FAMAT em Revista
www.famat.ufu.br
Revista Científica Eletrônica da
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
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Número 06 - Maio de 2006
e-mail: [email protected]
Comitê Editorial: Márcio José Horta Dantas - Famat/Ufu
Valdair Bonfim - Famat/Ufu
Marcos Antônio da Câmara - Famat/Ufu
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira - Petmat - Famat/Ufu
Maria Luiza Vitorino Gonçalves - Damat - Famat/Ufu
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0) $( (*3 ()+ '+* %!$) ('/& ) (* '+6'$( ! 1&) %-$'( #$ ,%$'"%%$ $"$) )$ ,$. $+()$'( ('2%-"* 7&")( $( !" Editorial
A sexta edição da FAMAT em Revista assinala a passagem do antigo Comitê para o
novo Comitê Editorial formado por:
Márcio José Horta Dantas – Editor Responsável
Valdair Bonfim – Coordenador do Curso de Matemática
Marcos Antônio Câmara – Tutor PETMAT
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira – aluno PETMAT
Maria Luiza – aluna representante DAMAT
Este novo Comitê espera fazer jus à responsabilidade na qual foi investido e realizar um
trabalho tão bom quanto o realizado pela equipe anterior.
O Comitê Editorial da FAMAT em Revista, com muita satisfação, vem disponibilizar à
comunidade acadêmica o seu sexto número. A FAMAT em Revista é a revista eletrônica da
comunidade acadêmica da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de
Uberlândia – MG. A sua finalidade é promover a circulação de idéias, estimular o estudo da
Matemática e despertar a curiosidade intelectual dos estudantes e de todos aqueles que se
interessam pelo estudo de Matemática.
Gostaríamos de externar nosso contentamento com a aceitação de nossa revista; a
quantidade de artigos completos de iniciação científica vem se mantendo expressiva desde
a terceira edição, o que tomamos como índice de nossos esforços, em prol do estudo de
matemática e de mantermos uma revista voltada para os trabalhos de graduação, estão
logrando certo êxito.
Em relação ao conteúdo do sexto número da revista, foram contempladas as atividades
desenvolvidas no segundo semestre de 2005 e parte do primeiro semestre de 2006. Abaixo,
apresentamos de modo sucinto, as diversas contribuições e matérias que compõe cada
seção.
Em Artigos Completos de Iniciação Científica, contamos com nove trabalhos muito
interessantes, todos desenvolvidos em projetos de Iniciação Científica orientados por
professores da FAMAT. Sem dúvida, a leitura dos mesmos irá enriquecer a formação de
estudantes de matemática.
Na Seção Problemas e Soluções, apresentamos as resoluções de quatro problemas
propostos no número anterior. Para o problema 20 são apresentadas duas soluções, uma do
Coordenador da Seção e outra dada por um aluno do curso de Matemática. Esperamos que
no futuro mais soluções de nossos alunos sejam publicadas. Além disso, quatro novos
desafiadores problemas são propostos neste número.
Na Seção Eventos, disponibilizamos aos nossos leitores uma lista dos eventos ligados à
matemática a serem realizados no primeiro semestre de 2006. Anunciamos, também, os
principais eventos já confirmados para o segundo semestre de 2006.
Na Seção Reflexões sobre o Curso de Matemática, temos um artigo do Coordenador do
Curso de Matemática, Prof. Valdair Bonfim, sobre a implantação da Reforma Curricular e
todo o processo aí envolvido. Cremos que será muito instrutivo para os nossos leitores ter
conhecimento de todo este processo.
Na Seção Em Sala de Aula temos um artigo da Profa Fabiana Fiorezi de Marco da
FAMAT, sobre Jogo no Ensino de Matemática. Neste artigo são discutidos os resultados de
uma pesquisa realizada com alunos do curso de Licenciatura em Matemática da
Universidade Federal de Uberlândia em que são interpretadas as concepções dos alunos
sobre a utilização de jogos no ensino de Matemática, após algumas discussões teóricas e
práticas. Para os que estão interessados em Educação Matemática este é sempre um tema
interessante.
Na Seção Iniciação Científica em Números trazemos uma descrição dos atuais projetos
de Iniciação Científica e de Ensino da FAMAT – UFU desenvolvido por alunos do Curso
de Licenciatura e Bacharelado em Matemática.
Na Seção E o meu Futuro Profissional, apresentamos uma entrevista com Germano
Abud de Resende, que é Bacharel pela FAMAT –UFU e é Mestre em Matemática pela
UNICAMP. Em sua entrevista, Germano relata suas experiências nas Pós – Graduação e
cremos que será muito interessante para todos aqueles que querem seguir a carreira
acadêmica.
Na Seção Merece Registro, destacamos as atividades e os fatos que mereceram destaque
na FAMAT no período de outubro de 2005 a março de 2006.
Finalmente, esperamos que os nossos leitores apreciem os trabalhos aqui publicados e
lembramos que críticas e sugestões produtivas são sempre bem-vindas.
Comitê Editorial
Índice de Seções
Seção 1: Trabalhos Completos de Iniciação Cientı́ﬁca
7
Seção 2: Problemas e Soluções
169
Seção 3: Eventos
177
Seção 4: Reﬂexões sobre o Curso de Matemática
181
Seção 5: Em Sala de Aula
195
Seção 6: Iniciação Cientı́ﬁca em Números
209
Seção 7: E o meu Futuro Proﬁssional?
215
Seção 8: Merece Registro
221
FAMAT em Revista
Número 06 - Maio de 2006
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Revista Científica Eletrônica da
Faculdade de Matemática - FAMAT
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d p
Trabalhos Completos de
Iniciação Científica
PBIIC-FAPEMIG-UFU - Programa de Bolsas Institucionais de Iniciação Científica da
Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais
PETMAT-UFU - Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática
PIBIC-CNPq-UFU - Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica do
Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico
PROMAT-UFU - Programa Institucional de Iniciação Científica e Monitoria da Faculdade de Matemática
Comitê Editorial da Seção
Trabalhos Completos de Iniciação Científica
do Número 06 da FAMAT EM REVISTA:
Márcio José Horta Dantas (coordenador da seção)
Valdair Bonfim
Marcos Antônio da Câmara
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira
Instruções para submissão de Trabalhos
A Seção de Trabalhos de Iniciação Cientı́ﬁca visa divulgar trabalhos que estejam associados a projetos cadastrados na(o) PBIIC-FAPEMIG / PETMAT / PIBIC-CNPq /
PROMAT ou IM-AGIMB e orientados por docentes da FAMAT.
Trabalhos completos em nı́vel de iniciação cientı́ﬁca dos programas acima listados
submetidos para publicação na Revista Eletrônica “Famat em Revista” estarão sujeitos
a apreciação pelo Comitê Editorial responsável por essa seção de artigos e, se for o caso,
por consultores ad hoc ligados à área ou subárea do trabalho. Caso se faça necessário,
sugestões para o aperfeiçoamento do trabalho serão dirigidas aos interessados pelo Comitê
Editorial.
Além da redação clara e concisa que todo trabalho submetido à boa qualidade deve
possuir, pede-se evitar o estilo árido e extremamente técnico caracterı́stico de algumas
publicações matemáticas, não perdendo de vista que o público-alvo ao qual se destina a
revista é constituı́do por alunos de graduação.
Os trabalhos submetidos até o ﬁnal de um semestre letivo serão publicados na edição
da revista lançada no inı́cio do semestre letivo subseqüente.
Quanto às normas técnicas para submissão dos trabalhos:
1) Formato do arquivo: PDF
2) Tamalho da Folha: A4
3) Margens: 2,5 cm (portanto, área impressa: 16 cm x 24,7 cm)
4) Tamanho de fonte (letra): 12 pontos (exceto tı́tulos, subtı́tulos, notas
de rodapé, etc, que ﬁcam submetidos ao bom senso)
5) Espaçamento entre linhas: Simples
6) Orientador(es), tipo de programa e orgão de fomento (se houver)
devem constar no trabalho.
Envio:
Por e-mail: [email protected]
Índice de Trabalhos
A ANÁLISE AMMI-PLOT PARA NO MELHORAMENTO
DE FRUTOS DE PIMENTÃO
13
FERNANDA BONUTI, MARCELO TAVARES
E EDNALDO CARVALHO GUIMARÃES
ESTUDO DOS ALGORITMOS EVOLUTIVOS: PSO e ACO
24
JAIR ROCHA DO PRADO, SEZIMÁRIA F. P. SARAMAGO
EVOLUÇÃO DIFERENCIAL APLICADA À SOLUÇÃO
DE ALGUNS PROBLEMAS DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
48
MATHEUS BORGES ARANTES, GIOVANA TRINDADE DA
SILVA OLIVEIRA E SEZIMÁRIA FÁTIMA
PEREIRA SARAMAGO
AS DESIGUALDADES ENTRE AS MÉDIAS ARITMÉTICA,
GEOMÉTRICA, HARMÔNICA E QUADRÁTICA DE
DOIS NÚMEROS REAIS
62
THIAGO RODRIGUES DA SILVA E DULCE MARY DE ALMEIDA
CÓDIGOS CORRETORES DE ERROS LINEARES
75
ADENILCE OLIVEIRA SOUZA E MARCOS ANTÔNIO DA CÂMARA
EQUAÇÕES DE CONGRUÊNCIA DE GRAU MAIOR DO QUE UM
111
PATRÍCIA BORGES DOS SANTOS E MARCOS DA ANTÔNIO CÂMARA
TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS E
A CONSTRUÇÃO COM RÉGUA E COMPASSO
123
BRUNO N. DE SOUZA, CLÁUDIA HELENA V. FREITAS
E JOCELINO SATO
ESTUDO DE PARÂMETROS FUZZY NOS MODELOS
DE EVOLUÇÃO DA AIDS COM TRATAMENTO
145
EDER LUCIO DA FONSECA E ROSANA SUELI DA MOTTA JAFELICE
USO DE AUTÔMATO CELULAR NO ESTUDO DA
EVOLUÇÃO DA AIDS
JOÃO CLÁUDIO MARTINS DE FREITAS E ROSANA SUELI DA
MOTTA JAFELICE
159
A ANÁLISE AMMI-PLOT PARA NO MELHORAMENTO DE
FRUTOS DE PIMENTÃO.
FERNANDA BONUTI1, MARCELO TAVARES2, EDNALDO CARVALHO
GUIMARÃES3
RESUMO
A análise Ammi-Plot mostra a formação de grupos homogêneos de linhagens a partir da
capacidade específica de combinação, permitindo assim a visualização dos materiais
genéticos que apresentam maior capacidade de formarem bons híbridos. Este trabalho teve
por objetivo utilizar representação Biplot Ammi para seleção de híbridos em um programa de
melhoramento de pimentão a partir de um cruzamento dialélico. A representação Biplot
Ammi permitiu a visualização das combinações híbridas superiores principalmente utilizando
o material Agronômico 8.
Palavras chave: Cruzamentos dialélicos; Pimentão; Biplot Ammi; Híbridos.
THE BIPLOT AMMI ANALYSIS FOR THE BREEDING OF FRUITS OF
THE SWEET PEPPER.
ABSTRACT
The aim of this work was showed the use of the biplot ammi analysis in the breeding
sweet pepper for the identification of high hybrids. The results showed that analysis was
efficient in the identification of the betters hybrids combinations.
Key words: Sweet Pepper; Biplot Ammi; Fruits; Hybrids.
INTRODUÇÃO
A utilização de híbridos em várias espécies, tem se mostrado com alto potencial nos
programas de melhoramento. Várias técnicas têm sido testadas e avaliadas para a
1
Aluna FAMAT/UFU, [email protected] (Bolsista PIBIC - FAPEMIG)
Faculdade de Matemática (FAMAT) da Universidade Federal de Uberlândia, Avenida João Naves de Ávila, 2160,
Campus Santa Mônica, Uberlândia (MG), 34408-100. [email protected] (orientador)
3
FAMAT/Universidade Federal de Uberlândia – [email protected] (professor colaborador)
2
identificação das melhores combinações híbridas. O pimentão está entre as principais em
termos de consumo e produção. Além de um manejo adequado, a utilização de cultivares
híbrido possibilita aumentos potenciais, precocidade, maior uniformidade, maior vigor inicial
e maior resistência a doenças. No Brasil o custo e a disponibilidade de mão-de-obra para
execução de cruzamentos manuais, dificultam o desenvolvimento de programas de
melhoramento visando híbridos, reduzindo assim o número de cruzamentos a serem
realizados.
A avaliação do desempenho dos híbridos F1 pode ser realizada através da avaliação
per se dos mesmos pelo uso de delineamentos especiais tais como North Carolina I, II, III e
cruzamentos dialélicos (Jinks, 1983), ou através de técnicas que possibilitem a estimar da
superioridade dos híbridos em função da covariância entre parentes (Maluf et al., 1983 e
Falconer, 1981), ou pela divergência genética dos progenitores (Miranda et al., 1988).
O número de híbridos que podem ser obtidos a partir de um pequeno conjunto de
parentais cresce vertiginosamente, fazendo com que a avaliação deste grande número de
materiais possa ser muitas vezes realizada de maneira imprecisa, ou até mesmo impraticável.
O uso de híbridos é vantajoso porque combina caracteres qualitativos e quantitativos
importantes em uma só geração. Essa vantagem é ampliada pelo benefício da heterose em
características importantes como produtividade, qualidade e uniformidade. Em geral as
obtenções de híbridos de espécies autógamas, como pimentão, adotam-se esquemas híbridos
simples, pois as linhagens homozigóticas não perdem vigor e não afeta, portanto a produção
de sementes.
As sementes híbridas de pimentão apresentam um custo bastante elevado quer seja
no processo de obtenção das linhagens superiores ou através da avaliação das melhores
combinações heteróticas. Portanto uma análise mais criteriosa dos materiais para formação
dos grupos heteróticos, possibilitará uma redução no número de cruzamentos e assim uma
redução nos custos de um programa de melhoramento de pimentão. Com a separação das
linhagens em grupos heteróticos podem-se diminuir os cruzamentos e as avaliações dos
híbridos em experimentos com repetições e aumentar a eficiência do programa. A
representação Biplot Ammi permite a visualização das combinações híbrida superiores por
meio de gráficos, facilitando a formação dos grupos heteróticos. Desta forma este trabalho
teve por objetivo verificar a divergência genética de linhagens de pimentão a partir de
estimativas da capacidade específica de combinação obtidas por meio de cruzamentos
dialélicos e identificar grupos heteróticos utilizando-se a representação gráfica Biplot Ammi.
MATERIAL E MÉTODOS
Serão utilizados para análise os dados referentes a um experimento onde foi avaliado
seis cultivares de pimentão devido as suas características e/ou origem - (1) Linha - 006, (2)
Agronômico - 8, (3) Ikeda, (4) Linha - 004, (5) Linha – 008, (6) Magda e todos os híbridos
possíveis entre estes cultivares, excluindo-se os recíprocos. Os tratamentos foram formados a
partir dos quinze híbridos experimentais e os seis materiais parentais, totalizando vinte e um
tratamentos em esquema dialélico. Os materiais Linha – 004 Linha – 006 e Linha – 008,
foram desenvolvidos pelo Prof. Wilson Roberto Maluf da Universidade Federal de Lavras.
O experimento foi conduzido no delineamento de blocos casualizados com 3
repetições, na Universidade Federal de Lavras (antiga Escola Superior de Agricultura de
Lavras - ESAL), sendo que cada parcela foi constituída de uma fileira única de 7,5 m de
comprimento com um total de quinze plantas, onde foram utilizadas para a coleta de dados
apenas as cinco plantas mais representativas previamente selecionadas. Maiores detalhes
experimentais podem ser encontrados em Tavares (1993).
Os caracteres avaliados foram os seguintes: i)LOC (Número de lóculos por fruto); ii)
LARG (Largura de frutos); iii) COMP (Comprimento de frutos); iv)PMFA (Peso médio de
frutos amostrados); v) RC\L (Relação comprimento\largura).
Para a análise dialélica, as capacidades específicas de combinação foram
estimadas a partir do modelo II proposto por Gardner & Eberhart (1966). A realização da
análise Biplot-AMMI a partir das estimativas das capacidades específicas de combinação,
será realizada segundo metodologia apresentada por Duarte e Pinto (2002). A representação
biplot constitui-se em uma técnica de álgebra matricial denominada decomposição por valores
singulares (DVS). Este procedimento proposto por Eckart and Young (1936), permite
escrever uma matriz real B, de posto p, como uma soma de p parcelas (matrizes) ortogonais
entre si e de posto unitário:
p
B(lxc) = ¦ O k uk vk’ ; com: k=1, 2, ..., p e p d min{l , c}
k 1
Em que, Ok é o k-ésimo valor singular de B (raiz quadrada do k-ésimo autovalor não
nulo de BB’ ou B’B), e uk e vk’ são os vetores singulares associados, vetor-coluna e vetorlinha, respectivamente.
Outra propriedade importante da DVS é que ela determina um desdobramento da
soma de quadrados dos elementos da matriz decomposta (SQB). Considerando-se que B é a
matriz de estimativas dos desvios de CEC ( ŝ ij , com média zero), tal soma relaciona-se
diretamente com a SQCEC da análise de variância dialélica. Assim, no caso de um dialelo
parcial, SQB=SQCEC, and SQB=2SQCEC no caso de um dialelo completo (B simétrica). Em
uma situação mais geral (B retangular), o particionamento da SQB pode ser ilustrado
algebricamente por:
O1u1v1c
B(fxm)
ª
«
«
«¬
B [ bij ]
º
»
»
»¼
ª
«
«
¬«
O2u2v2c ... O pupvcp
º
»
»
¼»
B1 [ b1ij ]
ª
«
«
¬«
B2 [ b2 ij ]
2
º
»
»
¼»
ª
«
«
«¬
2
Bp [ b p ij ]
USV c
º
»
»
»¼
2
2
2
¦bij ¦ŝij ¦b1ij ¦b2ij ... ¦b pij SSSCA
i,j
i,j
2
¦ŝij
2
2
2
2
¦Ok O1 O2 ... O p
i,j
p
k 1
i,j
i,j
i,j
p
¦SSIPCAk
k 1
SSSCA
A SQCEC é, portanto, desdobrada em componentes relativos a cada termo da DVS
(decomposição de valores singulares), ou seja, a cada eixo principal da interação (IPCAk), no
qual a interação avaliada é a CEC. Semelhante ao que ocorre com os diagramas de dispersão
numa análise de componentes principais, tomando-se de forma cumulativa os sucessivos
termos do desdobramento, obtém-se aproximações cada vez melhores para a SQCEC original.
Porém, sendo O12 t O22 t ... tOp2, é possível que apenas os poucos primeiros termos (um, dois
ou três) sejam suficientes para descrever uma alta proporção dessa soma de quadrados. Assim,
a análise permite interpretar a SQCEC por meio de uma aproximação de posto n de uma matriz
CE. Sendo n possivelmente menor que p (ex. n =1, 2 ou 3) a análise resulta em um modelo
informativo e possível de representação gráfica. Assim, a aproximação DVS de uma matriz
permite representar os efeitos de cada linha e cada coluna num gráfico denominado biplot.
Os grupos heteróticos serão formados baseando-se nas estimativas das capacidades
específicas de combinação (CEC) e na inspeção visual dos gráficos resultantes das análises
Biplot-AMMI. As estimativas de CEC serão consideradas como medidas de distância entre as
linhagens, sendo que cruzamentos com efeitos de CEC positivos indicam que as linhagens
pertencem a grupos heteróticos opostos e cruzamentos com efeitos de CEC negativos indicam
que pertencem ao mesmo grupo heterótico.
Uma propriedade da representação biplot é que, multiplicando-se o valor da
coordenada de um marcador de linha pelo de um marcador de coluna, reproduz-se o elemento
correspondente na matriz aproximada. Ou seja, o produto entre a coordenada de uma fêmea i
e a de um macho j recupera o valor da CEC esperado para aquela combinação híbrida
( s ijAMMI ).Nesse sentido, fêmeas e machos com coordenadas de elevada magnitude e de mesmo
sinal apresentam elevada CEC (interação positiva), caracterizando-se, portanto, como
combinações favoráveis à hibridação comercial. Por outro lado, combinações cujas
coordenadas apresentem sinais opostos mostram CEC negativas, ou seja, são desfavoráveis.
Dessa forma, as distâncias genotípicas intergrupos (F/M) tem interpretação inversa em relação
à distância visualizada no gráfico. Ou seja, pontos próximos entre si não indicam similaridade
genotípicas, mas, sim, afinidade para se combinarem em bons híbridos.
Por outro lado, inspecionando-se somente os marcadores (variáveis) de fêmeas (ou
só os de machos) é possível avaliar as divergências intragrupos. E, neste caso, pontos
próximos indicam maior similaridade genotípica. Nos dialelos completos, as fêmeas e os
machos são os mesmos genótipos e, portanto, esta inspeção permitirá avaliar a divergência
entre todos os materiais. Assim, para fins de agrupamento dos genótipos, seria suficiente
plotar apenas os marcadores de fêmeas (ou de machos). Porém, neste caso, perder-se-ia a
oportunidade de predizer graficamente a magnitude das CEC’s e, por conseguinte, identificar,
também no gráfico, as combinações híbridas mais promissoras.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
As representações das variáveis estudadas COMP (Comprimento de frutos), LARG
(Largura de frutos), RC\L (Relação comprimento\largura), LOC (Número de lóculos por
fruto) e PMFA (Peso médio de frutos amostrados), estão representadas por meio das figuras 1
a 5 respectivamente. Nestas figuras a notação M representa o pai e F a mãe dos dos parentais
utilizados. Já os números 1 a 6 representam cada um dos parentais, (1) Linha - 006, (2)
Agronômico - 8, (3) Ikeda, (4) Linha - 004, (5) Linha – 008, (6) Magda.
Na figura 1 verifica-se que os parentais, ou seja, os materiais avaliados, apresentaram
uma alta divergência genética, já que dentro dos parentais masculinos (M) e dos femininos
(F), a maioria dos materiais avaliados mantiveram-se relativamente distantes, sem a formação
de grupos altamente similares. Somente a Linha-008 e Magda, estiveram mais próximos, ou
seja, mais similares para o comprimento do fruto.
Já visualizando as combinações híbridas (entre M e F) obtidas no cruzamento
dialélico, a Linha 006 e Agronômico 8 (M1 e F2), foram os que estiveram mais próximos na
representação gráfica Biplot Ammi, mostrando assim uma maior capacidade específica de
combinação. Portanto para a variável comprimento do fruto, a melhor combinação híbrida
será advinda do cruzamento entre Linha-006 e Agronômico 8.
Figura 1. Plano dos dois primeiros componentes principais para a capacidade específica de
combinação em pimentão, para o comprimento de frutos de um cruzamento dialélico, onde F
representa os genótipos da linha e M os genótipos da coluna da tabela dialélica. Os número de
1 a 6 representam os genótipos Linha - 006, Agronômico - 8, Ikeda, Linha - 004, Linha –
008 e Magda, respectivamente.
Já para a largura de frutos, os materiais mais divergentes foram Linha-008 e
Agronômico 8, como pode ser visualizado na figura 2. Esta alta divergência mostrada entre
matérias em relação aos demais, é expressada pela boa combinação específica entre estes dois
materiais (M5 e F2), que graficamente estiveram próximos.
Figura 2. Plano dos dois primeiros componentes principais para a capacidade específica de
combinação em pimentão, para a largura de frutos de um cruzamento dialélico, onde F
representa os genótipos da linha e M os genótipos da coluna da tabela dialélica. Os número de
1 a 6 representam os genótipos Linha - 006, Agronômico - 8, Ikeda, Linha - 004, Linha –
008 e Magda, respectivamente.
O comportamento dos materiais avaliados da variável relação comprimento/largura
(figura 3) apresentou uma diversidade genética um pouco diferenciada do comprimento e da
largura de frutos individualmente. O Agronômico 8, manteve o comportamento de ser o mais
divergente dos vários materiais avaliados. Tanto o Agronômico 8, quanto a Linha-006
também foram os mais divergentes, quando avaliados somente em termos de largura ou
comprimento dos frutos individualmente.
Figura 3. Plano dos dois primeiros componentes principais para a capacidade específica de
combinação em pimentão, para a relação comprimento/largura de frutos de um cruzamento
dialélico, onde F representa os genótipos da linha e M os genótipos da coluna da tabela
dialélica. Os número de 1 a 6 representam os genótipos Linha - 006, Agronômico - 8, Ikeda,
Linha - 004, Linha – 008 e Magda, respectivamente.
A Linha-008 e Agronômico 8 foram os mais divergentes entre os materiais avaliados
para o número de lóculos por fruto, como pode ser visto por meio da figura 4. Também
apresentaram uma boa capacidade específica de combinação entre si, ou seja, podem formar
bons híbridos.
Outros híbridos de performance superior podem ser obtidos pelos cruzamentos entre
Ikeda e Magda (M3 e F6) e Linha-004 e Linha-008 (M4 e F5).
Figura 4. Plano dos dois primeiros componentes principais para a capacidade específica de
combinação em pimentão, para o número de lóculos por frutos de um cruzamento dialélico,
onde F representa os genótipos da linha e M os genótipos da coluna da tabela dialélica. Os
número de 1 a 6 representam os genótipos Linha - 006, Agronômico - 8, Ikeda, Linha - 004,
Linha – 008 e Magda, respectivamente.
Com relação ao peso médio de frutos amostrados, entre os materiais avaliados os
mais divergentes foram Linha-006 e Magda. Estes materiais também apresentaram uma alta
capacidade de formar híbridos superiores, já que M1 e F6 apresentaram-se no gráfico bem
próximos. Também as combinações formadas por Linha-004 x Linha-008 e também Linha008 x Agronômico 8, mostraram-se com alto potencial para exploração do vigor de híbrido.
Figura 5. Plano dos dois primeiros componentes principais para a capacidade específica de
combinação em pimentão, para o peso médio de frutos amostrados de um cruzamento
dialélico, onde F representa os genótipos da linha e M os genótipos da coluna da tabela
dialélica. Os número de 1 a 6 representam os genótipos Linha - 006, Agronômico - 8, Ikeda,
Linha - 004, Linha – 008 e Magda, respectivamente.
CONCLUSÃO
Podemos concluir que a análise Biplot Ammi mostrou-se eficiente na identificação
da diversidade e das melhores combinações híbridas em programas de melhoramento, sendo
que o material Agronômico 8 mostrou-se como promissor para produção de híbridos.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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combining ability. Crop breeding and applied biotechnology, 2002 (prelo).
EKART, C. & YOUNG, G. The aproximation of one matrix by another of lower rank.
Psychometrika, v.1, n.3, p.211-218, 1936.
FALCONER, D.S., Introduction to quantitative genetics. 2.ed. London, Longman, 340p.
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GARDNER,C.O. & EBERHART,S.A., Analysis and interpretation of the variety cross diallel
and related populations. Biometrics, Raleigh, 22:439-52, 1966.
JINKS, J.L., Biometrical genetics of heterosis. In: FRANKEL, R., ed. Heterosis; reappraisal
of theory and pratice. Berlin, Springer Verlag, p.1-46, 1983.
MALUF, W. R.; FERREIRA, P. E. & MIRANDA, J. E. C. de., Genetic divergence in
tomatoes and its relationship with heterosis for yield in F1 hybrids. Revista Brasileira de
Genética, Ribeirão Preto, 6:453-60, 1983.
MIRANDA, J. E. C. de; CRUZ, C. D. & COSTA, C. P. da., Predição do comportamento de
híbridos de pimentão (Capsicum annuum L.) pela divergência genética dos progenitores.
Revista Brasileira de Genética, Ribeirão Preto, 11:929-37, 1988.
TAVARES, M. Heterose e estimativa de parâmetros genéticos em um cruzamento dialélico
de pimentão (Capsicum annuum L.). Lavras, 1993. 88p. (Dissertação Mestrado) - Escola
Superior de Agricultura de Lavras
ESTUDO DOS ALGORITMOS EVOLUTIVOS: PSO e ACO
Jair Rocha do Prado 1, Sezimária F. P. Saramago2
Resumo. Neste trabalho são apresentados os métodos de otimização natural conhecidos como Colônia
de Partículas (Particle Swarm Optimization - PSO) e Colônia de Formigas (Ant Colony Optimization ACO). O algoritmo PSO é baseado em um modelo simplificado da teoria de enxames (swarm theory),
através da qual os pássaros ou partículas fazem uso de suas experiências e da experiência do próprio
bando para encontrarem o ninho ou alimento. Colônia de Formigas (ACO) é o segundo método
estudado nesta pesquisa e seu modelo é inspirado no estudo do comportamento de colônias de
formigas, em particular, no seu comportamento na procura de alimentos. Este método também envolve
uma população de indivíduos, mas com princípios muito diferentes dos outros algoritmos evolutivos.
De uma forma geral, a técnica ACO consiste na utilização de uma trilha de feromônio para guiar a
procura do ótimo. Algumas aplicações são apresentadas para ilustrar as metodologias estudadas. Além
disso, é considerado o problema de maximizar o espaço de trabalho de robôs manipuladores.
Palavras-chave: Otimização por Colônia de Partículas, Otimização por Colônia de Formigas, Robôs
Manipuladores.
STUDY OF EVOLUTIONARY ALGORITHMS: PSO and ACO
Abstract. In this work are presented the natural optimization methods known as Particle Swarm
Optimization (PSO) and Ant Colony Optimization (ACO). The algorithm PSO is based on a simplified
model of the swarm theory, in which the birds or particles make use of their own experience and the
swarm experience in order to find local with food or the nest. ACO is the second type of optimization
techniques considered in this paper, which model is deriving from the study of ant colonies, in
particular, in its behavior in the food search. In this method a population of individuals also evolves but
with very different principals from the other evolutionary algorithms. One general ACO techniques
consists in using pheromone trails to guide the search for the optimum. Some applications are presented
to illustrate the studied methodologies. Besides, it is considered the maximization of the robot
manipulators workspace.
Keywords: Particle Swarm Optimization, Ant Colony Optimization, Robot manipulator.
1
Faculdade de Matemática, UFU, e-mail: [email protected]
Faculdade de Matemática, UFU, e-mail: [email protected]
Av. João Naves de Ávila, 2160, Santa Mônica, Uberlândia, MG, Brasil.
2
1. INTRODUÇÃO
Otimização é o processo de ajuste de características de um dado processo, matemático ou
experimental, para se encontrar o valor máximo ou mínimo da função associada ao referido processo,
que represente seu desempenho. Pode-se aplicar a otimização em várias áreas do conhecimento. Nas
últimas décadas, a aplicação de otimização em problemas de engenharia tem crescido
consideravelmente. Existem muitos métodos de otimização e cada um deles alcança melhor
desempenho dependendo do tipo de problema considerado. A escolha do método depende de uma série
de características do problema a ser otimizado, principalmente do comportamento da função que o
representa, podendo ser de difícil determinação.
As técnicas para a programação não-linear podem ser divididas em métodos determinísticos e
estocásticos, também conhecidos como métodos naturais.
Os métodos determinísticos são baseados no cálculo de derivadas ou em aproximações destas,
necessitando de informações do vetor gradiente, seja procurando o ponto onde ele se anula ou usando a
direção para a qual aponta. Estes métodos só produzem bons resultados quando as funções são
contínuas, convexas e unimodais (funções que possuem apenas um ponto de mínimo ou de máximo)
Sendo um campo crescente de pesquisa e aplicação, torna-se difícil e perigoso chamar qualquer
método de clássico. Pode-se entender como métodos clássicos todo algoritmo de otimização e busca
que usa apenas uma solução atualizada em cada iteração e que, principalmente, trata-se de métodos
determinísticos. Muitos algoritmos de otimização podem ser encontrados em livros padrões (Deb,
1995; Fox, 1971; Haug e Arora, 1989; Himmelblau, 1972; Reklaitis et al, 1983, Vanderplaats, 1999).
A maioria dos algoritmos clássicos ponto a ponto usa um procedimento determinístico para
aproximar a solução ótima. Tais algoritmos começam de uma solução inicial. Daí, baseado em regras
de transição pré-especificada, o algoritmo indica uma direção de busca, obtida através de informações
locais. A busca unidimensional, i.e., busca em apenas uma dimensão, é então realizada ao longo da
direção de busca até encontrar a melhor solução. Esta melhor solução torna-se a nova solução e o
procedimento acima é repetido por um determinado número de vezes. Os algoritmos variam em geral
no modo de escolher as direções de busca.
De forma geral, os métodos de otimização natural requerem maior esforço computacional
quando comparados aos métodos clássicos, mas apresentam vantagens tais como: fácil implementação,
robustez e não requerem continuidade na definição do problema (Venter e Sobieszczanski-Sobieski,
2002).
Os métodos naturais, dos quais os algoritmos evolucionários, ou evolutivos (AEs) fazem parte, se
caracterizam pela busca da melhor solução através de regras de probabilidade, trabalhando de maneira
“aleatória orientada”. Tais métodos utilizam apenas as informações da função de otimização, não
requerendo informações sobre suas derivadas ou possíveis descontinuidades.
Como exemplo desta classe de métodos, pode-se citar os Algoritmos Genéticos, que trabalham
com técnicas de computação evolutiva, as quais modelam a evolução das espécies proposta por Darwin
e operando sobre uma população de candidatos (possíveis soluções). A idéia é que a evolução da
população faça com que a formação dos cromossomos dos indivíduos caminhe para o ótimo, à medida
que aumenta sua função de adaptação (fitness).
O algoritmo conhecido como Colônia de Partículas (Particle Swarm Optimization), um método
baseado no comportamento social de aves. A busca por alimento ou pelo ninho e a interação entre os
pássaros ao longo do vôo são modelados como um mecanismo de otimização. Fazendo uma analogia, a
área sobrevoada é equivalente ao espaço de projeto e encontrar o local com comida ou o ninho
corresponde a encontrar o ótimo. O algoritmo é baseado em um modelo simplificado da teoria de
enxames (swarm theory), através da qual os pássaros ou partículas fazem uso de suas experiências e da
experiência do próprio bando para encontrarem o ninho ou alimento.
Outro método estudado de otimização natural é conhecido como Colônia de Formigas (Ant
Colony Systems). Esta técnica é inspirada no comportamento de colônias de formigas reais, em
particular, pelo seu comportamento na procura de alimento, a idéia central é a comunicação indireta
entre as formigas de uma colônia a qual se baseia na disposição de feromônio no percurso realizado.
Algumas aplicações simples são apresentadas para ilustrar as metodologias estudadas. Além
disso, também é tratado o problema de maximizar o volume de trabalho de robôs manipuladores 3R .
1.1 Problema Geral de Otimização
O problema geral de otimização consiste em minimizar uma função objetivo, sujeita, ou não, a
restrições de igualdade, desigualdade e restrições laterais.
A função objetivo e as funções de restrições podem ser funções lineares ou não lineares em
relação às variáveis de projeto, implícitas ou explícitas, calculadas por técnicas analíticas ou numéricas.
Seja o problema geral de otimização dado por:
Minimizar: f(x), x = [x1, x2,..., xn]T, x H  n ҏҞ
(1)
Sujeito a: g j (x) d 0 , j=1,2,...,J
hk (x) = 0 , k=1,2,...,K
(2)
xi(L ) d x d xi(U ) , i= 1,2,..., n
onde, f ( X ) representa a função objetivo, g j e hk as restrições de desigualdade e de igualdade, xi(L) e
xi(U) as restrições laterais. Todas essas funções assumem valores em  n ҏ e são, na maioria, nãolineares.
2.
OTIMIZAÇÃO
POR
COLÔNIA
DE
PARTÍCULAS
(PARTICLE
SWARM
OPTIMIZATION)
Otimização por colônia de partículas (PSO), é uma técnica de otimização desenvolvida na
década de 90, mais precisamente em 1995, por James Kennedy e Russel Eberhart. Neste modelo é
analisado algoritmos que modelam o “comportamento social” visto em várias espécies de pássaros.
Dentre vários modelos vamos estudar a técnica desenvolvida pelo biólogo Frank Heppener que
é baseada no seguinte comportamento: pássaros estão dispostos aleatoriamente e estes estão a procura
por alimento e um local para construir o seu ninho, eles não sabem onde está esse lugar e este é único.
A indagação é qual o melhor comportamento que os pássaros terão que realizar para conseguir efetuar
seu objetivo, parece mais evidente que eles sigam o pássaro que estiver mais próximo do alimento ou
do ninho. Inicialmente os pássaros voam sem nenhuma orientação prévia, eles se aglomeram em
bandos, até que um consegue encontrar o ninho e a seguir atrair os que estiverem mais próximos.
Pelo fato de um pássaro encontrar o ninho a chance de os outros pássaros também o
encontrarem aumenta consideravelmente, isto se deve ao fato de a inteligência ser social, ou seja, o
indivíduo aprende com o acerto do outro. A formulação matemática do algoritmo Particle Swarm
Optimization (PSO) pode ser encontrada em Prado e Saramago (2005).
3. OTIMIZAÇÃO POR COLÔNIA DE FORMIGAS (ANT COLONY SYSTEMS - ACS)
O algoritmo de colônia de formigas ou ant colony systems (ACS) é inspirado no
comportamento de colônias de formigas reais, em particular, no seu comportamento na procura de
alimento. Foi proposto originalmente por Dorigo et.al (1991), cuja idéia central é a comunicação
indireta entre as formigas de uma colônia a qual se baseia na disposição de feromônio no percurso
realizado. Feromônio é o hormônio produzido pelas formigas para comunicarem entre si.
Formigas reais são capazes de determinar o caminho mais curto entre o formigueiro e a fonte de
alimento. As primeiras formigas seguem em direção ao alimento e depositam o feromônio no caminho
percorrido, ao retornarem ao formigueiro outras formigas seguem seus rastos previamente deixados de
maneira que a primeira formiga que retorna fez o caminho mais curto dos já percorridos. Esse processo
da origem a um ciclo pela busca de alimento reforçando cada vez mais a trilha de feromônio do melhor
caminho. A escolha dos primeiros caminhos é aleatória, porém, depois de determinado período de
tempo, o melhor caminho terá maior quantidade de feromônio influenciando a decisão de outras
formigas.
O ACS é baseado em uma população de formigas que pode ser utilizada para resolução de
problemas combinatórios. O ACS é um algoritmo não-determinístico baseado em mecanismos que se
encontram na natureza, é paralelo e adaptativo, pois os agentes se movimentam de forma independente
e sem nenhum controle central, é um algoritmo cooperativo, pois cada agente (formiga) se comunica
indiretamente com as demais através do feromônio. Segundo Coelho (2003) este comportamento pode
ser acompanhado nas Figs. 1 a 4.
Figura 1 – Movimentação inicial das formigas em direção ao alimento.
Figura 2 – Uma formiga retorna ao formigueiro, enquanto a outra se movimenta em direção ao
alimento.
Figura 3 – Outras formigas começam a seguir o feromônio depositado pela primeira formiga ao
retornar ao formigueiro.
Figura 4 – A maioria das formigas começam a seguir o melhor caminho (com mais feromônio) em
direção ao alimento
Este princípio da natureza pode ser útil na configuração de uma colônia de formigas artificiais
para resolução de vários problemas de otimização.
3.1 Algoritmo da Otimização por Colônia de Formigas
O algoritmo desenvolvido neste trabalho combina o principio de uma colônia de formigas com
uma determinada população genética. Sua formulação é baseada nos algoritmos genéticos binários aos
quais se inseriu uma distribuição de probabilidades para gerar indivíduos (formigas) ao invés de usar
seus operadores de mutação, cruzamento e seleção.
No algoritmo colônia de formigas a população de formigas evolui de acordo com a trilha de
feromônio. A evolução da trilha, que é feita a cada iteração, ocorre de acordo com as probabilidades
geradas inicialmente e com uma regra especifica de atualização. Essa trilha conduz a distribuição de
probabilidade sobre o espaço de busca onde cada formiga tem uma dada probabilidade de seguir
determinado caminho.
As soluções para o problema são construídas por várias formigas individualmente e a avaliação
de cada uma delas é usada para atualizar a trilha de feromônio.
3.2. Implementação do Algoritmo da Otimização por Colônia de Formigas
O algoritmo colônia de formigas é um algoritmo de minimização de funções que pode ser
descrito em cinco passos, conforme o fluxograma da Fig.5. Cada um desses passos é descrito abaixo.
Vamos definir o espaço de busca S
{0,1} e a função custo f, f : S o  .
Cada formiga tem uma dada probabilidade V 0i ou V 1i de seguir o caminho 0 i ou 1i ,
respectivamente, com i=1,...,l as quais compõe o vetor de probabilidades V j
[v1 , v 2 ,..., vl ] onde
j=1,...,n , vi  >0,1@ e l é a quantidade de bits de cada vetor V j . Na primeira iteração, o conjunto de
vetores V j é gerado aleatoriamente, a partir da segunda iteração faz-se suas respectivas atualizações.
