TI-Ciências
TI-Ciências Abril 2002
Editorial
Vivemos num mundo em constante
mudança, movimento e crescimento. Estas
modificações criam em nós, a necessidade
de conhecer e compreender as velocidades
com as quais elas se produzem. No entanto,
estas velocidades não são uniformes, elas
alteram-se, por vezes bastante rapidamente,
em função de transformações produzidas
no próprio universo.
Há dezenas de séculos, que o Homem
tenta compreender as leis que regem o
universo. Cada geração aproveita todas
as descobertas científicas herdadas das
gerações precedentes e alarga este domínio
do conhecimento, através da junção das
suas próprias contribuições.
As extraordinárias descobertas realizadas
ao longo dos séculos, sobre as quais nos
falam os livros e que agora usamos com
um objectivo didáctico, não resultaram
somente de golpes de génios, mas de
pacientes esforços e reflexões daqueles
que as conceberam. No entanto deve-se
realçar que, ao longo dos tempos, a grande
maioria dos problemas práticos dos homens
sempre foram resolvidos com recurso aos
conhecimentos matemáticos da época.
Assim, a Matemática tem-se desenvolvido
com a civilização e tornou-se a chave de
quase todas as actividades dos homens
e é ela que nos dá uma ajuda preciosa
na vida quotidiana.
Índice
Editorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
A Parábola como Lugar Geométrico,
com o GeoMaster™ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Estudo de Assímptotas,
Usando a TI-83 Plus Silver Edition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–5
Estudo da Lei de Boyle-Mariotte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Programa VIP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Partilha de Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Calculadoras Autorizadas e Recomendadas
para o 3º Ciclo e Secundário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Bibliografia Disponível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
É essencialmente na relação entre da
Matemática com as outras ciências que
se encontram surpreendentes e eficazes
resultados, ao nível da modelação dos
fenómenos (naturais e sociais) que nos
rodeiam. É interessante observar que é raro
existir um desenvolvimento concomitante
dos conceitos em todas as ciências.
Contudo existe um espaço central onde
as diversas ciências se encontram com
a Matemática, dando origem a alguns
importantes momentos históricos e
privilegiados, nos quais o desenvolvimento
de processa de uma forma paralela.
Presentemente, nós vivemos um
desses momentos.
T3 – Teachers Teaching with Technology™ . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Programa de Empréstimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Isabel Cleto dos Santos
José Alberto Rodrigues
education.ti.com/portugal
T I Te c h n o l o g y Ð
Beyond Numbers
A Parábola como Lugar Geométrico,
com o GeoMaster™
Como se sabe, a parábola é, por definição, o lugar geométrico
dos pontos do plano que distam igualmente de uma recta e
de um ponto que não lhe pertença. Convencer um aluno
do 10º ano de que esta definição leva àquele ”desenho”
parabólico não é normalmente uma tarefa trivial. As
capacidades dinâmicas de algum software de geometria
podem constituir uma enorme ajuda. No entanto, nem
sempre é possível dispor de computadores na sala de
aula, pelo que pode haver alguns limites inultrapassáveis
quanto à utilização desse software.
Uma excelente forma de resolver
este problema é a aplicação
”GeoMaster” disponibilizada pela
Texas Instruments, para as suas
calculadoras gráficas com
tecnologia FLASH, como é
o caso da já vulgar TI-83 Plus.
Ora vejamos como se pode utilizar o ”GeoMaster”
para proporcionar ao aluno a compreensão do lugar
geométrico referido.
Será provavelmente mais interessante desenvolver o trabalho
a partir de um problema simples e motivador. Por exemplo,
pode colocar-se a questão de encontrar a trajectória mais
segura para um barco passar entre uma rocha localizada no
mar e uma costa igualmente rochosa, rectilínea.
Comecemos por traçar uma recta (costa) e um ponto exterior
à recta (rocha), utilizando, no menu DRAW , as funções
Line e Point, respectivamente. De seguida, consideremos
um ponto livre na recta, utilizando no mesmo menu a
função Point on Object.
