflito ⇒ um só pode ganhar
à custa do prejuízo do outro;
Exemplo de jogo com pouco conflito de interesses: cartel → todos os
jogadores podem ganhar se se unirem.
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1.1 Descrição de Jogos Não-Cooperativos: forma normal
1. Teoria dos Jogos: definição e contexto histórico
CONTEXTO HISTÓRICO:
•
actualmente existe largo consenso quanto ao facto de se considerar que
a moderna Teoria dos Jogos terá começado em 1944 com o trabalho dos
matemáticos von Neumann e Morgenstern Theory of the Games and
Economic Behavior; mais tarde (1950-1953), John Nash definiu a
metodologia conceptual e de análise que até hoje vigora.
•
Todavia as ideias que subjazem à teoria dos jogos têm sido referidas ao
longo da história, desde os tempos bíblicos e aplicadas aos mais variados
contextos (sociais; militares; políticas; económicos; filosóficos; ...);
•
Algumas datas importantes:
) 0-500 DC: referências no Talmude para discutir o problema do contrato
do casamento;
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1.1 Descrição de Jogos Não-Cooperativos: forma normal
1. Teoria dos Jogos: definição e contexto histórico
CONTEXTO HISTÓRICO:
•
Algumas datas importantes (continuação):
) 1713: James Waldegrave descreve a primeira solução de equilíbrio
conhecida para um jogo de dois jogadores (Waldegrave solution), com
base na análise de um jogo de cartas chamdo le Herr;
) 1838: Augustin Cournot discute o caso especial do duopólio (duopólio
à Cournot) onde utiliza o conceito de equilíbrio que é uma versão restrita
do conceito de equilíbrio de Nash;
) 1881: 1º teorema da Teoria dos Jogos publicado por Ernst Zermelo,
definido com base no jogo de xadrez;
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1.1 Descrição de Jogos Não-Cooperativos: forma normal
1. Teoria dos Jogos: definição e contexto histórico
CONTEXTO HISTÓRICO:
•
Algumas datas importantes (continuação):
) 1921-27: Emile Boral é o autor da primeira formulação moderna da
estratégia mista;
) 1944: John von Neumann e Oscar Mongenstern ;
) 1950: A.W. Tucker descreve pela primeira vez o Jogo do Dilema do
Prisioneiro;
) 1950-1953: contribuições seminais de John Nash (equilíbrio de Nash).
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1.1 Descrição de Jogos Não-Cooperativos: forma normal
1. Teoria dos Jogos: definição e contexto histórico
CONTEXTO HISTÓRICO (conclusão):
•
Algumas aplicações da Teoria dos Jogos (década de 50):
) 1954: ciência política → teoria dos jogos usada para determinar o
poder dos membros do Conselho de Segurança das Nações Unidas;
) 1954-55:Rufus Isaacs aplicou a teoria para resolver jogos militares;
) 1955: a 1ª aplicação à filosofia: R.B. Braithwaite “Theory of Games as
a Tool for the Moral Philosopher”.
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1.1 Descrição de Jogos Não-Cooperativos: forma normal
2. Definição de um JOGO: estaremos na presença de um JOGO quando
existe uma situação em que os resultados de cada um dos participantes
dependem das escolhas feitas por todos;
Cada JOGO envolve os seguintes elementos (REGRAS DO JOGO):
- Jogadores, em número finito;
-
Cada jogador dispõe de um conjunto de estratégias
para jogar;
-
A cada estratégia está associado um resultado;
-
Os resultados têm uma utilidade diferente para cada
jogador → Pagamento;
- Os jogadores são racionais ⇒ escolherão as estratégias que dão
melhor Pagamento.
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1.1 Descrição de Jogos Não-Cooperativos: forma normal
3. Formalização de um Jogo com os elementos (N, S, P):
Onde:
N = {1,2,...n}
É o conjunto de jogadores, sendo n finito;
S ={S1 ×S2 ×...×Sn}
si ∈ Si
É o espaço de estratrégias do jogo, com Si = conjunto
de estratégias do jogador i;
Designa uma estratégia s do jogador i;
s = ( s1 ,s2 ,...,sn )
É um vector que designa o perfil de estratégias escolhidas
por todos os jogadores, tal que s ∈ S
Este vector também é designado por
(
s = si , s i
)
i
i
com:
- si = estratégia do jogador i;
-s
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i
= perfil de estratégias dos outros n -1 jogadores diferentes de i;
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1.1 Descrição de Jogos Não-Cooperativos: forma normal
3. Formalização de um Jogo com os elementos (N, S, P)
(continuação):
P(s) = { P(s),P(s),...,P(s)
}
1
2
n
É o vector das funções de pagamento
de todos os jogadores.
