Distância entre pontos do plano euclidiano
MÓDULO 1 - AULA 8
Aula 8 – Distância entre pontos do plano
euclidiano
Objetivos
Nesta aula, você:
• Usará o sistema de coordenadas para calcular a distância entre dois
pontos.
• Descreverá, lugares geométricos mais simples, com o uso de coordenadas e distância.
Um sistema de coordenadas permite representar graficamente objetos
geométricos no plano, mas também permite a realização de medidas. Estas medidas podem ser as mais simples como a distância entre dois pontos,
áreas de polı́gonos regulares, até áreas de regiões mais complicadas do plano
como interseções de figuras. Tudo, até onde o limite do método não cause
sofrimento! Para situações mais complexas, temos que recorrer a ferramentas
mais sofisticadas. A mais importante destas sendo as técnicas do Cálculo Diferencial e Integral e que será assunto de nossas próximas aulas nos Módulos
2 e 3.
Distância entre dois pontos da reta
Recorde da aula anterior que a distância entre dois pontos A e B sobre
a reta real é dada pelo valor absoluto da diferença entre as coordenadas
dos pontos. Assim, se A tem coordenada a e B tem coordenada b, então a
distância entre A e B, que escrevemos como d(A, B) é
d(A, B) = AB = |b − a| =
(a − b)2 .
a-b
A
a
B
0
1
b
IR
Figura 8.1: Distância na reta.
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Distância entre pontos do plano euclidiano
Método Determinı́stico
Distância entre dois pontos do plano
Considere dois pontos P = (x1 , y1 ) e Q = (x2 , y2). A distância entre
P e Q é o comprimento do segmento P Q. Em termos das coordenadas dos
pontos, a distância d(P, Q) é dada pela equação
d(P, Q) = P Q =
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .
(8.1)
Vamos ver porque esta fórmula funciona. Considere quatro casos:
a) Os pontos P e Q coincidem. Isto é, x1 = x2 e y1 = y2 . Neste caso, a
distância é zero. Este resultado é compatı́vel com a fórmula (8.1) da
distância.
b) Os pontos P e Q são distintos e situados numa reta paralela ao eixo
x. Isto é, x1 = x2 e y1 = y2 . Veja a Figura 9.2, à esquerda, onde os
pontos P e Q definem um segmento paralelo ao eixo x. Como P, Q, x1
e x2 são vértices de um retângulo então
P Q = |x1 − x2 | =
(x1 − x2 )2 .
Portanto, a fórmula (8.1) é válida, neste caso.
y
y
P
x1
y1 = y2
y2
Q
y1
P
Q
x2
x
x1= x 2
x
Figura 8.2: Distância no plano I.
c) Os pontos P e Q são distintos e situados numa reta paralela ao eixo
y. Isto é, x1 = x2 e y1 = y2 . Este caso é similar ao anterior e aparece
representado na Figura 9.2 à direita. Temos que
P Q = |y1 − y2 | =
(y1 − y2 )2 .
De novo a fórmula (8.1) continua válida.
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Distância entre pontos do plano euclidiano
MÓDULO 1 - AULA 8
d) Os pontos P e Q são distintos, x1 = x2 e y1 = y2 . Este é o caso geral
e está representado na Figura 9.3.
y
y1
P
x1
x2
0
B
A
y2
x
Q
Figura 8.3: Distância no plano II.
Note que P e Q são vértices opostos de um retângulo cujos lados medem
|x1 −x2 | e |y1 −y2 |. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo
AP Q, encontramos que
P Q2 = |x1 − x2 |2 + |y1 − y2 |2 = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2
ou
d(P, Q) = P Q =
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 ,
que é a fórmula (8.1).
Exemplo
a) A distância entre os pontos P = (3, 2) e Q = (1, 6) é,
(3 − 1)2 + (2 − 6)2 =
22 + (−4)2
d(P, Q) =
√
√
√
√
=
4 + 16 = 20 = 4 · 5 = 2 5 .
b) A distância entre os pontos P = (−1, 3) e Q = (−7, −7) é
√
√
d(P, Q) =
[−1 − (−7)]2 + [3 − (−7)]2 = 62 + 102 = 136
√
√
4 × 34 = 2 34 .
=
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Distância entre pontos do plano euclidiano
Método Determinı́stico
Exemplo
Quais são os pontos do plano equidistantes dos pontos A = (−1, 0) e
B = (−1, 3).