Raul Aparício Gonçalves
Escola Secundária de Paredes
”costa”, pois como é obvio, a distância de P à ”costa” é
obtida na perpendicular a esta. Para fazer estas construções,
voltamos a utilizar o menu DRAW e, desta vez, as funções
Perpendicular e Intersection.
Note-se que ao movimentar o ponto livre sobre a ”costa”,
como a construção é dependente, vamos obter diferentes
posições para o ponto P, sempre satisfazendo as condições
de equidistância, pelo que, desta forma é gerado o lugar
geométrico pretendido.
O Geomaster tem uma função, em
MISC , Trails On/Off, que marca as
sucessivas posições de um objecto
que é arrastado. Outra função,
no mesmo menu, Pointer, arrasta
um objecto.
Para evitar uma sobrecarga de
objectos traçados, podemos
esconder os que são menos
importantes para traçar o lugar
geometrico, e fazê-mo-lo com a
função Hide/Show do menu MISC .
Ora, activando a função Trails On/Off
no ponto P e arrastando o ponto
livre na ”costa”, após activar a
função Pointer, obtemos o esboço
de uma curva (a parábola) nas
condições pretendidas (os pontos
equidistantes de uma recta e de um ponto exterior).
Estamos agora prontos a construir um ponto nas condições
pretendidas, ou seja, na trajectória mais segura, que é o
mesmo que dizer, um ponto equidistante da ”rocha” e da
”costa”. Começamos por construir o lugar geométrico dos
pontos equidistantes da ”rocha” e do ponto livre sobre a
”costa”. Para tal constroí-se a mediatriz do segmento de recta
definido por estes pontos. Para o fazer, utilizamos novamente
o menu DRAW e as funções, Midpoint e Perpendicular. Ora,
se traçarmos uma perpendicular à ”costa” a passar por este
ponto, ela vai intersectar a mediatriz num ponto, a seguir
designado por P, que dista igualmente da ”rocha” e da
2
TI-Ciências
É possível fazer explorações,
por exemplo: analisar o efeito
da variação da posição da ”rocha”
em relação à ”costa”, no traçado
da parábola. Será deixado ao
cuidado do leitor, a construção
dos desenhos necessários a esta exploração, no entanto
será conveniente referir que sempre que se pretenda guardar
um desenho na memória da calculadora, o podemos fazer
recorrendo à função Save File do menu FILE .
Estudo de Assímptotas,
Usando a TI-83 Plus Silver Edition
Pretendemos, através de um conjunto de quatro actividades,
estudar a existência de assímptotas verticais e/ou horizontais,
a partir da análise do gráfico de uma função racional e levar o
aluno a conjecturar sobre a relação existente entre as
assímptotas horizontais e os graus dos polinómios, que
constituem a expressão analítica da função.
Isabel Cleto Santos
A partir da observação do gráfico verifica-se que existem dois
tipos de assímptotas ao gráfico desta função: uma vertical e
outra horizontal, cujas equações são respectivamente: x 0
e y 0.
5
5
Analisemos o gráfico de uma outra
função racional definida por:
Uma função racional f pode ser definida pelo quociente
de dois polinómios:
f(x)
g(x)
p(x)
5}
}.
q(x)
Se p(x)≠0, então a função racional f fica definida quando
q(x)≠0.
Constata-se facilmente que também existe uma assímptota
vertical de equação x 1 e uma assímptota horizontal de
equação y 0.
5
Como sabemos as assímptotas são rectas que orientam
o traçado do gráfico de uma função e este ou parte dele
aproxima-se da assímptota, de tal forma que acaba por
se confundir com a própria assímptota, quando a distância
à origem do referencial tende para infinito.
5
Um outro caso interessante para ser
analisado é o exemplo da função
racional
h (x)
Nos exemplos seguintes exploraremos a relação existente
entre a ”divisão por zero” e as assímptotas verticais.