Os pagamentos podem ser apresentados na forma contínua ou na
forma discreta:
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1.1 Descrição de Jogos Não-Cooperativos: forma normal
3. Formalização de um Jogo com os elementos (N, S, P)
(continuaçao):
Forma contínua: é o caso, por exemplo, do Oligopólio à Cournot, onde os
jogadores são empresas, as estratégias são as quantidades a produzir e
vender, o objectivo é maximizar o lucro, e os pagamentos são as funções de
lucro, que dependem das quantidades e/ou preço:
π 1 ( q1 ,q2 ) = q1 p ( q1 ,q2 ) − CT1( q1 )
π 2 ( q1 ,q2 ) = q2 p ( q1 ,q2 ) − CT2 ( q2 )
Forma discreta: os pagamentos são valores.
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4. Classificação dos jogos quanto à forma de jogar
A solução dos jogos pode ser obtida com ou sem conflito:
Resolução sem conflito ⇒ concluio entre os jogadores e solução obtida
por comum acordo → JOGOS COOPERATIVOS (Ex: cartel - será dado
no capítulo da concorrência oligopolística);
Resolução com conflito ⇒ cada jogador joga isoladamente, escolhendo
a sua melhor estratégia, e “pondo-se na pele” dos seus adversários,
tentando adivinhar o que eles irão jogar → interdependência
estratégica → JOGOS Não-COOPERATIVOS.
Há dois tipos distintos de interdependência estratégica ou de JOGOS
Não-COOPERATIVOS: a simultânea e a sequencial ⇒ JOGOS
SIMULTÂNEOS E JOGOS SEQUENCIAIS.
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4. Classificação dos jogos quanto à forma de jogar
(continuação)
JOGOS SIMULTÂNEOS: os jogadores jogam em simultâneo,
exactamente no mesmo momento e não sabem o que os adversários
irão efectivamente jogar, ou seja não conseguem determinar as acções
efectivas dos adversários; no entanto todos os jogadores conhecem as
estratégias uns dos outros.
JOGOS SEQUENCIAIS: os jogadores jogam sequencialmente, cada um
tendo em consideração as acções do jogador anterior.
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1.1 Descrição de Jogos Não-Cooperativos: forma normal
5. Formas de representação dos jogos: forma normal e forma
de árvore
JOGOS SIMULTÂNEOS: são tradicionalmente apresentados na forma
normal, ou seja, os jogadores, estratégias e pagamentos, são
representados numa matriz. É com este formato que habitualmente se
estudam os equilíbrios em jogos simultâneos.
JOGOS SEQUENCIAIS: são tradicionalmente apresentados através de
uma árvore, que permite mostrar as jogadas e os pagamentos em
sequência. É com este formato que habitualmente se estudam os
equilíbrios em jogos sequenciais.
É, no entanto, possível representar um jogo simultâneo numa árvore e um
jogo sequencial numa matriz (aula prática).
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5. Formas de representação dos jogos: forma normal e forma de
árvore (continuação)
JOGOS NÃOCOOPERATIVOS, SIMULTÂNEOS, NA FORMA NORMAL:
¾ As linhas e as colunas da matriz representam as estratégias de cada
jogador;
¾ Os elementos (αi,j, βi,j) da matriz representam o par de pagamentos α e β
obtidos pelos dois jogadores pelo cruzamento da estratégia i em linha,
com a estratégia j em coluna.
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5. Formas de representação dos jogos: forma normal e forma de
árvore (continuação)
JOGOS NÃOCOOPERATIVOS, SIMULTÂNEOS, NA FORMA NORMAL (continuação):
EXEMPLO DE UMA MATRIZ DE PAGAMENTOS (aula prática):
JOG B
b1
a1
α11,β11
α12,β12
a2
α21,β21
α22,β22
JOG A
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5. Formas de representação dos jogos: forma normal e forma de
árvore (continuação)
JOGOS NÃOCOOPERATIVOS SEQUENCIAIS EM FORMA DE ÁRVORE (continuação):
EXEMPLO DE UMA ÁRVORE (aula prática):
JOG B
b1
a1
b2
JOG A
a2
JOG B
b1
b2
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(α11,β11)
(α12,β12)
(α21,β21)
(α22,β22)
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