Os vetores V j são as trilhas de feromônio. Os vetores V j com j=1,...,n, onde n representa a quantidade
de formigas da colônia, são usados para gerar a cadeia de valores p j
[ s1 , s 2 ,..., sl ] com si  S .
Segue, abaixo, a regra para geração dos p j :
1 , se vi t 0.5
®
¯0 , se vi 0.5
si ( j )
i=1,...,l j=1,...,n
(3)
Nesse ponto, cada vetor pi é composto por zeros e uns, para que seja possível a avaliação da função
custo é preciso passar os valores para base 10 e escreve-los no espaço de busca.
Escrever na base 10:
l
x
¦s 2
i
(4)
i
i 1
Trazer para o espaço de busca:
x
lo x *
( h0 lo )
2l 1
(5)
onde: ho é o extremo superior do intervalo
lo é o extremo inferior do intervalo
A seguir, avalia-se o valor da função custo para cada valor de x e utilizando-os para a
atualização dos vetores V j . A atualização é dada por:
n
V k m (1 U )V k ¦ ' jk
i
i
(6)
i
i 1
onde U é um número randômico no intervalo [0,1] e
'
j
ki
1

, se s j (i )
°
®1 f ( s j )
°
0 , se s j (i ) z k
¯
k
(7)
Inicializa V
x
x
Gera P
Escreve na base 10
Traz para o intervalo de busca
Avalia f
Atualiza V
Convergi
Fim
Figura 5 - Fluxograma ilustrativo da colônia de formigas
Acrescenta-se 1 ao denominador, acima, para evitar descontinuidades da função quando
f (s j )
0.
Essa é a descrição da primeira iteração e deve se repetir até que o critério de parada ou de
convergência seja satisfeito.
4.
APLICAÇÃO:
OTIMIZAÇÃO
DO
ESPAÇO
DE
TRABALHO
DE
ROBÔS
MANIPULADORES 3R
Os robôs manipuladores 3R com três juntas rotacionais que serão estudados neste momento pode
ser observado no esquema cinemático representado na Fig. 6. O efetuador é montado no final da
terceira junta.
A capacidade de um robô desenvolver uma determinada tarefa depende da sua arquitetura e da
dimensão de seus membros, assim como da posição por ele assumida no ambiente de trabalho. Estas
características devem ser consideradas no projeto dos manipuladores robóticos, ou melhor, na definição
de sua geometria. No caso de manipuladores com juntas puramente rotacionais, os parâmetros de
projeto são a1, a2, a3, d2, d3, D 1 e D 2 (representados na Figura 1); os termos T ңѽҏ T 2 e T 3ҏ representam as
variáveis cinemáticas.
Figura 6 - Esquema cinemático de um robô manipulador 3R, juntamente
com os parâmetros cinemáticos.
4.1. Cinemática de robôs manipuladores utilizando o método de Denavit-Hartenberg
Um dos métodos mais usados para descrever geometricamente um robô é aquele que utiliza a
notação de Denavit e Hartenberg (Denavit, 1955), cujo esquema é exibido na Fig. 7. Esta notação
basicamente consiste em construir a matriz de transformação homogênea, Ti i1 , que representa o
sistema XiYiZi, associado ao i-ésimo membro do robô, em relação ao sistema Xi-1 Yi-1 Zi-1, associado ao
(i-1)-ésimo membro, para cada i variando de 1 a n, onde n é o grau de liberdade do robô.
Figura 7 - Notação de Denavit e Hartenberg para manipuladores.
Pela Fig. 7 pode-se observar que a representação do sistema XiYiZi em relação ao sistema Xi-1Yi1Zi-1
percorre quatro etapas bem definidas, representadas pelos quatro parâmetros cinemáticos
D i-1,
ai-1, di e T i, que também são conhecidos por parâmetros de Denavit-Hartenberger. Usando esta
representação, seja a matriz de transformação homogênea genérica de um sistema de referência em
relação ao precedente dada por:
Tii1
Rot( D i , X i 1 ) Trans( ai 1 ,0 ,0 ) Trans( 0 ,0 , d i ) Rot( T i , Z i )
CT i
ª
« ST CD
i 1
« i
« ST i SD i 1
«
0
¬
ST i
0
CT i CD i 1 SD i 1
CT i SD i 1 CD i 1
0
0
(8)
ai 1 º
d i SD i 1 »»
d i CD i 1 »
»
1
¼
A matriz de transformação homogênea que representa as coordenadas do efetuador em relação à
base, T0n , pode ser obtida através da seguinte expressão (Saramago e Steffen Júnior, 1999):
T0n
T01  T12  T23   Tnn1
(9)
Conforme mostrado na Fig.6, a cinemática do robô manipulador 3R é feita com o auxílio de
quatro sistemas de referência. A matriz de transformação homogênea do sistema X1Y1Z1 em relação à
base é determinada da seguinte forma:
T01
Rot (T1, Z1 )
ªCT1 ST 1
«ST
« 1 CT1
« 0
0
«
0
¬ 0
0 0º
0 0»»
1 0»
»
0 1¼
(10)
Na representação do sistema X2Y2Z2 em relação ao sistema X1Y1Z1 e do sistema X3Y3Z3 em relação
ao sistema X2Y2Z2, os parâmetros de Denavit-Hartenberger podem ser todos diferentes de zero.
Portanto, as respectivas matrizes de transformação homogênea são dadas por
T12
a1 º
ST 2
0
ª CT 2
« ST CD
CT 2 CD 1 SD 1 d 2 SD 1 »»
2
1
«
« ST 2 SD 1 CT 2 SD 1 CD 1 d 2 CD 1 »
»
«
0
0
0
1 ¼
¬
T23
ª CT 3
«
« ST 3 CD 2
« ST 3 SD 2
«
0
¬
ST 3
0
CT 3 CD 2 SD 2
CT 3 SD 2 CD 2
0
0
(11)
a2
º
»
d 3 SD 2 »
d 3 CD 2 »
»
1 ¼
(12)
Considere, agora, um ponto H no sistema X3Y3Z3, que pode ser escolhido como o centro do
efetuador. Por se tratar do sistema X3Y3Z3, este ponto será denotado por H3 e representado por
H3
ªa 3 º
«0»
« »
«0»
« »
¬1¼
(13)
Note que a3 deve ser diferente de zero. Caso contrário, H3 seria a origem do sistema X3Y3Z3, não
sofrendo assim nenhum movimento decorrente da terceira junta, o que não é de interesse prático.
Utilizando a Eq. (9), a representação vetorial de H3 em relação à base, denotada por H0, é obtida
da seguinte forma
H0
T01 T12 T23 H 3
T01 H 1
(14)
Expandindo a Eq. (14), pode-se obter
H2
ªH x º
« 2y »
«H 2 »
« z»
«H2 »
«¬ 1 »¼
H1
ªH x º
« 1y »
«H 1 »
« z»
«H1 »
« 1 »
¼
¬
T23 H 3
a3 CT 3 a 2
ª
º
« a ST CD d SD »
2
3
2 »
« 3 3
« a3 ST 3 SD 2 d 3 CD 2 »
«
»
1
¬
¼
(15)
T12 H 2
ª
º
H 2x CT 2 H 2y ST 2 a1
«
»
« H 2x ST 2 CD 2 H 1y CT 1 CD 1 H 2z SD 1 d 2 SD 1 »
«
»
y
x
z
« H 2 ST 2 SD 1 H 2 CT 2 SD 1 H 2 CD 1 d 2 CD 1 »
«
»
1
¬
¼
(16)
e, por fim
H0
T01 H 1
ª H x C T H y ST º
1»
1
1
« 1
y
x
« H 1 ST 1 H 1 C T 1 »
»
«
H 1z
»
«
»
«
1
¼
¬
(17)
4.2. Espaço de Trabalho de Manipuladores 3R
O espaço de trabalho W(H) de um ponto H situado na extremidade do robô manipulador é o
conjunto de todos os pontos que H ocupa quando as variáveis de junta são variadas em todo os seus
intervalos de definição (Gupta e Roth, 1982), representado na Fig.8 (a).
O procedimento mais imediato para investigar o espaço de trabalho é variar os ângulos T 1, T 2 e
T 3 sobre seus intervalos de definição e estimar as coordenadas do ponto H com respeito à base do
manipulador. Desta maneira, obtém-se a posição do órgão terminal, tendo como resultado a
representação vetorial dada por H0 na Eq. (17).
(a)
(b)
Figura 8 - (a) Espaço de trabalho de um robô 3R; (b) seção radial plana.
A Fig. 8 (a) exibe o espaço de trabalho seccionado de um determinado manipulador 3R. Como
pode se ver, o espaço de trabalho deste tipo de robô é um sólido de revolução, tendo Z1 como o seu
eixo de revolução. Desta forma, é natural imaginar que o espaço de trabalho é o resultado da rotação,
em torno do eixo Z1, de uma seção radial plana que funcione como uma seção geratriz. A Fig. 8 (b)
esboça a seção radial relativa ao espaço de trabalho exibido na Fig. 8 (a).
Então, o espaço de trabalho de robôs com estrutura 3R pode ser obtido por intermédio da
extensão radial r e da extensão axial z com respeito à base (Ceccarelli, 1996; Cecarelli e Lanni, 1999).
Para esta representação, r é a distância de um ponto genérico do espaço de trabalho ao eixo Z1 e z é a
distância desse mesmo ponto ao plano X1Y1 (veja Fig. 8 (b)). Assim, usando a Eq. (17), as equações
paramétricas do lugar geométrico descrito pelo ponto H sobre um plano radial são:
2
2
 2
H 1x H 1y
°r
®
°¯ z H 1z
(18)
Para exemplificar, considere uma configuração particular, cujos parâmetros de projeto são: a1 =
3.0, a2 = 1.0, a3 = 0.5,
d2 = 1.0, d3 = 1.0, D 1 = 60° e D 2 = 60°. Utilizando a Eq. (17), obtém-se
o conjunto dos pontos r e z, que formam a família de curvas que está contida na seção radial do espaço
de trabalho deste robô, conforme mostrado na Fig. 9.
Figura 9 - Família de curvas contida na seção radial do espaço de trabalho de um particular
manipulador 3R.
O volume do espaço de trabalho V, é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da
seção radial em torno do eixo Z0. Assim, usando o Teorema de Pappus-Guldin, em acordo com o
esquema mostrado na Fig. 10, o volume é dado através da equação:
V = 2 S rg Área
(19)
Figura 10. Cálculo do volume do espaço de trabalho de manipuladores 3R
Este pesquisa propõe uma formulação numérica para aproximar o cálculo da área da seção radial,
através de sua discretização em uma malha retangular. Inicialmente, deve-se obter os valores extremos
dos vetores r e z, ou seja
rmin = min {r} e rmax = max {r}
zmin = min {z} e zmax = max {z}
(20)
Adotando-se o número de sub-intervalos desejados para a discretização ao longo de r e z (nr e nz),
pode-se calcular as dimensões das áreas elementares da malha:
rmax rmin
nr
'r
z max z min
nz
, 'z
(21)
A Eq. (18) permite calcular todos os pontos da família de curvas que compõem a seção radial do
espaço de trabalho. Dado um determinado ponto (r,z), determina-se sua posição dentro da malha de
discretização, através do seguinte controle de índices:
i
§ r rmin ·
int ¨
¸ 1
© 'r ¹
j
§ z z min ·
int ¨
¸ 1
© 'z ¹
(22)
Conforme mostrado no esquema da Fig. 11, o ponto da malha que pertence ao espaço de trabalho
será identificado como Pij=1, do contrário terá valor nulo, ou seja
Pij
 0 se Pij  W ( H )
® 1 se P  W ( H )
ij
¯
(23)
z
Pij = 1
zmax
'z
j+
Pi+3 , j-1 = 0
j
j-
zmin
rmin i-
i i+
rmax
r
'
Figura 11. Discretização da seção radial usando malha retangular.
Desta forma a área total será obtida pela soma de todas as áreas elementares da malha. Na Eq.
(24), observe que apenas os pontos pertencentes ao espaço de trabalho contribuem para o cálculo da
área:
i max j max
Area
¦
¦ ( Pij 'r'z )
(24)
i 1 j 1
A coordenada do baricentro é calculada considerando a soma dos baricentros de cada área
elementar, dividido pela área total, ou seja:
i max j max
¦ ¦
rg
i 1 j 1
Pij 'r 'z §¨( i 1 ) 'r '2r rmin ·¸
©
Area
¹
(25)
Finalmente, conhecendo-se os valores da área e do baricentro da seção radial, dados pelas Eqs.
(24) e (25), pode-se calcular o volume do espaço de trabalho do manipulador usando a Eq. (19).
4.3 Formulação do Problema Ótimo
O trabalho proposto consiste na síntese dimensional de um manipulador 3R. Assim, o problema
de otimização é formulado visando à maximização do volume do espaço de trabalho, V. O problema de
otimização é, então, definido como:
max I ̓ = V
sujeito a X l d X d X u
(26)
O vetor das variáveis de projeto é dado por X = [a1, a2, a3, d2, d3, D 1, D 2], Xl e Xu representam os
limites inferiores e superiores, respectivamente.
5. SIMULAÇÃO NUMÉRICA
A seguir serão apresentadas as simulações numéricas que visam obter a solução ótima de alguns
problemas mecânicos e a otimização do volume de trabalho de robôs manipuladores 3R. Algoritmos
Genéticos (AG) foram aplicados usando o programa GAOT (Houck et al, 1995). Para o caso da
Evolução Diferencial (ED), Otimização por Colônia de Partículas (PSO) e Otimização por Colônia de
Formigas foram aplicados códigos computacionais desenvolvidos pelos autores em MATLAB.
Exemplo 1: Problema do Pêndulo
Sob a ação de uma força F, o sistema move de A até a posição de equilíbrio B. Obtenha esta
posição de equilíbrio, que corresponde à mínima energia potencial:
min
onde,
Ep
x
Wy F x
L sinT
y L (1 cos T)
dados: W = 500 N; F = 100 N; L = 2,5 m , T  [0 , S /2]
Figura 12 – Sistema de pêndulos nas condições inicial e final
AG
PSO
ACO
Fmin(N.m)
24.7549
24.7549
24.7549
X (graus)
11.31
11.3102
11.3045
Tabela 1 – Comparação de resultados obtidos
Observando a Tab.1 verifica-se que os três métodos convergem para a solução do problema,
obtendo a energia mínima E = 24.7545.
Exemplo 2: Problema do Compressor de Multi-Estágios
Seja vapor d’água fluindo a razão de N moles/hr à pressão de 1 atm, que deve ser comprimido à 64
atm usando um compressor de três estágios conforme Fig. 13.
Assume-se que o processo seja
reversível, adiabático e que após cada estágio o vapor esteja à mesma temperatura inicial T.
Figura 13 - Compressor de multi-estágios
Deseja-se determinar as pressões intermediárias que minimize o consumo de energia, ou seja, que
o trabalho seja mínimo:
N R T D F ( p)
W
F ( p)
(27)
 P D § P ·D § 64 ·D
½
°§ 1 ·
°
2¸
¨
¨
¸
3
¨
¸
®
¾
¨P ¸
¨P ¸
1
© 1¹
© 2¹
°̄© ¹
°¿
onde D
k 1
k
Assim, para atingir o objetivo basta minimizar F(p), onde k
(28)
C p / Cv
1,33 para vapor d’água e R
é a constante ideal dos gases. Como restrições têm-se P1 t 1,0 e 1 d P2 d 64 .
Figura 14 - Função objetivo para compressor multi-estágios
Variáveis
AG
PSO
ACO
P1
4.000
4.000
3.9958
P2
16.000
16.000
15.7683
F(p)
1.2315
1.2315
1.2315
Tabela 2 - Minimização do compressor multi-estágios
A Fig. 14 representa a função objetivo F(p) e as suas curvas de nível. Nesta aplicação todas as
técnicas evolutivas obtiveram a mesma solução, conforme apresentado na Tab.2.
Exemplo 3: Problema do Equilíbrio Estático de Várias Molas
Considerando um sistema de 5 pesos e 6 molas mostrados na figura abaixo:
Figura 15 – Sistema de molas nas condições inicial e final
O sistema será analisado para que se determine a posição de equilíbrio minimizando a Energia
Potencial. A equação da deformação das molas é a seguinte:
¨L = [ ( Xi+1 – Xi )² + ( Yi+1 + Yi ) ² ]1/2 Li0
(29)
Na qual o comprimento Li0 =10m para todas molas e há um total de N +1 molas sendo N o
numero de pesos (N=5)
A rigidez da mola i é adotada como sendo:
Ki = 500 + 200 (
N
– i )² N/m
3
(30)
O peso Wj é definido com sendo
Wj = 50j N
(31)
No qual j corresponde à junta em que Wj é aplicado. A Energia Potencial é agora:
Ep
N 1 1
6
i 1 2
K i 'Li 2 N
6 W jY j
(32)
j 1
Energia Potencial calculada em Newton por metros, e as coordenadas são positivas como
mostradas na figura.
Neste exemplo o AG obteve um resultado muito melhor do que as duas técnicas estudadas.
Tanto o ACO quanto o PSO apresentaram dificuldades na solução deste problema, sendo que a
performance do ACO foi um pouco melhor do que a do PSO.
Xm
AG
PSO
ACO
X1
10,4
12.5149
10
X2
21,1
25
21
X3
31,7
35
31
X4
42,1
45
42
X5
51,8
55
51
X6
-4,30
0
-5
X7
-7,9
-3.3579
-13
X8
-9,9
-7.6363
-13
X9
-9,4
-10.3348
-10
X10
-6
-8.7569
-6
Tabela 3 – Minimização do Equilíbrio Estático de várias molas – Posição
Fmin
(N.m)
AG
PSO
ACO
- 4416
-1169
-2001
Tabela 4 – Minimização do Equilíbrio Estático de várias molas – Energia Potencial
Exemplo 4: Robôs Manipuladores 3R
Os resultados obtidos visando a maximização do volume de trabalho de um robô manipulador
3R podem ser observados nas Tabs.5 e 6.
Xmax
AG
PSO
ACO
X1
3
3
0.9876
X2
2.9982
3
2.7447
X3
3
3
2.5671
X4
2.9706
3
0.8839
X5
2.9983
3
0.2612
X6
1.2838
71.1434
15.2275
X7
1.2050
64.1077
43.1074
Tabela 5 - Maximização do volume do espaço de trabalho dos robôs manipuladores 3R.
Vm
AG
PSO
ACO
244.8221
244.9321
33.3741
Tabela 6 - Volume máximo do espaço de trabalho dos robôs manipuladores 3R.
Figura 16 – Família de curvas contida na seção radial do espaço de trabalho de um
manipulador 3R de acordo com o ACO.
Figura 17 – Família de curvas contida na seção radial do espaço de trabalho de um particular
manipulador 3R de acordo com o PSO.
Este é um problema complexo de difícil solução. Na Tab.7 observa-se que o volume máximo
obtido foi o mesmo para o PSO e AG, sendo, no entanto, bastante inferior no caso do ACO. Esta última
técnica apresentou grandes dificuldades na solução deste problema, seus resultados foram muito
inferiores, não sendo recomendado sua utilização no caso desta aplicação.
6. CONCLUSÃO
Este trabalho apresenta um estudo sobre algoritmos evolutivos, considerando duas técnicas
desenvolvidas recentemente: otimização por colônia de partículas e otimização por colônia de
formigas. É proposto também o estudo do volume de trabalho de robôs manipuladores 3R, com intuito
de aplicar os métodos de otimização citados acima.
A análise dos resultados obtidos durante a aplicação das duas técnicas estudadas demonstram a
potencialidade destes métodos e a necessidade de aprofundar os estudos para aperfeiçoá-los.
Para problemas complexos o PSO apresentou uma performance superior ao ACO. De uma
forma geral, recomenda-se à utilização de técnicas diversas na solução de problemas de otimização e a
comparação dos resultados, pois não é possível escolher o melhor método uma vez que o
comportamento das técnicas muda de acordo com o problema em estudo.
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Denver, CO, Vol. AIAA-2002-1235, April 22-25 2002.
EVOLUÇÃO DIFERENCIAL APLICADA À SOLUÇÃO DE ALGUNS
PROBLEMAS DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
Matheus Borges Arantes
[email protected]
Giovana Trindade da Silva Oliveira
[email protected]
Sezimária Fátima Pereira Saramago
[email protected]
Universidade Federal de Uberlândia.
2160 João Naves de Ávila Av., Campus Santa Mônica,
CEP 38400-902, Uberlândia, Brasil
Resumo: Devido à grande evolução dos recursos computacionais e também da
utilização de técnicas de otimização cada vez mais simples e eficientes, torna-se cada
vez mais atraente a utilização de métodos de otimização na solução de problemas
complexos nas mais diferentes áreas científicas. Entre os novos métodos destacam-se os
algoritmos naturais baseados em populações, sendo que a Evolução Diferencial (ED)
apresenta a vantagem de trabalhar com um número pequeno de indivíduos, reduzindo
bastante o tempo computacional e permitindo a aplicação na solução de problemas de
otimização complexos e com elevado número de variáveis de projeto. O objetivo deste
trabalho é apresentar a Evolução Diferencial e aplicá-la na solução de dois problemas
clássicos de engenharia. O primeiro problema visa minimizar o custo da produção de
cimento Portland, considerando o co-processamento e a adição de mineralizadores. A
segunda aplicação considera o problema do despacho econômico de energia elétrica,
que consiste na seleção ótima de geradores de uma unidade de produção de energia,
considerando a minimização do custo total de combustível. Os resultados obtidos serão
comparados com os encontrados na literatura.
Palavras-chave: otimização, evolução diferencial, cimento Portland, despacho
econômico
1.
INTRODUÇÃO
O objetivo da otimização é encontrar a melhor configuração de um projeto com
mais eficiência e menor custo operacional.
A aplicação de otimização em vários campos da ciência tem crescido
consideravelmente nas últimas décadas. Existem muitos métodos de otimização e cada
um deles alcança melhor resultado dependendo do tipo de problema a que são aplicados.
A escolha do método depende de uma série de características do problema a ser
otimizado, principalmente do comportamento da função que o representa (Vanderplaats,
1999). De acordo com estas características, os métodos podem ser classificados em
métodos de programação linear e programação não-linear. Sendo que os métodos de
programação não-linear podem ser divididos em métodos determinísticos e métodos
naturais.
Os métodos determinísticos são baseados no cálculo de derivadas ou em
aproximações destas, necessitando de informações do vetor gradiente, seja procurando o
ponto onde ele se anula ou usando a direção para a qual aponta. Estes métodos
produzem melhores resultados para funções contínuas, convexas e unimodais (funções
que possuem apenas um ponto de mínimo ou de máximo).
Os métodos naturais ou estocásticos utilizam apenas as informações da função a
ser otimizada, que pode ser de difícil representação, não-linear, descontínua, não
diferenciável, multimodal (possui muitos pontos de mínimo ou de máximo). Estes
métodos buscam o ótimo através de regras de probabilidade operando de maneira
“aleatória orientada”. Entre as técnicas mais conhecidas destacam-se os algoritmos
genéticos (AGs), as estratégias evolutivas (EEs), Recozimento Simulado, entre outros
(Goldberg, 1989; Schwefel, 1995; Kirkpatrick et al., 1983; Saramago and Faria, 2001).
Os algoritmos evolutivos (AEs) imitam os princípios da evolução natural ao
criar procedimentos de otimização e busca. Além disso, são baseados em população de
indivíduos, onde cada indivíduo representa um ponto de busca no espaço das soluções
candidatas de um dado problema. Os AEs possuem alguns procedimentos de seleção
baseados na aptidão dos indivíduos, operadores de cruzamento e mutação.
Neste artigo é apresentado o algoritmo evolutivo denominado Evolução
Diferencial desenvolvido por Storn e Price (1995), que tem sido aplicado com sucesso
em vários campos da ciência, podendo ser citado entre muitos outros, a solução de:
projeto de sistemas (Storn, 1999), solução de sistemas lineares (Cheng and Hwang,
2001), transferência de calor (Babu and Munawar), projeto manipulador de robô
(Bergamaschi et al, 2005). A idéia principal da evolução diferencial é gerar novos
indivíduos, denotados vetores modificados ou doadores, pela adição da diferença
vetorial ponderada entre dois indivíduos aleatórios da população a um terceiro
indivíduo. Será mostrado que este princípio de usar diferenças de vetores para perturbar
a população (indivíduos) resulta em um método de rápida convergência, fácil
implementação e robusto.
O objetivo deste trabalho é utilizar a Evolução Diferencial na solução de dois
problemas de engenharia. O primeiro problema visa minimizar o custo da produção de
cimento Portland, considerando o co-processamento e a adição de mineralizadores. O
segundo considera o problema do despacho econômico de energia elétrica, que consiste
na seleção ótima de geradores de uma unidade de produção de energia, considerando a
minimização do custo total de combustível.
2.
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA ÓTIMO
Um problema de otimização pode ser formulado como encontrar um vetor de n
variáveis de projeto X = [x1, x2,…, xn]T que otimize uma função objetivo, f(X), e
satisfaçam as restrições de igualdade, desigualdade e laterais. O problema pode ser
escrito como:
Minimizar f(X)
 g j ( X ) d 0 , j 1,..., J .
°
Sujeito a °®hl ( X ) 0 , l 1,..., L.
° inf
sup
°¯ xi d xi d xi , i 1,..., n.
(1)
(2)
Muitos algoritmos evolutivos são desenvolvidos para resolver problemas irrestritos,
assim, no caso de problemas com restrições, é necessário introduzir modificações nestes
métodos. Neste artigo, é utilizado o conceito de Função de Penalidade (Vanderplaats,
1999). Nesta técnica, os problemas com restrições são transformados em problemas sem
restrições adicionando uma função de penalidade P(X) à função objetivo original para
limitar as violações das restrições. Esta nova função objetivo, chamada pseudo objetivo,
é penalizada de acordo com um fator de penalidade toda vez que encontrar uma
restrição ativa. Seja a função pseudo objetivo, ĭ, dada por:
)( X )
f ( X ) rp P ( X )
P( X )
ª J
« ¦ ^ max 0 , g j ( X )
¬ j1
>
(3)
@`
2
L
¦ > h (X ) @
l
l 1
2
º
»
¼
(4)
onde f(X) é a função objetivo original dada na Equação (1), P(X) é a função de
penalidade imposta, dada pela Equação (4), gj(X) e hl(X) são funções de restrições de
desigualdade e igualdade, respectivamente, conforme a Equação (2). O escalar rp é um
multiplicador que quantifica a magnitude da penalidade. Observa-se que para a
eficiência do método, devem ser adotados elevados valores para o fator de penalidade,
garantindo a obediência a todas as restrições.
3.
EVOLUÇÃO DIFERENCIAL
A Evolução Diferencial foi desenvolvida por Storn e Price em meados da década de
noventa e surgiu de tentativas de resolver o problema de ajuste polinomial de
Chebychev (Storn and Price, 1995).
O algoritmo é iniciado criando uma população inicial escolhida aleatoriamente
devendo cobrir todo o espaço de busca. Geralmente, é criada por uma distribuição de
probabilidade uniforme, quando não há nenhum conhecimento sobre o problema.
A idéia principal da evolução diferencial é gerar novos indivíduos, denotados
vetores modificados ou doadores, pela adição da diferença ponderada entre dois
indivíduos aleatórios da população a um terceiro indivíduo. Esta operação é chamada
mutação.
As componentes do indivíduo doador são misturadas com as componentes de um
indivíduo escolhido aleatoriamente (denotado vetor alvo), para resultar o chamado vetor
tentativa, ou vetor experimental. O processo de misturar os parâmetros é referido
freqüentemente como "cruzamento" na comunidade dos algoritmos evolutivos.
Se o vetor experimental resultar um valor da função objetivo menor que o vetor
alvo, então o vetor experimental substitui o vetor alvo na geração seguinte. Esta última
operação é chamada seleção. O procedimento é finalizado através de algum critério de
parada.
3.1 Operadores da Evolução Diferencial
Os operadores da evolução diferencial se baseiam no princípio da evolução natural
cujos objetivos são manter a diversidade da população e evitar convergências
prematuras. São eles:
Mutação: Sejam os vetores XĮ, Xȕ e XȖ escolhidos aleatoriamente e distintos entre
si. Na geração q um par de vetores (Xȕ, XȖ) define uma diferença Xȕ – XȖ. Esta diferença
é multiplicada por F > 0, sendo denotada por diferença ponderada, e é usada para
perturbar o terceiro vetor XĮ ou o melhor vetor Xbest da população. Este processo que
resulta o vetor doador V(q+1) pode ser escrito matematicamente como:
V ( q 1)
X D( q ) F ( X E( q ) X J( q ) ) ou V ( q 1)
(q)
X best
F ( X E( q ) X J( q ) )
(5)
onde os índices aleatórios Į, ȕ, Ȗ  {1,..., Np} são inteiros distintos entre si e diferentes
do índice d. O número de indivíduos da população, Np, deve ser maior ou igual a 4. F é
um número real e constante pertencente ao intervalo [0,2] que controla a amplitude da
diferença ponderada. A Figura 1 mostra um exemplo bidimensional que ilustra os
diferentes vetores que participam da geração do vetor doador V(q+1).
x2
x Np indivíduos da geração q
Indivíduo recém gerado V( q+1)
F ( X E( q ) X J( q ) )
Mínimo
x
X d(q )
(q)
XJ
x
x
X E( q )
x
x
x
x
x
x
X D( q )
x
x
x
V ( q 1)
X D( q ) F ( X E( q ) X J( q ) )
x1
Figura 1 - Processo de gerar o vetor doador V(q+1) para uma função objetivo
bidimensional.
Se o número de indivíduos da população é grande o suficiente, a diversidade da
população pode ser melhorada usando duas diferenças ponderadas para perturbar um
vetor existente, ou seja, cinco vetores distintos são escolhidos aleatoriamente na
população atual. O vetor diferença ponderada usa dois pares de diferenças ponderadas e
é usado para perturbar o quinto vetor ou o melhor vetor da população atual. Este
processo pode dado por:
V ( q 1)
X D( q ) F ( X O( q ) X E( q ) X J( q ) X G( q ) )
(6)
ou
V ( q 1)
X D( q ) F ( X O( q ) X E( q ) X J( q ) X G( q ) )
(7)
Os índices aleatórios Į, ȕ, Ȗ, Ȝ, į  {1,..., Np}, são inteiros mutuamente distintos e
diferentes do índice d, tal que Np  6.
Cruzamento: O cruzamento é introduzido para aumentar a diversidade dos
indivíduos que sofreram a mutação. Assim, as componentes do vetor experimental
U(q+1) são formadas conforme a expressão:
u
( q 1)
i
°vi( q 1) , se ri d CR
® (q)
°̄ x d ,i , se ri ! CR , i
(8)
1,..., n
onde ri é um número gerado aleatoriamente com resultado no intervalo [0, 1]. xd,i são as
componentes do vetor alvo Xd(q). CR é a probabilidade do cruzamento ocorrer,
representa a probabilidade do vetor experimental herdar os valores das variáveis do
vetor doador, e está compreendida entre 0 e 1, sendo fornecida pelo usuário. Quando CR
= 1, por exemplo, todas as componentes do vetor experimental virão do vetor doador
V(q+1). Por outro lado, se CR = 0, todas as componentes do vetor experimental virão do
vetor alvo Xd(q).
Se após o cruzamento uma ou mais componentes do vetor experimental estiver fora
da região de busca, fazem-se as correções:
Se ui xiL , então faz-se ui
xiL
(9)
U
i
Se ui ! x , então faz-se ui
U
i
x
Seleção: A seleção é o processo de produzir melhores filhos. Diferentemente de
outros algoritmos evolutivos, a evolução diferencial não usa hierarquia (elitismo) nem
seleção proporcional. Em vez disso, o custo do vetor experimental U(q+1) é calculado e
comparado com o custo do vetor alvo Xd(q). Se o custo do vetor alvo for menor que o
custo do vetor experimental, o vetor alvo é permitido avançar para a próxima geração.
Caso contrário, o vetor experimental substitui o vetor alvo na geração seguinte. Em
outras palavras, este processo pode ser escrito como:
Se f (U ( q 1) ) d f ( X d( q ) ) , então X d( q 1) = U ( q 1)
(10)
Se f (U
( q 1)
) ! f (X
(q)
d
) , então X
( q 1)
d
= X
(q )
d
O procedimento acima é finalizado através de algum critério de parada, sendo que
um número máximo de gerações deve ser estabelecido. Para problemas com restrição,
um critério pode ser a não violação das restrições ou o melhor indivíduo ter encontrado
um valor dentro de uma precisão pré-estabelecida.
3.2 Estratégias da Evolução Diferencial
As estratégias da evolução diferencial podem variar de acordo com o tipo de
indivíduo a ser modificado na formação do vetor doador, o número de indivíduos
considerados para a perturbação e o tipo de cruzamento a ser utilizado, podendo ser
escritas como: ED/a/b/c.
a – especifica o vetor a ser perturbado, podendo ser “rand” (um vetor da população
escolhido aleatoriamente) ou “best” (o vetor de menor custo da população);
b – determina o número de diferenças ponderadas usadas para a perturbação de a;
c – denota o tipo de cruzamento (exp: exponencial; bin: binomial).
Em 1995, Storn e Price deram o princípio de trabalho da estratégia básica usando
apenas o operador cruzamento binomial (devido aos experimentos binomiais
independentes), onde o cruzamento é executado em cada variável sempre que um
número r [0, 1] aleatório for menor que a probabilidade de cruzamento CR.
Alguns anos mais tarde, Storn e Price (1997) desenvolveram mais estratégias
usando o operador cruzamento exponencial, em que o cruzamento é executado nas
variáveis em um laço até que esteja dentro do limite de CR. A primeira vez que um
número r [0, 1] aleatório ultrapassa o valor de CR, nenhum cruzamento é executado e
as variáveis restantes são deixadas intactas.
Resumidamente, as dez estratégias podem ser descritas de acordo com a Tabela 1.
Uma estratégia que funciona bem para um dado problema pode não funcionar bem
quando aplicada a outro problema. A estratégia a ser adotada para um problema é
determinada por tentativa e erro.
Tabela 1. Representação das estratégias da evolução diferencial.
Número
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Mutação
V
( q 1)
XD F(X E X J )
V
( q 1)
(q)
X best
F ( X E( q ) X J( q ) )
(q)
(q)
(q)
V ( q 1)
X D( q ) F ( X O( q ) X E( q ) X J( q ) X G( q ) )
V ( q 1)
(q)
X best
F ( X D( q ) X E( q ) X J( q ) X G( q ) )
V ( q 1)
(q)
(q)
(q)
X old
F ( X best
X old
X J( q ) X G( q ) )
V ( q 1)
X D( q ) F ( X E( q ) X J( q ) )
V ( q 1)
(q)
X best
F ( X E( q ) X J( q ) )
V ( q 1)
X D( q ) F ( X O( q ) X E( q ) X J( q ) X G( q ) )
V ( q 1)
(q)
X best
F ( X D( q ) X E( q ) X J( q ) X G( q ) )
V ( q 1)
(q)
(q)
(q)
X old
F ( X best
X old
X J( q ) X G( q ) )
Notação
ED/rand/1/bin
ED/best/1/bin
ED/rand/2/bin
ED/best/2/bin
ED/rand-to-best/2/bin
ED/rand/1/exp
ED/best/1/exp
ED/rand/2/exp
ED/best/2/exp
ED/rand-to-best/2/exp
4. APLICAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
4.1 Produção do Cimento Portland
O cimento portland é um pó fino com propriedades aglomerantes ou ligantes que
endurece sob ação da água. Depois de endurecido não se decompõe mais. É composto
de clínquer e de adições.
O clínquer é seu principal componente e tem como matérias-primas o calcário e a
argila, ambos obtidos de jazidas em geral situadas nas proximidades das fábricas de
cimento. A rocha calcária é primeiramente britada, depois moída e em seguida
misturada, em proporções adequadas, com argila moída. A mistura formada atravessa
então um forno giratório de grande diâmetro e comprimento, cuja temperatura interna
chega a alcançar 1450oC. O intenso calor transforma a mistura em um novo material,
denominado clínquer, que se apresenta sob a forma de pelotas. Na saída do forno o
clínquer, ainda incandescente, é bruscamente resfriado para posteriormente ser
finamente moído, transformando-se em pó (ABCP, 2006).
As adições definem os diferentes tipos de cimento e são outras matérias-primas
que, misturadas ao clínquer na fase de moagem, permitem a fabricação dos diversos
tipos de cimento portland hoje disponíveis no mercado. Essas outras matérias-primas
são o gesso, as escórias de alto-forno, os materiais pozolânicos e os materiais
carbonáticos (ABCP, 2006).
Atualmente, as indústrias de cimento estão se modernizando, acompanhando mais
rápido os avanços tecnológicos e se adaptando à legislação ambiental em vigor. Um
processo amplamente estudado tem sido o co-processamento, que consiste em
aproveitar os resíduos descartados pelas indústrias utilizando-os como combustíveis
e/ou substitutos de matérias-primas em fornos de fabricação de cimento,
proporcionando uma redução no consumo da fabricação. Além disso, economizam-se
recursos naturais não renováveis, contribuindo com a preservação do meio ambiente.
Estes combustíveis alternativos podem ser: serragem de madeiras, óleos usados, borras
de tintas, resíduos de indústrias de alumínio, solventes de indústrias químicas e
petroquímicas, pneus usados, resíduos de áreas impactadas (solos e areias
contaminadas) e resíduos orgânicos (ABCP, 2006).
Outro processo amplamente estudado na literatura é a adição de CaF2 e CaSO4 ou a
mistura de ambos como mineralizadores, resultando na redução da temperatura máxima
de clinquerização e na obtenção de clínquer com boa proporção de alite,
conseqüentemente, obtém-se um cimento com propriedades mecânicas satisfatórias
(Molina e Varela, 1995; Raina e Janakiraman, 1998).
O objetivo deste trabalho é obter a composição ótima de matérias-primas e
combustíveis (primários e alternativos) necessária para a fabricação do clínquer usando
a Evolução Diferencial.
A função objetivo representa o custo da produção do clínquer, ou seja, é a soma do
custo das matérias-primas e combustíveis (US$/ton) juntamente com o consumo de
energia (kWh/ton) necessário para a moagem do clínquer.
Os dados para a função objetivo que descrevem a composição química dos
principais combustíveis primários e alternativos nos fornos de clínquer podem ser
encontrados em Carpio et al. (2005). Os valores percentuais de diversos óxidos
presentes no calcário x1, na argila x2, na areia x3 e no minério de ferro x4 são mostrados
na Tabela 2. A composição química do combustível primário é o carvão mineral x5 e os
combustíveis alternativos aqui utilizados são coque de petróleo, x6 e pneus usados, x7.
Tabela 2 – Composição química das matérias-primas (%)
Matérias-primas
CaO
SiO2
Al2O3
Fe2O3
MgO
SO3
Na2O
Calcário
50,66
5,04
1,19
0,67
0,78
0,1
0,1
Argila
1,23
61,62
16,59
0,01
-
0,3
0,3
Areia
1,13
93,00
2,87
1,2
0,10
0,5
0,5
Minério de ferro
0,71
7,6
1,13
82,97
-
-
-
Os custos considerados foram: carvão mineral (x5) US$35,0/ton, coque de petróleo
(x6) US$40,0/ton, calcário US$0,93/ton, argila US$0,54/ton, areia US$1,54/ton,
minério de ferro US$0,77/ton e energia elétrica US$31,0/MWh. Pneus usados (x7) são
considerados como receita para a indústria do cimento, com uma renda de US$50,0/ton.
O problema de otimização pode ser formulado conforme detalhado abaixo,
considerando várias restrições a fim de garantir a estabilidade da operação nos fornos
rotativos, a qualidade do clínquer produzido, o custo mínimo da composição e a
redução no consumo de energia. Assim, seja a formulação proposta por Carpio et al.