Tomemos, como exemplo,
a função racional
f(x)
5 }1x}
1
5}
}
x21
1
}
5}
x 21
2
É bastante visível, partindo da observação do gráfico, uma
alteração no número de assímptotas verticais, existindo neste
caso duas, a saber: x
1 e x 1. Este aumento no número
de assímptotas verticais está directamente relacionado com o
número de zeros do polinómio x 2 1.
52
5
2
Actividade 1
Introdução ao estudo das assímptotas verticais ao gráfico de uma função.
1. Introduz, na calculadora TI-83 Plus Silver Edition, a expressão analítica de cada uma das funções indicada na primeira coluna
do quadro e a partir da análise dos respectivos gráficos completa-o:
Expressão analítica
da função racional
y
1
5}
}
x 24
y
1
5}
}
x 29
y
x22
5}
}
x 24
y
x13
5}
}
x 29
Número de zeros
do numerador
Número de zeros
do denominador
Número de
assímptotas verticais
Equações das
assímptotas verticais
2
2
2
2
2. Com base na análise dos dados do quadro anterior, explica que relação podes estabelecer entre o número de zeros
dos polinómios do numerador e do denominador e o número de assímptotas verticais ao gráfico de uma função.
3. Escreve as equações das assímptotas horizontais ao gráfico de cada uma das funções referenciadas no quadro.
NOTA: Nas actividades 2, 3 e 4 consideremos sempre as funções racionais definidas pelo quociente de dois polinómios,
p(x)
.
isto é, na forma: f(x)
q(x)
5}}
TI-Ciências 3
Estudo de Assímptotas,
Usando a TI-83 Plus Silver Edition
continuação
Actividade 2
, grau de q(x) e a relação com as assímptotas horizontais.
Grau de p(x)
Nesta actividade vamos analisar os graus dos polinómios do numerador e do denominador e estudar a sua relação com
a existência de assímptotas horizontais.
1. Completa o quadro seguinte, começando por introduzir as expressões analíticas das funções na calculadora gráfica
e analisando os gráficos obtidos:
Expressão analítica
da função racional
y
3
5}
}
12x
y
x
5}
}
21x
y
x 12
5}
}
11x
y
5x
5}
}
x 1 x 2 10
Equação da
assímptota horizontal
Grau de
(numerador)
Grau de
(denominador)
3
3
4
2
2. Em funções racionais em que o grau do numerador é inferior ao grau do denominador, descreve a localização das
assímptotas horizontais.
, grau de q(x) cruza sempre a assímptota horizontal?
3. O gráfico de uma função racional em que o grau de p(x)
Actividade 3
Grau de p(x)
5 grau de q(x) e a relação com as assímptotas horizontais.
Pretendemos explorar o estudo de funções racionais do tipo f(x)
5
1
1 1
p(x)
} , onde p(x) 5 a
5}
q(x)
m
1
1 1
x m am -1 x m -1 … a0 e
q(x) bm x bm -1 x
… b0 são polinómios com o mesmo grau, mas com os coeficientes dos termos de maior
grau diferentes, ao nível da localização das assímptotas horizontais.
m
m -1
1. Recorrendo à calculadora e com base na análise da representação gráfica de cada uma das funções indicadas,
completa o quadro:
Expressão analítica
da função racional
y
2x 1 3
5}
}
x11
y
x22
5}
}
1 2 2x
y
x 25
5}
}
x
y
4x 2 2x
5}
}
12x 2 8
y
x
5}
}
x 21
y
2x
5}
}
x 1 2x 2 1
2
2
2
2
3
3
2
2
4 TI-Ciências
am : coeficiente do termo
de ordem m de p(x)
bm : coeficiente do
termo de ordem m de q(x)
Equação da assímptota
horizontal
Estudo de Assímptotas,
Usando a TI-83 Plus Silver Edition
continuação
Actividade 3 – continuação
2. Na alínea 1. o grau do numerador é igual ao grau do denominador e observa-se que cada um dos gráficos admite uma
assímptota horizontal. A equação da assímptota horizontal relaciona-se com o quociente coeficientes dos termos de maior
grau de p(x) e de q(x). Estabelece esta relação.