Solução
Se P = (x, y) é um ponto arbitrário e equidistante de A e B, então
d(P, A) = d(P, B) ⇔
(x + 1)2 + y 2 = (x + 1)2 + (y − 3)2 .
Desenvolvendo ambos os membros da última igualdade, vem que
(x + 1)2 + y 2 = (x + 1)2 + (y − 3)2 ⇔ y 2 = (y − 3)2 ⇔ 0 = −6y + 9
Logo
d(P, A) = d(P, B) ⇔ y =
3
9
= .
6
2
Portanto, o conjunto S dos pontos equidistantes de A e B verificam
S=
3
(x, y) ∈ R2 ; y =
.
2
3
Ora este conjunto S é uma reta paralela ao eixo x a uma altura y = . Veja
2
a Figura 8.4.
y
3/2
s
x
Figura 8.4: Reta y = 3/2 .
Atividade 8.1
Calcule a distância do ponto A = (−2, 3) até o eixo x.
Atividade 8.2
Encontre os pontos do eixo y que estão à distância 1 do ponto (− 12 , 1).
Exemplo
Quais são os pontos do plano equidistantes dos pontos A = (−1, 0) e
B = (0, −1)?
Solução :
Se P = (x, y) é um ponto arbitrário equidistante de A e B, então
d(P, A) = d(P, B) ⇔
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(x + 1)2 + y 2 = x2 + (y + 1)2 .
Distância entre pontos do plano euclidiano
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Isto é,
(x + 1)2 + y 2 = x2 + (y + 1)2 .
Logo,
x2 + 2x + 1 + y 2 = x2 + y 2 + 2y + 1 ⇔ x = y .
Então o conjunto S,
S = {(x, y) ∈ R2 ; x = y}
são todos os pontos equidistantes dos pontos A = (−1, 0) e B = (0, −1).
Confira na Figura 8.5 que S é a reta bissetriz comum ao ângulo formado
pelos eixos positivos do sistema de coordenadas.
y
s
q= p
4
q
B
-1
x
A -1
Figura 8.5: Bissetriz dos eixos coordenados.
Exemplo
Um cı́rculo Sr no plano de raio r > 0 e com centro no ponto C = (a, b) é
descrito pela equação,
Sr = {(x, y); x2 + y 2 − 2ax − 2by = r 2 − a2 − b2 } .
Veja como encontrar este resultado, acompanhando pela Figura 8.6.
y
Sr
C
b
y
P
a
x x
Figura 8.6: Um cı́rculo no plano.
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Distância entre pontos do plano euclidiano
Método Determinı́stico
A distância de um ponto P = (x, y) até o centro C = (a, b) é constante e
igual a r. Então
d(P, C) = r ⇒ (x − a)2 + (y − b)2 = r .
Agora, elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade e isolando os
termos independentes no segundo membro encontramos
x2 + y 2 − 2ax − 2by = r 2 − a2 − b2 .
Atividade 8.3 Encontre a equação do cı́rculo de raio 2 com centro no ponto
C = (−2, 1).
Exercı́cios
8.1. Numa reta com coordenadas,
(a) determine todos os números reais x tais que d(x, −2) = 3x
(b) existe algum número real x tal que d(x, −2) = d(x, 5)?
(c) determine todos os números reais x tais que d(x, −1) ≥ d(x, 8)
(d) determine o conjunto de números reais x para os quais vale a
igualdade
1
1
=
d(x, 2)
d(x, −4)
8.2. Os pontos A = (−1, 0) e C = (2, −3) são vértices opostos de um
quadrado ABCD.
(a) Calcule o comprimento da diagonal do quadrado.
(b) Encontre as coordenadas dos outros vértices B e D.
8.3. Encontre um ponto P = (0, a) sobre o eixo y e equidistante dos pontos
A = (−2, 3) e B = (3, 0).
8.4. Encontre a equação de um cı́rculo situado no terceiro quadrante, de
raio r = 2 e que tangencia o eixo y no ponto A = (0, −3).
8.5. Determine o centro C e o raio r do cı́rculo x2 + 2x + y 2 − 3 = 0.
8.6. Considere o cı́rculo x2 + y 2 − 4y − 12 = 0.
a) Determine o centro C e o raio r do cı́rculo.
b) Encontre as coordenadas dos pontos A e B, onde o cı́rculo encontra
o eixo x.
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