(2005):
Min f ( X )
0,93x1 0,54 x 2 1,54 x3 0,77 x 4 35 x5 40 x6 50 x7 0,031^5,76MS 5,82e ( 0,980, 2 MS ) `
(11)
onde MS é o Módulo de Sílica:
MS
5,04 x1 61,62 x 2 93 x3 7,6 x 4 9,32 x5 1,93 x 7
1,86 x1 25,6 x 2 4,07 x3 84,1x 4 12,29 x5 0,92 x7
(12)
Sujeito às restrições:
h1 x 25392 x5 34436 x6 32100 x7 36000
g 1 x 0
(13)
50 ,66 x1 1,23 x 2 1,13 x3 0 ,71x4 1,03 x5 0 ,93 x7 62 d 0
(14)
g 2 x 50 ,66 x1 1,23 x 2 1,13 x3 0 ,71x4 1,03 x5 0 ,93 x7 67 d 0
(15)
g 3 x 5 ,04 x1 61,62 x2 93 x3 7 ,6 x4 9 ,32 x5 1,93 x7 19 d 0
(16)
g 4 x 5 ,04 x1 61,62 x2 93 x3 7 ,6 x4 9 ,32 x5 1,93 x7 25 d 0
(17)
g 5 x (18)
1,19 x1 16 ,59 x 2 2 ,87 x3 1,13 x4 5 ,08 x5 0 ,79 x7 2 d 0
g 6 x 1,19 x1 16 ,59 x 2 2 ,87 x3 1,13 x4 5 ,08 x5 0 ,79 x7 9 d 0
(19)
g7 x 0 ,67 x1 9 ,01x2 1,20 x3 82 ,97 x4 7 ,21x5 0 ,13 x7 1 d 0
(20)
g 8 x 0 ,67 x1 9 ,01x 2 1,20 x3 82 ,97 x4 7 ,21x5 0 ,13 x7 5 d 0
(21)
g 9 x 0 ,78 x1 0 ,10 x3 0 ,44 x5 0 ,12 x7 6 ,5 d 0
(22)
g 10 x 0 ,762 x1 2 ,74 x 2 83,64 x3 185 ,83 x4 18 ,96 x5 0 ,186 x7 d 0 (23)
g 11 x 0 ,018 x1 7 ,5 x 2 82 ,011x3 219 ,47 x4 23,88 x5 0 ,554 x7 d 0
(24)
g 12 x 0 ,319 x1 4 ,877 x 2 1,31x3 106 ,73 x4 4 ,29 x5 0 ,621x7 d 0
(25)
g 13 x 0 ,619 x1 7 ,737 x 2 0 ,37 x3 222 ,88 x4 14 ,387 x5 0 ,439 x7 d 0 (26)
g 14 x 38 ,24 x1 155 ,67 x 2 173,6 x3 164 ,34 x4 37 ,86 x5 4 ,2 x7 d 0 (27)
g 15 x 35 ,48 x1 190 ,65 x 2 212 ,43 x3 201,0 x4 46 ,51x5 5 ,34 x7 d 0 (28)
g 16 x 0 ,046 x5 0 ,07 x6 0 ,0123 x7 0 ,05 d 0
(29)
g 17 x 0 ,1x1 0 ,3 x 2 0 ,5 x3 0 ,2 d 0
(30)
g 18 x 0 ,1x1 0 ,3 x 2 0 ,5 x3 2 ,07 d 0
(31)
g 19 x (32)
0 ,1x1 0 ,3 x 2 0 ,5 x3 0 ,03 d 0
g 20 x 0 ,1x1 0 ,3 x 2 0 ,5 x3 0 ,33 d 0
(33)
g 21 x (34)
0 ,3 x1 5 x 2 1x3 0 ,31 d 0
g 22 x 0 ,3 x1 5 x 2 1x3 1,76 d 0
(35)
g 23 x Ax1 Bx7 0 ,10 d 0
(36)
g 24 x Ax1 Bx7 0 ,35 d 0
(37)
g 26 x Ax6 0 ,05 d 0
(38)
As equações (14) e (22) representam restrições de ordem operacional. Nas equações
(14) e (15) o índice de CaO deve estar entre 62 e 67%. Nas equações (16) e (17) o
conteúdo de SiO2 deve estar entre 19 e 25%. O índice de Al2O3 deve estar entre 2 e 9%
nas Equações (18) e (19). As Equações (20) e (21) se referem à quantidade de Fe2O3
que deve estar entre 1 e 5%. Na Equação (22) o conteúdo máximo de magnésio é
limitado em 6,5%. As equações (23) a (28) representam os valores numéricos para as
restrições dos módulos da mistura (Carpio, et al., 2005), e referem-se à qualidade do
clínquer. A alimentação total de combustíveis deve satisfazer o consumo de energia,
sendo representada na restrição de igualdade h1 (Equação 13), que em média é
36kWh/ton (Hackman e Quarry, 1999). A restrição para o enxofre é representada na
Equação (29). O valor está baseado em leis ambientais européias. As restrições das
Equações (30) e (31) representam o óxido acido na matéria-prima. As restrições das
Equações (32) a (35) referem ao índice de alkalis na matéria-prima. As Equações (36) a
(38) controlam as restrições de metais pesados perigosos e instáveis (Carpio, et al.,
2005; Souza, et al., 2005).
4.2 Despacho Econômico de Energia
O objetivo básico do problema de despacho econômico da geração de energia
elétrica é dimensionar as saídas das unidades de geração conveniadas para obter a
demanda de carga consumidora a um custo mínimo de operação, satisfazendo a todas
unidades e restrições de igualdade e desigualdade impostas ao problema (Abido, 2003).
Quando o problema de despacho econômico trata de um intervalo de tempo simples, ele
é referido como um problema de despacho econômico estático, enquanto o problema de
despacho econômico dinâmico considera um número finito de intervalos de despacho
acoplados com a previsão de carga para providenciar uma trajetória de geração “ótima”
seguindo uma demanda variável de carga (Chowdhury e Rahman, 1990).
O tipo de problema de despacho econômico, abordado neste artigo, pode ser
descrito matematicamente com uma função objetivo e duas restrições. As restrições
representadas pelas equações (39) e (40) devem ser satisfeitas:
n
¦
Pi – PL – PD = 0
(39)
i 1
Pimin  Pi  Pimax
(40)
A equação (39) representa as restrições de igualdade do balanço de potência
(isto é, balanço entre suprimento e demanda), enquanto a expressão (40) representa as
restrições de desigualdade relativas aos limites da capacidade de geração de potência de
cada unidade geradora, onde Pi é a saída para a unidade geradora i (em MW); n é o
número de geradores presente no sistema; PD é a demanda de carga total (em MW); PL
são as perdas de transmissão (em MW) e Pimin e Pimax são respectivamente as saídas de
operação mínimas e máximas da unidade geradora i (em MW). O custo total de
combustível deve ser minimizado sendo representado pela equação:
n
min f= ¦ Fc(Pi)
(41)
i 1
onde a função custo de combustível para a unidade geradora i (em $/h), que é definida
pela equação,
FC(Pi) = aiPi² + bi Pi + ci
(42)
Tabela 3- Restrições laterais e coeficientes característicos dos geradores
Pimin
Pimax
a
b
c
e
f
1
36
114
0,00690
6,73
94,705
100
0,084
2
36
114
0,00690
6,73
94,705
100
0,084
3
60
120
0.02028
7,07
309,54
100
0,084
4
80
190
0.00942
8,18
369,03
150
0,063
5
47
97
0,01140
5,35
148.,89
120
0,077
6
68
140
0,01142
8,05
222,33
100
0,084
7
110
300
0,00357
8,03
278,71
200
0,042
8
135
300
0,00492
6,99
391,98
200
0,042
G
9
135
300
0,00573
6,60
455,76
200
0,042
10
130
300
0,00605
12,9
722,82
200
0,042
11
94
375
0,00515
12,9
635,20
200
0,042
12
94
375
0,00569
12,8
654,69
200
0,042
13
125
500
0,00421
12,5
913,40
300
0,035
14
125
500
0,00752
8,84
1760,4
300
0,035
15
125
500
0,00708
9,15
1728,3
300
0,035
16
125
500
0,00708
9,15
1728,3
300
0,035
17
220
500
0,00313
7,97
647,85
300
0,035
18
220
500
0,00313
7,97
649,69
300
0,035
19
242
550
0,00313
7,97
647,83
300
0,035
20
242
550
0,00313
7,97
647,81
300
0,035
21
254
550
0,00298
6,63
785,96
300
0,035
22
254
550
0,00298
6,63
785,96
300
0,035
23
254
550
0,00284
6,66
794,53
300
0,035
24
254
550
0,00284
6,66
794,53
300
0,035
25
254
550
0,00277
7,10
801,32
300
0,035
26
254
550
0,00277
7,10
801,32
300
0,035
27
10
150
0,52124
3,33
1055,1
120
0,077
28
10
150
0,52124
3,33
1055,1
120
0,077
29
10
150
0,52124
3,33
1055,1
120
0,077
30
47
97
0,01140
5,35
148,89
120
0,077
31
60
190
0,00160
6,43
222,92
150
0,063
32
60
190
0,00160
6,43
222,92
150
0,063
33
60
190
0,00160
6,43
222,92
150
0,063
34
90
200
0,00010
8,95
107,87
200
0,042
35
90
200
0,00010
8,62
116,58
200
0,042
36
90
200
0,00010
8,62
116,58
200
0,042
37
25
110
0,01610
5,88
307,45
80
0,098
38
25
110
0,01610
5,88
307,45
80
0,098
39
25
110
0,01610
5,88
307,45
80
0,098
40
242
550
0,00313
7,97
647,83
300
0,035
Na Eq. (42) tem-se que ai , bi , ci são os coeficientes característicos do gerador.
Além disso, a Eq. (41) para o cálculo do custo total pode ser modificada para considerar
o efeito do ponto de válvula (Wood e Wollenberg, 1994), tal que
FC(Pi)= FC(Pi) + | ei sen(fi(Pimin – Pi)) |
(43)
assim,
FC(Pi)= aiPi² + bi Pi + ci + | ei sen(fi(Pimin – Pi)) |
(44)
onde ei e fi são constantes do efeito do ponto de válvula dos geradores.
Conseqüentemente, o custo total de combustível que deve ser minimizado, conforme
representado na Eqs. (41) e (44).
Em relação às restrições (39) e (40), nesta aplicação desconsideradas as perdas
de transmissão PL, portanto, neste caso PL=0. A demanda de carga total adotada foi
PD= 10.500 MW. Seja um problema onde se deseja selecionar 40 geradores. Os dados
para as restrições laterais de cada gerador e seus respectivos coeficientes são
apresentados na Tabela 3.
5.
SIMULAÇÕES NUMÉRICAS
Neste artigo, os problemas de minimização foram estudados a fim de verificar o
desempenho do algoritmo de Evolução Diferencial, por se tratar de problemas com
muitas variáveis de projeto e restrições. O código computacional foi implementado em
MATLAB6.5, utilizando um microprocessador Intel(R) Pentium(R) 4, CPU 3.20 GHz,
AT/AT compatível, 261,616 KB RAM, sistema operacional Windows XP. Os
parâmetros utilizados foram: número de indivíduos da população Np = 15; número de
gerações = 100; multiplicador da diferença ponderada F = 0,8; probabilidade de
cruzamento CR = 0,5, precisão de 10-6 e o fator de penalidade rp = 10000. A estratégia
que apresentou melhor resultado foi a estratégia 2, ou seja, ED/best/1/bin.
5.1 Produção do Cimento Portland
A estratégia que apresentou melhor resultado foi a estratégia 2, ou seja,
ED/best/1/bin, sendo o tempo computacional de 33 s em 20 execuções do programa.
Todas as restrições foram obedecidas.
A composição ótima obtida foi x1 = 1.3210, x2 = 0.2007, x3 = 0.0143, x4 = 0.0002, x5
= 0.0995, x6 = 0.0131 e x7 = 0.0545, resultando em um custo de US$ 3.0453/ton na
produção do clínquer, que é menor que o apresentado em Carpio et al. (2005).
Comparando a solução obtida neste trabalho com os resultados de Carpio et al.
(2005), verifica-se, por exemplo, que no artigo citado a quantidade de coque de
petróleo é de 78,4 kg/ton de clínquer, e a de pneus usados é de 28,0 kg/ton de clínquer,
enquanto que nesta pesquisa, foi de 13,1 kg/ton e 54,5 kg/ton de clínquer,
respectivamente. Desta forma, fica caracterizada a economia de recursos naturais não
renováveis e a contribuição com a preservação do meio ambiente.
5.2 Despacho Econômico de Energia
Os resultados obtidos usando a Evolução Diferencial, para a seleção ótima dos
40 geradores, estão apresentados na Tabela 4 e correspondem ao custo mínimo de
Fmin=136.010 US$/hora. Vale ressaltar que o resultado encontrado aplicando a técnica
Algoritmos Genéticos, usando o programa GAOT (Houck et al, 1995)., foi de Fmin=
148.676$/h, ou seja , o resultado obtido pela ED foi melhor. Verifica-se que, neste caso
particular, a performance da ED foi superior a dos algoritmos genéticos.
Tabela 4 – Resultados do problema do despacho econômico de 40 geradores (MW)
1
5
9
13
17
21
25
29
33
37
50.2901
76.2085
169.4688
372.7343
395.3050
310.1711
535.6637
19.1885
117.9175
88.9300
2
6
10
14
18
22
26
30
34
38
105.1972
117.8071
289.8830
176.8589
499.7484
524.6737
517.8928
95.5591
191.5847
37.3937
3
7
11
15
19
23
27
31
35
39
80.5019
249.6237
348.9905
490.6398
496.5987
456.2286
42.7627
108.3777
164.2035
107.8554
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
152.5428
277.2639
331.2762
369.9284
441.8020
471.0494
123.9583
164.5735
180.2762
545.4072
6. CONCLUSÕES
Este artigo apresenta a teoria da Evolução Diferencial e aplicações relacionadas com
a minimização do custo da produção de cimento Portland, considerando o coprocessamento e a adição de mineralizadores, e também da seleção ótima de geradores
em uma unidade de produção de energia. É importante observar que todas as restrições
foram obedecidas, pois isto representa uma dificuldade para este tipo de algoritmo. Esta
técnica tem potencial para se tornar uma ferramenta poderosa em problemas de
otimização complexos e multimodais. É fortemente recomendável que o usuário teste
todas as estratégias e compare os resultados obtidos. Este procedimento é muito
simples, uma vez que todas as estratégias estão disponíveis no programa e o custo
operacional é baixo.
AGRADECIMENTOS
O primeiro autor agradece ao CNPq pela bolsa de iniciação científica concedida através
do processo no. A-009/2005.
REFERÊNCIAS
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<http://www.abcp.org.br>. Acesso em: 08 fev. 2006.
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As Desigualdades entre as Médias
Aritmética, Geométrica, Harmônica e
Quadrática de Dois Números Reais ∗
Thiago Rodrigues da Silva†
Dulce Mary de Almeida‡
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU
Uberlândia - MG, abril de 2006
Resumo
O objetivo deste trabalho é apresentar as desigualdades entre as médias harmônica,
geométrica, aritmética e quadrática de dois números reais positivos, estudando as
demonstrações algébricamente, exibindo interpretações geométricas, propondo problemas relacionados e fornecendo aplicações. Considerando-se o trapézio de bases
deﬁnidas por dois números reais dados, apresenta-se uma caracterização das médias
entre esses números utilizando-se segmentos paralelos às bases do trapézio. Além
disso, utiliza-se algumas das desigualdades estudadas para descrever um algoritmo
para extração aproximada de raı́zes quadradas de números reais positivos.
1
Introdução
Neste artigo estuda-se as médias clássicas entre dois números reais positivos. O propósito
do texto é apresentar as desigualdades entre essas médias, bem como suas demonstrações
algébricas, ilustrações geométricas e algumas aplicações. Com este ﬁm, tem lugar a primeira deﬁnição, formulada como segue.
Deﬁnição 1.1 Dados dois números positivos a e b, deﬁnimos as médias aritmética mA ,
geométrica mG , harmônica mH e quadrática mQ de a e b, respectivamente como sendo os
números:
i) mA = (a+b)
2
√
ii) mG = ab
iii) mH =
iv) mQ =
∗
2ab
(a+b)
(a2 +b2 )
2
Este trabalho é parte das atividades do projeto de ensino ”Interdisciplinaridade e Interação Construtiva: uma experência à luz das novas diretrizes curriculares”
†
Orientando do Programa Institucional de Bolsas de Ensino de Graduação PIBEG-UFU. E-mail:
thiago [email protected]
‡
Professora orientadora. E-mail: [email protected]
Segundo Carl B. Boyer [2], as três médias: aritmética, geométrica e subcontrária
(mais tarde chamada de harmônica), já eram conhecidas pelos babilônios. Conta-se que
Pitágoras de Samos, matemático grego que viveu por volta do ano 550 a.C., soube das
três médias na Mesopotâmia.
Os pitagóricos possuiam uma maneira alternativa de deﬁnir as três primeiras médias
enunciadas acima; eles utilizavam a noção de proporção. A saber, dados dois números
positivos a e b, as médias aritmética, geométrica e harmônica entre a e b é o número c
satisfazendo respectivamente as seguintes relações:
a
a−c
=
a
c−b
(I)
a
a−c
=
c
c−b
a
a−c
=
b
c−b
(II)
(III)
, ou seja c é a média aritmética
De fato, isolando c na equação (I), obtemos c = (a+b)
2
√
de a e b; isolando c na equação (II), temos c = ab, isto é, c é a média geométrica de a e
2ab
, ou seja c é a média harmônica de a e b.
b; isolando c na equação (III), obtemos c = (a+b)
Papus de Alexandria, geômetra grego que viveu por volta do ano 300 a.C., descreve
em seu livro III da Coleção uma atraente construção das médias aritmética, geométrica
e harmônica, representando as três médias em um único semi-cı́rculo. A representação
apresentada por Papus é o tema da próxima seção.
2
A construção de Papus
No que segue, denota-se por AB o segmento de extremos A e B e indica-se o comprimento
do segmento AB pelo sı́mbolo AB.
No semi-cı́rculo ADC com centro O, Papus constrói DB ⊥ AC e BF ⊥ OD (Figura 1)
D
a+b
ab
2ab
a+ b
2
F
A
O
B
C
Figura 1
e mostra que nestas condições, entre as grandezas AB = a e BC = b, tem-se:
i) DO é a média aritmética,
ii) DB é a média geométrica,
iii) DF é a média harmônica.
As aﬁrmações acima, feitas por Papus, podem ser justiﬁcadas como segue. Por construção, DO é o raio da circunferência de diâmetro AC = AB + BC = a + b donde
, que é precisamente a aﬁrmação i). Também por
= a+b
conclui-se que DO = AB+BC
2
2
construção, o triângulo ADC é retângulo em D, pois está inscrito no semi-cı́rculo inicial
de diâmetro AC e centro O, e DB é a sua altura relativa à base AC,
√
√ assim utilizando-se
relações métricas de um triângulo retângulo, segue-se que DB = AB.BC = ab, ou
seja, DB é a média geométrica entre a e b. Para veriﬁcar a aﬁrmação iii) observe que o
triângulo ODB é semelhante ao triângulo BDF , nessa ordem, e então utilizando a razão
DF
, obtém-se:
= DB
de semelhança DB
DO
DF
√ =
ab
√
ab
a+b
2
⇐⇒
2ab
DF (a + b)
= ab ⇐⇒ DF =
a+b
2
isto é, DF é a média harmônica entre a e b.
Observação 2.1 Visto que em todo triângulo retângulo cada cateto é menor que a hipotenusa, a construção de Papus (Figura 1) sugere que, a média harmônica é sempre menor
que a média geométrica e que esta, por sua vez, é menor que a média aritmética, exceto
no caso limite a = b. Mais adiante será apresentada uma demonstração analı́tica desses
fatos.
O objetivo da próxima seção é apresentar uma aplicação da média quadrática entre
duas grandezas e caracterizar as médias clássicas entre dois números reais utilizando um
trapézio.
3
Caracterização das médias no trapézio
Nesta seção, a e b denotam dois números reais positivos tais que a < b.
3.1
A média quadrática e o problema da área do trapézio
Problema: Considere o trapézio de bases AB e DC de comprimentos a e b, respectivamente. Nessas condições, determinar o comprimento x do segmento EF paralelo às
bases que divide esse trapézio em dois outros trapézios de mesma área (Figura 2).
A
E
B
F
D
C
Figura 2
Antes de apresentar a solução do problema proposto, faz-se necessário lembrar o seguinte resultado sobre áreas de triângulos semelhantes.
Lema 3.1 Se dois triângulos são semelhantes, então a razão entre suas áreas é igual à
razão entre os quadrados de quaisquer dois de seus pares de lados correspondentes, ou
seja, é igual ao quadrado da razão de semelhança.
Prova: Sejam S e S as áreas dos dois triângulos semelhantes. Por simplicidade, chame de
b e de b os respectivos comprimentos de quaisquer dois de seus pares de lados homólogos.
Denote por h a altura relativa ao lado de comprimento b e por h a altura relativa ao
lado correspondente de comprimento b . Visto que, a área de um triângulo é a metade do
produto de qualquer dos seus lados pela altura correspondente; e visto também que, se
dois triângulos são semelhantes, as alturas correspondentes estão na mesma razão que os
lados correspondentes, segue que
b 2
b h
bh/2
S
).
=
(
=
=
b
b h
b h /2
S
E isso conclui a demonstração do Lema.
Solução do problema da área do trapézio: Prolongue os lados opostos
não paralelos DA e CB do trapézio ABCD até o ponto P, ponto de concorrência das
duas retas determinadas por estes segmentos. Desta forma, determina-se três triângulos
semelhantes: o menor (P AB) de área A e base a, um outro (P EF ) de área A + S e
base x, e o maior (P DC) de área A + 2S e base b, conforme Figura 3.
P
A
E
B
F
D
C
Figura 3
Como, pelo lema anterior, as áreas de triângulos semelhantes são proporcionais aos
A+2S
quadrados dos segmentos correspondentes, tem-se: aA2 = A+S
x2 = b2 .
Utilizando a seguinte propriedade elementar das proporções: ab
=
c
d
a−c
concluib−d ,
2
2
x = a +b
2 .
=
S
S
2
2
2
2
2
2
2
e
se que: a2 −x
2 = x2 −b2 , ou seja, a − x = x − b , donde, 2x = a + b
Está resolvido o problema. O comprimento do segmento que divide um trapézio em
dois outros de mesma área é a média quadrática entre os comprimentos de suas bases.
Convém mencionar que a solução apresentada encontra-se em [5].
No entanto, o estudo desenvolvido para caracterizar a média quadrática através de um
trapézio pode ser estendido às demais médias estudadas neste artigo, ou seja, é possı́vel determinar segmentos paralelos às bases do trapézio que correspondam as médias aritmética,
geométrica e harmônica entre suas bases, conforme proposição descrita a seguir.
3.2
O trapézio e as demais médias
Proposição 3.1 Considere o trapézio de bases AB e DC de comprimentos a e b, respectivamente, e seja O o ponto de intersecção das diagonais do trapézio. Então, as médias
aritmética, geométrica e harmônica de a e b são respectivamente, os comprimentos dos
segmentos paralelos às bases do trapézio, M N , GH e KL, tais que:
i) o segmento M N é a base média do trapézio, ou seja, é o segmento eqüidistante das
bases.
ii) o segmento GH divide o trapézio dado em dois trapézios semelhantes, ABHG e
GHCD;
iii) o segmento KL passa pelo ponto O.
Demonstração:
i) Visto que, o segmento com extremidades nos pontos médios de dois lados de um
triângulo possui a metade do comprimento do terceiro lado, tem-se que qualquer
uma das diagonais do trapézio divide M N em dois segmentos, cujos comprimentos
são a2 e 2b , e portanto M N = a2 + 2b . Assim, M N é a média aritmética entre os
comprimentos das bases do trapézio.
ii) Se os trapézios ABHG e GHCD são semelhantes, então a razão de semelhança
√
GH
a
GH
AB
2
ab.
,
implica
que
GH
=
ab,
isto
é
GH
=
=
,
ou
seja
=
b
GH
CD
GH
Portanto, GH é a média geométrica entre os comprimentos das bases do trapézio.
iii) Primeiro, observa-se que os comprimentos dos segmentos KO e OL (Figura 4) são
iguais. De fato, usando o paralelismo das retas determinadas pelos segmentos AB
e KO cortadas pelas transversais determinadas pelo KA e OB, obtém-se que :
ABD ∼ KOD ⇒
AD
AB
=
KD
KO
(1)
Analogamente, utilizando-se o paralelismo das retas determinadas pelos segmentos
AB e OL cortadas pela transversais determinadas pelo OA e LB, obtém-se que:
ABC ∼ OLC ⇒
BC
AB
=
LC
OL
(2)
Agora, considerando-se as retas paralelas determinadas pelos segmentos AB, KL e
DC cortadas pelas transversais determinadas pelo DA e CB, tem-se pelo Teorema
de Tales que:
BC
AD
(3)
=
LC
KD
Segue das equações (1), (2) e (3) que
AB
K0
=
AB
,
0L
donde KO = OL.
A
B
K
L
O
D
C
Figura 4
Segundo, a semelhança dos triângulos AKO e ADC implica que:
KD
AD − KD
AK
KO
.
=1−
=
=
AD
AD
AD
CD
Finalmente, utilizando novamente a equação (1) segue que:
KO
KO
=1−
AB
CD
Portanto,
KO =
ou
KO(
1
1
) = 1.
+
CD AB
1
ab
AB.CD
= KL
=
2
a+b
CD + AB
2ab
. Assim, KL é a média harmônica entre os comprimentos
Logo, KL = 2KO = a+b
das bases do trapézio, e isso conclui a demonstração da proposição.
Observação 3.1 A base média do trapézio, representada pelo segmento M N divide o
trapézio em dois outros onde a área do trapézio ABN M (trapézio de base a) é claramente
menor que a área do trapézio M N CD (trapézio de base b), visto que a < b. Assim,
o segmento EF , paralelo às bases, que divide o trapézio em dois outros de mesma área
certamente estará ”mais próximo”da base b desse trapézio do que a base média do mesmo.
Esse argumento ilustra claramente que a média aritmética é sempre menor que a média
quadrática, exceto no caso limite em que a = b. Mais adiante será apresentada uma prova
analı́tica desse fato.
Feitas estas ponderações, tem-se a seguinte ilustração geométrica das médias estudadas
neste trabalho.
A
B
K
L
O
G
H
M
N
E
F
D
C
Figura 5
Note que a Figura 5 acima ilustra as seguintes desigualdades:
KL < GH < M N < EF
ou equivalentemente,
√
a+b
2ab
<
< ab <
2
a+b
a2 + b 2
2
se
a = b, a > 0, b > 0
Esse é o tema da próxima seção.
4
Desigualdades entre as Médias Clássicas
Proposição 4.1 Dados dois números reais positivos, a e b, tais que a ≤ b, suas médias
aritmética mA , geométrica mG , harmônica mH e quadrática mQ satisfazem as seguintes
desigualdades,
a ≤ mH ≤ mG ≤ mA ≤ mQ ≤ b,
sendo que as igualdades ocorrem se, e somente se a = b.
Demonstração: Com exceção da primeira e da útima desigualdade que seguem da
hipótese a ≤ b, as demais são conseqüências do seguinte resultado básico sobre números
reais: (a − b)2 ≥ 0 ∀a, b ∈ IR. De fato, sabendo que a > 0 e b > 0, tem-se:
a ≤ mH ⇔ a ≤
mH ≤ mG ⇔
mG ≤ mA ⇔
2ab
a+b
2ab
a+b
√
≤
ab ≤
⇔ ab + a2 ≤ 2ab ⇔ a(a − b) ≤ 0 ⇔ a ≤ b
√
ab ⇔
a+b
2
4a2 b2
(a+b)2
≤ ab ⇔ 4ab ≤ a2 + 2ab + b2 ⇔ (a − b)2 ≥ 0
⇔ 4ab ≤ a2 + 2ab + b2 ⇔ (a − b)2 ≥ 0
mA ≤ mQ ⇔
mQ ≤ b ⇔
a+b
2
≤
a2 +b2
2
a2 +b2
2
≤ b ⇔
⇔
(a+b)2
4
a2 +b2
2
≤
a2 +b2
2
⇔ 2a2 − 4ab + 2b2 ≥ 0 ⇔ (a − b)2 ≥ 0
≤ b2 ⇔ (a2 − b2 ) ≤ 0 ⇔ a ≤ b
Além disso, as igualdades acontecem se, e só se (a − b)2 = 0, i.é., se e só se a = b, e o
resultado segue.
4.1
Uma ilustração geométrica
Uma ilustração geométrica das desigualdades entre as médias clássicas foi dada na Figura
5, no entanto será apresentada agora uma outra ilustração geométrica dessas desigualdades
reproduzida a partir da ﬁgura à página 263 de [4].
D
2
2
P
+
A
H
Q
M
+
2
2
R
+
2
Figura 6
Construção: Considere apenas números reais tais que 0 < a < b e construa os
segmentos P M e QM de maneira que o ponto Q ﬁque entre os pontos P e M e tais
que P M = b e QM = a. Agora, trace a circunferência de diâmetro P Q e centro A,
ponto médio de P Q. Na seqüência, construa a reta tangente a circunferência de centro
A passando por M e denote por D o ponto de tangência. Trace também DH ⊥ P M ,
AR ⊥ P M , sendo H pertencente ao segmento P M e R pertencente à circunferência
construida inicialmente.
Aﬁrmação: Sob as condições da construção dada acima pode-se aﬁrmar que:
i) AM é a média aritmética de a e b,
ii) DM é a média geométrica de a e b,
iii) HM é a média harmônica de a e b,
iv) RM é a média quadrática de a e b.
Demonstração: Primeiro, como por construção, AD, AR e P A são raios, tem-se
AD = AR = P A =
b−a
.
2
Logo,
P A + AM = b ⇔
b−a
2
+ AM = b ⇔ AM =
a+b
2
Portanto, conclui-se que AM é a média aritmética entre a e b.
Segundo, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ADM, tem-se
√
(b−a)2
(a+b)2
2
2
ab
+
DM
⇔
DM
=
ab
⇔
DM
=
=
4
4
Assim, DM é a média geométrica entre a e b.
Terceiro, observe que os triângulos DHM e ADM são semelhantes, e então a razão
implica que
= DM
de semelhança HM
AM
DM
HM
√
ab
√
=
ab
a+b
2
⇔
HM (a+b)
2
= ab ⇔ HM =
2ab
a+b
Logo, HM é a média harmônica entre a e b.
Finalmente, aplicando-se o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo RAM , tem-se
2
2
2(a2 +b2 )
(a+b)2
(b−a)2
2
2
⇔ RM = a +b
⇔ RM =
RM = 4 + 4
2
4
Logo, RM é a média quadrática entre a e b.
Agora, utilizando-se seqüencialmente o seguinte resultado elementar de geometria
euclidiana plana: em todo triângulo retângulo cada cateto é menor que a hipotenusa,
conclui-se desta construção que:
QM < HM < DM < AM < RM < P M
ou seja, se 0 < a < b então,
√
a+b
2ab
< mQ =
< mG = ab < mA =
a < mH =
2
a+b
5
a2 + b 2
<b
2
Aproximando raı́zes quadradas através de médias
O uso de médias para determinar valores aproximados sucessivos para a raiz quadrada de
um número real positivo já era conhecido pelo matemático grego Heron de Alexandria (100
d.C). No entanto, o processo algorı́tmico é atribuı́do por alguns ao sábio grego Arquitas
de Tarento (428-365 a.C.), e ocasionalmente é chamado algoritmo de Newton. Mas, na
primeira metade do século XX, descobriu-se que ele já era utilizado pelos mesopotâmicos,
há uns 3.500 anos
O processo geral consiste no seguinte: dado um número real positivo n, do qual se
quer calcular a raiz quadrada, inicia-se com uma primeira aproximação a0 , escolhida
experimentalmente. A√menos que n seja um quadrado perfeito (o que não é comum)
√
tem-se em geral a0 = n. Então um dos dois números a0 , an0 é menor do que n e
√
o outro é maior. Para facilitar a notação, inicie escolhendo a0 maior do que n e seja
√
h0 = an0 , então a média aritmética a1 = 12 (a0 + an0 ) é uma aproximação por excesso para n
2a0
n
2h0
n
melhor do a0 e a média harmônica h1 = a0 +an0 = h0 +hn0 = an1 é uma aproximação por falta
h0
a0
√
para n melhor do que h0 . Sendo assim, de modo análoga,
√ pode-se tomar aproximações
sucessivas por excesso e por falta cada vez melhores de n, dadas, respectivamente, por
ak+1
n
1
= (ak + )
ak
2
e
hk+1 =
2hk hnk
hk +
n
hk
=
n
2n
n =
ak+1
hk + hk
para
k = 0, 1, ...
Para justiﬁcar que o algoritmo acima descrito sempre funciona proceda como segue.
Primeiro, observe que as desigualdades entre as
√médias harmônica, geométrica e aritmética,
apresentadas na seção 5, aﬁrmam que: hk < n < ak , para k = 0, 1, 2, .... Além disso:
hk <
ak >
√
n =⇒ hk 2 < n =⇒
√
n =⇒ ak 2 > n =⇒
hk 2
1
1
<1
=⇒
>
n
n
hk 2
n
1
1
< =⇒ 2 < 1
2
ak
n
ak
Portanto,
1
(a +
ak+1
2 k
=
ak
ak
n
)
ak
=
1 1
n
1
< + = 1 =⇒ a0 > a1 > ...
+
2
2 2
2 2ak
1 1
1
h2k
h2k + n
+ < + = 1 =⇒ h0 < h1 < ...
=
=
2n
2 2
2n 2
2n
hk + hn
k
√
Isto é os ak são aproximações por excesso, cada√vez melhores, de n, enquanto os hk são
aproximações por falta, cada vez melhores, de n. Portanto, tem-se:
hk
=
hk+1
hk
h0 < h1 < h2 < ... < hk < ... <
√
n < ... < ak < ... < a2 < a0
√ Falta ainda provar que as sequências determinadas por ak e hk convergem de fato para
n. √Para isso, note que a sequência crescente formada pelos hk é limitada superiormente
por n (e portanto converge a um número
√ a), enquanto a seqüência decrescente formada
é limitada inferiormente por n (e portanto converge a um número b), sendo
pelos ak √
0 < a ≤ n ≤ b. No entanto,
(ak − hk )2
a2k − 2n + h2k
2n
n
1
,
=
=
ak+1 − hk+1 = (ak + ) −
4ak+1
4ak+1
ak + ank
ak
2
2
(4)
. Se a = b, ter-se-ia√4b = b − a, ou seja,
e passando ao limite, obtém-se b − a = (b−a)
4b
3b + a = 0, o que é impossı́vel, com a e b positivos. Logo, a = b = n.
Finalmente, pode-se aﬁrmar que esse método apresenta a enorme vantagem de ter
convergência quadrática, isto signiﬁca que o erro cometido em cada etapa é aproximadamente o quadrado do erro
√ da etapa anterior. Para justiﬁcar esta aﬁrmação observe que
as desigualdades hk < n < ak implicam que, tanto o erro cometido ao tomar a k-ésima
√
aproximação por excesso, isto √
é, ak − n, quanto o erro cometido ao tomar a k-ésima
aproximação por falta, isto é, n − hk , são menores que δk = ak − hk . Mas a igualdade
√
2
(4) mostra que: δk+1 = 4aδk+1 . Assim sendo, se u é uma aproximação por falta de n,
√
1 2
δk . E isto conclui a demonstração da
tem-se que u < n < ak+1 , de modo que δk+1 < 4u
eﬁciência do método de extração aproximada de raı́zes quadradas através do uso sucessivo
de médias harmônicas e aritméticas.
Um exemplo: obtendo uma aproximação para
√
15
O objetivo agora é aplicar
o algoritmo descrito anteriormente em um exemplo: obter
√
uma aproximação para 15 com quatro casas decimais corretas através de aproximações
sucessivas de médias aritméticas e harmônicas.
Para facilitar a compreensão, as aproximações obtidas por médias aritméticas nos
quatro primeiros passos serão ilustradas graﬁcamente. Considere então, as funções f (x) =
, deﬁnidas no domı́nio dos números reais positivos; e observe que a função
x e g(x) = 15
x
f é estritamente crescente enquanto que a função g é estritamente decrescente, quando
, ou
restritas a esse domı́nio. Seus gráﬁcos se interceptam no ponto (x, y) tal que x = 15
x
√
√ √
seja no ponto ( 15, 15). Portanto a reta y = 15 está situada entre as curvas y = x e
, conforme ilustrado na Figura 7.
y = 15
x
y
=
=
15
=
0
15
15
x
Figura 7
Para iniciar o método de aproximação, escolhe-se a0 como sendo uma aproximação
√
a0 + 15
inicial por excesso para 15. Digamos a0 = 4, e então a média aritmética a1 = 2 a0 =
4+ 15
4
2
=2+
15
8
=
31
8
= 3, 785 fornece uma nova e melhor aproximação.
a1 + 15
31
+ 120
≈
= 1921
+ 120
Continuando, considera-se a aproximação a2 = 2 a1 = 8 2 31 = 31
496
62
16
3, 872984, ainda melhor que a1 . Prosseguindo mais uma vez, a média aritmética a3 =
1921
√
a2 + a15
+ 7440
2
= 496 2 1921 ≈ 3, 872983 é novamente uma aproximação por excesso para 15 me2
lhor que a2 . Os gráﬁcos apresentados nas Figuras (8-11) abaixo, ilustram as aproximações
√
por excesso a0 > a1 > a2 > a3 para
15.
y
y
=
=
=
15
=
0
ao
15
=
x
15
=
15
0
Figura 8
x
15
a1
15
Figura 9
y
y
=
=
=
15
15
=
a2
0
=
15
x
15
=
0
a3
Figura 10
15
Figura 11
As aproximações por falta dadas por médias harmônicas, e os erros cometidos em cada
aproximação se encontram na tabela abaixo:
k
0
1
2
3
hk
15
= 3, 75
4
120
≈ 3, 870968
31
7440
≈ 3, 872983
1921
28584480
≈ 3, 872983
7380481
1 2
δ
12 k
ak
δk = ak − hk
4
0, 25
0, 005208
0, 0041
0, 00000140
0, 000002
8, 33 × 10−14
0, 000000
0, 000000
31
= 3, 875
8
1921
≈ 3, 872984
496
7380481
≈ 3, 872983
1905632
15
x
Conclui-se que uma aproximação para
3, 8729.
√
15 com quatro casas decimais corretas é
Referências
[1] Beckenbach, E., Bellman, R. An Introduction to Inequalities. Washington: The
Mathematical Association of America, 1961.
[2] Boyer, C. B. História da Matemática.Tradução. São Paulo: Editora Edgard Blücher,
1974.
[3] Carneiro, J. P. Q. Raiz quadrada utilizando médias. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: SBM, no 45, pp. 21-28, 2001.
[4] Figueiredo, V. L. X., Mello, M. P., Santos, S. A. Cálculo com Aplicações:
atividades computacionais e projeto. Campinas: UNICAMP/IMECC, 2005.
[5] Wagner, E. A desigualdade de Cauchy-Scharwz. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: SBM, no 27, pp. 16-20, 1995.
CÓDIGOS CORRETORES DE ERROS LINEARES*
Marcos Antônio da Câmara†
Adenilce Oliveira Souza
Universidade Federal de Uberlândia
Av. João Naves de Ávila, 2160
Campus Santa Mônica
38408-100 – Uberlândia – MG
Faculdade de Matemática
VII Curso de Especialização em Matemática
RESUMO
Neste trabalho apresentamos uma introdução à teoria dos Códigos Corretores de Erros, que é uma parte
da matemática aplicada usada na área de transmissão de informação e que necessita fortemente de
conceitos e resultados da matemática pura, especialmente da álgebra. Falaremos especificamente de uma
classe de códigos corretores de erros, os códigos lineares.
Palavras Chave: Código linear, matriz geradora, decodificação
INTRODUÇÃO
A história dos Códigos Corretores de Erros começa em 1948 com a publicação
de um artigo pelo matemático e engenheiro Claude E. Shannon, do laboratório Bell.
Inicialmente uns dos maiores interessados nesta teoria foram os matemáticos que a
desenvolveram consideravelmente nas décadas de 50 e de 60. A partir da década de 70,
com as pesquisas espaciais e a grande popularização dos computadores, essa teoria
começou a interessar também aos engenheiros.
Hoje os códigos corretores de erros participam do nosso cotidiano de inúmeras
formas, estando presentes, por exemplo, sempre que fazemos uso de informações
digitalizadas, tais como assistir a um programa de televisão, falar ao telefone, ouvir um
CD de música, assistir a um filme em DVD, mandar um recado a alguém via Pager ou
navegar pela Internet.
Um problema geral pode ser assim exemplificado:
“Suponha que se deseja enviar uma mensagem por um canal de comunicação a cabo de
São Paulo para Uberlândia. Eventualmente esta mensagem pode sofrer interferências
no caminho. Por exemplo, se considerarmos uma mensagem binária (seqüências de 0’s
e 1’s), pode acontecer de um 0 enviado chegar ao destino como 1 ou vice-versa.”