5 grau de q(x) cruza sempre a assímptota horizontal?
3. O gráfico de uma função racional em que o grau de p(x)
Actividade 4
. grau de q(x) e a relação com as assímptotas horizontais.
Grau de p(x)
Depois de termos analisado a localização das assímptotas horizontais ao gráfico de uma função racional, quando grau de
p(x)≤ grau de q(x), pretendemos nesta actividade explorar a localização do mesmo tipo de assímptotas, mas no caso em
que grau de p(x) grau de q(x).
.
1. Recorre à calculadora gráfica para esboçares e analisares o gráfico de cada uma das funções indicada na primeira coluna
do quadro, completando-o:
Expressão analítica
da função racional
y
x13
5}
}
5
y
x
5}
}
11x
y
2x
5}
}
21x
y
x
5}
}
12x
y
21x
5}
}
x12
Equação da
assímptota horizontal
Grau de p(x)
(numerador)
Grau de q(x)
(denominador)
2
3
2
3
3
2. Tendo como base o quadro da alínea anterior, que se pode concluir acerca da existência de assímptotas horizontais,
quando grau de p(x) grau de q(x)?
.
3. Utilizando os resultados obtidos nas actividades 2, 3 e na alínea 1 desta actividade e os conhecimentos matemáticos
sobre as assímptotas verticais e horizontais ao gráfico de uma função, completa as seguintes frases:
Se o grau de p(x) for inferior ao grau de q(x), então .............................................................
Se o grau de p(x) for igual ao grau de q(x), então..................................................................
Se o grau de p(x) for superior ao grau de q(x), então.............................................................
Bibliografia.
LIMA, Iolanda, GOMES, Francelino, XEQMAT – Matemática 12º ano, Editorial O Livro, Lisboa, 2001.
TI-Ciências 5
Estudo da Lei de Boyle-Mariotte
Pretende-se com esta actividade estudar a relação entre
a pressão e o volume de um gás contido numa seringa.
Abel Eça
Escola Secundária de Amares
Deve ter obtido o seguinte gráfico:
Tubo de ar
Sensor de
pressão
Seringa
Vá para o editor estatístico e poderá visualizar o volume
na lista L1 e a pressão na lista L2, em atm.
TI-83 Plus
CBL 2™
1. Na TI-83 Plus, execute o programa ou a aplicação
DataMate™. Aparece o ecrã principal.
2. No ecrã principal, prima 1 SETUP.
Actividades:
1. No editor estatístico visualize os dados e complete
a tabela seguinte:
Volume (cc)
Pressão (atm)
Produto da
pressão
pelo volume
}
3. Utilize } ou
para se deslocar para CH1 e prima ∏
Aparece o ecrã SELECT SENSOR. Prima 4-PRESSURE.
Prima 2 – PRESSURE SENSOR. Prima 2-PRESSURE(ATM)
O programa começa a detectar o sensor pretendido.
4. Utilize } ou
para se deslocar para z e prima ∏.
Seleccione 3- EVENTS WITH ENTRY e prima ∏.
}
5. Abra a torneira da seringa e puxe o êmbolo para a
marca 20 cc . Feche a torneira.
– Prima OK e depois 2-START A calculadora começa
a ler a pressão. Prima ∏ para guardar a pressão
registada. A calculadora pede-lhe agora o volume,
que neste caso é 20 cc. Introduza 20 e prima ∏.
6. Coloque a seringa em 15 cc e prima ∏. A calculadora
pede-lhe o volume. Introduza 15cc e prima ∏. Repita
o processo para 10 cc. e 5 cc.
6 TI-Ciências
2. Encontre uma relação que dê o volume em função
da pressão.
3. Como verificou existe uma relação inversamente
proporcional entre a pressão e o volume. Qual é
a constante de proporcionalidade?
4. Faça uma regressão potência. Compare esta função
com a que obteve na alínea dois, sobrepondo o gráfico
da função ao diagrama de dispersão. Que conclui?
Referências
Brueningsen, Bower, Antinone, and Brueningsen-Kerner;
Real-World Math with the CBL System: Activities Using
the TI-83 and TI-83 Plus: Activity 6.
[TI Explorations™ Series book, Texas Instruments]
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necessidades! Molde a calculadora às suas necessidades.
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E-mail:
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[email protected]
Matemática
Física/Química
Biologia
Outros
education.ti.com/portugal
Os dados recolhidos serão processados informáticamente e destinam-se à gestão do seu pedido. Garantimos ao subscritor, nos termos da lei, o direito de acesso e rectificação
de qualquer dado que lhe diga respeito. A Texas Instruments reserva-se o direito de terminar este Programa ou alterar as suas regras sem proceder a aviso prévio.
TI-Ciências 7
Partilha de Actividades
Já está online a nossa web page de Partilha de Actividades
com a calculadora gráfica. Nesta página poderá consultar
trabalhos de colegas relacionados com a utilização de novas
tecnologias (calculadoras gráficas) na sala de aula.
Se quiser colocar as suas actividades com calculadoras
no nosso site, basta enviá-los para:
[email protected] ou [email protected]
Para explorar os trabalhos existentes consulte:
www.ti.com/calc/portugal/PartilhadeActiv
idades.htm
8 TI-Ciências
Calculadoras Autorizadas e Recomendadas
para o 3º Ciclo e Secundário
3º CICLO
”...Utilização das tecnologias na aprendizagem da Matemática – Todos os alunos devem aprender a utilizar não só a calculadora
elementar, mas também, à medida que progridem na educação básica, os modelos científicos e gráficos...”
-citação retirada do Currículo Nacional
do Ensino Básico – DEB
SECUNDÁRIO
”...As calculadoras gráficas (...), ferramentas que cada vez mais se utilizarão correntemente devem ser
entendidas não só como instrumentos de cálculo mas também como meios incentivadores do espírito
de pesquisa. O seu uso é obrigatório neste programa”.
-citação retirada do Programa
Homologado Matemática A – DES
”Advoga-se o uso de calculadoras gráficas familiar aos alunos pela sua utilização permanente nas aulas da
disciplina de Matemática. É necessário retirar peso à memorização e à resolução repetitiva de exercícios,
privilegiando-se estratégias de compreensão, técnicas de abordagem e de resolução de problemas”.
-citação retirada do Programa Homologado
Física e Química A – 10º Ano – DES
Bibliografia Disponível
Na internet no endereço http://epsstore.ti.com/webs/
home.asp pode escolher os vários títulos de bibliografia de
apoio à calculadora, da qual escolhemos apenas alguns livros:
Em português:
•
Análise – TI-80, TI-82, TI-83, TI-92
•
Estatística – TI-80, TI-82, TI-83, TI-92
•
Equações – TI-80, TI-82, TI-83, TI-92
•
Modelação TI-92 – Da geometria às funções
passando pela estatística (Joaquim Pinto)
•
Programação no ensino secundário – TI-80, TI-82,
TI-83, TI-86 (César Viana)
Acções de Formação e Pedidos de Apoio:
Organizam-se acções de formação gratuitas sobre
a utilização e aprendizagem de calculadoras. Para
pedidos de apoio a outros projectos e mais
esclarecimentos, contacte:
Texas Instruments Programa Educacional
Rua 25, 177
4500-281 Espinho
Tel.: 22 763 91 95
Fax: 22 763 38 22
E-mail: [email protected]
TI-Ciências 9
T 3 – Teacher Teaching with Technology™
(Professores ensinam com tecnologia)
Temas abordados nos cursos:
O projecto T3 tem como principal objectivo a formação
de professores no uso das calculadoras gráficas, acessórios,
tais como o CBL 2™, CBR™, TI-GRAPH LINK™ e Software
de geometria para as calculadoras (Aplicações para
calculadoras com Tecnologia FLASH) no ensino e
aprendizagem da Matemática e da Físico-Química.