___________________________________________
* Monografia apresentada por Adenilce Oliveira Souza à Faculdade de Matemática, como requisito
parcial para a obtenção do título de Especialista em Matemática.
† Professor orientador: [email protected]
A teoria de códigos foi criada para tentar corrigir estes erros. Um código corretor
de erros é, em essência, um modo organizado de acrescentar algum dado adicional a
cada informação que se queira transmitir ou armazenar e que permita, ao recuperar a
informação, detectar e corrigir erros.
Devido ao fato de que a motivação primária para o desenvolvimento dos códigos
corretores de erros ser a resolução de problemas em comunicações, essa teoria foi
enquadrada na teoria das comunicações.
Aplicações em problemas de comunicações são diversificadas. Dados binários
são comumente transmitidos entre terminais de computadores, entre aeronaves e entre
espaçonaves. Códigos corretores de erros são usados freqüentemente em aplicações
militares para proteção contra interferência inimiga intencional.
As transmissões entre sistemas computacionais usualmente são intolerantes até
mesmo a baixas taxas de erros, porque um simples erro pode destruir um programa de
computador. Códigos corretores de erros tornam-se importantes nestas aplicações.
Podemos antecipar que técnicas de controle de erros representarão um papel
central em todos os sistemas de comunicação do futuro, pois o futuro é digital.
O presente trabalho constitui uma breve introdução à teoria dos códigos
corretores de erros.
No capítulo I desta monografia, apresentamos os elementos de um sistema de
comunicações e definimos alguns conceitos básicos para podermos iniciar a
compreensão de como funcionam os códigos corretores de erros.
No capítulo II, nos dedicamos a uma única classe de códigos, os códigos
lineares, determinamos os seus parâmetros e apresentamos os algoritmos gerais de
correção de erros.
No capítulo III, apresentamos um exemplo de código linear, onde usamos toda a
teoria estudada na monografia para mostrar como se codifica e se decodifica uma
mensagem.
CAPÍTULO I
CÓDIGOS CORRETORES DE ERROS
1.1 – Sistema de Comunicação
Um sistema de comunicações conecta uma fonte de dados a um usuário de dados
através de um canal.
O modelo do sistema de comunicações desenvolve dispositivos que preparam o
“input” e processam o “output” do canal.
Dados que entram no sistema de comunicações através de uma fonte de dados,
são inicialmente processados por um codificador da fonte projetado para representar os
dados da fonte de maneira mais compacta. Esta representação é uma seqüência de
símbolos chamada palavra código da fonte. Então, os dados são processados por um
codificador de canal, que transforma a seqüência de símbolos da palavra código da fonte
em outra seqüência chamada palavra código do canal.
A palavra código do canal é uma nova e longa seqüência que têm mais
redundância que a palavra código da fonte. Cada símbolo na palavra código do canal
pode ser representada por um bit ou, talvez, por um grupo de bits. Depois, o modulador
converte cada símbolo da palavra código do canal em um símbolo analógico
correspondente de um conjunto finito de símbolos analógicos possíveis.
A seqüência de símbolos analógicos é transmitida através do canal. Como o
canal está sujeito a vários tipos de ruídos, distorções e interferências, os dados que saem
do canal diferem dos dados que entram no canal. O demodulador converte cada sinal de
saída do canal recebido na seqüência correspondente de símbolos da palavra código do
canal. Cada símbolo demodulado é a melhor estimativa do símbolo transmitido, mas o
demodulador comete alguns erros devido a interferências do canal. A seqüência de
símbolos demodulada é chamada de palavra recebida. Devido aos erros, os símbolos da
palavra recebida nem sempre são iguais aos símbolos da palavra código do canal.
O decodificador do canal usa a redundância da palavra código do canal para
corrigir os erros da palavra recebida e então produzir uma estimativa da palavra código
fonte. Se todos os erros são corrigidos, a palavra código fonte estimada é igual à palavra
código fonte original. O decodificador da fonte executa a operação inversa do
codificador da fonte e envia sua saída para o usuário.
As funções compressão ou compactação de dados executadas pelo codificador
da fonte e o decodificador da fonte não serão discutidas neste trabalho, bem como o
modulador e o demodulador. Os codificador e decodificador de canal serão designados
daqui em diante, simplesmente, por codificador e decodificador, respectivamente.
Sistema de Comunicação
Fonte
Codificador
Da Fonte
Decodificador
Da Fonte
Palavra
código da
fonte
Usuário
Palavra código
da fonte
estimada
Codificador
Do Canal
Decodificador
Do Canal
Palavra
recebida
Palavra
código do
canal
Demodulador
Modulador
Canal
1.2 – Conceitos Básicos
Suponha que todos os dados de interesse pudessem ser representados por uma
informação binária, isto é, como uma seqüência de zeros e uns. Esta informação binária
está para ser transmitida através de um canal que causa erros ocasionais. O propósito de
um código é adicionar símbolos extras aos símbolos da informação de modo que os
erros podem ser encontrados e corrigidos no receptor. Isto é, uma seqüência de símbolos
de dados é representada por uma seqüência maior de símbolos com redundância
suficiente para proteger os dados.
Um código binário de tamanho M e comprimento de bloco n é um conjunto de
k palavras de comprimento n, chamadas palavras do código. Geralmente M = 2k para
um inteiro k e o código é denominado de código binário (n,k)
Por exemplo, nós podemos fazer o seguinte código:
C
00000½
°01011°
°
°
®
¾
°10110 °
°¯11101 °¿
Este é um código muito pobre e muito pequeno com M = 4 e n = 5 , mas ele
satisfaz os requisitos da definição. Nós podemos usar este código para representar
números binários com 2 bits, usando a seguinte correspondência arbitrária:
00 o 00000
01 o 01011
10 o 10110
11 o 11101
Suponhamos que temos um robô que se move sobre um tabuleiro quadriculado,
de modo que, ao darmos um dos comandos (para frente, para trás, para direita ou para
esquerda), o robô se desloca do centro de uma casa para o centro de outra casa adjacente
indicada pelo comando. Os quatro comandos acima podem ser codificados como
elementos de {0,1} x {0,1} , como se segue:
Para frente 6 00
Para trás 6 01
Para direita
6 10
Para esquerda 6 11
O código acima é chamado de código da fonte. Suponhamos, agora, que esses
pares ordenados devam ser transmitidos via rádio e que o sinal no caminho sofra
interferências. Imaginemos que a mensagem 00 possa, na chegada ser recebida como
01, o que faria com que o robô, em vez de ir para frente, fosse para trás. O que se faz,
então, é recodificar as palavras, de modo a introduzir redundâncias que permitam
detectar e corrigir erros.
Podemos, por exemplo, modificar o nosso código da fonte como já fizemos
anteriormente:
00 o 00000
01 o 01011
10 o 10110
11 o 11101
Nessa recodificação, as duas primeiras posições reproduzem o código da fonte,
enquanto que as três posições restantes são redundâncias introduzidas. O novo código
introduzido na recodificação é chamado de código do canal.
Suponhamos que se tenha introduzido um erro ao transmitirmos, por exemplo, a
palavra 01011, de modo que a mensagem recebida seja 11011. Comparando essa
mensagem com as palavras do código, notamos que não lhe pertence e, portanto,
detectamos erros. A palavra do código mais próxima da referida mensagem (a que tem
menor números de componentes diferentes) é 01011, que é precisamente a palavra
transmitida.
O procedimento acima está esquematizado abaixo:
fonte
Codificador
da fonte
Codificador
de canal
Decodificador
de canal
Decodificador
da fonte
O nosso estudo consiste em detectar e corrigir erros na palavra recebida e,
depois de corrigidos os erros, relacioná-la à palavra transmitida e transformar a palavra
transmitida em código fonte para o usuário.
Quando recodificamos o código fonte, de modo a introduzir redundâncias que
permitam detectar e corrigir erros, esta recodificação não precisa ter obrigatoriamente o
código fonte inserido. Por exemplo, no código do robô poderíamos ter feito a seguinte
recodificação:
C
10101 ½
°10010 °
°
°
®
¾
°01110°
°¯11111 °¿
00 o 10101
01 o 10010
10 o 01110
11 o 11111
Os dois códigos criados para o exemplo do robô não são códigos bons, pois eles
não são capazes de corrigir muitos tipos de erros. Vamos exemplificar:
Note que no primeiro código a escolha da palavra código 01011 para estimar a
mensagem recebida 11011 é feita de maneira bem natural. De fato, em relação às
palavras do código observamos que:
11011
00000
01011
10110
11101
o
o
o
o
4 diferenças
1 diferença
3 diferenças
2 diferenças
Suponhamos que tivéssemos recebido a mensagem 01110 . Nesse caso, em
relação às palavras do código teríamos:
01110
00000
01011
10110
11101
o
o
o
o
3 diferenças
2 diferenças
2 diferenças
3 diferenças
Nesse caso, não é possível estimar qual foi a palavra código transmitida.
Usuário
O ponto de partida para a construção de um código corretor de erros é definir o
alfabeto A com um número finito de q símbolos. No caso dos códigos binários A = {0 ,
1}.
Um código corretor de erros é um subconjunto próprio qualquer de
n
A
A u A u A u ! u A , para algum número natural n. O número de elementos de um
conjunto A será denotado por |A|.
O código do robô é um subconjunto próprio de A5 , com A = {0 , 1}, onde
A5 = ^00000 ; 00001; 00010 ; 00100 ;......; 11111` e | A5 | = 25 = 32
Para que possamos identificar as palavras mais próximas de uma dada palavra
recebida com erro e estimar qual foi a palavra do código transmitida, vamos apresentar
um modo de medir a “distância”entre palavras em An.
Definição 1.1: Dados dois elementos u, v  An , a distância de Hamming entre u e v é
u (u 1 ,......, u n )
definida como
d(u,v) = | { i : ui z vi , 1d i d n}| , onde ®
¯v ( v1, ......., v n )
Exemplo: Calculando a distância no código do robô:
d ( 00000, 01011) = 3
d ( 00000, 10110) = 3
d ( 00000, 11101) = 4
d ( 01011, 10110) = 4
d ( 01011, 11101) = 3
d ( 11101, 10110) = 3
Propriedades 1.1 : Dados u, v, w  An , valem as seguintes propriedades:
(i)
(ii)
(iii)
Positividade: d(u,v) t 0 , valendo a igualdade se , e somente se, u = v .
Simetria: d(u,v) = d(v,u)
Desigualdade Triangular: d(u,v) d d(u,w) + d(w, v)
Demonstração:
(i) Temos por definição que d(u,v) = | { i : ui z vi , 1d i d n}| t 0. Caso d(u,v) = 0 ,
temos que ui = vi para i = 1, ..., n e daí u = v . Se u = v, temos que uj = vj,, para 1d j d n
e conseqüentemente d(u,v) = 0
(ii) Pela definição de distância de Hamming temos que d(u,v) = | { i : ui z vi , 1d i d n}|
= | { i : vi z ui , 1d i d n}| = d(v,u)
(iii) Para demonstrar esta propriedade vamos considerar a i-ésima coordenada de u, v,
w.
n
Dados u, v, w  A com u = ( u1 , ...... , un) ; v = (v1 , ....... , vn ) ; w = (w1 ,.......... ,
wn) podemos analisar as seguintes possibilidades para cada i, com 1d i d n:
Caso I:
ui = vi
ui = wi  wi = vi
ui  wi  wi  vi
Para esta situação temos que se ui = wi então, wi = vi . Logo, a contribuição da
i-ésima coordenada para d(u,v) é zero, o que também ocorre pra d(u,w) e d(w,v) , ou
seja, as contribuições são iguais.
Por outro lado, se ui  wi , teremos também que wi  vi . Logo, a contribuição
da i-ésima coordenada para d(u,w) e d(w,v) será 1, ou seja, as contribuições são maiores
para d(u,w) + d(w,v).
Caso II: ui  vi
ui = wi  wi  vi
ui  wi
wi  vi
wi = vi
Para esta situação temos que se ui = wi então wi  vi . Logo, a contribuição da
i-ésima coordenada para d(u,w) é zero e a contribuição da i-ésima coordenada para
d(u,v) e d(w,v) será 1. Assim, as contribuições para d(u,v) são iguais as contribuições
para d(u, w) d(w, v) .
Agora para a situação onde ui  wi temos que se wi  vi , a contribuição da iésima coordenada será 1 para todos, assim teremos que as contribuições para d(u,v)
serão menores que as contribuições para d(u,w) + d(w,v). E se wi = vi a contribuição da
i-ésima coordenada para d(w,v) é zero e a contribuição da i-ésima coordenada para
d(u,v) e d(u,w) será 1. Assim, as contribuições para d(u,v) são iguais as contribuições
para d(u, w) d(w, v) .
Assim somando todas as contribuições com i = 1,2,…,n , teremos que
d ( u , v) d d ( u , w ) d ( w , v) .
As propriedades i) , ii) e iii) caracterizam o que se costuma, em matemática,
chamar de métrica. Por isso, a distância de Hamming entre elementos de An é também
chamada de métrica de Hamming.
Definição 1.2: Dados um elemento a  An e um número real t >0 , definimos o disco e a
esfera de centro a e raio t como sendo, respectivamente, os conjuntos:
D (a,t) = {u  An : d(u,a) d t}
S (a,t) = {u  An : d(u,a) = t}
Exemplos: i) Considere A = {0,1} e n = 4
{ (0,0,0,0) , (0,0,0,1) , (0,0,1,0) , (0,1,0,0) , (1,0,0,0) , (1,0,0,1)
4
Nesse caso A =
(1,0,1,0) , (1,1,0,0) , (0,1,0,1) , (0,1,1,0) , (0,0,1,1) , (1,1,1,0)
(0,1,1,1) , (1,0,1,1) , (1,1,0,1) , (1,1,1,1) }
Assim, para a = (0,0,0,0) temos que :
D (a,1) = { (0,0,0,0) , (0,0,0,1) , (0,0,1,0) , (0,1,0,0) , (1,0,0,0)}
S (a,1) = { (0,0,0,1) , (0,0,1,0) , (0,1,0,0) , (1,0,0,0)}
Note que A4 = D(a,4)
Temos que F é o corpo de Galois e, para cada número natural n, teremos
um F-espaço vetorial Fn de dimensão n.
ii) Considere F 3 = {(0,0,0) , (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) , (1,0,1) , (1,1,0) , (0,1,1) , (1,1,1)}
Assim, para a = (0,0,0) temos que :
D ((0,0,0),2) = { (0,0,0) , (0,0,1) , (1,0,0) , (0,1,0) , (1,0,1) , (1,1,0) , (0,1,1) }
S ((0,0,0),2) = { (1,0,1) , (0,1,1) , (1,1,0)}
Definição 1.3: Seja C um código. A distância mínima de C é o número:
d = min { d(u,v) : u , v  C e u z v}
Por exemplo, se C é o primeiro código do robô temos que:
d ( 00000, 01011) = 3
d ( 00000, 10110) = 3
d ( 00000, 11101) = 4
d ( 01011, 10110) = 4
d ( 01011, 11101) = 3
d ( 11101, 10110) = 3
Distância mínima d = 3
Por exemplo, se C é o segundo código do robô temos que:
d ( 10101 , 10010) = 3
d ( 10010 , 01110) = 3
d ( 10101 , 01110) = 4
d ( 10010 , 11111) = 4
d ( 10101 , 11111) = 2
d ( 01110 , 11111) = 2
Distância mínima d = 2
§M·
¸¸ distâncias, onde M é o
2
© ¹
Nesse caso, para calcular d é necessário calcular ¨¨
número de palavras do código, o que tem custo computacional elevado.
Proposição 1.2 – Seja C um código com distância mínima d. Se c e c’ são palavras
ª d 1º
distintas de C, então D(c,t) D (c’, t) =  , onde t = «
¬ 2 »¼
Obs: [ * ] : parte inteira do número *
d(c,c’) t d
d(c, c' )
2
Obs: os raios das circunferências têm medida t.
Demonstração:
De fato, se x pertencesse a D(c,t) D (c’, t), teríamos d(x,c) d t e d(x,c’) d t , e
portanto pela simetria, pela desigualdade triangular e pela definição de t teríamos:
d(c,c’) d d(c,x) + d(x, c’) d t + t = 2t d d – 1 (Absurdo)
Como d é a distância mínima de C, temos necessariamente que d(c,c’) t d.
'
'
x  D(c,t) D (c’, t)
D(c,t) D (c’, t) = 
Teorema 1: Seja
C um código com distância mínima d . Então C pode
ª d 1º
corrigir até t =
«¬ 2 »¼ erros. Se d é par, o código pode simultaneamente corrigir
d 2
erros e detectar até
2
Demonstração:
d
2
erros.
Se ao transmitirmos uma palavra c do código cometemos s erros com s d t,
recebendo a palavra r, então d(r,c) = s d t
d(c,c’) t d
Como D(c,t)  D(c’,t) =  , temos que d(r,c’) ! t, para toda palavra c’  C ,
com c’  c e, portanto, a decodificação pela vizinhança mais próxima vai corrigir este
erro, pois c está univocamente determinado a partir de r.
d 2
ª d 1º
Agora se d for par, então
=
. Conseqüentemente, C pode
«¬ 2 »¼
2
corrigir
d 2
erros. Mas, se
2
d(c,r) =
d
2
d
ocorreu, isso significa que a palavra recebida r tem
2
. Se existe alguma palavra c’  C tal que d(c,c’) = d , teremos que r pode
estar no “ponto médio” entre c e c’, Nesse caso, d(c’,r) =
d
e o decodificador pode
2
d
erros ocorreram, mas não pode corrigi-los pois existem duas
2
possibilidades distintas c e c’ para efetuar a decodificação pela vizinhança mais
próxima.
detectar que
d
t
d
2
2
t
r
d
erros ocorrem, a palavra recebida r pode estar mais
2
próxima de outra palavra do código que não a correta.
Por outro lado, se mais de
d
d(c,r) >
d
t
2
r
t
e d(c’,r) < t
d
d
2
2
Nesse caso, a decodificação de r determinará c’ incorretamente. Isto é chamado
erro de decodificação. Em um código eficiente, isto raramente ocorre.
Por exemplo em um código com d = 4, é possível corrigir até t =
detectar até
ª d 1º
«¬ 2 »¼ = 1 erro e
d
= 2 erros. Note que pelo teorema anterior, um código terá maior
2
capacidade de correção de erros quanto maior for a sua distância mínima. Portanto, é
fundamental, para a Teoria de Códigos, poder calcular d, ou pelo menos determinar uma
cota inferior para ele.
Definição 1.4: Seja C  An um código com distância mínima d e seja t =
código C será dito perfeito se
* D ( c, t )
cC
An
ª d 1º
«¬ 2 »¼ . O
Exemplos:
1 – O código do robô não é perfeito, pois ele é um código C  A5 ,
onde C = { ( 0,0,0,0,0) ; (0,1,0,1,1) ; (1,0,1,1,0) ; (1,1,1,0,1) } e além disso, temos que
* D(c,1) z A5
cC
2 – Todo código de Hamming é perfeito (falaremos deste tipo de código no capítulo II)
CAPÍTULO II
CÓDIGOS LINEARES
A classe de códigos mais utilizada na prática é a chamada classe dos códigos
lineares. Denotaremos por F um corpo finito com q elementos tomado como alfabeto.
No caso dos códigos binários q = 2 e F é o corpo de Galois. Temos, portanto, para cada
número natural n, um F-espaço vetorial Fn de dimensão n.
Definição 2.1: Um código C  Fn será chamado de código linear se for um subespaço
vetorial de Fn.
Desse modo, C é por definição um espaço vetorial de dimensão finita.
Denotaremos por k a dimensão do código C. Conseqüentemente, todo elemento de C se
escreve de maneira única na forma: (*) O1v1 + O2v2 + .... + Okvk ; Oi  F , i = 1,2,..., k
onde v1,...,vk é uma base de C.
Como Oi  F, i = 1,2,..., k , existem q possibilidades para cada um dos Oi em (*) .
Logo, existem qk elementos em C, ou seja, M = |C| = qk e conseqüentemente
dim C k k log q q log q q k log q M .
Definição 2.2: Dado u  Fn, defini-se o peso de u como sendo o número inteiro:
w(u) := | { i: ui  0} |
Ou seja, w(u) = d(u, 0), em que 0 é o vetor nulo de Fn.
Definição 2.3: O peso de um código linear C, é o inteiro w(C) = min{w(u) : u  C –
{0}}.
Proposição 2.1: Seja C  Fn um código linear com distância mínima d . Temos que:
(i) u , v  Fn ; d(u,v) = w(u-v)
(ii) d = w(C)
Demonstração:
(i) d(u,v) = | {i: ui  vi , 1  i n}| = | {i: ui – vi  0 , 1  i n}| = w(u-v)
(ii) Para todo par de elementos u,v  C , com u  v , temos que z = u – v  C . Daí,
d(u,v) = w(z) . Portanto, o conjunto {w(z): z  C –{0} } é igual ao conjunto
{d(u,v) : u,v  C e u  v} e daí d = min {d(u,v) : u,v  C e u  v}=
min {w(z): z  C –{0} }= w(C).
Em virtude disto, a distância mínima de um código linear C será também
chamada de peso do código C.
2.1 – Como construir códigos lineares
Em álgebra linear, se conhecem essencialmente duas maneiras de se descrever
subespaços vetoriais C de um espaço vetorial Fn , uma como imagem, e outra como
núcleo de transformação linear.
Vamos obter a representação de C como imagem de uma transformação linear.
Escolha uma base v1, v2, ...., vk de C e considere a aplicação linear:
T: Fk o Fn
a o u
onde a = (a1, a2, ...., ak) e u = a1v1 + a2v2 + .... + akvk . Temos que T é uma
transformação linear injetora, pois o Ker T = { 0} , tal que Im(T) = C.
Portanto, dar um código C  Fn de dimensão k é equivalente a dar uma
transformação linear injetora T: Fk o Fn e definir C = Im(T)
Exemplo: Considere a transformação linear:
T: F22 o F24
(a1,a2) o (a1, a2, a2, a1)
Temos que T(a1,a2) = (0,0,0,0) , se (a1, a2, a2, a1) = 0 , ou seja, a1 = a2 = 0 . Logo,
Ker T = { (0,0) } . Portanto, T é injetora e daí Im T = C ( a imagem de T é um código
C).
Como a1 , a2  F2 , temos que | C | = 22 = 4 e:
C = { (0,0,0,0) ; (1,0,0,1) ; (0,1,1,0) ; (1,1,1,1) }
ª d 1º
Além disso, w(C) = 2 e C corrige t =
«¬ 2 »¼ = 0 erros, ou seja, é um código
muito ruim.
2.2 – Matriz Geradora de um Código.
Definição 2.4: Dado um código linear C  Fn , chamaremos de parâmetros do código
linear C os inteiros (n, k, d), onde k é a dimensão de C sobre F , d representa a distância
mínima de C e n é denominado o comprimento do código C.
Seja E = {v1, v2, ..., vk} uma base ordenada de C e considere a matriz G , cujas
linhas são os vetores vi = (vi1, vi2, ...., vin) ; i = 1,2,...,k , isto é ,
§ v1 ·
¨ ¸
¨ v2 ¸
G= ¨ . ¸
¨ ¸
¨ . ¸
¨v ¸
© k¹
§ v11 v12 ..... v1n ·
¨
¸
¨ v21 v22 ..... v2 n ¸
¨ .
... ...
. ¸
¨
¸
.... ...
. ¸
¨ .
¨v
¸
© k1 vk 2 .... vkn ¹
A matriz G é chamada de matriz geradora de C associada à base E.
Exemplo: No exemplo anterior, considere E = { (1,0,0,1) ; (0,1,1,0) }e daí teremos:
§1 0 0 1·
¸¸
© 0 1 1 0¹
G = ¨¨
Utilizando esta matriz geradora G para codificar as palavras código da fonte, do
exemplo do robô, teríamos as seguintes palavras do código.
(0,0) . G = 0
§1 0 0 1·
¸¸
0 .¨¨
©0 1 1 0¹
0
§1 0 0 1·
¸
1 1 0 ¸¹
1
0 0 1
§1 0 0 1·
¸
1 1 0 ¸¹
0
1 1 0
§1 0 0 1·
¸
1 1 0 ¸¹
1
(1,0) . G = 1 0 .¨¨
©0
(0,1) . G = 0 1.¨¨
©0
(1,1) . G = 1 1.¨¨
©0
Fonte
0 0 0
1 1 1
Palavra
código
Da fonte
00
01
10
11
Para frente
Par trás
Para direita
Para esquerda
Codificador
da fonte
Palavra
código
Do canal
0000
0110
1001
1111
Codificador
do canal
De maneira geral, consideramos a transformação linear definida por:
T : Fk o Fn
a o aG
Se a = (a1, a2, ..., ak), temos que T(a) = aG = (a1v1 + a2v2 + .... + akvk), ou seja,
T(Fk) = C. Podemos, então, considerar Fk como sendo um código da fonte, C o código
do canal e a transformação T, uma codificação.
Além disso, devemos ressaltar que a matriz geradora G não é única, pois ela
~
depende da base E. Portanto, mudando para uma base ȕ , teremos uma outra matriz
~
~
geradora G para o mesmo código C. Da álgebra linear, sabemos que podemos obter G
de G através de operações elementares com as linhas de G e vice versa.
Podemos construir códigos a partir de matrizes geradoras G. Para isto, basta
tomar uma matriz cujas linhas sejam linearmente independentes e definir um código
como sendo a imagem da transformação linear T : Fk o Fn
a o aG
2.3 – Equivalência de Códigos
Definição 2.5: Sejam F um alfabeto e n um número natural. Diremos que uma função
f : Fn o Fn é uma isometria de Fn se ela preserva distâncias de Hamming, ou seja:
d(f(u),f(v)) = d(u,v) ; u, v  Fn
Definição 2.6: Dados dois códigos C e C’ em Fn, diremos que C’ é equivalente a C se
existir uma isometria f de Fn tal que f(C) = C’.
Decorre dessa definição que dois códigos equivalentes têm os mesmos
f é injetora  leva base em base (k)
parâmetros n, k, d, pois
f é isometria  preserva distância (d)
f : Fn o Fn (n)
Temos que a equivalência de códigos é uma relação de equivalência (Reflexiva,
Simétrica e Transitiva).
Uma maneira mais simples de se obter a partir de um código linear C um código
C’ equivalente é efetuando-se seqüências de operações sobre a matriz geradora G do
código linear C, do tipo:
x
x
Permutação de duas colunas
Multiplicação de uma coluna por um escalar não nulo.
Nesse caso, obteremos uma matriz geradora G’ de um código linear C’ equivalente a
C, notando que efetuar operações deste tipo em G, implica efetuá-las em todas as
palavras de C, o que caracteriza a isometria f.
Fazendo as operações elementares sobre as linhas ou sobre as colunas de G,
podemos colocar G na forma padrão. Chamaremos de G* a matriz G na forma padrão.
[
G * = Id k # A
]
Portanto, dado um código C, existe um código equivalente C’ com matriz geradora
G* na forma padrão.
Exemplo: Dado o código C definido sobre F2 pela matriz G abaixo, encontre um código
C’ equivalente a C, com matriz geradora na forma padrão. T : F4 o F7
§1
¨
1
G ¨
¨1
¨0
©
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0·
¸
0¸
1¸
0 ¸¹
De G, temos que k = 4 , n = 7 , e |C| = 24 = 16
L §
1
¨
L
2¨
L ¨
3
¨
L ©
4
§1
¨
¨0
¨0
¨0
©
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0· c lc
1
¸ 3
0 ¸ c5 l c2
1¸
|
0 ¸¹
c1 c 2
c3
c4
c5
c6
c7
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
Id 4
1
0
0
1
0
0
1
1
§1
¨
¨0
¨0
¨
¨0
©
1·
¸
1 ¸ L4 + L2
1¸
|
0 ¸¹
0 0 0·
¸
1 0 0¸
0 1 0¸
¸
0 0 1 ¸¹ kxk
§1
¨
¨0
¨0
¨0
©
§1
¨
¨0
¨0
¨0
©
0
1
0
0
e
4x4
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
§1
¨
¨1
A ¨
0
¨¨
©1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1·
¸
1¸
=
1¸
0 ¸¹
0
0
1
1
0·
¸
0¸
1¸
0 ¸¹
c7 l c3
|
>Id 4 # A @
0 1·
¸
1 1¸
1 1¸
¸
1 0 ¸¹ kx ( n k )
onde,
4 x3
2.4 – Códigos Duais
Sejam u = (u1, u2,...,un) e v= (v1, v2 ,..., vn) elementos de Fn. Define-se o produto
interno de u e v como sendo u, v u1v1+u2v2+....+unvn . Essa operação possui as
seguintes propriedades usuais de um produto interno, ou seja, é simétrica :
u, v
v, u e bilinear u Ȝw, v
u, v Ȝ w, v O  F
Definição 2.7: Seja C  Fn um código linear. Define-se CA =
v  F n : v, u 0, u  C .
^
`
Proposição 2.2: Se C Fn é um código linear, com matriz geradora G, então:
(i) CA é um subespaço vetorial de Fn;
(ii) v  CA  G.vt = 0
Demonstração:
(i) Dados
u Ȝv, w
u
, v  CA
e O  F, temos, w  C, que:
u, w Ȝ v, w
0 Ȝ0 0 . Portanto u + Ov  CA , provando que CA
é um subespaço vetorial de Fn .
(ii) v CA  v é ortogonal a todos os elementos de C  v, u
0 uCvé
ortogonal a todos os elementos de uma base de C  Para uma base E = {u1,u2,....,uk}de
C,
0 ; i =
i
u1 , v , u 2 , v ,...., u k , v
de uma base de C.
1,2,..,k
v, u
,
o
que
é
equivalente
a
dizer
que:
0  Gvt = 0 , pois todas as linhas de G são elementos
O subespaço vetorial CA de Fn, ortogonal a C é também um código linear que
será chamado de código dual de C.
Proposição 2.3: Seja C  Fn um código de dimensão k com matriz geradora
na forma padrão G = Id k # A . Então:
(i) dim CA = n – k
(ii) H = A t # Id nk é uma matriz geradora de CA .
Demonstração:
(i)
Temos que v  CA,
seguinte sistema:
§1 0 0 0 0
¨
¨0 1 0 0 0
¨0 0 % # #
¨
¨# # # 1 0
¨
¨0 0 " 0 1
©
se e somente se, Gvt = 0. Se v = (v1,v2,...,vn) temos o
| a1,k 1 " a1,n ·
¸
| a 2,k 1 " a 2,n ¸
|
#
"
# ¸
.
¸
|
#
"
# ¸
¸
| a k,k 1 " a k ,n ¸
¹ kxn
Daí:
§ v1 ·
¨ ¸
¨ # ¸
¨ # ¸
¨ ¸
¨ # ¸
¨v ¸
© n ¹ nx1
§0·
¨ ¸
¨#¸
¨#¸
¨ ¸
¨#¸
¨0¸
© ¹ kx1
v1
°
v2
°
°
%
®
°
%
°
vk
°¯

a1,k 1.v k 1 " a 2,k 1.v k 1
#
#
a k,k 1.v k 1
a1,n .v n
0
" a 2,n .v n
0
" #
#
0
v1 a1,k 1.v k 1 ...... a1,n .v n
°
°°v 2 a 2,k 1.v k 1 ...... a 2,n .v n
®
°#
°v
°¯ k a k,k 1.v k 1 ...... a k, n .v n

a k,n .v n
§ v1 ·
¨ ¸
¨ v2 ¸
¨ # ¸
¨ ¸
¨ # ¸
¨¨ v ¸¸
© k¹

§ v k 1 ·
¨
¸
¨ v k 2 ¸
A .¨ # ¸
¨
¸
¨ # ¸
¨ v ¸
© n ¹
Logo temos que:
v = (v1,v2,..,vn) =
v (a 1,k 1 .v k 1 ... a 1,n .v n ),(a 2,k 1 .v k 1 ... a 2,n .v n ),..., (a k ,k 1 .v k 1 ... a k ,n .v n ), v k 1 , v k 2 ,.., v n
v
v k 1 a 1,k 1 ,a 2,k 1 ,....,a k ,k 1 ,1,0,...,0 ...... v n a 1,n ,a 2,n ,....,a k ,n ,0,0,0,...,1
em que vk+1 , vk+2 , ... , vn  F . Como F possui q elementos, existem qn-(k+1)+1 = qn – k
possibilidades para v, ou seja, CA possui qn-k elementos, o que significa que sua
dimensão é n – k .
(ii) Temos que as linhas de H são linearmente independentes, devido ao bloco Idn-k .
Portanto geram um subespaço vetorial de dimensão n – k. Temos que a i-ésima linha de
elementos
k elementos
k
n
H, denotada por Hi ; 1 d i d n – k, será H i ( a 1i ,a 2i ,...,a ki , 0,0,....,1,0,...0) e a jésima
Posição i
k elementos
n k elementos
§ ·
¸
¨
linha de G, denotada por Gj ; 1 d i d k , será Gj = ¨ 0,0,...,1,0,..0,0, a j1 , a j2 ,..., a j,n k ¸
¨
¸
¹
©
Posição j
Daí, H i , G j
= -aji + aij = 0 , ou seja, todas as linhas de H são ortogonais às
linhas de G. Portanto, o espaço gerado pelas linhas de H está contido em CA, e como
esses dois subespaços têm a mesma dimensão, eles coincidem, provando assim que H é
uma matriz geradora de CA .
Proposição 2.4: Suponha que C seja um código de dimensão k em Fn com matriz
geradora G. Uma matriz H de ordem (n – k) x n, com coeficientes em F e com linhas
linearmente independentes, é uma matriz geradora de CA se, e somente se, G . Ht = 0.
Demonstração: As linhas de H geram um espaço vetorial de Fn de dimensão n – k,
portanto, igual à dimensão de CA. Por outro lado, temos que Dji = G j , H i , 1d j d k e
t
t
1d i d n – k que é equivalente a fazer o produto G kxn .H nx(n
k) , ou seja, D = G.H .
Portanto, G.Ht = 0 é equivalente a dizer que todos os vetores do subespaço
gerado pelas linhas de H estão em CA. Por outro lado, esse subespaço tem a mesma
dimensão de CA, logo:
G.Ht = 0  CA é gerado pelas linhas de H
Corolário 2.1: (CA)A = C
Demonstração: G.Ht = 0  H.Gt = 0. Portanto (CA)A = C
H gera o dual CA
G gera o dual (CA)A
Conseqüentemente:
Proposição 2.5: Seja C um código linear e suponhamos que H seja uma matriz geradora
de CA. Temos então que: v  C  Hvt = 0
Demonstração: v  C  v  (CA)A ( pelo corolário 2.1)  H.vt=0 (pela proposição
2.2)
Esta proposição nos permite caracterizar os elementos de um código C por uma
condição de anulamento. A matriz H geradora de CA é chamada matriz teste de
paridade de C.
Portanto, para verificar se um determinado vetor v  Fn pertence ou não a um
código C, com matriz teste de paridade H, basta verificar se H.vt é o vetor nulo ou não.
Exemplo :
§1 0
¨
¨0 1
G =¨
0 0
¨
¨0 0
©
C.
Seja
0 0
0 0
1 0
0 1
dado
| 1
| 1
| 0
| 1
o
0
1
1
1
código C sobre
F2 com matriz
geradora
1·
¸
1¸
. Determine se o vetor v = (1010101)  F27 pertence a
1¸
¸
0 ¸¹
Nesse caso,
temos
§1
¨
¨1
A = ¨
0
¨
¨1
©
0
1
1
1
1·
¸
1¸
1¸
¸
0 ¸¹
e
§1 1 0 1·
¨
¸
–A = ¨ 0 1 1 1 ¸
¨1 1 1 0¸
©
¹
§1 0 0 | 1 1 0 1·
¨
¸
H = ¨ 0 1 0 | 0 1 1 1 ¸ . Além disso,
¨ 0 0 1 | 1 1 1 0¸
©
¹
§1·
¨ ¸
¨0¸
§1 0 0 1 1 0 1· ¨1¸
§1 1 1·
¨
¸
¨
¸
¨
¸
H.vt = ¨ 0 1 0 0 1 1 1 ¸ .¨ 0 ¸
¨ 11 ¸
¨ 0 0 1 1 1 1 0¸ ¨1¸
¨ 11 ¸
©
¹ 3x7 ¨ ¸
©
¹
¨0¸
¨ ¸
© 1 ¹ 7x1
t
§1·
¨ ¸
¨0¸
¨0¸
© ¹
e
daí
?vC
Definição 2.8: Dados um código C, com matriz teste de paridade H, e um vetor v  Fn ,
chamamos o vetor H.vt de síndrome de v
Além de determinar de maneira simples se um vetor v  Fn pertence ou não a
um código C, a matriz teste de paridade de C contém, de maneira bastante simples,
informações sobre o valor do peso w do código C.
Vejamos:
Proposição 2.6: Seja H a matriz teste de paridade de um código C. Temos que o peso
de C é maior do que ou igual a s se, e somente se, quaisquer s –1 colunas de H são
linearmente independentes.
Demonstração:
() (*) Suponhamos que cada conjunto de s – 1 colunas de H é linearmente
independente.
Seja c  C – {0} , c = (c1, c2, ...,cn) e sejam h1, h2, ..., hn as colunas de H.
Como H.ct = 0, temos c1h1 + c2h2 + .... + cnhn = 0 . Além disso, sabemos que w(c) é o
número de ci z 0 ; i = 1,...,n. Logo se w(c) d s – 1, teríamos uma combinação de s – 1 ou
menos colunas de H igual ao vetor nulo, com coeficientes ci não todos nulos. Isto é
um absurdo pois (*). Logo, w(c) t s c  C e, portanto w(C) t s.
() (**) Suponhamos que w(C) t s.
Considere por absurdo que H tenha pelo menos um conjunto com s – 1 colunas
linearmente dependentes, digamos hi1, hi2, ..., hi,s-1. Logo, existiria ci1,ci2,...., ci,s-1  F,
nem todos nulos , tais que ci1hi1 + ci2hi2 +....+ ci,s-1hi,s-1 = 0 o que é equivalente a H.ct =
0, com c = (0,..., ci1, 0,...., ci,s-1, 0,....,0)  Fn . Nesse caso, c C e w(c) = s – 1, o que é
um absurdo por (**)
Teorema 2: Seja H a matriz teste de paridade de um código C. Temos que o peso de C
é igual a s, se somente se, quaisquer s – 1 colunas de H são linearmente independentes e
existem s colunas de H linearmente dependentes.
Demonstração:
() (*) Suponhamos w(C) = s.
Pela proposição anterior todo conjunto de s – 1 colunas de H é linearmente
independente. Se não existir pelo menos um conjunto com s colunas de H linearmente
dependentes, teríamos pela proposição anterior que w(C) t s + 1 . Absurdo por (*)
Portanto, existe pelo menos um conjunto com s colunas de H que é linearmente
dependentes.
() (**) Todo conjunto com s –1 colunas de H é LI e existe um conjunto com s colunas
de H que é LD.
Da proposição anterior temos que w(C) t s . Mas w(C) não pode ser estritamente
maior do que s, pois pela proposição anterior , todo conjunto com s colunas de H seria
linearmente independentes. Absurdo por (**) . Portanto , w(C) = s
Corolário 2.2: Cota de Singleton: Os parâmetros (n,k,d) de um código linear satisfazem
à desigualdade d d n – k + 1
Demonstração:
Se H é uma matriz teste de paridade de um código linear C, com parâmetros
(n,k,d), ela tem posto n – k, pois H é uma matriz de ordem (n – k)xn, ou seja, n – k
linhas linearmente independentes. Desse modo, cada coluna de H tem n – k entradas, ou
seja, comprimento n – k, ou ainda então em Fn-k. Pelo teorema anterior, quaisquer d – 1
colunas de H são linearmente independentes.
Como um conjunto de vetores de Fn-k que é LI tem no máximo n – k vetores,
então d – 1 d n – k . Daí d d n – k + 1.
2.5 Decodificação
Chama-se decodificação ao procedimento de detecção e correção de erros num
determinado código.
Inicialmente, define-se o vetor erro e como sendo a diferença entre o vetor
recebido r e o vetor transmitido c.
e=r–c
Se H é a matriz teste de paridade do código, temos que:
Het = H(r – c)t = Hrt – Hct = Hrt , pois Hct = 0
Portanto, a palavra recebida r tem a mesma síndrome do vetor erro e.
Proposição 2.7: Seja C um código linear em Fn que corrige no máximo t erros. Se r 
Fn e c  C são tais que d(c,r)  t , então existe um único vetor e com w(e)  t , cuja
síndrome é igual a síndrome de r e tal que c = r – e .
Demonstração
Se tomarmos e = r – c temos que w(e) = w(r –c) = d(r,c)  t. Logo existe um
vetor e tal que w(e)  t e c = r – e e Het = Hrt . Vamos mostrar que e é único.
Suponhamos que e = (D1 ,..., Dn) e e’=(D’1 ,..., D’n)sejam tais que w(e)  t e w(e’)  t e
tenham a mesma síndrome que r. Então:
Het = H(e’)t

n
n
n
i 1
i 1
i 1
¦ D i h i ¦ D i' h i  ¦ (D i D i' )h i
0
Como w(e)  t e w(e’)  t , existem no máximo t entradas Di e D’j não nulos e,
conseqüentemente, no máximo 2t coeficientes (Di – D’i ), com i = 1,...,n, na combinação
n
linear
¦ (D i D i' )h i
0 , o que nos dá uma relação de dependência linear entre m
i 1
colunas de H com m  2t  d – 1 . Como quaisquer d – 1 colunas de H são linearmente
independentes, temos que Di – D’i = 0  Di = D’i , i = 1,...,n . Portanto, e = e’.
t
O problema que devemos resolver agora é determinar esse único vetor e a partir
de Hr .
Seja v  Fn . Defina:
v + C = { v + c : c C}
Cada conjunto da forma v + C é chamado de classe lateral de v segundo C. Note
que v + C = C  v  C.
Propriedades 2.8:
1 – Os vetores u, v  Fn tem a mesma síndrome se, e somente se, u  v + C.
Demonstração:
Hut = Hvt  H(u – v)t = 0  u – v  C  u  v + C
2 – v + C = v’ + C  v – v’  C
3 – (v + C)  (v’ + C)  0  v + C = v’ + C
4 – * ( v C) F n
vFn
5 - |(v + C)| = |C| = qk
As demonstrações de 2 a 5 são imediatas. Além disso, concluímos de 3 e 5 que o
qn
número de classes laterais segundo C é k q n k .
q
§1
Exemplo: Seja C o código gerado sobre F2 pela matriz G = ¨¨
©0
00
10
01
11 ½
°P P P P
°
C ®0000, 1011, 0101, 1110¾ e as classes laterais segundo C são:
°¿
°̄
classes. Como F24 tem 16 elementos, cada classe tem 4 elementos.
seguintes:
0 1 1·
¸ . Logo,
1 0 1¸¹
qn-k = 24
– 2
= 4
As classes são as
0000 + C = { 0000, 1011, 0101, 1110 }
1000 + C = { 1000, 0011, 1101, 0110 }
0100 + C = { 0100, 1111, 0001, 1010 }
0010 + C = { 0010, 1001, 0111, 1100 }
Definição 2.9: Um vetor de peso mínimo numa classe lateral è chamado de elemento
líder dessa classe.
Proposição 2.9: Seja C um código linear em Fn com distância mínima d. Se u  Fn é tal
ª d 1º
que w(u)  «
= t então u é o único elemento líder de sua classe.
¬ 2 »¼
Demonstração:
ª d 1º
ª d 1º
e w ( v) d «
. Se u e v são
Suponhamos u,v  Fn com w (u ) d «
»
¬ 2 ¼
¬ 2 »¼
 u  y C  u y c1
°
elementos da mesma classe, então u – v  C , pois ®v  y C  v y c 2 . Nesse
°u v c c  C
1
2
¯
ª d 1º ª d 1º
d d 1 . Como w(a)  d , a  C  0,
caso, w (u v) d w (u ) w ( v) d «
¬ 2 »¼ «¬ 2 »¼
temos que, u – v = 0  u = v.
Portanto, para encontrarmos os líderes de classes, tomamos os elementos u  Fn
ª d 1º
tais que w (u ) d «
t . Cada um desses elementos é líder de uma e somente uma
¬ 2 »¼
classe.
ª d 1º
Os líderes de classe v tais que w ( v) t «
t não serão considerados na
¬ 2 »¼
correção de erros.
Agora apresentaremos um algoritmo de correção de mensagens que tenham
ª d 1º
.
sofrido um número de erros menor ou igual a t «
¬ 2 »¼
* Determine todos os elementos u  Fn , tais que w(u)  t. Em seguida calcule as
síndromes desses elementos e coloque esses dados numa tabela.
Seja r a palavra recebida:
(1) Calcule a síndrome st = Hrt
(2) Se s está na tabela construída em * , seja l o elemento líder da classe tal que Hlt
= st. Troque r por r – l
(3) Se s não está na tabela, então na mensagem recebida foram cometidos mais do
que t erros.
Justificativa:
Dado r, sejam c e e, respectivamente, a mensagem transmitida e o vetor erro.
Como Het = Hrt, temos que a classe lateral onde e se encontra está determinada pela
síndrome de r. Se w(e)  t , temos que e é o único elemento líder l de sua classe e,
portanto, é conhecido e se encontra na tabela. Conseqüentemente, como c = r – e, temos
que c = r – l.
Se w(e) > t , e não é elemento líder de sua classe e portanto não está na tabela e é
desconhecido.
Exemplo: Considere o código linear definido sobre F2 com matriz teste de paridade
§1 0 0 1 0 1·
¨
¸
H ¨ 0 1 0 1 1 0 ¸ . Note que 3 = n – k , como n = 6, então k = 3. Além disso,
¨0 0 1 0 1 1¸
©
¹
2 a 2, as colunas de H são L.I. e existem três colunas 1, 2 e 4 L.D. Logo, d = 3 pois s – 1
= 2 e portanto, t = 1. Os vetores de F26 com w(u) d 1 e suas respectivas síndromes estão
relacionados na tabela abaixo:
Líder
000000
000001
000010
000100
001000
010000
100000
Síndrome
000
101
011
110
001
010
100
Suponhamos que a palavra recebida seja:
a) r = (100011) . Logo, Hrt = (010)t e, portanto e = (010000). Conseqüentemente,
c r e 100011 010000 110011
b) r = (111111) . Logo, Hrt = (111)t que não se encontra na tabela. Sendo assim, foi
cometido mais do que 1 erro na mensagem r.
2.6 – Códigos de Hamming
Códigos de Hamming são exemplos de códigos lineares perfeitos. Um código de
Hamming de ordem m sobre F2 é um código com matriz teste de paridade Hm de ordem
mxn , cujas colunas são os elementos de F2m \ ^0` numa ordem qualquer. A definição de
Hm determina o código C a menos de equivalência. Temos, portanto, que o
comprimento de um código de Hamming de ordem m é n = 2m – 1 e,
portanto, a sua dimensão é k = n – m = 2m – m – 1 .
Verificamos facilmente que d = 3, pois, em Hm, é fácil achar três colunas
linearmente dependentes.
§1 0 1 1 1 0 0·
¨
¸
Como no exemplo numérico, considere a matriz H ¨ 1 1 0 1 0 1 0 ¸ .
¨0 1 1 1 0 0 1¸
©
¹
Essa é a matriz de um código de Hamming correspondente a m = 3.
Proposição: Todo código de Hamming é perfeito.
Demonstração:
No nosso caso t
* D(c,1) >1 n @.2
cC
ª d 1º
n
«¬ 2 »¼ 1 . Dado c em F2 , temos que D(c,1)
k
>1 2
m
@
1 .2 n m
2 n e conseqüentemente
1 n . Portanto,
* D(c,1)
cC
F2n .
CAPÍTULO III
EXEMPLO DE UM CÓDIGO LINEAR
Considere o código binário C com matriz geradora
§1 1 0 0 1 0 0 0 0·
¸
¨
¨1 0 0 1 0 0 0 1 0¸
G ¨1 1 1 0 0 0 0 0 1¸ .
¸
¨
¨0 1 0 1 0 1 0 0 0¸
¨0 0 1 1 0 0 1 0 0¸
©
¹
a) Determine a dimensão, o comprimento e o número de elementos de C.
Observando a matriz geradora G do código binário C temos que G é uma matriz
de ordem k x n onde k é a dimensão de C e n é o comprimento do código C.
Assim temos que a dimensão de C é k = 5 e o comprimento de C é n = 9.
Para calcularmos o número de elementos de C , basta fazermos 2k = 25 = 32
elementos.
b) Construa uma matriz teste de paridade H de C e determine a distância mínima
d de C.
Obteremos a matriz teste de paridade H a partir da matriz geradora G.
G kxn
§1
¨
¨1
¨1
¨
¨0
¨0
©
§1
¨
¨0
| ¨0
¨
¨0
¨0
©
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0·
§1
¸
¨
0 ¸ L 2 L1 ¨ 0
1 ¸ L 3 L1 ¨ 0
¸
¨
0¸
| ¨0
¨0
0 ¸¹
©
0·
§1
¸
¨
0¸
¨0
¸
| ¨0
1
¸
¨
0¸
¨0
¸
0 ¹ L 5 L 3 ¨© 0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0 · L1 L 2
¸
0¸
|
1¸
¸
0¸ L4 L2
0 ¸¹
0·
¸
0¸
|
1¸
¸
0¸ L 4 L5
1 ¹¸
§1
¨
¨0
| ¨0
¨
¨0
¨0
©
§1
¨
¨0
| ¨0
¨
¨0
¨0
©
0
1
0
0
0
A
H
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
t
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
| Id n k
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
A
t
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
| Id 4
0·
§1
¸
¨
0¸
¨0
¸
| ¨0
1
¸
¨
1¸
¨0
¸
1 ¹ L 5 L 4 ¨© 0
0
1
0
0
0
1·
§1 0
¸
¨
1 ¸ L 2 L5 ¨ 0 1
1 ¸ L3 L5 ¨ 0 0
¸
¨
1¸
| ¨0 0
¨0 0
0 ¸¹
©
§1
¨
¨1
¨0
¨
¨1
©
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
|
|
|
|
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0·
¸
0¸
0¸
¸
1 ¸¹
0
0
0
1
0
0 · L1 L 4
¸
0¸ L2 L4
1¸
|
¸
1¸
0 ¸¹
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1·
¸
1¸
1¸
¸
1¸
0 ¹¸
§1
¨
¨1
¨0
¨
¨1
©
0
1
1
1
G Id 5 | A 5 x 4 1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
Analisando as colunas 3 a 3 achamos colunas linearmente dependentes pois a
quinta coluna é igual a sexta coluna mais a oitava coluna.
Analisamos as colunas 2 a 2 e todas são linearmente independentes. Assim pelo
Teorema 2 temos que s – 1 = 2  s = 3  d = 3, ou seja, a distância mínima do
ª d 1º ª 3 1º
código C é 3, portanto este código corrige somente t «
1 erro
¬ 2 »¼ «¬ 2 »¼
c) Suponha que as seguintes informações são dadas: espaço = 00000
A = 10000
F = 11000
L = 01010
Q = 11100
V = 01110
B = 01000
G = 10100
M = 01001
R = 10110
X = 00111
C = 00100
H = 10010
N = 00110
S = 10101
Z = 11110
D = 00010
I = 10001
O = 00101
T = 11001
E = 00001
J = 01100
P = 00011
U = 11001
Decodifique as mensagens recebidas abaixo, admitindo que no máximo um erro é
introduzido em cada palavra transmitida.
c.1)
011001100
100100010
110010000
001100100
011111001
101101001
110010000
100110101
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0·
¸
0¸
0¸
¸
1 ¸¹
c.2)
001001011
000000000
011111001
110100101
110010001
000011010
111000001
111000001
110100101
001100000
001100100
011010110
001100100
011111001
011011110
001100100
000000000
000011010
000110101
110100101
001101100
101101001
001010001
110010000
011001100
000000000
000000000
100111000
110100101
010101000
001100100
111110011
000011010
110010000
000110101
110100111
c.3)
Para decodificar as mensagens faremos os seguintes procedimentos:
Código da fonte
Fonte
A
A.G
Palavra do código
10000
110010000
Transmissão
Procura
pelo líder
na tabela
c=r-e
Código da
fonte
Usuário
e
Síndrome
de r
H.rt
r
Acharemos as palavras do código.
FONTE
Espaço
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
X
Z
CÓDIGO DA
FONTE
00000
10000
01000
00100
00010
00001
11000
10100
10010
10001
01100
01010
01001
00110
00101
00011
11100
10110
10101
11010
11001
01110
00111
11110
Espaço . G
A.G
B.G
C.G
D.G
E.G
F.G
G.G
H.G
I.G
J.G
L.G
M.G
N.G
O.G
P.G
Q.G
R.G
S.G
T.G
U.G
V.G
X.G
Z.G
Faremos a tabela do elemento líder e da síndrome
Líder (l)
000000000
000000001
000000010
000000100
000001000
000010000
000100000
001000000
010000000
100000000
Síndrome (H . lt)
0000
0001
0010
0100
1000
1010
1111
1011
0111
1101
PALAVRA DO
CÓDIGO
000000000
110010000
100100010
111000001
010101000
001100100
010110010
001010001
100111000
111110100
011100011
110001010
101000110
101101001
110100101
011001100
101110011
011111001
000110101
000011010
011010110
001001011
100001100
111011011
c.1)
011001100
110010000
011111001
110010000
100100010
001100100
101101001
100110101
t
Agora pegaremos a palavra recebida r e faremos H . r para acharmos a síndrome
r = 011001100  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra P
r = 110010000  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra A
r = 011111001  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra R
r = 110010000  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra A
r = 100100010  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra B
r = 001100100  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra E
r = 101101001  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra N
r = 100110101  H . rt = (1101)  olhando na tabela e = (100000000) assim :
c=r–e
c = (100110101) – (100000000) = (000110101) que representa a letra S
A mensagem recebida no c.1 é PARABENS
c.2)
001001011
000000000
011111001
110100101
110010001
000011010
111000001
111000001
110100101
001100000
001100100
011010110
r = 001001011  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra V
r = 110100101  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra O
r = 111000001  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra C
r = 001100000  H . rt = (0100)   olhando na tabela e = (000000100) assim :
c=r–e
c = (001100000) – (000000100) = (001100100) que representa a letra E
r = 000000000  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa
espaço.
r = 110010001  H . rt = (0001)   olhando na tabela e = (000000001) assim :
c=r–e
c = (110010001) – (0000000001) = (110010000) que representa a letra A
r = 111000001  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra C
r = 001100100  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra E
r = 011111001  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra R
r = 000011010  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra T
r = 110100101  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra O
r = 011010110  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra U
A mensagem recebida no c.2 VOCÊ ACERTOU
c.3)
001100100
011111001
011011110
001100100
000000000
000011010
000110101
110100101
001101100
101101001
001010001
110010000
011001100
000000000
000000000
100111000
110100101
010101000
001100100
111110011
000011010
110010000
000110101
110100111
r = 001100100  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra E
r = 000110101  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra S
r = 011001100  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra P
r = 001100100  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra E
r = 011111001  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra R
r = 110100101  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra O
r = 000000000  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa
um espaço
r = 111110011  H . rt = (0111)  olhando na tabela e = (010000000) assim :
c=r–e
c = (111110011) – (0100000000) = (101110011) que representa a letra Q
r = 011011110  H . rt = (1000)   olhando na tabela e = (000001000) assim :
c=r–e
c = (011011110) – (000001000) = (011010110) que representa a letra U
r = 001101100  H . rt = (1000)   olhando na tabela e = (000001000) assim :
c=r–e
c = (001101100) – (000001000) = (001100100) que representa a letra E
r = 000000000  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa
um espaço.
r = 000011010  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra T
r = 001100100  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra E
r = 101101001  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra N
r = 100111000  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra H
r = 110010000  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra A
r = 000000000  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa
um espaço.
r = 001010001  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra G
r = 110100101  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra O
r = 000110101  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
letra S
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r = 110010000  H . rt = (0000)  nenhum erro  r = c este código representa a
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letra D
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letra O
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[B] BLAHUT, Richard E., Theory and Practice of Error Control Codes, AddisonWesley, Reading, Massachusetts, 1984.
[G] GONÇALVES, A., Introdução à Álgebra, IMPA, Rio de Janeiro, 1979.
[H] HEFEZ, A. E VILLELA, M.L.T. , Códigos Corretores de Erros, IMPA, Rio de
Janeiro, 2002.
[L] LIPSCHUTZ, S., Álgebra Linear, MacGraw-Hill do Brasil , São Paulo,1981.
[MW] MACWILLIAMS, F.J., e SLOANE, N.J.A., The Theory of Error-Correcting
Codes, North-Holland, Amsterdã, 1992.
Equações de Congruência de Grau Maior do
que Um
Patrı́cia Borges dos Santos∗
Marcos da Antônio Câmara†
Faculdade de Matemática - Famat
Universidade Federal de Uberlândia - Ufu - MG
Março de 2006
Resumo
Neste trabalho estendemos a noção de congruência para polinômios inteiros e
apresentamos alguns teoremas, dentre os quais o Teorema de Lagrange, o Teorema
de Wilson e o Teorema de Gauss. A partir desse estudo foi possı́vel a construção de
um algoritmo que utiliza o polinômio de Taylor de ordem n para se obter a solução
de equações de congruência de grau maior do que um. Generalizando os conceitos
de congruência e equivalência para polinômios com n variáveis foi demonstrado o
Teorema de Chevalley que garante a existência de um zero simultâneo para um
número ﬁnito m de polinômios com n variáveis, sem termo constante.
Palavras-chave: congruência, polinômios, Lagrange, Chevalley.
1
Introdução
O conceito de congruência, bem como a notação através da qual se torna um dos instrumentos da teoria dos números foi intruduzido por Karl Friedrich Gauss (1777-1855),
em um trabalho publicado em 1801 (Disquisitiones Arithmeticae) quando tinha apenas
24 anos. Várias idéias de grande importância, que serviram de base para a teoria dos
números, aparecem em nosso trabalho, assim como a extensão de alguns conceitos, para
o contexto de congruência que tratamos.
Neste trabalho, essencialmente, investigaremos a solubilidade (em Z) de equações do
tipo an xn + . . . + a1 x + a0 ≡ 0 (mod m), para algum m ∈ N. Indicaremos por Z [x] o anel
de todos os polinômios sobre Z na variável x (estes polinômios serão chamados polinômios
inteiros). Para f (x) ∈ Z[x] escreveremos f (x) = a0 +a1 x+a2 x2 +. . .+an xn para signiﬁcar
que f (x) tem grau n ∈ N ∪ {0}.
Comecemos com uma conceituação que será utilizada em nossos resultados. Sejam
f (x) e g(x) dois polinômios inteiros.
Deﬁnição 1.1 Dizemos que f (x) e g (x) são congruentes módulo m quando os coeﬁcientes correspondentes de f (x) e g(x) forem congruentes módulo m, ou seja, sendo
∗
patricia [email protected] Orientando do Programa de Educação Tutorial da Faculdade de
Matemática (PetMat) de mar/05 a fev/06.
†
[email protected] Professor orientador.
f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 e g(x) = br xr + . . . + b1 x + b0 e n ≤ r, escrevemos
f (x) = 0xr + . . . + 0xn+1 + an xn + . . . + a1 x + a0 e teremos f (x) ≡ g (x) (mod m) ⇐⇒
ai ≡ bi (mod m) para todo i ∈ {0, 1, . . . , r}. Denotaremos este fato por
f ≡ g (mod m)
Deﬁnição 1.2 Dizemos que f (x) e g (x) são equivalentes módulo m quando para todo
xo ∈ Z tivermos f (xo ) ≡ g (xo ). Denotaremos este fato por
f ∼ g (mod p)
Observe que pelas deﬁnições acima é claro que se dois polinômios inteiros f (x) e
g (x) são congruentes módulo m, eles também são equivalentes módulo m (para qualquer
m ∈ N). A recı́proca não é verdadeira. Se considerarmos p um número primo temos, pelo
Pequeno Teorema de Fermat, xp ≡ x (mod p) , para todo x ∈ Z mas certamente f (x) = xp
e g (x) = x não são congruentes módulo p.
Veja também que esta noção de polinômios congruentes estende a noção de inteiros
congruentes módulo m. Para os polinômios inteiros constantes (polinômios inteiros de
grau zero) as duas noções coincidem.
Deﬁnição 1.3 Sejam f (x), g (x) ∈ Z [x]. Dizemos que f (x) é divisı́vel por g (x) módulo
m se existe g1 (x) ∈ Z [x] tal que f (x) ≡ g (x) g1 (x) (mod m) .
Isto nada mais é do que a ampliação natural da noção de divisibilidade para este
contexto de congruência de polinômios que estamos considerando.
Deﬁnição 1.4 Seja f (x) ∈ Z [x] e a ∈ Z. Dizemos que a é uma raiz de f (x) módulo m
quando f (a) ≡ 0 (mod m) .
Teorema 1.1 (Fatoração) Sejam f (x) ∈ Z [x] e a ∈ Z. Então a é raiz de f (x) módulo
m ⇐⇒ f (x) é divisı́vel por (x − a) módulo m.
Demonstração
Por hipótese f (a) ≡ 0 (mod m). Então podemos escrever f (x) ≡ [f (x) − f (a)] (mod m).
Temos que
f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn , f (a) = a0 + a1 a + . . . + an an
e como
(xn − an ) = (x − a) xn−1 + axn−2 + . . . + an−1
para todo n ∈ Z segue que:
f (x) − f (a) = an (xn − an ) + an−1 xn−1 − an−1 + . . . + a1 (x − a) + (a0 − a0 )
= an (x − a) xn−1 + an−2 + . . . + an−1 + an−1 (x − a) xn−2 + . . . + an−2 +
+ . . . + a1 (x − a)
= (x − a) g (x) .
(a)
é um polinômio inteiro. Então f (x) ≡ (x − a) g (x) (mod m),
Logo g (x) = f (x)−f
x−a
ou seja, f (x) é divisı́vel por (x − a) módulo m. Reciprocamente, se f (x) é divisı́vel
por (x − a) então existe g (x) ∈ Z [x] tal que f (x) ≡ (x − a) g (x) (mod m). Portanto,
f (a) ≡ 0 (mod m), como querı́amos.
Observe que se f (x) , g (x) e g1 (x) são polinômios inteiros tais que
f (x) ≡ g (x) g1 (x) (mod m)
(para algum m ∈ N) e a ∈ Z é uma raiz de f (x) módulo m, não necessariamente a será
uma raiz de g (x) ou g1 (x) módulo m. Por exemplo, x2 ≡ (x − 2) (x − 2) (mod 4) e a = 0
é raiz de x2 módulo 4, mas não é raiz de (x − 2) módulo 4.
Este problema não ocorre quando escolhemos m primo, como veremos a seguir.
Teorema 1.2 Sejam p um primo e f (x) , g (x) e g1 (x) ∈ Z [x] tais que
f (x) ≡ g (x) g1 (x) (mod p) .
Então, qualquer raiz de f (x) módulo p é raiz de g (x) ou g1 (x) módulo p.
Demonstração
Sabemos que se um número primo divide um produto de inteiros, então ele divide um
de seus fatores. Assim se a é raiz de f (x) módulo p, então f (a) ≡ 0 (mod p) =⇒
g (a) g1 (a) ≡ 0 (mod p). Daı́ segue que p | g (a) g1 (a). Logo, p | g (a) ou p | g1 (a)
=⇒ g (a) ≡ 0 (mod p) ou g1 (a) ≡ 0 (mod p) como querı́amos.
Veremos a seguir um resultado devido a Lagrange que relaciona o número de raı́zes
módulo m de um polinômio f (x) ∈ Z [x] com o grau deste polinômio. Considere inicialmente o seguinte exemplo:
Exemplo 1.1 O polinômio f (x) = x2 − 1 tem quatro raı́zes incongruentes módulo 8 que
são 1, 3, 5 e 7 enquanto que o seu grau é 2. Tomando 7 ao invés de 8, vemos que f (x)
possui apenas duas raı́zes incongruentes módulo 7 que são 1 e 6, ou seja, neste caso o
número de raı́zes incongruentes não excede o grau do polinômio. Lagrange mostrou que
no lugar do 7 podemos considerar qualquer outro primo e a propriedade permanece válida,
como veremos a seguir:
Teorema 1.3 (Lagrange, 1736-1813) Sejam f (x) = ak xk +. . .+a1 x+a0 um polinômio
inteiro de grau k e p ∈ N um primo tal que ak ≡ 0 (mod p). Então f (x) ≡ 0 (mod p)
tem no máximo k soluções incongruentes módulo p, isto é, existem no máximo k inteiros t1 , . . . , tk tais que f (ti ) ≡ 0 (mod p) para i ∈ {1, . . . , k} , e ti ≡ tj (mod p) para
i, j ∈ {1, . . . , k} , i = j.
Demonstração
Usaremos aqui o segundo princı́pio de indução sobre o grau k do polinômio f (x). Se
temos k = 0, então f (x) = a0 é um polinômio constante e, por hipótese, a0 ≡ 0 (mod p),
logo a equação f (x) ≡ 0 (mod p) não tem solução. Portanto o teorema é válido no caso
k = 0. Suponhamos agora que o teorema é verdadeiro para qualquer polinômio de grau
menor ou igual a k − 1 e vamos mostrar que isto acarreta a validade do teorema para
grau k. Considere que o grau de f (x) é k. Se f (x) não tem raiz módulo p, o teorema é
válido. Suponha então que existe a ∈ Z que seja raiz de f (x) módulo p. Pelo Teorema 1.1
podemos escrever f (x) ≡ (x − a) g (x) (mod p), onde g (x) tem grau k − 1. Pelo Teorema
1.2 qualquer raiz de f (x) ou é raiz de (x − a) ou é raiz de g (x). Agora, (x − a) tem uma
única raiz módulo p, enquanto que g (x), pela hipótese de indução, tem no máximo k − 1
raı́zes incongruentes módulo p, logo, f (x) tem no máximo k raı́zes incongruentes módulo
p.
Agora veremos duas aplicações do Teorema de Lagrange, a primeira delas devida a
Wilson e a segunda a Gauss. Chamamos a atenção para o resultado de Wilson por ser
um dos poucos que não fornece apenas uma propriedade de um número primo, mas um
critério para decidir sobre a primalidade do número. Vamos aos resultados:
Teorema 1.4 (Wilson, 1741-1793) Seja m ∈ N, m > 1. A congruência
(m − 1)! ≡ −1 (mod m)
é válida se, e somente se, m é um primo.
Demonstração
(⇒) Suponha inicialmente que m não é primo e (m − 1)! ≡ −1 (mod m). Então existe
d ∈ N, 1 < d < m e d | m. Logo por transitividade, (m − 1)! ≡ −1 (mod d) também. Mas
como 1 < d < m temos que (m − 1)! ≡ 0 (mod d), o que implica que −1 ≡ 0 (mod d), ou
seja, d = 1, uma contradição.
(⇐) Reciprocamente, pelo teorema de Euler temos que: xm−1 ≡ 1 (mod m) =⇒
xm−1 − 1 ≡ 0 (mod m) se mdc (x, m) = 1. Assim, as raı́zes de f (x) = xm−1 − 1 são os
valores de x tais que mdc (x, m) = 1, ou seja, as raı́zes são 1, 2, . . . , m − 1, módulo m.
Como o grau de f (x) é m − 1 o Teorema 1.3 nos diz que estas são todas as raı́zes de f (x)
incongruentes módulo m. Finalmente, pelo Teorema1.1 podemos escrever:
xm−1 − 1 ≡ (x − 1) (x − 2) . . . [x − (m − 1)] (mod p)
Em particular os termos constantes nos dois lados são congruentes módulo m, isto é,
−1 ≡ (−1)m−1 (m − 1)! (mod m) (onde (m − 1)! é o produto de todas as raı́zes). Pelo
teorema de Euler nós sabemos que (−1)m−1 ≡ 1(mod m), pois m é primo. Portanto
−1 ≡ (m − 1)! (mod m), como desejávamos demonstrar.
Veja que a demonstração do teorema de Wilson é na verdade uma coletânea de vários
resultados.
O teorema e a deﬁnição a seguir preparam o caminho para o teorema de Gauss.
Teorema 1.5 Sejam f (x), g (x) ∈ Z [x] e p um número primo tal que
f (x) g (x) ≡ 0 (mod p)
Então f (x) ≡ 0 (mod p) ou g (x) ≡ 0 (mod p).
Demonstração
Vamos demonstrar o teorema por redução ao absurdo. Suponha que f (x) ≡ 0 (mod p) e
g (x) ≡ 0 (mod p). Podemos escrever
f (x) = f1 (x) + f2 (x)
g (x) = g1 (x) + g2 (x)
onde supomos que nenhum dos coeﬁcientes de f1 (x) e g1 (x) é múltiplo de p. Agora
f (x) ≡ f1 (x) (mod p)
g (x) ≡ g1 (x) (mod p)
logo,
f (x) g (x) ≡ f1 (x) g1 (x) (mod p)
o que implica que
f1 (x) g1 (x) ≡ 0 (mod p) .
Escrevamos
f1 (x) = an xn + · · · + a1 x + a0
g1 (x) = bm xm + · · · + b1 x + b0
Então
f1 (x) g1 (x) = (an bm ) xn+m + · · · + (a1 b0 + a0 b1 ) x + a0 b0
E a equação f1 (x) g1 (x) ≡ 0 (mod p) nos diz em particular que an bm ≡ 0 (mod p) , logo,
p | an bm daı́ p | an ou p | bm , um absurdo, pois p não divide nenhum dos coeﬁcientes de
f1 (x) e de g1 (x) .
Deﬁnição 1.5 Um polinômio não nulo f (x) ∈ Z [x] é chamado primitivo se todos os seus
coeﬁcientes são relativamente primos, isto é, para todo p primo tem-se f (x) ≡ 0 (mod p)
Teorema 1.6 (Gauss, 1777-1855) O produto de dois polinômios primitivos é um
polinômio primitivo.
Demonstração
Sejam f (x), g (x) ∈ Z [x] polinômios primitivos. Suponha que o produto f (x) g (x) não é
primitivo. Então existe p primo tal que f (x) g (x) ≡ 0 (mod p) . Pelo Teorema 1.5 devemos
ter f (x) ≡ 0 (mod p) ou g (x) ≡ 0 (mod p) o que equivale a dizer que f (x) ou g (x) não é
um polinômio primitivo, um absurdo.
2
Equações de Grau Maior do que Um
Agora consideraremos equações de congruência do tipo
an xn + . . . + a1 x + a0 ≡ 0 (mod m)
onde o polinômio f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 ∈ Z [x] é um polinômio primitivo de grau
n ∈ N e m é um inteiro positivo.
A partir das noções que foram introduzidas construı́mos um processo algorı́tmico cujo
interesse principal foi determinar se uma equação de congruência de grau maior do que
um admite ou não solução, sem a preocupação com a quantidade dessas soluções.
Para isso foram feitas as seguintes considerações: Seja m = pα1 1 . . . pαr r a forma padrão
de m onde os pi s são primos distintos e αi > 0 para todo i ∈ {1, . . . , r} . A primeira
observação é de que encontrar soluções para a equação an xn + . . . + a1 x + a0 ≡ 0 (mod m)
equivale a encontrar soluções para o sistema
⎧
α1
⎪
⎨ f (x) ≡ 0 (mod p1 )
..
.
⎪
⎩ f (x) ≡ 0 (mod pαr )
r
onde f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 , pois os primos pi s são todos distintos.
Vamos supor que seja possı́vel encontrar soluções para a equação acima no caso particular onde m é da forma pα . Então sejam c1 , . . . , cr as respectivas soluções das r equações
presentes no sistema acima (estas soluções não são necessariamente soluções do sistema).
Usando o Teorema Chinês do Resto podemos encontrar uma solução x0 para o seguinte
sistema
⎧
α1
⎪
⎨ x ≡ c1 (mod p1 )
..
.
⎪
⎩ x ≡ c (mod pαr )
r
r
onde x0 é única módulo m. E agora é fácil veriﬁcar que x0 é uma solução para o primeiro
sistema, e portanto uma solução da equação acima, pois para todo i ∈ {1, . . . , r} temos
que
f (x0 ) ≡ f (ci ) ≡ 0 (mod pαr r ) .
Assim, para cada r-upla (c1 , . . . , cr ) tal que ci é solução de f (x) ≡ 0 (mod pαi i ) nós
construı́mos uma solução para a equação dada, através do Teorema Chinês do Resto.
Portanto, podemos concentrar nossos estudos nas equações do tipo f (x) ≡ 0 (mod pα ) em
que p é um número primo e α ∈ N.
O que faremos agora é desenvolver um algorı́tmo para construirmos uma solução para
f (x) ≡ 0 (mod pα ).
Algoritmo 2.1 Seja p um primo, α ∈ N e f (x) ∈ Z [x] um polinômio primitivo de grau
n. Vamos apresentar aqui um método para a obtenção de soluções para a equação
f (x) ≡ 0 (mod pα )
a partir das soluções da equação
f (x) ≡ 0 (mod p)
O método a seguir é interativo e baseado no desenvolvimento de Taylor de f (x), permitindo que as soluções módulo pα sejam obtidas a partir das soluções módulo pα−1 . O
desenvolvimento de Taylor de f (x) de ordem n numa vizinhaça de um ponto x = c é dado
por
f (x) = Pn (x) + Rn (x) ,
onde
Pn (x) = f (c) +
f (c)
f (n) (c)
(x − c) + . . . +
(x − c)n
1!
n!
e
Rn (x) =
f (n+1) (a)
(n + 1)!
onde f (k) (c) indica a k-ésima derivada do polinômio f (x) calculada no ponto x = c, e
a é um número entre x e c. Como f (x) é um polinômio em Z [x] de grau n concluı́mos
(k)
que f (n+1) (x) é identicamente nulo. Logo, f (x) = Pn (x) e portanto f k!(c) é um número
inteiro, para todo k ∈ {1, 2, . . . , n} . Sejam β ∈ N, β < α e c ∈ Z uma solução da equação
k
f (x) ≡ 0 mod pβ . Para qualquer t ∈ Z temos que c + tpβ é igual a
β
j
k
k
k
k
k−1
tp + . . . +
ck−j tpβ + . . . + tpβ ≡ ck mod pβ .
c +
c
j
1
Logo,
0 ≡ f (c) ≡ f c + tpβ mod pβ ,
ou seja, c + tpβ também é solução de f (x) ≡ 0 mod pβ . Queremos agora determinar
t ∈ Z tal que c + tpβ seja uma solução da equação
f c + tpβ ≡ 0 mod pβ+1 .
Vamos reescrever a equação acima utilizando o desenvolvimento de Taylor de f (x) ,
tomando x = c + tpβ . Assim teremos que
f c + tpβ ≡ f (c) + f (c) tpβ ≡ 0 mod pβ+1
já que, no desenvolvimento de f c + tpβ acima, todas as potências de p a partir do
terceiro termo são maiores que β + 1. Como f (c) ≡ 0 mod pβ , concluı́mos que fp(c)
β ∈ Z,
e usando esta informação na equação acima obtemos a equação linear
f (c) t ≡ −
f (c)
(mod p)
pβ
cujo número de soluções já conhecemos, qual seja (note que mdc (f (c) , p) = 1 ou p):
⎧
⎨ 0 se p | f (c) e p f (c) /pβ
1 se p f (c)
⎩
p se p | f (c) e p | f (c) /pβ
O procedimento geral deve ser claro agora. Se todas as soluções da equação acima são
conhecidas para o caso β = 1, escolhemos uma delas, que denotaremos por c1 . Substituindo c por c1 no desenvolvimento de Taylor, e repetindo o processo para o caso β = 2,
buscaremos uma solução agora
comc1 no lugar de c, e assim por diante até encontrarmos a solução de f (x) ≡ 0 mod pβ , com o β desejado. Caso o número de soluções da
congruência linear
f (c)
f (c) t ≡ − β (mod p)
p
seja zero escolhe-se outro c1 . Se nenhuma das soluções para o caso β = 1 induz uma
solução de
f c + tpβ ≡ f (c) + f (c) tpβ ≡ 0 mod pβ+1
para o caso β = 2 é porque não existe tal solução.
Vamos ilustrar este processo com um exemplo:
Exemplo 2.1 Vamos obter uma solução para
f (x) = x3 − 4x2 + 5x − 6 ≡ 0 (mod 189) .
Como já vimos anteriormente, determinar uma solução para esta equação equivale a encontrar uma solução para o sistema
f (x) ≡ 0 (mod 33 )
.
f (x) ≡ 0 (mod 7)
É fácil veriﬁcar que f (4) ≡ 0 (mod 7) , então precisamos determinar agora uma solução
para f (x) ≡ 0 (mod 27) , para isto seguiremos o caminho descrito no algorı́tmo anterior,
determinando primeiramente soluções módulo 3. Uma computação simples nos mostra
que
f (0) ≡ 0 (mod 3)
é a única solução incongruente módulo 3. Tomando x = 0 + 3t tentaremos determinar
t ∈ Z tal que
f (0 + 3t) ≡ 0 (mod 9)
o que é equivalente a encontrar soluções da equação
f (0) t ≡ −
f (0)
(mod 3)
3
ou seja,
5t ≡ 2 (mod 3)
ou ainda,
t ≡ 1 (mod 3)
Colocando t = 1 + 3t1 obtemos x = 3 + 9t1 , e tentaremos obter t1 ∈ Z tal que
f (3) + 9t1 f (3) ≡ 0 (mod 27)
ou,
f (3) t1 ≡ −
f (3)
(mod 3)
9
ou seja,
8t1 ≡ 0 (mod 3)
e daqui obtemos
t1 ≡ 0 (mod 3) .
Tomando t1 = 0 encontramos x = 3, ou seja x ≡ 3 (mod 27) é raiz de
x3 − 4x2 + 5x − 6 ≡ 0 (mod 27)
Neste ponto precisamos encontrar uma solução para
x ≡ 3 (mod 27)
x ≡ 4 (mod 7)
e para isto utilizamos o Teorema Chinês do Resto encontrando
x ≡ −24 (mod 189)
como solução deste sistema, e consequentemente
f (−24) ≡ 0 (mod 189)
como desejávamos.
3
O Teorema de Chevalley
Nesta seção, queremos apresentar um resultado muito bonito provado por C. Chevalley
sobre soluções da equação
f (c1 , . . . , cn ) ≡ 0 (mod p) .
E para isto precisamos generalizar algumas deﬁnições. Sejam f e g dois polinômios
em n variáveis, com coeﬁcientes inteiros.
Deﬁnição 3.1 Diremos que f é congruente com g módulo m, denotado por f ≡ g(mod m),
se os coeﬁcientes dos termos de f e g são congruentes módulo m.
Deﬁnição 3.2 Diremos que f é equivalente com g módulo m, denotado por f ∼ g (mod m) ,
se
f (c1 , . . . , cn ) ≡ g (c1 , . . . , cn ) ≡ (mod m)
para toda n-upla de inteiros (c1 , . . . , cn ) .
Exemplo 3.1 Os polinômios 2x51 + 9x2 x43 + 7x3 x4 x5 e 10x51 + x2 x43 − x3 x4 x5 + 8x4 x95 são
congruentes módulo 8.
3
2 2
Exemplo 3.2 Os polinômios 7x1 x52 x74 + x23 x10
5 e 2x1 x2 x4 + x3 x5 são equivalentes módulo
5 pelo Pequeno Teorema de Fermat.
Novamente é fácil veriﬁcar que polinômios congruentes são também equivalentes. A
recı́proca não é verdadeira.
Deﬁnição 3.3 Seja f um polinômio. Deﬁniremos o grau total de f como sendo o maior
grau dentre os graus de seus monômios, onde o grau de um monômio é igual a soma dos
graus de suas variáveis.
Exemplo 3.3 Considere o polinômio f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x21 + x1 x2 x3 + x62 x24 + x73 . Este
polinômio possui quatro monômios de graus 2, 3, 8 e 7 respectivamente, portanto o seu
grau total é 8.
Nossa intenção é estudar a solubilidade da equação f (x1 , . . . , xn ) ≡ 0 (mod p), p primo.
Como polinômios equivalentes tem as mesmas soluções, temos então a possibilidade
de buscar a substituição de f na equação acima por polinômios equivalentes em formas
mais simples.
Vamos começar tentando reduzir o grau das variáveis de f através de sucessivas
aplicações da equivalência xpi ∼ xi (mod p) , conseqüência do Pequeno Teorema de Fermat. Ao ﬁnal deste processo encontraremos um polinômio equivalente a f , onde todas
as variáveis apresentam graus menores que p, e neste caso diremos que este polinômio
equivalente esta na forma reduzida módulo p.