Todos os cursos são dados por professores formadores
com elevada experiência na utilização da tecnologia na
sala de aula. Em Portugal o projecto decorre desde 1997
em parceria com uma entidade ligada ao ensino e
aos professores.
•
Modelação Matemática
•
Probabilidades, simulações, distribuições e testes com
a calculadora gráfica
•
Experimentar a matemática com a TI-92 Plus
•
Estatística e Calculadoras Gráficas
•
Física e Matemática
•
Cabri Géomètre II™
Sessões práticas com calculadoras gráficas e sensores de
4 horas, 25 horas e 35 horas.
Preços Muito Especiais de calculadoras (apenas
versão retroprojectável) e acessórios para os
professores participantes!
Para mais informações e pedidos de acções contacte com:
APM (Associação de Professores de Matemática)
Rua Dr.João Couto,27A
1500-236 Lisboa
Tel.: 21 716 36 90
Fax: 21 716 64 24
E-mail: [email protected]
Internet: www.apm.pt
www.ti.com/calc/portugal/t3.htm
10 TI-Ciências
Programa de Empréstimo
A Texas Instruments oferece empréstimos gratuitos WOLOP
de calculadoras e acessórios para professores de matemática.
Os pedidos deverão ser feitos com um mês de antecedência
e terão uma duração máxima de duas semanas. Os
empréstimos têm como objectivo principal
a realização de acções de formação e workshops. Quando
fizer o seu pedido de empréstimo, por favor mencione:
•
Razão da Acção de Formação.
•
Enuncie a data e o local do workshop.
•
Quantidades, tipo de calculadora(s) e acessórios
necessários.
•
Endereço de entrega e número de telefone.
•
O dia de entrega preferencial.
Os seguintes produtos estão disponíveis no Programa
de Empréstimo de Calculadoras:
•
TI-83 Plus
•
TI-89
•
Voyage™ 200
•
CBL™ (Calculator-Based Laboratory™ Systems probes)
•
CBL 2™ (Calculator-Based Laboratory)*
•
CBR™ (Calculator-Based Ranger™ System)
•
Cabri Géomètre II™
•
TI-Presenter™ *
Peça um Painel ViewScreen™, pois este é opcional. Peça
sensores para a sua acção com o CBL. Peça posters,
transparências e literatura para distribuir aos participantes
durante a sua acção.
Para fazer o pedido de empréstimo pode enviar uma
carta para:
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C/O Sitel Belgium
Woluwelaan 158
1831 Diegem
Belgium
Telefone (numero gratuito): 800 832 627
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Contacte por e-mail: [email protected]
* Disponibilidade de produtos limitada em quantidades.
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do material, sendo dada prioridade aos cursos do T3.
TI-Ciências 11
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Enquanto a Texas Instruments e os seus agentes tentam garantir a validade dos comentários e das afirmações escritos nesta publicação, não será aceite qualquer responsabilidade em nenhuma circunstância
por imprecisões de conteúdo, artigos ou reclamações efectuadas pelos colaboradores. As opiniões publicadas podem não ser necessariamente as opiniões da Texas Instruments. Todas as calculadoras disponíveis
na Europa são fabricadas de acordo com a certificação ISO 9000. Cabri Géomètre II é uma marca comercial da Université Joseph Fourier. Todas as outras marcas comerciais são propriedade dos respectivos
proprietários. A Texas Instruments reserva-se o direito de alterar produtos, especificações, serviços e programas sem aviso prévio. Impresso em papel isento de cloro 100% reciclável por Thamesdown Colour
Limited, Inglaterra. Composiçião – Cloud 9 Publishing Limited, Inglaterra.
©2002 Texas Instruments Incorporated
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