Exemplo 3.4 Encontremos a forma reduzida do polinômio
30 4
f (x1 , x2 , x3 ) = 6x23
1 + 2x2 x3
módulo 5. Como
5 4 3
5 6
x23
.x1 ∼ x41 .x31 = x51 .x21 ∼ x31 (mod 5) e x30
∼ x62 = x52 .x2 ∼ x22 (mod 5) ,
1 = x1
2 = x2
nós temos
30 4
3
2 4
6x23
1 + 2x2 x3 ∼ 6x1 + 2x2 x3 (mod 5)
e assim determinamos a forma reduzida de f (x1 , x2 , x3 ) pois o grau de todas as variáveis
é menor que 5.
Através das observações acima ﬁca provado que
Lema 3.1 Todo polinômio f é equivalente a um polinômio na forma reduzida cujo grau
total é sempre menor ou igual ao grau total de f.
Lema 3.2 Suponha que f é um polinômio na forma reduzida. Se f ∼ 0 (mod p) então
f ≡ 0 (mod p) .
Demonstração
Utilizaremos aqui indução sobre o número de variáveis de f . Seja n o número de variáveis
de f , e vamos supor que n = 1. Como f está na forma reduzida, o grau de f (que
neste caso coincide com o grau total) é menor que p, mas, por hipótese, f (c) ≡ 0 (mod p)
para todo c ∈ {0, 1, . . . , p − 1} . Logo f tem mais raı́zes que seu grau, uma contradição
pelo Teorema de Lagrange, a menos que todos os seus coeﬁcientes sejam divisı́veis por p,
ou seja, f ≡ 0 (mod p) . Vamos supor então que n ≥ 2 e que o teorema seja verdadeiro
para todo polinômio reduzido, equivalente ao polinômio 0 módulo p, em m < n variáveis.
Escreva
f (x1 , . . . , xn ) = A0 (x1 , . . . , xn−1 ) + A1 (x1 , . . . , xn−1 ) xn + . . . + Ap−1 (x1 , . . . , xn−1 ) xp−1
n
onde os Ai (x1 , . . . , xn−1 ) são polinômios nas variáveis x1 , . . . , xn−1 , podendo ser o polinômio
nulo. Tome agora números arbitrários c1 , . . . , cn−1 e escreva ai = Ai (c1 , . . . , cn−1 ) com
i = 1, . . . , p − 1. Então
F (xn ) = f (c1 , . . . , cn−1 , xn ) = a0 + a1 xn + . . . + ap−1 xp−1
n .
Obviamente F (xn ) está na forma reduzida e F (xn ) ∼ 0 (mod p) , logo, por hipótese
de indução, F (xn ) ≡ 0 (mod p) , ou seja, ai = Ai (c1 , . . . , cn−1 ) ≡ 0 (mod p) para todo
i = 1, . . . , p − 1. Como os números c1 , . . . , cn−1 foram escolhidos de forma arbitrária, para
todo i = 1, . . . , p − 1 temos que
Ai (x1 , . . . , xn−1 ) ∼ 0 (mod p) .
Claramente os polinômios Ai (x1 , . . . , xn−1 ) estão na forma reduzida, logo, também por
hipótese de indução, concluı́mos que para todo i = 1, . . . , p − 1 temos que
Ai (x1 , . . . , xn−1 ) ≡ 0 (mod p) ,
de onde segue que
f (x1 , . . . , xn ) ≡ 0 (mod p)
como querı́amos demonstrar.
Lema 3.3 Se o polinômio F (x1 , . . . , xn ) está na forma reduzida e tem a propriedade
de que F (x1 , . . . , xn ) ≡ 0 (mod p) em todo e qualquer ponto diferente de (a1 , . . . , an ) , e
F (a1 , . . . , an ) ≡ 1 (mod p) então
F (x1 , . . . , xn ) ≡ (−1)n (x1 − a1 )p−1 − 1 . . . (xn − an )p−1 − 1 (mod p)
Demonstração
Seja
G (x1 , . . . , xn ) = (−1)n (x1 − a1 )p−1 − 1 . . . (xn − an )p−1 − 1 .
Claramente vemos que o polinômio G está na forma reduzida, logo o polinômio F − G
também está na forma reduzida. Pelo Pequeno Teorema de Fermat,
G (a1 , . . . , an ) ≡ 1 (mod p)
e
G (x1 , . . . , xn ) ≡ 0 (mod p)
em qualquer outro ponto diferente de (a1 , . . . , an ) , portanto F − G ∼ 0 (mod p) . Pelo
Lema 3.2 concluı́mos que F − G ≡ 0 (mod p) , como desejávamos demonstrar.
Agora estamos prontos para apresentar e demonstrar o Teorema de Chevalley.
Teorema 3.1 (C. Chevalley) Sejam f1 , . . . , fm polinômios em n variáveis, sem termo
constante e com graus totais d1 , . . . , dm respectivamente. Se n > d1 + . . . + dm então existe
(b1 , . . . , bn ) = (0, . . . , 0) tal que
f1 (b1 , . . . , bn ) ≡ . . . ≡ fm (b1 , . . . , bn ) ≡ 0 (mod p) ,
ou seja, (b1 , . . . , bn ) é um zero simultâneo para f1 , . . . , fm módulo p.
Demonstração
Como estes polinômios não possuem termos constantes temos que
f1 (0, . . . , 0) = . . . = fm (0, . . . , 0) = 0.
Considere o polinômio
p−1
F (x1 , . . . , xn ) = (−1)m f1p−1 − 1 . . . fm
−1 .
Vamos supor que os m polinômios f1 , . . . , fm não se anulem simultaneamente em nenhum ponto (b1 , . . . , bn ) = (0, . . . , 0) . De acordo com o Lema 3.3 a forma reduzida de
F (x1 , . . . , xn ) é equivalente módulo p ao polinômio (−1)n (x1 p−1 − 1) . . . (xn p−1 − 1) de
grau total n (p − 1) (note que o polinômio F (x1 , . . . , xn ) satisfaz as hipóteses do Lema
3.3, tomando (a1 , . . . , an ) = (0, . . . , 0) ). Portanto o grau total de F é no mı́nimo n (p − 1) .
Mas, pela deﬁnição de F temos que o grau de F é
(d1 + . . . + dm ) (p − 1) ,
o que implica que d1 + . . . + dm ≥ n como desejávamos provar.
Vamos concluir este trabalho com a seguinte conseqüencia da demonstração do Teorema de Chevalley.
Teorema 3.2 Seja f um polinômio qualquer em n variáveis, com grau total d menor que
n. Se a congruência
f (x1 , . . . , xn ) ≡ 0 (mod p)
tem uma solução, então essa congruência tem pelo menos duas soluções.
Demonstração
Como foi feito na demonstração do Teorema de Chevalley, suponha que
f (x1 , . . . , xn ) ≡ 0 (mod p)
só tenha uma solução (a1 , . . . , an ) , e considere o polinômio
F (x1 , . . . , xn ) = 1 − f (x1 , . . . , xn )p−1 .
Pelo Lema 2, a forma reduzida de F é equivalente a
(−1)n (x1 − a1 )p−1 − 1 . . . (xn − an )p−1 − 1 .
Portanto o grau total de F é no mı́nimo n (p − 1) , mas pela deﬁnição de F , seu grau total
é d (p − 1) , logo d ≥ n, o que contradiz a hipótese, concluindo a demonstração.
Referências
[1] Shokranian, S. & Soares, M. & Godinho, H. , ”Teoria dos Números”, Editora Universidade de Brası́lia,1994.
[2] Domingues, H., “Fundamentos de Aritmética”, Editora Atual,1991.
Transformações Geométricas e a Construção com
Régua e Compasso
Bruno N. de Souza∗
Cláudia Helena V. Freitas†
Jocelino Sato‡
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU
38408-100, Uberlândia - MG
30 de outubro de 2005
Resumo
Neste trabalho exploramos o método das transformações geométricas para resolver problemas de construção com régua e compasso. Acreditamos que esse
método, auxiliado por uma ferramenta computacional de Geometria Dinâmica, é
uma poderosa ferramenta na investigação e solução de problemas de construção
geométrica. Sob este aspecto, o estudo da ação de uma transformação sobre um
objeto geométrico é um raciocı́nio heurı́sico importante na busca de soluções dos
problemas de construção com régua e compasso.
1
Introdução
Na Grécia antiga, época dos pitagóricos, a palavra número era usada só para os
inteiros e uma fração era considerada apenas uma razão entre números inteiros. Estes
conceitos, naturalmente, causaram diﬁculdades ao realizar medidas de grandezas. O conceito de número real estava ainda muito longe de ser concebido, mas, na época de Euclides (séc.III a.C.) surgiu uma nova idéia. As grandezas, ao invés de serem associadas
a números, passaram a ser associadas a segmentos de reta. Nasce então nesse perı́odo
uma nova “álgebra”, completamente geométrica, onde a palavra resolver era sinônimo de
construir com régua e compasso.
Com isso, ﬁzeram-se necessários traçados de segmentos de reta que representassem
tais grandezas, retângulos que representassem produtos dessas grandezas através de suas
áreas e traçados das demais ﬁguras. A partir, daı́ os matemáticos gregos desenvolveram
uma parte da Matemática, intimamente ligada à Geometria, conhecida como Construções
Geométricas com Régua e Compasso.
Nas construções geométricas, além de lápis e papel, utilizamos dois instrumentos: um
compasso e uma régua (sem graduação). Com o compasso podemos traçar cı́rculos e arcos
∗
Orientando de Iniciação Cientı́ﬁca PROMAT. E-mail: [email protected]
Orientando de Iniciação Cientı́ﬁca PROMAT. E-mail: hellena [email protected]
‡
Professor orientador. E-mail: [email protected]
†
de cı́rculos com centro e raio dados e também transportar segmentos de reta. A régua
não pode ser usada para efetuar medida, embora possamos traçar retas, semi-retas ou
segmentos de retas ligando dois pontos dados. Assim, as seguintes operações elementares
podem ser realizadas numa construção com régua e compasso:
O1 - Traçar uma reta por dois pontos conhecidos;
O2 - Desenhar uma circunferência, dados o seu centro e o seu raio;
Além dessas construções básicas (que são justiﬁcadas pelos axiomas da Geometria
Euclidiana), existem duas outras operações elementares, justiﬁcadas pelos axiomas de
continuidades (na verdade são Teoremas):
O3 - Marcar os pontos, quando houver, de intersecção de duas linhas (duas retas, duas
circunferências ou uma reta e uma circunferência).
O4 - Dado um cı́rculo λ = C(O, r) e um ponto P nesse cı́rculo, determinar um segundo
ponto Q em λ tal que P Q seja congruente a um segmento dado AB (AB < r).
Resolver um problema de construção geométrica consiste em realizar uma seqüência
ﬁnita de pelo menos uma dessas operações, determinando a solução do problema a qual
é dada por algum ou alguns dos objetos construı́dos. Cada passo da construção deve ser
justiﬁcado (isto é, demonstrado) usando os conceitos, axiomas e teoremas da Geometria
Euclidiana.
Deve-se observar que, usando somente a régua e o compasso, não podemos resolver
alguns problemas. Três problemas desse tipo, que têm sua origem na Grécia antiga, são:
1. A duplicação do cubo, ou seja, o problema da construção do lado de um cubo, cujo
volume é o dobro do volume de um cubo cujo lado é dado;
2. A trisecção de um ângulo, ou seja, o problema de dividir um ângulo dado qualquer
em três partes iguais (isto é, em três ângulos congruentes cuja soma é o ângulo
dado);
3. A quadratura de um cı́rculo, ou seja, o problema de construir um quadrado cuja
área é a mesma de um cı́rculo dado.
Esses problemas foram resolvidos apenas no século XIX, com a ajuda da Álgebra,
quando foi provada a impossibilidade de tais construções. Mas isto já é outra história que
não será abordada neste texto.
A solução de um problema de construção geométrica, muitas vezes, depende da determinação de um certo elemento chave que satisfaz certas condicionantes. Consideradas
separadamente ou em conjuntos as condicionantes devem fornecer a solução como a interseção de certas ﬁguras (quase sempre lugares geométricos). Por exemplo, considere o
problema:
Dados um cı́rculo de centro O, um ponto P fora do cı́rculo e um segmento
de medida a. Traçar uma reta que passe por P e que determine uma corda de
comprimento a no cı́rculo.
A possı́vel reta solução desse problema (se existir) tem que satisfazer duas condições:
(a) Determinar uma corda de comprimento a no cı́rculo;
(b) Passar pelo ponto P e ser secante ao cı́rculo.
Comecemos por analisar o conjunto das retas que determinam cordas de comprimento
a no cı́rculo dado. A reta solução procurada é uma dessas retas! O traçado de algumas
cordas nos leva à conjectura de que elas são tangentes a um outro cı́rculo (o elemento
chave), concêntrico ao primeiro cı́rculo. E, neste caso, os pontos de tangência são os
pontos médios dessas cordas.
Usando o Cabri-Géomètre II podemos facilmente construir o lugar geométrico dos
pontos médios das cordas de um cı́rculo que possuem o mesmo comprimento obtendo
uma ”conﬁrmação visual” de nossa conjectura. E, de fato, a prova dessa aﬁrmação é
elementar (Figura 1).
Figura 1:
Agora, analisemos a segunda condição (b). Observamos que se AB é a corda determinada por uma reta secante ao cı́rculo, de centro O, que passa por P e M é o ponto médio
dessa corda, então ∠P M O é um ângulo reto, logo, M está no cı́rculo cujo diâmetro é P O.
As análises das condições (a) e (b) fornecem um método de construção.
Método de construção: Traçamos no cı́rculo de centro O dado uma corda qualquer
de comprimento a e em seguida construı́mos um cı́rculo de centro O e tangente à corda.
Finalmente, construı́mos uma reta (existem duas) passando pelo ponto P e tangente ao
cı́rculo construı́do, a qual determina no cı́rculo dado uma corda de comprimento a.
Pode ocorrer que um processo de transformação induza à obtenção de um lugar
geométrico ou de um novo elemento (elemento chave) que fornece informações adicionais
aplicáveis na resolução do problema em questão. Sob este aspecto, o estudo da ação
de uma transformação sobre um objeto geométrico desempenha um papel importante na
solução de problemas de construção geométrica.
Um exemplo ilustrativo dessa situação ocorre no seguinte problema:
Dado um triângulo ABC construir um quadrado que tenha dois vértices
sobre a base AB do triângulo e os outros dois vértices sobre os dois outros
lados do triângulo.
C
F
A
D
G
E
B
Figura 2:
A abordagem desse problema consiste em observar que a solução pertence a um conjunto de quadrados que satisfazem parcialmente a condicionante do problema; aquele
formado por quadrados que tem um vértice sobre AC e dois vértices sobre a base AB.
Além disso, o lugar geométrico (elemento chave) dos ”quarto vértices”desses quadrados
é uma reta l passando pelo ponto A, donde concluı́mos que esses quadrados estão relacionados por uma homotetia de centro A (transformação). Portanto, a solução consiste
em construir um quadrado pertencente à coleção e depois construir seu transformado por
uma homotetia de centro A e razão adequada! Um procedimento prático: o quarto vértice
G do quadrado solução é a intersecção de l com o lado BC (Figura 2).
Quando precisamos resolver um problema “difı́cil” relacionado com uma conﬁguração
geométrica podemos transformá-la, no todo ou em parte, em uma nova conﬁguração. Com
isso podemos reduzir o problema original a um problema mais “simples” relacionado com
a nova conﬁguração e de modo que exista uma conexão entre eles! Resolvemos o problema
mais simples e invertermos a transformação obtendo a solução do problema original. Ou
seja, aplicamos o processo transformar-resolver-inverter. O problema seguinte ilustra essa
situação:
Sejam C1 e C2 dois cı́rculos que se intersectam nos pontos A e B e sejam C
e D pontos onde seus respectivos diâmetros por B intersectam o outro cı́rculo.
←→
Prove que a reta AB passa pelo centro de um terceiro cı́rculo determinado
pelos pontos C, B e D (Figura 3).
Figura 3:
O uso de uma inversão com centro em B (transformação) transforma esse problema
no seguinte fato conhecido:
As alturas de um triângulo são sempre concorrentes.
Na ﬁgura 3, X indica o inverso de X e o elemento chave procurado na conﬁguração
transformada é a reta λ que passa pelos pontos C e D .
Resumindo, o domı́nio conceitual de algumas transformações geométricas e de suas
propriedades, associado de maneira adequada ao método dos lugares geométricos, nos
permite encontrar caminhos para a resolução de certos problemas mais elaborados de
construções com régua e compasso.
2
Transformações geométricas
Vamos denotar por Π o plano euclidiano e passar a estudar algumas transformações
geométricas, correspondência biunı́voca, que preservam a forma das ﬁguras planas. Também
faremos um breve estudo sobre a inversão em relação a um cı́rculo λ.
2.1
Semelhanças
Deﬁnição 1 Uma transformação T : Π → Π é uma semelhança de razão r se para todo
par de pontos X,Y em Π o comprimento do segmento ligando X = T (X) e Y = T (Y )
é igual a r vezes o comprimento do segmento ligando X a Y . Os pontos X e Y são
denominados homólogos.
Dizemos que F e F são duas ﬁguras semelhantes, com razão de semelhança r, quando
existe uma semelhança entre os pontos de F e os pontos de F . Ou seja, se X, Y são
pontos quaisquer de F e X = T (X), Y = T (Y ) são seus correspondentes em F , então
X Y = r.XY
A noção de semelhança corresponde à idéia natural de ”mudança de escala”, isto é, ampliação (razão r > 1) ou redução (razão r < 1) de uma ﬁgura alterando seu tamanho sem
modiﬁcar suas proporções (Figura 4). O conjunto de todas as semelhanças no plano mu-
Figura 4:
nido da operação de composição de aplicações tem uma estrutura de grupo. Precisamente
temos:
1. a composta de semelhanças de razões r e r é, ainda, uma semelhança e sua razão é
igual a r.r ;
2. vale a associatividade para a operação de composição;
3. a função identidade é uma semelhança de razão 1 (Elemento neutro);
4. a inversa de uma semelhança de razão r é uma semelhança de razão
inverso).
1
r
(Elemento
Deﬁnição 2 Uma semelhança de razão 1 é chamada de isometria. Podemos dizer que a
isometria é uma correspondência biunı́voca tal que, para quaisquer pontos X,Y em F , a
distância de X = T (X) a Y = T (Y ) é igual à distância de X a Y . Quando existe uma
isometria entre duas ﬁguras, dizemos que estas ﬁguras são congruentes.
A seguir apresentamos alguns exemplos de semelhança.
Exemplo 2.1 Seja AB um segmento orientado no plano (orientado signiﬁca que a ordem em que os extremos são citados é relevante: primeiro A e depois B). A translação
TAB : Π → Π , deﬁnida por TAB (X) = X , de
determinada
por ABé a transformação
modo que AB, XX e AX, BX sejam pares de lados opostos de um paralelogramo.
Toda translação é uma isometria.
B
X’
A
X
Z’
Z
Figura 5:
Demonstração: Para provar isso observamos que um quadrilátero é um paralelogramo se, e somente se, possui dois lados paralelos e congruentes. Sejam AB um segmento orientado no plano e X um ponto arbitrário do plano Π. Seja X = TAB (X), da
deﬁnição temos que ABXX é paralelogramo (Figura 5). Logo, AB e XX são lados
paralelos com AB = XX . Analogamente, se Z for outro ponto e Z = TAB (Z), então
AB e ZZ são lados paralelos com AB = ZZ . Logo, XX e ZZ são paralelos com
XX = ZZ e, portanto, XX Z Z é um paralelogramo. O Recı́proco do Teorema dos
Ângulos Alternos Internos e o critério ALA de congruência entre triângulos, diz que os
triângulos ZZ X ∼
= X XZ são congruentes Daı́ conclui-se que X Z = XZ , como
querı́amos demonstrar.
Exemplo 2.2 Seja l uma reta do plano Π. A reﬂexão em torno do eixo l é a transformação Rl : Π → Π, que associa a cada ponto X do plano o ponto X = Rl (X) tal que
l seja a mediatriz do segmento XX . Toda reﬂexão é uma isometria.
r
r
A
X
Y
X'
Y'
B
A
X
Y'
B
X’
Y
Figura 6:
Demonstração: Dados os pontos X e Y em Π devemos mostrar que X Y = XY .
Se um dos pontos X ou Y está sobre l, então a igualdade é imediata. Agora, se X e
Y estão do mesmo lado em relação à reta l, então l é a mediatriz dos segmentos XX e Y Y (Figura 6). Daı́ temos a congruência dos triângulos XBY e X BY , pelo mesmo
caso LAL, onde B é o ponto médio do segmento Y Y . Portanto, neste caso, X Y = XY .
Finalmente, admita que X e Y estejam em lados opostos em relação à reta l. Sejam A e
B os pontos médios dos segmentos XX e Y Y , respectivamente. O triângulo XBX é
isósceles e permite concluir que os triângulos Y BX e o Y BX são congruentes pelo
caso LAL. Logo, X Y = XY .
Exemplo 2.3 A simetria em torno de um ponto O é a transformação SO : Π → Π que
faz corresponder a cada ponto X do plano o ponto SO (X) = X tal que O seja o ponto
médio do segmento XX . Toda simetria em torno de um ponto é uma isometria.
Y
X’
O
Y’
X
Figura 7:
Demonstração: De fato, dados os pontos X e Y em Π, se X ou Y coincidir com
O não há nada a fazer. Se ambos são distintos de O ligando os pontos X, Y , X e Y ,
formamos um quadrilátero, onde suas diagonais se cortam ao meio no ponto O. Isso diz
que XY X Y é paralelogramo (Figura 7). Logo, da caracterização de um paralelogramo
temos que X Y = XY .
Exemplo 2.4 Consideremos um ângulo orientado BAC. Orientado signiﬁca que a
−→
−→
−→
ordem em que os lados são citados é relevante: primeiro AB, e depois AC. O lado AB
−→
é chamado lado inicial e o lado AC lado ﬁnal do ângulo orientado BAC. A rotação
de centro O e ângulo (orientado) θ = BAC é a transformação RO,θ : Π → Π com
−−→
RO,θ (O) = O e para todo X = O, X = RO,θ (X) é o ponto do lado OY do ângulo
X’
m
A
O
l
X
Figura 8:
orientado XOY = θ, com OX = OY e mXOY = θ. Para θ = 180◦ a rotação RO,θ é
a simetria em relação ao ponto O.
Demonstração: Vamos mostrar que toda rotação é a composta, de inﬁnitas maneiras,
de duas reﬂexões e, portanto, toda rotação é uma isometria (Figura 8). De fato, seja
←→
Rl : Π → Π uma reﬂexão em relação a uma reta l = OP , onde P é um ponto distinto do
centro de rotação O. Se A = Rl (X), então l é a ”bissetriz ”do ângulo ∠XOA. Seja m a
bissetriz do ∠AOX . Temos X = Rm (A) e, assim, X = Rm ◦ Rm (X).
Exemplo 2.5 Sejam O um ponto do plano e r um número real positivo. A homotetia
de centro O e razão r é a transformação HO,r : Π → Π deﬁnida do seguinte modo:
HO,r (O) = O e, para todo ponto X distinto de O, X = HO,r (X) é o ponto da semi−−→
reta OX tal que OX = r.OX. Toda homotetia é uma semelhança e a inversa de uma
homotetia de razão r é uma homotetia de mesmo centro e razão 1r .
B’
B
C’
C
O
A
A’
Figura 9:
Demonstração: Primeiro observamos que a imagem homotética de um segmento é
ainda um segmento. Quando o ponto X está entre os pontos O e Y (O ∗ X ∗ Y ) é claro
que O, X e Y são colineares e
X Y = OY − OX = r. [OY − OX] = r.XY.
Agora, se O, X e Y são não colineares consideremos os triângulos XOY e X OY (Figura 9). Temos OX = r.OX e OY = r.OY . Logo, segue do critério LAL de semelhança que os triângulos XOY e X OY são semelhantes com razão de semelhança r.
Portanto, XY e X Y são paralelos com X Y = rXY .
Teorema 2.1 Uma semelhança T : Π → Π possui as seguintes propriedades:
a) A semelhança T transforma pontos colineares em pontos colineares. Mais, precisamente, se A ∗ P ∗ C, então P = T (P ) está entre A = T (A) e B = T (B). Logo,
a imagem de uma reta por T é uma reta e a imagem de um ângulo por T é ainda
um ângulo;
b) A semelhança T preserva medida de ângulo, ou seja, para todo ângulo ∠CAB temos
mT (∠CAB) = m∠CAB. Em particular, T preserva perpendicularismo;
c) A semelhança T preserva paralelismo de retas, isto é, se r e s são retas paralelas,
então l = T (r) e m = T (s) são retas paralelas.
Demonstração:
a) Dados os pontos A e B em Π sejam A = T (A) e B = T (B) seus respectivos
homólogos. Temos A B = r.AB, onde r é a razão de semelhança de T . Se P está
entre A e B, então AP + P B = AB e, assim, para P = T (P ) temos
A P + P B = r.AP + rP B = r [AP + P B] = rAB = A B .
Isso mostra que P pertence ao segmento A B .
b) Seja θ = ∠CAB um ângulo é θ = T (∠CAB). Segue do item a) que θ é um ângulo.
−→ −→
Sejam P e Q pontos nos lados AB e AC, respectivamente, do ângulo ∠CAB, com
AP = AQ. É claro que, se P e Q são os homólogos de P e Q, então
A P = r.AP = rAQ = A Q .
Além disso, da deﬁnição temos P Q = rP Q. Segue do critério LLL que os
triângulos AP Q e A P Q são semelhantes. Portanto, ∠Q A P ∼
= ∠QAP ∼
=
∠CAB.
c) Suponha, por absurdo, que l = T (r) e m = T (s) sejam retas concorrentes em
T (A) = P = T (B), com A e B em r e s, respectivamente. Então tomando a
inversa de T temos A = T −1 (P ) = B, o que contradiz r e s serem paralelas.
Portanto, l e m são paralelas.
E, assim, obtemos o Teorema.
Corolário 2.1 Uma semelhança transforma:
a) paralelogramo em paralelogramo;
b) retângulos em retângulos;
c) um triângulo num triângulo semelhante;
d) um cı́rculo num outro cı́rculo.
2.2
Estudo da ação de uma semelhança sobre uma ﬁgura e algumas propriedades
Para usarmos as transformações geométricas como ferramenta na solução de problemas de construção com régua e compasso é importante entender o efeito de cada uma delas
sobre as ﬁguras geométricas. Já sabemos que elas possuem a propriedades de preservar:
alinhamentos de pontos, ângulos e formas das ﬁguras (ver Teorema 2.1 e Corolário 2.1).
Outras informações, que decorrem diretamente das deﬁnições, são apresentadas abaixo.
2.2.1
Propriedades de uma Reﬂexão Rl
R1 - Os pontos da reta l são os pontos ﬁxos de Rl , ou seja, Rl (P ) = P se e somente se
P é um ponto de l;
R2 - Toda reta perpendicular à reta l é invariante por Rl , ou seja, se s é uma reta
perpendicular à reta l, então s = Rl (s);
R3 - Toda reta paralela à reta l é transformada por Rl numa reta paralela à reta l;
R4 - Se uma reta r intersecta l, então l é a reta suporte das bissetrizes dos ângulos opostos
pelo vértices, determinados por s e r = Rl (s);
R5 - Um reﬂexão Rl é uma transformação involutiva, ou seja, Rl−1 = Rl e, portanto,
Rl (Rl (P )) = P , para todo ponto P do plano.
2.2.2
Propriedades de uma Simetria SO
S1 - O único ponto ﬁxado por uma simetria é o seu centro O, ou seja, SO (P ) = P se e
somente se P = O;
S2 - Toda reta r passando O é invariante por SO , ou seja, se r é uma reta contendo O,
então SO (r) = r;
S3 - Toda reta r que não passapor O é transformada por SO numa reta s = SO (r)
paralela à reta r;
S4 - Uma simetria SO é uma transformação involutiva, ou seja, [SO ]−1 = SO e, portanto,
SO (SO (P )) = P , para todo ponto P do plano.
2.2.3
Propriedades de uma Rotação RO,θ
Ro1 - O único ponto ﬁxado por uma rotação não trivial é o seu centro O, ou seja,
RO,θ (P ) = P se e somente se P = O;
Ro2 - Toda reta r forma com sua transformada s = RO,θ (r) um ângulo de medida θ;
Ro3 - A inversa de uma rotação RO,θ é uma rotação de mesmo centro O e ângulo −θ.
2.2.4
Propriedades de uma Homotetia HO,λ
H1 - O único ponto ﬁxado por uma rotação não trivial é o seu centro O, ou seja,
HO,λ (P ) = P se e somente se P = O;
H2 - Toda reta r passando por O é invariante por HO,λ , ou seja, se r é uma reta contendo
O, então HO,λ (r) = r;
H3 - Toda reta r que não passa por O é transformada por HO,λ numa reta s = HO,λ (r)
paralela à retar r;
H4 - A inversa de uma homotetia HO,λ é uma homotetia de mesmo centro O e razão λ1 .
Assim, todo homotetia é uma transformação involutiva.
Outras propriedades importantes são as simetrias que uma ﬁgura pode possuir. Tais
simetrias estão sempre associadas a alguma isometria.
2.2.5
Simetrias de uma ﬁgura
A identiﬁcação de simetrias numa ﬁgura Ω é da maior relevância na investigação das
propriedades de Ω e na resolução de problemas geométricos que lhe dizem respeito.
Existem ﬁguras Ω que podem ser vistas como a união de uma ﬁgura F com sua imagem
F = Rl (F) pela reﬂexão na reta l ⊆ F. Nesse caso, dizemos que a ﬁgura Ω= F ∪ F é
uma ﬁgura simétrica (axialmente) em relação à reta l. A transformação Rl é chamada de
simetria axial interna e a reta l é chamada de eixo de simetria interna da ﬁgura.
Algumas importantes ﬁguras geométricas admitem um ou mais eixos de simetria interna, como, por exemplo:
• o segmento AB e o ângulo ∠BAC admitem um eixo de simetria: a mediatriz do
primeiro e a bissetriz do segundo;
B
A
M
B
A
l
l
C
• o triângulo isósceles e o trapézio isósceles também admitem um eixo de simetria: a
mediatriz de suas bases;
l
l
• o losango e o retângulo, dois eixos de simetria: as retas suportes das diagonais do
primeiro e as medianas dos lados do segundo;
m
m
l
l
• o triângulo equilátero, três eixos de simetria: as mediatrizes dos lados;
n
l
m
• o quadrado (losango e retângulo), quatro eixos de simetria: as retas suportes das
diagonais e as medianas dos lados;
r
l
m
n
• um polı́gono regular de n lados: n eixos de simetria: retas passando pelo ”centro”e
pelos vértices;
• o cı́rculo, inﬁnitos eixos de simetria: retas contendo os diâmetros.
Suponhamos que, relativamente a um ponto O, duas ﬁguras F e F estejam associadas
pela simetria SO , isto é, F = SO (F). Nesse caso, dizemos que a ﬁgura Ω= F ∪ F é uma
ﬁgura simétrica em relação ao ponto O. A transformação SO é chamada de simetria
central interna e o ponto O é chamado de centro de simetria interna da ﬁgura.
Algumas importantes ﬁguras geométricas admitem centro de simetria, como, por exemplo:
• o segmento AB, cujo centro de simetria é seu ponto médio;
A
M
B
• o paralelogramo, com centro de simetria dado pela interseção das diagonais;
• os polı́gonos regulares de número par de lados, que admitem o circuncentro por
centro de simetria. Já os de número ı́mpar de lados não possuem centro de simetria;
• o cı́rculo; etc.
Algumas ﬁguras são invariantes por
cional. Dizemos que uma ﬁgura F tem
θ-rotacional, quando coincide com sua
ﬁguras que possuem simetria rotacional
certas rotações, ou seja, possuem simetria rotasimetria rotacional de um ângulo θ, ou simetria
transformada pela rotação RO,θ . Exemplos de
são:
• cı́rculos, que são invariantes por RO,θ para todo θ, onde O é o centro do cı́rculo;
• polı́gonos regulares de número de n lados, que são invariantes por RO,θ para todo
,k = 1, 2, . . . n, onde O é circuncentro.
θ = k 2π
n
3
Construções tı́picas usando uma semelhança
3.1
Posicionamento de um segmento retilı́neo AB:
Um problema tı́pico de construção geométrica é aquele em que se faz necessário
o posicionamento de um segmento retilı́neo AB, cujas extremidades devem pertencer a
objetos conhecidos F e G. Usualmente tal segmento deve cumprir mais condições, cujas
naturezas podem determinar o uso de uma das transformações geométricas estudadas.
Temos:
1. Quando conhecemos a mediatriz l do segmento AB a reﬂexão na reta Rl fornece o
elemento chave da solução do problema. De fato, suponhamos o problema resolvido
Figura 10:
e seja AB o segmento procurado(Figura 10). A mediatriz l garante que os pontos A e B estão associados pela reﬂexão Rl . Além disso, B = Rl (A) pertence a
F = Rl (F), donde o ponto elemento chave é a interseção de F com G.
O seguinte problema ilustra o uso dessa construção:
Consideremos uma reta l e dois cı́rculos λ1 e λ2 de centros O1 e O2 , respectivamente, situados um em cada lado de l. Construa um quadrado ABCD que tenha
dois vértices opostos em l e, os outros dois, um em cada um dos cı́rculos ( Figura
11).
2. Quando conhecemos o ponto médio M do segmento AB a simetria SM fornece o
elemento chave da solução do problema. De fato, suponhamos o problema resolvido
e seja AB o segmento procurado (Figura 12). A mediatriz l garante que os pontos
A e B estão associados pela simetria SM . Além disso, B = SM (A) pertence a
F = Rl (F), donde o ponto elemento chave é a interseção de F com G.
Figura 11:
Figura 12:
Um problema onde esta construção é usada:
Inscrever no triângulo ABC um triângulo M N P , com o mesmo baricentro G
que o primeiro, conhecendo-se o vértice M ∈ BC.
Suponhamos o problema resolvido (Figura 2).. Temos que o baricentro G (encontro
C
N
E
F
J
A
G
M
B
P
das medianas do triângulo ABC) satisfaz M G = 2GJ, onde M J é a mediana
←→
relativa ao vértice M do triângulo M N P . Além disso, N J = P J, P ∈ AB
, sendo J um ponto conhecido. Portanto, N = SJ (P ) e P = SJ (N ). Logo, o
←→ ←→
retas
AC e AB, de modo
problema reduz-se a apoiar o segmento N P nas
←→que
J seja
←→
←→
←→
o ponto médio de N P . Temos P = AB ∩ SJ AC e N = AC ∩ SJ AB .
3. Quando conhecemos o comprimento e a direção do segmento AB a translação TAB
fornece o elemento chave da solução do problema. De fato, suponhamos o problema
resolvido e seja AB o segmento procurado(Figura 13). Os pontos A e B estão
associados pela translação TAB . Além disso, B = TAB (A) pertence a F = TAB (F),
donde o ponto elemento chave é B = F ∩ G.
Figura 13:
Esta construção é usada para dar uma solução para o problema:
De um trapézio ABCD conhecemos os comprimentos AB = a e CD = b dos seus
lados paralelos, e AC = c e BD = d das suas diagonais. Construir o trapézio.
Considere os cı́rculos λ = C (A, c) e β = C (B, d). Temos que C e D pertencem
b
b’
l
D
C
A
B
Figura 14:
a λ e β, respectivamente (Figura 14). Além disso, CD é paralelo a AB. Portanto,
nosso problema reduz-se a construir o segmento CD com extremidades em λ e β,
de comprimento b e que seja paralelo ao segmento AB. O ponto C se encontra na
interseção λ ∩ β, onde λ = TAB (λ).
4. Quando sabemos que os extremos do segmento AB eqüidistam de um dado ponto e
que com este deﬁnem-se retas formando um ângulo de medida conhecida, a rotação
RA,θ fornece o elemento chave da solução do problema. De fato, suponhamos o prob-
Figura 15:
lema resolvido e seja AB o segmento procurado(Figura 15 ). Os pontos A e B estão
associados pela rotação RO,θ . Além disso, B = RO,θ (A) pertence a F = RO,θ (F),
donde o ponto elemento chave é B = F ∩ G.
O seguinte problema ilustra o uso dessa construção:
Dados um quadrado ABCD e um ponto X em AB inscrever um triângulo equilátero
em ABCD em que X é um vértice.
Suponha o problema resolvido e observe que o centro do quadrado procurado e o
Figura 16:
centro do paralelogramo são o mesmo ponto O e, portanto, é um ponto conhecido,
encontro das diagonais (Figura 16). As diagonais do quadrado são perpendiculares
←→ ←→
sobre as retas AB e CB
entre si e se cortam ao meio. Logo, o lado M N se apóia
←→
←→
com m∠M ON = π2 rd , donde N = CB ∩ RO, π2 AB . Um vez obtido o ponto N
teremos N = RO, π2 (M ), P = RO, π2 (N ) e Q = RO, π2 (P ).
5. Quando conhecemos o ponto P que divide o segmento AB numa razão dada, a
homotetia HP,λ fornece o elemento chave da solução do problema.
De fato, suponhamos o problema resolvido e sejam AB o segmento procurado, o
. Os pontos A, B e P são colineares e
qual contém o ponto P (Figura 17) e λ = PP B
A
A e B estão associados pela homotetia HP,λ . Além disso, B = HP,λ (A) pertence a
F = HP,λ (F), donde o ponto elemento chave é B = F ∩ G.
O seguinte problema ilustra o uso dessa construção:
Figura 17:
Dadas três retas l, m e n concorrentes no ponto O e um ponto P distinto de O,
construir por P uma transversal comum t, tal que, se A = l ∩ t, B = m ∩ t e
C = n ∩ t, então BC = 2AB.
Suponhamos o problema resolvido. Temos que uma homotetia de cento O preserva
O
A’
r
A
B’
t
s
C
B
P
t’
Figura 18:
AB
= AB+2AB
= 13
posições relativas de retas e razões de seção (Figura 18).Temos AB
AC
e, além disso, AC apóia-se nas retas l e n e B divide AC na razão 13 . Logo,
B = m ∩ HO, 1 (n).
3
3.2
Reﬂexão num espelho (conﬁguração de Fermat)
O problema consiste em obter um caminho, de comprimento mı́nimo, entre dois
pontos A e B situados no mesmo lado de uma reta r e tocando a reta num ponto P (esse
problema está relacionado ao Princı́pio de Fermat da reﬂexão da luz). A curva de menor
comprimento ligando dois pontos A e P é o segmento AP , assim, nosso problema consiste
em determinar a poligonal AP B, P ∈ r, de comprimento mı́nimo. A solução consiste
Figura 19:
←→
em considerar B = Rr (B) e tomar P = AB ∩ r (Figura 19). De fato, a desigualdade
triangular nos dá , qualquer que seja L = P pertencente à reta r,
AP + P B = AP + P B = AB ≤ AL + LB.
4
Construções com régua e compasso
Nesta seção usaremos as transformações geométricas para solucionar alguns problemas de construção com régua e compasso. Não estaremos preocupados com as questões
de existência e multiplicidade de soluções, apenas em exibir um método de solução.
Figura 20:
Problema 4.1 Dados um triângulo ABC e um ponto M entre A e B, inscrever no
triângulo um outro triângulo M N P , de perı́metro mı́nimo. Suponhamos o problema
resolvido e seja P em AC, então os segmentos P N e N M fornecem uma conﬁguração
←→
de Fermat, caminho mı́nimo de P a M tocando a reta BC em N (Figura 20). O ponto
←−→
←→
←→
M está na reta N M , reﬂexão da reta P N em relação à reta BC, com P N + N M =
→ (M ). Além disso, o problema resume-se agora
P N + N M = P M , onde M = R←
BC
a buscar o mı́nimo da soma M P + P M . E, novamente, aparece uma conﬁguração de
←→
Fermat (caminho mı́nimo de M a M tocando a reta AC em P ). O ponto M está na reta
←−→
←−→
←→
P M em relação à reta AC, com M P + P M = M P + P M , onde
P M , reﬂexão da reta
→ (M ) = R←
→ ◦ R←→ (M ). Assim, o ponto P é dado pela interseção das retas
M = R←
AC
BC
−→
←→ ←−AC
AC e M M . Uma vez estabelecido o ponto P , ﬁca conhecido o ponto N pela conﬁguração
de Fermat.
Problema 4.2 De bordo de um navio avistam-se dois pontos P e Q em terra ﬁrme. No
instante T1 lê-se o ângulo de visada θ1 e no instante T2 , depois de ter percorrido uma
→
distância d, segundo uma direção −
u , lê-se o novo ângulo θ2 . Pede-se assinalar na carta
de bordo a rota retilı́nea do navio entre os instantes considerados.
G2
G1
P
O’1
O1
Q
O2
q2
A2
q1
A1
Y
U
Figura 21:
Suponhamos o problema resolvido e seja A1 A2 o caminho retilı́neo percorrido pelo navio
(Figura 21). O ponto A1 pertence ao arco capaz Γ1 do ângulo θ1 sobre P Q, analogamente,
A2 pertence ao arco capaz Γ2 do ângulo θ2 sobre P Q. Assim, A1 A2 deve ser um segmento
→
orientado de comprimento d e paralelo a −
u , e portanto, a solução consiste em apoiar um
→
→
segmento orientado −
v paralelo a −
u , de comprimento d e com extremidade em Γ1 e Γ2 .
→
Tomando A2 como ponto chave, teremos A2 na interseção Γ2 ∩ T−
v (Γ1 ).
Problema 4.3 Dados três cı́rculos concêntricos λ1 = C (O, r1 ), λ2 = C (O, r2 ) e λ3 =
C (O, r3 ) (r1 < r2 < r3 ) construir um triângulo equilátero ABC com A ∈ λ1 , B ∈ λ2 e
C ∈ λ3 e tal que o lado BC seja paralelo a uma reta r dada.
C
B
A
l3
l2
l1
r
M
N
w
P
Figura 22:
Suponhamos o problema resolvido. Observamos que rotacionando a solução ABC em
torno de O obtemos inﬁnitas soluções M N P do problema, sem a condicionante ser
paralelo a r (Figura 22). Além disso, ﬁxado M em λ1 a solução consiste em apoiar o
segmento N P nos cı́rculos λ2 e λ3 uma vez conhecido θ = m∠N M P = π3 rd. A solução
de tal problema é conhecida e, uma
vezobtido o triângulo M N P , precisamos submetê-lo
←
→
à rotação RO,ω , onde ω = m∠ r, N P .
Problema 4.4 São dados três pontos A, B e C num cı́rculo λ = C (O, r). Construir um
ponto P ∈ λ de tal modo que os segmentos BC e AP se intersectam no ponto médio de
AP .
B
P
l
O
A
C
Figura 23:
Os pontos médios das cordas AP , P ∈ λ, são o conjunto λ = HA, 1 (λ), imagem de λ
2
pela homotetia de centro A e razão 12 (Figura 23). Além disso, λ é o cı́rculo de diâmetro
AO, logo, o ponto procurado é uma das interseções de λ com BC.
Problema 4.5 Dados dois cı́rculos λ1 = C (O1 , r1 ) e λ2 = C (O2 , r2 ) traçar as retas
tangentes comuns aos dois cı́rculos.
Observamos que dois cı́rculos β1 = C (O1 , s1 ) e β2 = C (O2 , s2 ) (s1 < s2 ) são sempre
homotéticos entre si. A determinação das homotetias relacionandos os dois cı́rculos, sem
pontos interiores em comum, mostram que as tangentes comuns aos dois cı́rculos são
tangentes em pontos homotéticos entre si. Além disso, as tangentes ocorrem aos pares e
cada par se intersecta no centro O de uma homotetia HO,α tal que β2 = HO,α (β1 ). Para
determinar os centros de homotetia direta Od (α > 0) e inversa Oi (α < 0) de β1 e β2
traçamos os diâmetros paralelos P1 Q1 e P2 Q2 , não contidos na reta r, ligando os centros
O1 e O2 dos cı́rculos β1 e β2 , respectivamente (Figura 24). Temos:
P1
b1
P2
b2
O1
O2
Oi
Od
Q2
Q1
Figura 24:
←−→ ←−−→
1. O ponto Od interseção das retas P1 P2 e Q1 Q2 está em r e é o centro da homotetia
d P2
> 0.
direta. Sendo a razão de homotetia αd = O
Od P1
←−→ ←−→
2. O ponto Oi interseção das retas P1 Q2 e P2 Q1 está em r e é o centro da homotetia
P1
< 0.
inversa. Sendo a razão de homotetia αi = − OOdi Q
2
Conseqüentemente, a solução do problema é dado pelas tangentes comuns passando
pelos centros de homotetia direta e inversa Od e Oi , respectivamente, e pelos pontos
de tangência T1 , T2 , T3 , T4 , T1 , T2 , T3 , e T4 (Figura 25).
T1
T1
b1
T3
T4
O
T3
b1
T’4
T’3
T’4
Figura 25:
T’3
O
Referências
[1] Araújo, P. V., Curso de Geometria, Gradiva Publicações, Porto - Portugal, 1986.
[2] Eves, H., Estudio de Las Geometrias, Unión Tipográﬁca Editorial Hispano-Americana,
Mexico, 1969.
[3] Lima, E. L., Isometrias, Coleção Professor de Matemática - SBM, Rio de Janeiro,
1996.
[4] Pinheiro, V. A., Geometrograﬁa Volume 1 e 2, Editora Atual, Rio de Janeiro, 1986.
[5] Rezende, E. Q.F. e Queiroz, M. L. B., Geometria Euclidiana e construções geométricas,
Editora da Unicamp, Campinas, 2000.
Estudo de Parâmetros Fuzzy nos Modelos
de Evolução da AIDS com Tratamento
Eder Lucio da Fonseca∗
Rosana Sueli da Motta Jafelice†
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU
38408-100, Uberlândia - MG
Março de 2006
Resumo
O objetivo deste trabalho é estudar a taxa de transferência de soropositivos HIV
assintomáticos em sintomáticos e a taxa de retorno de sintomáticos para assintomáticos
quando recebem tratamento com terapia anti-retroviral. Para este propósito, utilizaremos
informações de especialistas para calcular estas taxas, que dependem fortemente da carga
viral, do nı́vel do linfócito T, do tipo CD4+ e da adesão ao tratamento. O linfócito T do
tipo CD4+ é o principal linfócito que o vı́rus ataca ao atingir a corrente sanguı́nea. No
Brasil, desde 1998 as combinações com anti-retrovirais tem sido utilizadas e são responsáveis pelo prolongamento da sobrevida dos pacientes. Inclusive o Ministério da Saúde
aﬁrma que ”No Brasil, após o uso da terapia anti-retroviral a queda da mortalidade foi de
aproximadamente 50%, além da diminuição das internações hospitalares causadas pelas
infecções oportunistas e melhor qualidade de vida para o paciente”. Desta forma, o estudo
de modelos de evolução da AIDS com tratamento poderá trazer informações interessantes
para a Saúde Pública do Brasil.
Palavras-chaves: Taxas de transferência, HIV, Equações Diferenciais Ordinárias.
1
Introdução
A Sı́ndrome da Imunodeﬁciência Adquirida (AIDS) foi reconhecida em meados de 1981,nos
EUA, como uma doença que compromete o sistema imunológico. É uma sı́ndrome proveniente de um processo de imunodeﬁciência decorrente de infecção pelo HIV (vı́rus de
imunodeﬁciência humana).
No Brasil, desde o inı́cio da década de 90, o Ministério da Saúde vem intensiﬁcando
sua polı́tica de saúde pública em HIV/AIDS, visando melhorar a qualidade da assistência
aos pacientes, por meio da introdução de serviços de diagnósticos, treinamento e capacitação de proﬁssionais de saúde nesta área. Ressaltamos, dentre as diversas ações, o
∗
†
Orientando de Iniciação Cientı́ﬁca CNPq. E-mail: [email protected] u.br
Professor orientador. E-mail: [email protected]
oferecimento do diagnóstico aos pacientes, terapia anti-retroviral para pacientes portadores do HIV e a disponibilização de proﬁssionais capacitados para a abordagem efetiva
dos pacientes infectados. Inclusive, dos paı́ses em desenvolvimento, o Brasil destaca-se
pela polı́tica de controle à AIDS (www.aids.gov.br). Apesar dos avanços ocorridos com
a terapia anti-retroviral, o uso de novas drogas e estratégias de tratamento necessitam
de maiores estudos para permitir o seu uso mais amplo na prática clı́nica com eﬁcácia e
segurança.
A polı́tica do Ministério da Saúde de garantir acesso à terapia com anti-retrovirais
para os indivı́duos HIV positivos e pacientes contaminados, demandou a criação de uma
rede de laboratórios de saúde pública capacitada para realizar exames complementares
que permitissem avaliar tanto a necessidade de iniciar um tratamento como monitorar a
eﬁcácia do esquema terapêutico utilizado. A decisão quanto ao esquema a ser utilizado
na terapia inicial deverá ser feita de forma individualizada, baseando-se nos parâmetros
clı́nicos, laboratoriais e farmacológicos das drogas anti-retrovirais disponı́veis.
A não adesão é a causa mais freqüente de falha do tratamento. Entre os fatores
que podem levar à baixa adesão ao tratamento estão: a ocorrência de efeitos colaterais,
número elevado de comprimidos, restrição alimentar, hábitos de vida, não-compreensão
da prescrição, a falta de informação sobre riscos da não-adesão e esquemas de doses incompatı́veis com as atividades diárias do paciente. O uso de medicamentos em doses
irregulares acelera o processo de seleção de cepas virais resistentes.
Assim pretendemos através da teoria dos conjuntos fuzzy estudar como a adesão ao
tratamento com anti-retrovirais interfere na taxa de transferência de soropositivos para
HIV assintomáticos e na taxa de retorno de sintomáticos para assintomáticos. O estudo
destes parâmetros poderão contribuir para o estudo de modelos de evolução da AIDS mais
próximos da realidade. Neste sentido, outros modelos anteriores foram estudados em [2]
e [3].
Este trabalho é organizado da seguinte forma. A seção 2 apresenta uma breve introdução sobre a dinâmica de atuação do HIV e sobre sua estrutura. A seção 3 apresenta
a fundametação teórica sobre teoria dos conjuntos fuzzy. As seções 4 e 5 apresentam o
estudo da transferência de pacientes assintomáticos em sintomáticos (Λ) e o retorno dos
pacientes sintomáticos em assintomáticos (Γ), respectivamente. A seção 6 apresenta as
taxas Λ e Γ dependendo do nı́vel de CD4+, da carga viral e da adesão ao tratamento. Na
seção 7 utilizamos dados de pacientes do Ambulatório Herbert de Souza para estudarmos
a taxa de retorno Γ em função da adesão ao tratamento. E na seção 8 ﬁnalizamos o
trabalho com a conclusão.
2
HIV - Vı́rus de Imunodeﬁciência Humana
Trata-se de um retrovı́rus esférico, isto é, um vı́rus contendo RNA (ácido ribonucléico)
que se replica em uma célula hospedeira. No citoplasma da célula hospedeira, o material genético viral (RNA) sofre ação da enzima transcriptase reversa e transforma-se em
DNA. Este DNA viral possui a capacidade de penetrar no núcleo da célula infectada e
incorporar-se ao DNA dela.
A Figura 1, mostra a estrutura do vı́rus HIV. Este vı́rus encapsulado tem um envelope proteico, constituı́do por duas proteı́nas principais: uma maior, a gp120, que forma
botões na superfı́cie, e outra menor, a gp41, conforme Figura 1; que juntas formam o
conjunto gp160. Dentro deste envelope proteico, o vı́rus possui uma cápsula interna, formada pela proteı́na p17. No interior desta cápsula interna, existe uma membrana formada
pela proteı́na p24 que envolve o material genético, o RNA, Figura 2. Nesta cápsula interna, encontram-se junto com o RNA, três proteı́nas importantes: Transcriptase Reversa,
Integrase e Protease, Figura 2.
Figura 1: Estrutura do HIV. 1. Envelope proteico formado por gp120 e gp41; 2. Cápsula
proteica interna formada pela proteı́na p17; 3. Membrana formada pela proteı́na p24 e 4.
Material genético formado por RNA e proteı́nas.
/LQIyFLWR7
&'
0HLR
VDQJtQHR
+,9
Figura 2: HIV infectando a célula.
Na próxima seção apresentamos a fundamentação teórica sobre teoria dos conjuntos
fuzzy.
3
Fundamentação Teórica
O termo fuzzy signiﬁca nebuloso e se refere ao fato de, em muitos casos, não conhecermos
completamente os sistemas que estamos analisando. Existem inúmeras situações em que a
relação de pertinência não é bem deﬁnida e, nestes casos, não sabemos dizer com exatidão
se o elemento pertence ou não pertence a um dado conjunto. Assim, um elemento pode
pertencer parcialmente a um dado conjunto. Dadas as caracterı́sticas desta teoria, são
esperadas enormes contribuições para o desenvolvimento de modelos em áreas onde é
necessário lidar com incerteza e subjetividade. Assim, deﬁnimos conjunto fuzzy:
Deﬁnição 3.1 Um conjunto fuzzy F do conjunto universo U é deﬁnido em termos de
uma função de pertinência μ que a cada elemento x de U associa um número μF (x ),
entre zero e um chamado de grau de pertinência de x a F. Assim, o conjunto fuzzy F é
simbolicamente indicado por sua função de pertinência:
μF : U → [0, 1]
Os valores μF (x ) = 1 e μF (x ) = 0 indicam, respectivamente, a pertinência plena e a
não pertinência do elemento x a F.
3.1
Variáveis Linguı́sticas
Uma variável lingüı́stica é uma variável cujo valor é expresso qualitativamente por um
termo lingüı́stico (que fornece um conceito à variável) e quantitativamente por uma função
de pertinência. A variável linguı́stica é composta por uma variável simbólica e por um
valor numérico. Por exemplo, a variável lunguı́stica ”muito quente”, que expressa um
conceito que pode depender do contexto, possui um sı́mbolo da nossa lı́ngua natural
muito quente e pode assumir um valor numérico de temperatura, T > 28◦ C, por exemplo.
Note que cotidianamente utilizamos variáveis linguı́sticas para nos expressar: ”O dia está
muito quente”, ”o ônibus está muito cheio”, ”o preço está alto”, ”a criança está com muita
tosse”, ”eu estou com muita dor”, etc. Os termos linguı́sticos são usados para expressar
conceitos e conhecimentos na comunicação humana, e em muitas áreas são a forma mais
importante de quantiﬁcar e qualiﬁcar os dados (informações), Figura 3 .
Nas áreas médicas o uso de variáveis linguı́sticas para expressar valores é extremamente
comum. De fato, muitos são os exames clı́nicos em que os valores observados somente
podem ser expressos em termos de variáveis linguı́sticas, seguindo algum padrão que o
médico desenvolve durante sua formação e que é aperfeiçoado com a sua prática [5].
Variável Lingüística
Temperatura
Termos Lingüísticos
Baixa
Média
Alta
Figura 3: Exemplo: Termos linguı́sticos e varáveis linguı́sticas.
3.2
Sistemas Baseados em Regras Fuzzy
Sistemas baseados em regras fuzzy (SBRF) contêm quatro componentes: um processador
de entrada que realiza a fuzziﬁcação dos dados de entrada, uma coleção de regras nebulosas
chamada base de regras, uma máquina de inferência fuzzy e um processador de saı́da
que fornece um número real como saı́da. Estes componentes estão conectados conforme
indicado na Figura 4.
Figura 4: Sistemas baseados em regras fuzzy.
Uma vez estabelecida uma base de regras, isto é, como relacionamos os conjuntos
fuzzy pela forma Se...então..., um SBRF pode ser visto como um mapeamento entre a
entrada e a saı́da da forma y = f (x), x ∈ Rn e y ∈ Rm (trajetória em negrito na Figura
4). Esta classe de sistema é amplamente utilizada em problemas de modelagem, controle
e classiﬁcação. Os componentes do SBRF são descritos a seguir:
• Processador de Entrada (Fuzziﬁcação)
Neste componente as entradas do sistema são traduzidas em conjuntos fuzzy em
seus respectivos domı́nios. A atuação de um especialista na área do fenômeno a ser
modelado é de fundamental importância para colaborar na construção das funções
de pertinências para a descrição das entradas.
• Base de Regras
Este componente, juntamente com a máquina de inferência, pode ser considerado
o núcleo dos sistemas baseados em regras fuzzy. Ele é composto por uma coleção
de proposições fuzzy na forma Se...então.... Cada uma destas proposições pode,
por exemplo, ser descrita lingüisticamente de acordo com o conhecimento de um
especialista. A base de regras descreve relações entre as variáveis lingüı́sticas, para
serem utilizadas na máquina de inferência fuzzy que descreveremos no próximo item.
• Máquina de Inferência Fuzzy
É neste componente que cada proposição fuzzy é traduzida matematicamente por
meio das técnicas de raciocı́nio aproximado. Os operadores matemáticos serão selecionados para deﬁnir a relação fuzzy que modela a base de regras. Desta forma, a
máquina de inferência fuzzy é de fundamental importância para o sucesso do sistema
fuzzy, já que fornece a saı́da a partir de cada entrada fuzzy e da relação deﬁnida pela
base de regras. Apresentaremos aqui um método particulares de Inferência Fuzzy:
o Método de Mamdani.
• Método de Mamdani
Uma regra Se (antecedente) então (conseqüente) é deﬁnida pelo produto cartesiano
fuzzy dos conjuntos fuzzy que compõem o antecedente e o conseqüente da regra. O
método de Mamdani agrega as regras através do operador lógico OU, que é modelado pelo operador máximo e, em cada regra, o operador lógico E é modelado pelo
operador mı́nimo. Veja as regras a seguir:
Regra 1: Se (x é A1 e y é B1 ) então (z é C1 ).
Regra 2: Se (x é A2 e y é B2 ) então (z é C2 ).
A Figura 5 ilustra como uma saı́da real z de um sistema de inferência do tipo
Mamdani é gerada a partir das entradas x e y reais e a regra de composição maxmin.
Figura 5: Método de Mamdani com composição max-min.
A saı́da z ∈ R é obtida pela defuzziﬁcação do conjunto fuzzy de saı́da C = C1 ∪ C2 da
Figura 5.
Na proxima seção, estudamos a taxa de transferência de assintomáticos para sintomáticos dependendo da carga viral e do nı́vel de CD4+.
4
4.1
Conversão de Assintomático para Sintomático: Modelo Fuzzy com λ Dependendo do Nı́vel de CD4+
e da Carga Viral
Introdução
A saúde pública considera de suma importância para o controle da população HIVpositiva, a contagem de celular CD4+ e da carga viral. Nosso principal interesse é modelar a taxa de transferência nestes estágios. Para este propósito utilizaremos informações
de especialistas para calcular a taxa de transferência, pois esta depende fortemente da
carga viral e do nı́vel de CD4+ dos indivı́duos infectados. Especialistas da área médica
utilizam termos linguı́sticos para caracterizar estágios da doença e para especiﬁcar o uso
da terapia anti-retroviral. A teoria dos conjuntos fuzzy proporciona a estrutura formal
para modelar matematicamente as descrições linguı́sticas para a taxa de tranferência Λ
usando o conhecimento do especialista.
4.2
Variáveis Lingüı́sticas e Base de Regras
Vamos estimar a taxa de transferência λ = λ(v, c) baseada nas informações médicas.
Adotamos a base de regras fuzzy assumindo como antecedentes a carga viral V e nı́vel de
CD4+, e Λ como conseqüente. Os termos lingüı́sticos para V (carga viral), para o nı́vel de
CD4+ e para a taxa de transferência de assintomático para sintomático Λ são dispostos
na Tabela 1:
Variáveis
Valores Linguı́sticos
carga viral (V)
baixa, média e alta
CD4+
muito baixo, baixo, médio, médio alto, e alto
Λ
fraca, média fraca, média e forte
Tabela 1: Termos linguı́sticos das variáveis V, CD4+ e Λ
O método de inferência utilizado é o de Mamdani. As funções de pertinência da carga
viral, Figura 6, do nı́vel de CD4+, Figura 7 e da taxa de transferência, Figura 8 são
trapezoidais. Observamos que dividimos os valores da carga viral por 200000 cópias de
RNA/ml e com informações médicas construı́mos a seguinte base de regras disposta na
Tabela 2:
PP
V
PP
CD4+
PP
baixa
média
alta
PP
P
muito baixo
baixo
médio
médio alto
alto
forte
forte
forte
média
forte
forte
média
média
média
média fraca
média fraca
média
fraca
fraca
média
Tabela 2: Base de regras fuzzy assumindo como antecedentes a carga viral V e nı́vel de
CD4+, e Λ como conseqüente.
média
baixa
1,0
alta
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Carga Viral
Figura 6: Funções de Pertinência da carga viral (V).
muito baixo baixo
1,0
alto
médio Médio alto
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
C
Nível de CD4+ (c)
Figura 7: Funções de Pertinência do nı́vel de CD4+.
1,0
forte
média
fraca média fraca
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Lambda ( )
Figura 8: Funções de Pertinência da taxa de transferência (Λ).
Na proxima seção, estudamos a taxa de retorno de sintomáticos para assintomáticos
mediante tratamento com terapia anti-retroviral.
5
Conversão de Sintomático para Assintomático: Modelo Fuzzy com γ Dependendo do Nı́vel de CD4+
e da Carga Viral
5.1
Introdução
Para avaliar a eﬁciência do tratamento, os especialistas da área médica têm grande interesse em quantiﬁcar a taxa de retorno à classe dos indivı́duos assintomáticos. A quantiﬁcação da carga viral e a contagem de CD4+ são utilizados para iniciar ou alterar
terapêutica anti-retroviral.
5.2
Variáveis Lingüı́sticas e Base de Regras
Vamos estimar a taxa de retorno γ = γ(v, c) baseada nas informações médicas. Adotamos
a base de regras fuzzy assumindo como antecedentes a carga viral V e nı́vel de CD4+, e a
taxa de retorno Γ como conseqüente. Os termos lingüı́sticos para V (carga viral), para o
nı́vel de CD4+ e para a taxa de retorno de sintomático para assintomático Γ são dispostos
na Tabela 3:
Variáveis
Valores Linguı́sticos
carga viral (V)
baixa, média e alta
CD4+
muito baixo, baixo, médio, médio alto, e alto
Γ
fraca, média fraca, média e forte
Tabela 3: Termos linguı́sticos das variáveis V, CD4+ e Γ
O método de inferência utilizado é o de Mamdani. As funções de pertinência da carga
viral, do nı́vel de CD4+ e da taxa de retorno de sintomático para assintomático, Figuras 6,
7 e 9 respectivamente, são trapezoidais. Observamos que dividimos os valores da carga
viral por 200000 cópias de RNA/ml e com informações médicas construı́mos a seguinte
base de regras disposta na Tabela 4:
PP
V
PP
CD4+
PP
baixa
média
alta
PP
P
muito baixo
baixo
médio
médio alto
alto
fraca
fraca
fraca
média fraca
fraca
fraca
média fraca
média fraca
média fraca
média
média
média fraca
forte
forte
média fraca
Tabela 4: Base de regras fuzzy assumindo como antecedentes a carga viral V e nı́vel de
CD4+, e Γ como conseqüente.
1,0
forte
média
fraca média fraca
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Gamma (F)
Figura 9: Funções de Pertinência da taxa de transferência (Γ).
Na proxima seção estudamos as taxas Λ e Γ dependendo do nı́vel de CD4+, da carga
viral e da adesão ao tratamento.
6
6.1
Conversão de Sintomático para Assintomático: Modelo Fuzzy com λ e γ Dependendo do Nı́vel de
CD4+, da Carga Viral e da Adesão ao Tratamento
Introdução
Se aos primeiros sintomas da AIDS, os indivı́duos sintomáticos aderirem ao tratamento
de forma adequada, isto é , se a adesão ao tratamento for de 95 % a 100 %, em geral
de três a seis meses, os indivı́duos poderão ter grande recuperação do ponto de vista
clı́nico, a ponto de se tornarem assintomáticos. Para avaliar a eﬁciência do tratamento,
os especialistas da área médica têm grande interesse em quantiﬁcar a taxa de retorno à
classe dos indivı́duos assintomáticos.
6.2
Variáveis Lingüı́sticas e Base de Regras
De acordo com especialistas, a carga viral v, o nı́vel de CD4+ e a adesão do tratamento a
estão inﬂuenciando as taxas de transferência e retorno da população dos HIV-positivos.
Os termos lingüı́sticos para V (carga viral), para o nı́vel de CD4+ , para a taxa de
transferência de sintomático para assintomático (Λ), para a taxa de retorno de sintomático
para assintomático (Γ) e para a Adesão ao tratamanto (A) são dispostos na Tabela 5:
Variáveis
Valor Linguı́sticas
carga viral (V)
baixa, média e alta
CD4+
muito baixo, baixo, médio, médio alto, e alto
Λ
fraca, média fraca, média e forte
Γ
fraca, média fraca, média e forte
Adesão
adequada e inadequada
Tabela 5: Termos linguı́sticos das variáveis V, CD4+, Λ, Γ e A.
O método de inferência utilizado foi o de Mamdani. As funções de pertinência utilizadas para a carga viral V, nı́vel de CD4+, para a taxa de transferência Λ, para a taxa
de retorno Γ e a para a adesão ao tratamento, Figuras 6, 7, 8, 9 e 10; são trapezoidais.
Com informações médicas construı́mos as seguinte bases de regras disposta nas Tabelas 6,
7, 8, 9:
PP
PP
CD4+
PP
V
PP
P
muito baixo
baixo
médio
médio alto
alto
baixa
média
alta
forte
média
média
média fraca
fraca
forte
forte
média
média fraca
fraca
forte
forte
média
média
média
Tabela 6: Base de regras fuzzy para Λ com Adesão Inadequada
PP
PP
CD4+
PP
(V
PP
P
muito baixo
baixo
médio
médio alto
alto
baixa
média
alta
fraca
fraca
fraca
média fraca
média
fraca
fraca
fraca
média fraca
média
fraca
fraca
fraca
fraca
fraca
Tabela 7: Base de regras fuzzy para Γ com Adesão Inadequada.
PP
PP
CD4+
PP
V
PP
P
muito baixo
baixo
médio
médio alto
alto
baixa
média
alta
média
média fraca
média fraca
fraca
fraca
média
média
média fraca
fraca
fraca
média
média
média fraca
média fraca
média fraca
Tabela 8: Base de regras fuzzy para Λ com Adesão Adequada.
PP
PP
CD4+
PP
V
PP
P
muito baixo
baixo
médio
médio alto
alto
baixa
média
alta
fraca
média fraca
média fraca
média
forte
fraca
fraca
média fraca
média
forte
fraca
fraca
média fraca
média fraca
média fraca
Tabela 9: Base de regras fuzzy para Γ com Adesão Adequada.
adequada
inadequada
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
Adesão (A)
0,8
1,0
A
Figura 10: Funções de Pertinência da adesão ao tratamento A.
Na proxima seção utilizamos dados de pacientes do Ambulatório Herbert de Souza
para estudar a taxa de retorno Γ em função da adesão ao tratamento.
7
Pacientes do Ambulatório Herbert de Souza Uberlândia-MG
Utilizando dados dos exames dos pacientes do nı́vel de CD4+, carga viral, com informações
do especialista em relação à adesão ao tratamento do paciente e através do sistema baseados em regras fuzzy é possı́vel determinar a taxa de transferência de sintomático para
assintomático em função das datas dos exames [1]. Assim, com os dados de exames de
dois pacientes do Ambulatório Herbert de Souza, Uberlândia-MG, obtemos informações
importantes. O paciente 1, apresenta a taxa de transferência de sintomático para assintomático em relação ao tempo crescente, devido a sua adesão adequada ao tratamento,
Figura 11. O paciente 2, apresenta uma visı́vel irregularidade na taxa de transferência
de sintomático para assintomático devido à adesão inadequada ao tratamento com antiretrovirais, Figura 12.
Paciente 1
0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
0.55
0.5
out/02
fev/03
set/03
jul/04
jan/04
Datas dos Exames
Figura 11: Paciente 1
Paciente 2
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
out/00
fev/01
jun/01
jul/01
jan/02
dez/02 abr/03
jul/03
Datas dos Exames
Figura 12: Paciente 2
dez/03
jul/04
8
Conclusão
As Figuras 11 e 12 mostram como a adesão ao tratamento é um fator determinante para a
transferência do paciente HIV positivo sintomático para assintomático. Este tratamento
é fornecido gratuitamente pelo Ministério da Saúde.
Assim, através deste sistema baseados em regras fuzzy, com dados dos exames laboratoriais e com informações do especialista em relação à adesão ao tratamento dos pacientes,
é possı́vel determinar a taxa de transferência de sintomático para assintomático em função
do tempo, de outros indivı́duos HIV positivos.
Agradecimentos
O primeiro autor agradece ao PIBIC-CNPq pela concessão da Bolsa de Iniciação Cientı́ﬁca
e o segundo autor à FAPEMIG - CEX 109/04 e ao Programa Especial de Pesquisa da
Universidade Federal de Uberlândia - A-005/2004 pelo apoio ﬁnanceiro.
Referências
[1] Fonseca, E.L. e Jafelice, R.. Estudo de Parâmetros Fuzzy nos Modelos de Evolução
da AIDS, 13o Simpósio Internacional de Iniciação Cientı́ﬁca da Universidade de São
Paulo, 2005.
[2] Jafelice, R., Barros,L.C. e Bassanezi, R. C.. Teoria dos Conjuntos Fuzzy com
Aplicações,Uma publicação da SBMAC, Editora Plêiade, 2005.
[3] Jafelice, R. . Modelagem Fuzzy para Dinâmica de Transferência de Soropositivos para
HIV em Doença Plenamente Manifesta. Tese de Doutorado, FEEC, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, Brasil, 2003.
[4] Rachid, M e Schechter, M.. Manual de HIV/AIDS. REVINTER, Rio de Janeiro, 8 rd
edition, 2005.
[5] Massad, E., Menezes, R., Silveira, P., e Ortega, N.. Métodos Quantitativos em Medicina. Manole, 2004.
Uso de Autômato Celular no Estudo da
Evolução da AIDS
João Cláudio Martins de Freitas∗
Rosana Sueli da Motta Jafelice†
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU
38408-100, Uberlândia - MG
janeiro de 2006
Resumo
O objetivo deste trabalho é utilizar autômato celular para estudar a dinâmica da
evolução do HIV no interior do organismo dos HIV-positivos. Vamos adotar um
autômato celular para representar a dinâmica de infecção do HIV sem tratamento
com anti-retrovirais e posteriormente comparar os resultados desse autômato celular
que representa a dinâmica do HIV com o modelo clássico microscópico de Novak e
Bangham (1996).
Palavras-chaves: Autômato, Dinâmica, Equações Diferenciais Ordinárias, Simulação.
1
Introdução
A Sı́ndrome da Imunodeﬁciência Adquirida (AIDS) foi reconhecida em meados de 1981,
nos EUA, como uma nova doença que compromete o sistema imunológico. É uma
sı́ndrome proveniente de um processo de imunodeﬁciência decorrente de infecção pelo
HIV (vı́rus de imunodeﬁciência humana). Os meios de transmissão cientiﬁcamente comprovados são: relações sexuais com portadores de HIV; transfusão de sangue contaminado;
uso de seringas ou materiais cirúrgicos contaminados; via placenta, leite materno e pelo
contato entre mucosas.
Nos últimos vinte e quatro anos, desde que foi identiﬁcado, o HIV transformou-se em
uma epidemia de projeção mundial. De acordo com os dados estimados e apresentados
pela Organização Mundial de Saúde e pelo Programa das Nações Unidas sobre HIV/AIDS
(UNAIDS) (novembro de 2005) existem 40,3 milhões de pessoas vivendo com AIDS, sendo
que destes, 24,6 milhões são africanos. Hoje a molestia atingiu tal magnitude, indicando
que a sociedade depara-se com mais um problema biológico, de grande repercussão social
e econômica.
Um conceito importante que será utilizado no desenvolvimento deste trabalho é o de
autômato celular. Os autômatos celulares consistem de simulações discretas no tempo,
∗
†
Orientando de Iniciação Cientı́ﬁca FAPEMIG. E-mail: [email protected]
Professor orientador. E-mail: [email protected]
espaço e no estado do sistema. A idéia destes modelos consiste em considerar cada posição
(ou região) do domı́nio espacial como sendo uma célula, à qual é atribuı́do um estado.
O estado de cada célula é modiﬁcado de acordo com seu estado e dos seus vizinhos na
etapa de tempo anterior, através de cada série de regras simples que tentam imitar as leis
biológicas (ou fı́sicas) que regem o sistema [1].
A principal vantagem dos autômatos celulares é a facilidade com que podem ser implementados decorrente da simplicidade de sua formulação e o surpreendente retorno visual
capaz de reproduzir equilı́brios estáveis ou periódicos, padrões complexos e estruturas
organizadas como formações de ondas, entre outras [2].
Apesar da simplicidade das regras de transição de estado, os autômatos celulares
podem fornecer muitas informações sobre a dinâmica temporal e espacial de sistemas
biológicos, o que faz deste tipo de modelo uma alternativa importante na descrição de
processos espaciais aclopados a interações locais.
O objetivo ﬁnal dos modelos de autômatos celulares é uma descrição (a partir de
regras tão simples quanto possı́veis) do comportamento macroscópico do fenômeno e não
uma descrição exata e ﬁel do processo microscópico. Não são, em geral, instrumentos de
previsão, devendo ser abordados como meio de experimentação. Os autômatos celulares
são vistos, não como substitutos dos modelos tradicionais, mas como primeiro passo para
formulação destes modelos. Os resultados obtidos através da simulação via autômatos
celulares podem conﬁrmar hipóteses para uma posterior formulação de um modelo formal.
Na próxima seção, apresentamos alguns conceitos biológicos do Vı́rus de Imunodeﬁciência Humana.
2
HIV - Vı́rus de Imunodeﬁciência Humana
Trata-se de um retrovı́rus esférico, isto é, um vı́rus contendo RNA (ácido ribonucléico)
que se replica em uma célula hospedeira. No citoplasma da célula hospedeira, o material
genético viral (RNA) sofre ação da enzima transcriptase reversa e transforma-se em DNA.
Este DNA viral possui a capacidade de penetrar no núcleo da célula infectada e incorporarse ao DNA dela.
A Figura 1, mostra a estrutura do vı́rus HIV. Este vı́rus encapsulado tem um envelope
proteico, constituı́do por duas proteı́nas principais: uma maior, a gp120, que forma botões
na superfı́cie, e outra menor, a gp41, conforme Figura 1; que juntas formam o conjunto
gp160. Dentro deste envelope proteico, o vı́rus possui uma cápsula interna, formada pela
proteı́na p17, Figura 2. No interior desta cápsula interna, existe uma membrana formada
pela proteı́na p24 que envolve o material genético, o RNA, Figura 3. Nesta cápsula interna, encontram-se junto com o RNA, três proteı́nas importantes: Transcriptase Reversa,
Integrase e Protease.
Na próxima seção, introduzimos o histórico natural da infecção do HIV.
3
Esquema da História Natural da Infecção do HIV
Atigindo a corrente sanguı́nea, o HIV lança seu ataque principalmente contra os linfócitos
T, do tipo CD4+. Tal preferência decorre do fato, que a proteı́na periférica do vı́rus
gp120 encaixa-se na proteı́na CD4 presente na membrana de certas células do sistema
imunológico. Os linfócitos T são os que possuem em maios quantidade a proteı́na CD4+.
Figura 1: Estrutura do HIV. 1. Envelope proteico formado por gp120 e gp41; 2. Cápsula
proteica interna formada pela proteı́na p17; 3. Membrana formada pela proteı́na p24 e 4.
Material genético formado por RNA e proteı́nas.
Figura 2: Representação do momento em que o HIV está infectando a célula [3].
/LQIyFLWR7
&'
0HLR
VDQJtQHR
+,9
Figura 3: HIV infectando a célula.
O tempo de vida do HIV é muito curto. Em média, de três a sete dias todos os vı́rus são
repostos no organismo humano.
Os aspectos clı́nicos da infecção do HIV pode ser dividido em quatro fases:
1. Infecção aguda
A infecção aguda, também chamada de sı́ndrome da infecção retroviral aguda ou infecção primária, ocorre em cerca de 50% a 90% dos pacientes. A história natural da
infecção aguda caracteriza-se por viremia elevada, com resposta imune intensa. Durante
o pico de viremia, ocorre diminuição rápida dos linfócitos T CD4+, que posteriormente
aumentam, mas geralmente não retornam aos nı́veis à infecção. Os sintomas duram em
média, 14 dias. Os sintomas mais frequentes associados à sindrome viral aguda causada
pelo HIV são febre, fadiga, cefaléia, vômito e outras. Após a fase aguda, ocorre a estabilização da viremia em nı́veis variáveis, deﬁnidos pela velocidade da replicação viral.
2. Fase assintomática
Na infecção precoce pelo HIV, também conhecida como fase assintomática, o estado
clı́nico é mı́nimo ou inexistente. Nesta fase a história familiar, hábitos de vida, como
também uma avaliação do perﬁl emocional e psicossocial do paciente, seu nı́vel de entendimento periódicos são recomendados.
3. Fase sintomática inicial
Nesta fase várias doenças podem ocorrer devido a infecção do HIV, como por exemplo: sudorese noturna, fadiga, emagrecimento, diarréia, sinusopatias, candı́ase oral, herpes
simples, herpes zoster e outras.
4. AIDS oportunistas
As doenças oportunistas associadas à AIDS são várias, podendo ser causadas por vı́rus,
bactérias, protozoários, fungos e certas neoplasias. As doenças oportunistas, mais comuns
associadas à AIDS são pneumonias, candı́ase, herpes simples, toxoplasmose, sarcoma da
Kaposi e outras.
A Figura 4 mostra o tempo de percurso da infecção do HIV em um adulto infectado,
em que observa-se que o tempo médio de infecção da AIDS são 10 anos.
Figura 4: Esquema da história natural da infecção do HIV [4].
Na próxima seção, introduzimos o modelo clássico de Novak e Bangham que representa
a dinâmica da infecção do HIV.
4
Modelo Clássico
Três modelos da dinâmica de infecção do HIV, sem tratamento com anti-retrovirais, são
estudados em [5]. Em [6] dois destes modelos foram utilizados, o primeiro contém três
variáveis dependentes do tempo: células não infectadas, células infectadas e partı́culas
de vı́rus livres, representadas por n, i e v respectivamente. Partı́culas de vı́rus invadem
células não infectadas, infectando-as a uma taxa proporcional ao produto nv. Células
infectadas produzem novos vı́rus livres a uma taxa dada por ki. Células não infectadas,
células infectadas e partı́culas de vı́rus morrem com taxas dadas pelos produtos an, bi, sv,
respectivamente. No modelo, foi suposto que células não infectadas são continuamente
produzidas pelo organismo a uma taxa constante r. A Figura 5 ilustra o primeiro modelo
de Novak e Bangham, mostrando como vı́rus livre infecta a célula não infectada do linfócito
T, do tipo CD4+. Na Figura 5 o sı́mbolo + denota o encontro das células não infectadas
com o vı́rus livre.
A partir da Figura 5, o seguinte sistemas de equações diferenciais é obtido:
dn
= r − an − βnv
dt
di
= βnv − bi
dt
dv
= ki − sv
dt
(1)
O segundo modelo utiliza quatro variáveis dependentes do tempo em que as três
primeiras são as mesmas do modelo anterior e a nova variável z representa os anticorpos do
ÅÅÅ;ÅÅ#%,Å./).&%#4!$!3Å + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ6253Å,)62%ÅÅ=
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ#%,Å).&%#4!$!3
β
Figura 5: Dinâmica do HIV.
HIV, especiﬁcamente o linfócito T citotóxico. O seguinte sistema de equações diferenciais
ordinárias, descreve esse modelo:
dn
= r − an − βnv
dt
di
= βnv − bi − piz
dt
dv
= ki − sv
dt
dz
= ciz − dz
(2)
dt
em que p é a taxa de morte das células infectadas, c é a taxa de produção de anticorpos
e d é a taxa de morte natural de anticorpos.
A Figura 6 mostra um exemplo das soluções numéricas do sistema (2), utilizando os
parâmetros da Tabela 1 e as condições iniciais da Tabela 2:
r = 0.3 a = 0.1
β=1
b = 0.01 p = 0.03 k = 0.5
s = 0.01 c = 0.01 d = 0.01
Tabela 1: Parâmetros do modelo (2).
Na próxima seção, introduzimos o autômato celular da dinâmica da infecção do HIV,
que denominamos de Sistema Blood-Tor.
5
Sistema Blood-Tor
O nome Blood-Tor vem de Bloodstream-Toroidal. Simulamos o sistema Blood-Tor com o
formato de um toro, onde vivem artiﬁcialmente células não infectadas, células infectadas,
n(0)
i(0)
v(0)
z(0)
t inicial
t ﬁnal
0.99
0.01
0.1
0.01
0 unidades tempo
500 unidades tempo
1
10
14
Celulas infectadas de CD4+ (i)
Celulas nao infectadas de CD4+ (n)
Tabela 2: Condições iniciais.
0
10
−1
10
−2
10
−3
10
0
100
200
300
Tempo (t)
400
8
6
4
2
0
100
200
300
Tempo (t)
400
500
0
100
200
300
Tempo (t)
400
500
Anticorpos do HIV (z)
10
200
Virus livre (v)
10
0
500
250
150
100
50
0
12
0
100
200
300
Tempo (t)
400
500
8
6
4
2
0
Figura 6: Solução numérica do sistema (2).
células livres do HIV e anticorpos do HIV, com a dinâmica populacional das células
representadas em um autômato celular [7]. Atingindo a corrente sanguı́nea, o HIV lança
seu ataque principalmente contra os linfócitos T, do tipo CD4+.
A dinâmica populacional das células, como o HIV, é representada em um autômato
celular, no qual cada ponto, em uma grade retangular, é chamado de célula. Os estados das células na grade são atualizados de acordo com regras da dinâmica local de
cada célula. As células e o HIV se movem aleatoriamente em tal sistema. As células
não infectadas são produzidas a uma taxa constante proporcionando uma signiﬁcativa
similaridade com a realidade. Os vı́rus livre quando encontram as células não infectadas
infectam estas, transformando-as em células infectadas e os vı́rus desaparecem. As células
infectadas podem produzir células HIV quando tiverem alcançado o tempo apropriado de
produção. As células do anticorpo do HIV destroem as células infectadas quando ocorre
o encontro. As células infectadas e células do anticorpo podem se reproduzir quando
tiverem atingido o tempo apropriado de reprodução. As células não infectadas, células
HIV, células infectadas e células do anticorpo do HIV morrem quando tiverem alcançado
o tempo para mortalidade. Os tempos de produção, de reprodução e de morte das células
são determinados a partir de regras da dinâmica local do autômato celular. Portanto,
a simulação do Sistema Blood-Tor é um sistema dinâmico que representa a evolução da
AIDS sem tratamento [8].
A Figura 7 é uma amostra da simulação no sistema Blood-Tor, realizada com 50
iterações, em que as células não infectadas são representadas pela cor azul, as células
HIV pela cor preta, as células infectadas pela cor verde e as células do anticorpo pela cor
branca.
Vermelho−Corrente sanguinea Azul−Celulas nao−infectadas Preto−HIV Verde−Celulas infectadas Branco−Anticorpos
Dinamica Populacional das celulas nao−infectadas
200
Dinamica Populacional das celulas HIV
120
100
150
Virus livre (v)
Celulas nao−infectadas de CD4+ (n)
Figura 7: Sistema Blood-Tor.
100
60
40
50
20
0
0
10
20
30
tempo (t)
40
0
50
Anticorpo do HIV (z)
80
60
40
20
0
0
10
20
30
tempo (t)
40
50
0
10
20
30
tempo (t)
40
50
Dinamica Populacional das celulas anticorpos
100
Dinamica Populacional das celulas infectadas
100
Celulas infectadas de CD4+ (i)
80
80
60
40
20
0
0
10
20
30
tempo (t)
40
50
Figura 8: Sistema Blood-Tor variando em relação ao tempo (t).
Os resultados obtidos na simulação do Sistema Blood-Tor em função do tempo, Figura 8,
foram comparados com o modelo clássico de Novak e Bangham, na fase assintomática, e
apesar da signiﬁcativa similaridade, a simulação fornece uma descrição mais próxima da
realidade, Figura 4, do que o modelo de Novak e Bangham, Figura 6.
6
Conclusão
É interessante observar que regras simples, como as utilizadas na simulação podem conduzir a um comportamento complexo, ou seja, a ação do todo é mais do que a simples
soma das ações individuais. Este comportamento mostra o poder do autômato celular.
Nos trabalhos futuros pretendemos implementar um autômato celular utilizando os
anti-retrovirais para observar o comportamento das células não infectadas, infectadas, do
vı́rus livre e dos anticorpos no organismo.
Agradecimentos
O primeiro autor agradece à FAPEMIG pela concessão da Bolsa de Iniciação Cientı́ﬁca e
o segundo autor à FAPEMIG - CEX 109/04 e ao Programa Especial de Pesquisa da Universidade Federal de Uberlândia pelo apoio ﬁnanceiro - A-005/2004 pelo apoio ﬁnanceiro.
Referências
[1] Ermentrout, G. e Edelstein-Keshet, L. (1993). Cellular automata approaches to biologal modeling. J. Theor. Biol., 160:97-133.
[2] Wolfram, S. (1994). Cellular Automata and Complexity. Addison-Wesley publishing
Company, N. York.
[3] Saag, M. (1995). Diagnóstico laboratorial da AIDS presente e futuro. In Sande, M. e
P.A. Volberding, editors, Tratamento Clı́nico da AIDS, páginas 27-43. Revinter, third
edtion.
[4] Perelson, A. e Nelson, P. (1999). Mathematical analysis of HIV-1 dynamics in vivo.
SIAM Review, 41:3-44.
[5] Novak, M. e Bangham, C. (1996). Population dynamics of immune responses to persistent viruses. Science, 272:74-79.
[6] Jafelice, R. (2003). Modelagem Fuzzy para Dinâmica de Transferência de Soropositivos
para HIV em Doença Plenamente Manifesta. Tese de Doutorado, FEEC, Universidade
Estadual de Campinas, Campinas, Brasil.
[7] Jafelice, R. e Silva, P. (2001). Simulação de presa-predador no planeta Wa-Tor. Congresso Latino Americano de Biomatemática - Campinas, Brasil.
[8] Freitas, J. C. M. e Jafelice, R. S. M. (2005). Uso de Autômato Celular no Estudo da
Evolução da AIDS. 13◦ Simpósio de Iniciação Cientı́ﬁca da USP - São Carlos, Brasil.
FAMAT em Revista
Revista Científica Eletrônica da
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
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Þ
Problemas e Soluções
Número 06 - Maio de 2006
www.famat.ufu.br
Comitê Editorial da Seção
Problemas e Soluções
do Número 06 da FAMAT EM REVISTA:
Luiz Alberto Duran Salomão (coordenador da seção)
Márcio José Horta Dantas
Marcos Antônio da Câmara
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira
Problemas e Soluções
A revista eletrônica FAMAT em Revista publica regularmente uma seção de problemas com o tı́tulo Problemas e Soluções. Todos os interessados podem participar dessa
seção apresentando soluções para os problemas já publicados ou propondo novos problemas. Serão publicados problemas de matemática básica ou superior, assim como enigmas
de natureza lógica que desaﬁem nossos leitores e lhes proporcionem bom treinamento na
resolução de problemas. O comitê editorial selecionará, dentre os problemas propostos, os
que mais se destacarem por sua beleza, relevância e originalidade. Problemas propostos
em um número da revista terão suas soluções publicadas no número seguinte. Quando
da publicação de problemas ou resoluções enviados por leitor, serão citados o(s) proponente(s) e o(s) autor(es) das soluções recebidas. Ao propor um problema, o leitor deverá
encaminhar sua solução juntamente com o enunciado e citar a fonte de onde ele foi tirado,
se for o caso.
Todo participante dessa seção deverá identiﬁcar-se mencionando seu nome e endereço
completos (inclusive e-mail). Para fazer contato com a revista, os participantes poderão
utilizar o endereço eletrônico
[email protected]
ou encaminhar correspondência para:
FAMAT em Revista
Faculdade de Matemática
Universidade Federal de Uberlândia
Av. João Naves de Ávila, 2121, Santa Mônica
CEP 38408-100 - Uberlândia - MG
Nesse número, além de quatro novos desaﬁos, publicamos a resolução dos quatro do
número anterior.
ATENÇÃO: Estaremos dando continuidade à promoção do número anterior. Para os
leitores que nos enviarem soluções corretas, de pelo menos dois dos problemas propostos,
estaremos sorteando em Abril de 2006 alguns exemplares do livro:
MOREIRA, C. et. alli. (orgs.) Olimpı́adas Brasileiras de Matemática. 9 a . a
16 a . Problemas e resoluções. Rio de Janeiro: Publicação da Sociedade Brasileira de
Matemática, 2003.
“A ﬁlosoﬁa está escrita nesse grande livro - ou seja, o Universo que se encontra aberto continuamente ante os nossos olhos, mas ele
não pode ser entendido a menos que se aprenda, primeiro, a ler sua
linguagem e interpretar as letras com as quais o compuseram. Ele foi
escrito no idioma da matemática e seus sı́mbolos são triângulos,
cı́rculos e outras ﬁguras geométricas, sem as quais é humanamente
impossı́vel entender uma única palavra de seu texto.”
Galileu Galilei, Il Saggiatore (1623)
Problemas para o número 6 da Revista da FAMAT
21. Mostre que as medianas de um triângulo dividem a região que ele limita em seis
regiões de áreas iguais.
22. Dados um ângulo AÔB e um ponto P em seu interior, construa (com régua e
compasso) um ponto X sobre a semi-reta de origem O passando por A e um ponto Y
sobre a semi-reta de origem O passando por B, de modo que o ponto P esteja entre X e Y
e PX = PY. Justifique a construção.
23. Dados um ângulo AÔB e um ponto P em seu interior, construa um segmento XY,
com X sobre a semi-reta de origem O passando por A e Y sobre a semi-reta de origem O
passando por B, que contenha P, de modo que o triângulo OXY tenha área mínima.
Justifique a construção.
24. Mostre que o polinômio x2n – 2 x2n-1 + 3x2n-2 - . . . – 2nx + 2n + 1 não tem raízes
reais.
Resoluções dos problemas propostos no número
anterior
17.
Na figura acima, todas as indicações relativas a somas de medidas de ângulos baseiamse no fato de que, em um triângulo, o ângulo externo mede a soma das medidas dos
ângulos internos não adjacentes a ele.
Daí, conclui-se que a soma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 é igual a 180 graus, ou seja, em um
pentagrama estrelado qualquer, a soma dos ângulos internos é sempre 180 graus.
18. A solução deste exercício é uma aplicação do conhecido Princípio da Casa dos
Pombos.
Se n é um elemento do conjunto dado, então n = 2kb, onde k é um número natural e b é
um natural ímpar, sendo k e b determinados de maneira única. Observe que, dado um
elemento n no conjunto dado, existem 100 possíveis valores para b.
Assim, sendo escolhidos 101 números, pelo Princípio da Casa dos Pombos, existem
dentre eles dois elementos diferentes m e n com o mesmo fator ímpar b. Portanto,
existem dois naturais k e l distintos de forma que m = 2kb e n = 2lb. Admitindo, sem
perda de generalidade, que k > l, concluímos que m é múltiplo de n.
19. Como mdc(2003, 10) = 1, a expansão decimal de
1
não tem parte não
2003
periódica. Portanto, para algum inteiro positivo m, temos que
1
B
B
= m 2 m ... ,
2003 10
10
1
onde B é o período na representação de
.
2003
Daí,
B
1

= m
2003 10 1
2003 B = 10 m 1 
2003 B { -1(mod 10) 
3 B { -1(mod 10) 
21 B { -7(mod 10) 
B { 3(mod 10)
Conclusão: o último algarismo de B é 3.
Nota: Ao leitor que tiver interesse em uma leitura mais aprofundada sobre dízimas
periódicas, recomendamos a seção 1.13, capítulo 1, do livro Análise 1, escrito pelo
professor Djairo Guedes Figueiredo, editado por Livros Técnicos e Científicos Editora
S.A., 1996.
20. Chame S o conjunto {na-m: n, m  = e na - m>0}. Como S é limitado inferiormente,
existe o ínfimo deste conjunto, o qual vamos representar por d. Observe que d t 0.
Suponha que d  S, isto é, que existam inteiros n0 e m0 tais que d = n0 a - m0.
Afirmamos que, se x  S, então x = kd, para algum natural k. De fato, admita que exista x0  S,
com x0 z kd, para todo natural k. Agora, seja p o natural tal que pd < x0 < (p+1)d. Daí, temos
que 0 < x0 – pd < d, o que não pode ocorrer.
Assim, como 1  S, 1 = k0 d = k0 (n0 a - m0), para algum natural k0 . Daí, a =
1 k 0 m0
, o que
k 0 n0
contraria a hipótese de a ser irracional.
Portanto, d  S.
Suponha, agora, d > 0. Podemos afirmar que existe D  S, com d < D < 2d e, também, que
existe E  S, com d < E < D . Daí, 0 < D - E < d e D - E  S, o que é absurdo.
Concluímos, então, que d = 0.
Considere, agora, um número real positivo c.
Dado um número real positivo arbitrário H , pelo que vimos acima, existem inteiros m e n de
modo que 0 < na – m < H . Daí, [c] < na – m + [c] < [c] + H d c + H .
Assim, se c  =, então [c] = c e já temos o que queríamos.
Suponha que c  =. Se y = na – m + [c] > c, nada mais temos a fazer. Admita, agora, que [c] <
na – m + [c] = y d c. Neste caso, tome o natural p tal que c < y + p(na – m), sendo p mínimo
nesta condição. Assim, y + (p – 1)( na – m) d c e, daí, y + p(na – m) d c + (na – m) < c + H .
Portanto, c < (n + pn)a + [c] – (p + 1)m < c + H .
Para concluir, o leitor certamente não terá dificuldade em adaptar o argumento acima para o
caso de c ser um número real negativo.
Exercı́cio 20 da revista eletrônica Famat em Revista
Exercı́cio enviado por Flaviano Bahia Paulinelli Viera
Seja a um número irracional. Mostre que o conjunto {pa − q; p, q ∈ Z} , é denso
no conjunto dos números reais.
Para resolver este exercı́cio vamos utilizar o seguinte lema
Lema. eja G um subgrupo aditivo de R. Seja G+ o conjunto dos termos positivos de G. Então
i) se inf G+ = 0 então G é denso em R.
ii) se inf G+ = a > 0 então G = {na : n ∈ Z}
Demonstração. De G ser subgrupo aditivo de R temos que se x ∈ G então
−x ∈ G e se x, y ∈ G então x + y ∈ G
i) Sendo inf G+ = 0 e supondo que G não é denso em R temos, pela deﬁnição
de conjunto denso na reta, que existe um intervalo (a, b) ⊂ R de modo que
(a, b) ∩ G = ∅.
Assim, teremos que 0 ∈
/ (a, b) ,pois 0 = x + (−x) ∈ G e daı́ teremos que
(a, b) ⊂ R+ ou (a, b) ⊂ R− , pois, do contrário, terı́amos 0 ∈ (a, b) .
Primeiramente vamos supor (a, b) ⊂ R+ .
b−a
Assim, tome m ∈ G+ e m < b−a
2 ; isto é possı́vel, pois inf G+ = 0 e 2 > 0.
Seja o conjunto A = {n ∈ N : nm ≥ b}. Pelo princı́pio da boa ordenação, A tem
um mı́nimo. Seja n0 + 1 o mı́nimo de A. Assim (n0 + 1) m ≥ b e n0 m < b.
Temos ainda que n0 m > a, pois, do contrário, terı́amos
n0 m ≤ a o que implica (n0 + 1) m ≤ a + m < a +
b−a
b+a
=
< b,
2
2
ou seja, (n0 + 1) m < b e isto é um absurdo, pois temos (n0 + 1) ∈ A e, conseqüentemente, (n0 + 1) m ≥ b.
Assim, n0 m ∈ (a, b) e, do fato de n0 ∈ N e m ∈ G+ , temos que
n0 m =
n0
m ∈ G+ ,
i=1
o que implica que (a, b) ∩ G = ∅, o que é absurdo.
Conseqüentemente, teremos G denso em R.
ii) Temos que a ∈ G+ , pois se a ∈
/ G+ existiria, g1 , g2 ∈ G+ com
a
0 < a < g1 < g2 < a + ,
2
pois a = inf G+ .
Assim, temos que g2 − g1 ∈ G pois G é grupo aditivo, e g2 − g1 > 0, pois
g1 < g2 e isto implica que g2 − g1 ∈ G+ .
Veja agora que g2 − g1 < a pois, do contrário, terı́amos
g2 − g1 ≥ a,
e
a
g2 ≥ a + g1 > a + a > a + ,
2
e, ﬁnalmente
a
g2 ≥ ,
2
o que é absurdo, pois g2 < a + a2 Logo a ∈ G+ .
Agora, seja b ∈ G. Tome m0 ∈ Z tal que m0 a ≤ b < (m0 + 1) a.
Assim, temos que b = m0 a + r com 0 ≤ r < a. Suponha que r = 0; assim,
0 < r < a. Mas, do fato de b ∈ G e m0 a ∈ G, temos que −m0 a ∈ G o que
implica que r = b − m0 a ∈ G+ . Isto é um absurdo pois r < a = inf G+ . Daı́,
teremos r = 0 e logo b = m0 a
Vamos agora resolver o exercı́cio.
Seja a ∈ R − Q, então o conjunto G = {n + am : n, m ∈ Z} é um subgrupo
aditivo contido em (R, +) , pois se (n1 + am1 ) , (n2 + am2 ) ∈ G, então
(n1 + am1 ) + (n2 + am2 ) = (n1 + n2 ) + a (m1 + m2 ) ∈ G
e
− (n1 + am1 ) = (−n1 ) + a (−m1 ) ∈ G.
Vamos mostrar agora que inf G+ = 0. Do fato, caso contrário, teriamos
inf G+ = b > 0 e, pelo lema, temos que G = {bk : k ∈ Z} .
Como |a| > 0 e |a| ∈ G+ temos que |a| = bk1 , onde k1 ∈ Z, e logo b ∈ R − Q.
Temos também que 1 ∈ G+ e logo 1 = bk2 , onde k2 ∈ Z, o que implica que
b ∈ Q.
Assim, pelo lema e do fato de inf G+ = 0, temos que G é denso em R.
FAMAT em Revista
Revista Científica Eletrônica da
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
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Eventos
Número 06 - Maio de 2006
www.famat.ufu.br
Comitê Editorial da Seção
Eventos
do Número 06 da FAMAT EM REVISTA:
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira (coordenador da seção)
Marcos Antônio da Câmara
Márcio José Horta Dantas
Eventos a serem realizados em 2006
Evento:
Data:
Local:
Site:
8vo. SEM (8vo. Simposio de Educación Matemática)
8 a 11 de maio de 2006
Buenos Aires - Argentina.
http://www.edumat.org.ar/
Evento:
Data:
Local:
Site:
HTEM III, encontro voltado a História e Tecnologia no Ensino da Matemática
25/05 a 27/05 de 2006
Campus Consolação – PUC-SP
http://www.pucsp.br/htem/
Evento:
I Congresso Latino-Americano de Grupos de Lie em geometria
Data:
5 a 9 de junho de 2006
Local:
UNICAMP
Site:
http://www.ime.unicamp.br/~clagl/home.html
Evento:
XIV Escola de Geometria Diferencial
Data:
17 a 21 de julho de 2006
Local:
Universidade Federal da Bahia (UFBA)
Site:
http://www.xivegd.ufba.br/welcome.htm
Evento:
SIPEMAT - Simpósio Internacional de Pesquisa em Educação Matemática
Data:
Julho de 2006
Local:
UFPE – Campus de Educação
Site:
http://www.ce.ufpe.br/sipemat/
Evento:
XIX Escola de Álgebra
Data:
31/07 a 04/08 de 2006
Local:
Universidade Federal de Diamantina
Site:
http://watsi.mat.ufmg.br/~algebra/
Evento:
XXIX Congresso Nacional de Matemática Aplicada a Computação
Data:
18 a 21 de Setembro de 2006
Local:
UNICAMP – Campinas - SP
Site:
http://www.sbmac.org.br/index.php?cnmac2006/principal.php
Evento:
III Bienal do Sociedade Brasileira de Matemática
Data:
06 a 10 de novembro de 2006
Local:
UFG - GO
Site:
http://www.sbm.org.br/
Evento:
XIV Simpósio Internacional de Iniciação Cientifica da USP
Data:
Novembro de 2006
Local:
USP - SP
Site:
http://www.usp.br/siicusp/
Evento:
III Jornada de Iniciação Científica do IMPA
Data:
Novembro de 2006
Local:
IMPA-RJ
Site:
http://www.impa.br/
Evento:
Workshop em Geometria Diferencial
Data:
06 a 08 de dezembro 2006
Local:
UNICAMP - Campinas
Site:
http://www.ime.unicamp.br/wgd60fm/
Evento:
VI Semana da Matemática - UFU
Data:
Dezembro de 2006
Local:
UFU – Universidade Federal de Uberlândia - MG
Site:
http://www.famat.ufu.br
Evento:
III Semana Acadêmica - UFU
Local:
UFU – Universidade Federal de Uberlândia - MG
Site:
http://www.ufu.br/
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FAMAT em Revista
Revista Científica Eletrônica da
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
Reflexões Sobre o
Curso de Matemática
Número 06 - Maio de 2006
www.famat.ufu.br
Comitê Editorial da Seção
Reflexões sobre o Curso de Matemática
do Número 06 da FAMAT EM REVISTA:
Márcio José Horta Dantas (coordenador da seção)
Marcos Antônio da Câmara
Valdair Bonfim
Reflexões sobre o Curso de Matemática
O Projeto Pedagógico do Curso de Matemática ficou pronto!
E agora?
Como é do conhecimento de todos, a Universidade Federal de Uberlândia
está em fase de mudança curricular. Na Faculdade de Matemática, em particular,
a comissão responsável pela elaboração de uma proposta de Projeto Pedagógico
terminou seus trabalhos em setembro de 2005. Esta comissão, eleita
democraticamente pelo Conselho da Faculdade de Matemática, contou com
representação discente durante todo o tempo de trabalho, bem como
representação docente de cada uma das quatro grandes áreas existentes em nossa
faculdade, a saber, Educação Matemática, Estatística, Matemática Pura e
Matemática Aplicada. A composição heterogênea foi pensada no sentido de
viabilizar um Projeto Pedagógico abrangente, que pudesse contemplar as
aspirações dos alunos e também destes quatro grupos. Não é exagerado dizer que
estas aspirações são mais do que legítimas, uma vez que estes personagens
contribuem enormemente na formação de pesquisadores e professores da
educação básica e de nível superior, bem como na oferta de oportunidades de
educação continuada para os egressos de cursos superiores de Uberlândia e
região, tais como os Cursos de Especialização em Matemática e Estatística, as
Semanas de Matemática, a realização de eventos de repercussão nacional e
internacional, como o 55º Seminário Brasileiro de Análise, a 49ª Reunião Anual
da Sociedade Internacional de Biometria, as Reuniões da Sociedade Brasileira de
Matemática (SBM) e da Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e
Computacional (SBMAC), dentre outras atividades.
A referida comissão se pautou nas Diretrizes Curriculares Nacionais para
os Cursos de Matemática, modalidades Licenciatura e Bacharelado, e também
nas Resoluções internas da UFU, precisamente a Resolução 2/2004 do Conselho
de Graduação, que dispõe sobre a Elaboração e/ou Reformulação dos Projetos
Pedagógicos dos Cursos de Graduação, e a Resolução 3/2005 do Conselho
Universitário, que aprovou o Projeto Institucional de Formação e
Desenvolvimento do Profissional da Educação, a ser observada nos cursos de
Licenciatura da UFU.
Conforme se pode ler na Resolução 2/2004 em seu Artigo 8º, “ a
estrutura curricular de um curso é concretizada na forma adotada de
organização dos seguintes componentes curriculares: I – Disciplinas; II –
Trabalho de Conclusão do Curso; III – Atividades Acadêmicas Complementares;
IV – Práticas Específicas; V – Estágio Supervisionado ”, e sendo assim é útil
discorrer sobre cada um destes componentes, principalmente aqueles que são
novidades na estrutura curricular recentemente aprovada no Conselho de
Graduação.
Disciplinas são atividades acadêmicas organizadas em torno de uma ou
mais áreas do conhecimento, e podem ser classificadas em obrigatórias, optativas
e facultativas. A critério do Colegiado do Curso, as obrigatórias assim se
caracterizam pelo fato de serem consideradas indispensáveis para a formação do
profissional desejado, enquanto que as optativas pelo fato de serem consideradas
relevantes para a especialização do graduando em algum aspecto da sua
formação profissional ou acadêmica. As disciplinas facultativas são aquelas que
compõem o currículo de outros cursos, desta ou de outras instituições federais de
ensino superior, e que contribuam também para complementar a formação
profissional ou acadêmica.
Passemos às Práticas Específicas. No Curso de Licenciatura em
Matemática da UFU elas assim se concretizam:
• no Projeto Integrado de Prática Educativa (abreviadamente PIPE);
• nas Práticas Educativas; e
• no Seminário de Prática Educativa
os quais começo a explicar.
A prática, definida como componente curricular, deve ser tomada como
um conjunto de atividades ligadas à formação profissional e voltadas para a
compreensão de práticas educacionais distintas e de diferentes aspectos da cultura
das instituições de educação básica. Ao Projeto Integrado de Prática
Educativa serão destinadas 195 horas. Para a formatação deste projeto integrado
a comissão que elaborou o Projeto Pedagógico levou em consideração várias
coisas, como por exemplo
- as competências e habilidades a serem desenvolvidas em Matemática
relativas aos Ensinos Fundamental e Médio expressas nos PCN e PCEM;
- a necessidade da existência de um espaço específico para análise crítica
e reflexiva sobre a prática educativa e suas vinculações com o exercício da
cidadania;
- a importância da vivência de situações–modelo agregadas à inserção de
novos temas para o currículo de Matemática;
- a necessidade, segundo o entendimento deste atual Projeto Pedagógico,
de uma plena articulação entre disciplinas de formação específica e pedagógica;
e a partir destas considerações estabeleceu a divisão das ações a serem
desenvolvidas no PIPE em quatro subprojetos denominados:
x PIPE 1: “Contextualização Sócio-Cultural”;
x PIPE 2: “Novos Temas no Currículo do Ensino Básico”;
x PIPE 3: “Investigação e Compreensão”;
x PIPE 4 “Temas e Questões Educacionais Transversais”.
A cada subprojeto será destinado uma carga horária específica, expressas
através de ações integradas ao longo de disciplinas do Curso de Matemática, do
primeiro ao sexto período, em níveis presencial e em sua grande maioria não
presencial, conforme a tabela a seguir:
DISCIPLINAS AGREGADAS AO PIPE
PIPE
PIPE 1
PIPE 2
PIPE 3
PIPE 4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Introdução a Matemática (1º. Período – 45 h )
Informática e Ensino (2º. Período – 30 h )
Matemática Finita (3º. Período – 15 h )
Estatística e Probabilidade (4º.Período –15 h )
Geometria Espacial (3º. Período – 15 h )
Ensino de Matemática através de Problemas
(6º. Período – 30 h )
Psicologia da Educação (5º. Período – 15 h )
Política e Gestão da Ed. (5º. Período – 15 h )
Didática Geral (6º. Período – 15 h )
TOTAIS
CARGA HORÁRIA
NÃO
PRESEN
PRESEN
TOTAL
CIAL
CIAL
45
0
45
4
0
60
60
0
45
45
0
45
45
45
150
195
As atividades a serem desenvolvidas no PIPE 1 darão subsídios aos
alunos ingressantes para que, ao final do quarto período, estes possam fazer uma
opção consciente entre Licenciatura ou Bacharelado. Dentre estas atividades
destacamos:

Palestras direcionadas versando sobre: a estrutura curricular do Curso de
Matemática; as dimensões prática e pedagógica no contexto da estrutura
curricular; a profissão e os atributos do Bacharel e/ou Licenciado em
Matemática; os principais problemas do ensino de Matemática no Brasil; o
educador e o pesquisador na sociedade atual; aspectos relevantes da História e
Filosofia da Matemática; as correntes filosóficas atuais.

Debates coletivos (mesa redonda) versando sobre: tendências pedagógicas e
político-ideológicas que influenciam a educação; qualidade na Educação:
projetos individuais e coletivos / autonomia e valorização do professor.

Visitas monitoradas a Escolas e Unidades de Ensino.
As atividades a serem desenvolvidas no PIPE 2 no contexto da disciplina
Informática e Ensino são: promover debates / reflexões acerca das influências de
aplicativos computacionais na dinâmica da aula de matemática; vivenciar a
execução de projetos–modelos de planejamento de aulas em ambiente
informatizado.
Os conteúdos a serem trabalhados na disciplina Matemática Finita trazem
um enriquecimento aos conhecimentos básicos do Licenciado/Bacharel em
Matemática, fundamentando as técnicas de contagem ou princípios básicos de
modelagem discreta utilizadas em vários ramos da ciência ou mesmo do
cotidiano. Sendo assim, as atividades desta disciplina que estarão vinculadas ao
PIPE 2 consistirão de reflexões metodológicas acerca das influências destas
técnicas ou princípios na dinâmica da aula de matemática.
Os objetivos do PIPE 2 no contexto da disciplina Estatística e
Probabilidades são: possibilitar o desenvolvimento do processo de produção de
saberes relativos à Educação Estatística; envolver os alunos em trabalhos
coletivos ( mini-projetos ) nos quais se possa utilizar as novas tecnologias e os
conteúdos aprendidos em aula; incentivar o discente da disciplina a aprimorar as
habilidades usadas no processo de investigações estatísticas e a procurar
conexões do conteúdo aprendido com geometria, aritmética e situações do
cotidiano.
A parte do PIPE 3 a ser vivenciada na disciplina Geometria Espacial
consistirá em incentivar a construção de objetos geométricos tridimensionais
utilizando material concreto para, além de facilitar o entendimento de conceitos e
resultados da Geometria Espacial, estimular e aperfeiçoar a prática docente dos
futuros professores desse conteúdo no ensino fundamental e médio. Os alunos
serão incentivados a construírem e exporem objetos geométricos tridimensionais
tais como poliedros, prismas, pirâmides, cilindros e cones utilizando material
concreto como cartolinas, papelões, canudos de refrigerantes, madeiras, acrílicos,
etc. Tal atividade, não presencial, terá por objetivo estimular a prática docente do
futuro professor de geometria no ensino fundamental e médio, uma vez que tais
atividades podem ser reproduzidas por seus futuros alunos. Além disso, a
assimilação dos conceitos e resultados da geometria espacial torna-se mais fácil
com a visualização de objetos tridimensionais no espaço, contribuindo para a
melhoria do processo de aprendizagem.
Reconhecendo ainda a necessidade de capacitar o futuro professor para
uma importante metodologia de ensino de matemática, a saber, o ensino através
da resolução de problemas, as atividades a serem desenvolvidas no PIPE 3, no
âmbito da disciplina O Ensino de Matemática Através de Problemas, são os
seguintes: formular, discutir e resolver problemas variados de natureza
matemática; investigar aplicações de heurísticas em várias disciplinas;
desenvolver temas de natureza interdisciplinar, adequados aos diversos níveis de
ensino; revelar o papel da Matemática no desenvolvimento das ciências ao longo
da história através da análise de variadas situações-problema, enfocando
exemplos na mecânica, na ótica, na astronomia, na biologia, nas ciências sociais,
dentre outras.
O PIPE 4 – Temas e Questões Educacionais Transversais - será levado a
termo mediante ações vivenciadas nas disciplinas Psicologia da Educação,
Política e Gestão Educacional e Didática Geral.
No contexto da Psicologia da Educação os objetivos são promover
reflexões sobre as contribuições da Psicologia para a aprendizagem e o ensino da
Matemática, e também possibilitar o desenvolvimento de materiais e atividades
psicopedagógicas para o mesmo fim.
Na Política e Gestão da Educação o objetivo do PIPE é situar o papel do
futuro professor frente às políticas educacionais e a gestão e organização do
trabalho no cotidiano escolar. Ao longo da disciplina Política e Gestão da
Educação, e em articulação com outras disciplinas e componentes curriculares do
período, o aluno desenvolverá um levantamento de dados sobre a compreensão
dos professores da área frente às políticas educacionais na atualidade e sobre o
papel do professor na organização do trabalho escolar na atualidade,
especialmente no que se refere à construção da gestão democrática na escola.
Estas atividades serão desenvolvidas em horário complementar ao turno em que o
aluno cursa a carga horária teórica das demais disciplinas e componentes
curriculares.
Na Didática Geral as ações do PIPE são no sentido de situar o papel e o
trabalho do professor no cotidiano escolar, especialmente frente os processos de
ensino-aprendizagem, bem como problematizar e investigar práticas docentes no
processo ensino-aprendizagem desenvolvidas na área de formação no âmbito da
Educação Básica.
Agora, complementando as exigências legais, este projeto pedagógico
estabelece o desenvolvimento de novas atividades vinculadas à Prática
Educativa, perfazendo 210 horas, que associadas às ações do PIPE integralizam
405 horas de dimensão prática. Novamente destacamos a importância do
desenvolvimento destas atividades ao longo do curso, articulando disciplinas de
formação específica e pedagógica. Neste sentido, abaixo descrevemos as
disciplinas que contribuirão na construção desta articulação, com o
desenvolvimento de atividades presenciais e respectivas cargas horárias
associadas.
PRÁTICA EDUCATIVA AO LONGO DAS DISCIPLINAS
DISCIPLINAS
CH TOTAL
PERÍODO
Fundamentos de Matemática 2
Geometria Euclidiana Plana e Desenho
Geométrico
Informática e Ensino
Ensino da Matemática Através de
Problemas
Oficina de Prática Pedagógica
TOTAL
15
Primeiro
15
Segundo
60
Segundo
60
Sexto
60
210
Sétimo
Outra prática específica é o Seminário de Prática Educativa (SPE).
Trata-se de um componente curricular obrigatório na estrutura global do Curso de
Licenciatura em Matemática – UFU. O mesmo constitui-se num ambiente de
exposição de resultados, projetos de ensino desenvolvidos e materiais didáticos
de apoio ao ensino que resultarem das ações executadas ao longo do PIPE. Além
disso, caracteriza-se como uma atividade voltada para o desenvolvimento de uma
ampla e criteriosa análise do estudo de casos modelos de planejamento e
execução de planos de aula; de propostas governamentais para a área de
educação; da troca de experiências entre graduandos do curso de matemática e
educadores que atuam no ensino básico. Ainda, como um espaço institucional
capaz de fomentar entendimentos quanto a uma possível estruturação de ações
conjuntas, relacionadas a órgãos públicos responsáveis por políticas de extensão,
direcionadas a execução de projetos educacionais integrando UniversidadeEscola-Comunidade, configurando-se estes em espaços de capacitação aos
educadores envolvidos e campo de vivência de situações concretas e
diversificadas aos graduandos associados. Ao SPE/Matemática será destinada a
carga horária de 20 horas, sendo esta integrada à carga horária total destinada ao
Estágio Supervisionado. Este seminário poderá ser desenvolvido parcial ou
integralmente agregado a uma atividade conjunta de igual natureza desenvolvida
na UFU que integre demais cursos desta instituição, podendo, portanto ser
desmembrado em até dois eventos/seminários, SPE 1 e SPE 2, cujas somas das
cargas horárias individuais de cada um deles irá perfazer um total de 20 horas e
os objetivos e diretrizes das atividades a serem desenvolvidas nestes estarão em
conformidade com as expressas acima. Caberá ao Colegiado de Curso de
Matemática estabelecer calendários, elaborar ações, instituir comissões
organizadoras e definir critérios de acompanhamento e avaliações das atividades
a serem desenvolvidas no SPE. Dado a dinâmica anterior adotada quanto ao
processo organizacional do PIPE e o fato de que o PIPE culminará no SPE,
segundo RESOLUÇÂO No 03/2005, do Conselho Universitário, somente os
discentes que tenham integralizado o PIPE-Matemática poderão atuar na
execução direta de atividades do SPE e, caso sejam considerados aptos, pleitear o
registro curricular comprovando a aprovação neste componente curricular. Caso
o Colegiado do Curso de Matemática adote uma dinâmica de desmembramento
em dois eventos, SPE 1 e SPE 2, para adequações a uma atividade desta natureza
unificada da UFU, poderão atuar na execução do SPE 1 discentes que tenham
integralizados as ações relativas ao PIPE 1 e PIPE 2 acima descritas.
Outro componente curricular novo no Curso de Matemática da UFU é o
Trabalho de Conclusão do Curso. O Trabalho de Conclusão de Curso
(abreviadamente TCC), no contexto do Curso de Matemática, é definido como
um tipo de atividade acadêmica orientada por docente da carreira do magistério
superior da UFU, que desenvolve de modo sistemático um tema específico, não
necessariamente inédito, de interesse da futura atividade profissional do aluno e
vinculado a uma das seguintes áreas: Matemática Pura ou Aplicada, Estatística
ou Educação Matemática. O TCC será registrado por escrito na forma de um
relatório técnico conclusivo ou de uma monografia, conforme a natureza da
atividade a ser desenvolvida, de no mínimo doze (12) páginas que deverá
expressar domínio do assunto abordado, capacidade de reflexão crítica e rigor
técnico–científico. Terá por objetivos estimular a capacidade investigativa e
produtiva do graduando e contribuir para a sua formação básica, profissional,
científica, artística e sócio-política. O TCC poderá ser desenvolvido como uma
atividade integrada a um projeto de iniciação científica, de extensão ou de ensino
sob a orientação de um docente. As ações desenvolvidas no contexto da Prática
Educativa poderão ser norteadoras dos temas abordados e, neste caso, o trabalho
será a sistematização dos conhecimentos elaborados a partir dos estudos,
reflexões e práticas propiciadas pelas formações especifica e pedagógica.
Na estrutura curricular do Curso de Matemática, o TCC será desenvolvido
por meio de duas disciplinas fortemente articuladas e intituladas, Trabalho de
Conclusão de Curso 1 (TCC-1) e Trabalho de Conclusão de Curso 2 (TCC-2),
ambas com a mesma carga horária, desenvolvidas em semestres sucessivos e
estruturadas de forma que os discentes, em um primeiro momento, tenham
contato direto com os professores orientadores, conheçam algumas de suas
propostas de projetos a serem desenvolvidos no TCC, bem como suas áreas
especificas de interesse e atuação, optem por uma delas e estruturem, sob
orientação, um projeto de trabalho. Posteriormente, tenham tempo hábil para
realizar leituras e estudos não presenciais e possam efetivamente executar e
concluir o projeto originalmente estruturado no TCC-1 ao longo da disciplina
TCC-2. O aluno deverá fazer uma apresentação oral pública de seu trabalho
conclusivo à banca examinadora, que atribuirá uma nota final ao trabalho
apresentado.
As Atividades Acadêmicas Complementares, definidas na UFU como
atividades de enriquecimento curricular, são obrigatórias na estrutura curricular
do Curso de Matemática e referem-se àquelas de natureza acadêmica, culturais,
artísticas, científicas ou tecnológicas que possibilitam a complementação da
formação profissional do estudante, tanto no âmbito do conhecimento de
diferentes áreas do saber, como no âmbito de sua preparação ética, política e
humanística. Elas permitem que o aluno construa uma trajetória própria na sua
formação, de acordo com suas expectativas e interesses, e também de acordo com
as exigências da sociedade e do mercado de trabalho, mas não somente
subordinada a estes. Estas atividades acadêmicas complementares são pensadas
no sentido de imprimir dinamicidade e diversidade ao currículo do curso de
Matemática da UFU. Estas serão escolhidas e executadas pelo licenciando, de
forma a perfazer um total mínimo de 200 horas, correspondente a exigência
mínima legal para efeito da integralização curricular do Curso de Licenciatura em
Matemática. No Bacharelado a exigência mínima é de 120 horas. A escolha e
execução das atividades supracitadas serão balizadas por onze eixos orientadores
de ações, a saber:
A ) Participação em projetos e ou atividades especiais de ensino:
O futuro profissional da educação deve compreender de forma ampla e
consistente os processos educativos, considerando as características das
diferentes realidades e níveis de especialidades em que se processam. Deve
questionar, portanto a realidade formulando problemas e tratando de resolvê-los,
utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade, a intuição, a capacidade
de análise crítica, selecionando procedimentos e verificando sua adequação.
Dessa forma, é fortemente recomendada a participação dos alunos do Curso de
Matemática em projetos e ou atividades especiais de ensino. Neste contexto,
como exemplos de projetos e ou atividades desta natureza citamos: o PIBEG –
Programa Institucional de Bolsas para o Ensino de Graduação – UFU; as
atividades de Estágio não obrigatório e o PET.
B ) Participação em projetos e ou atividades de pesquisa:
O artigo 43 da LDB trata dos objetivos da educação superior, dentre estes
destaca-se “ incentivar o trabalho de pesquisa e investigação científica , visando
o desenvolvimento da ciência, da tecnologia e da criação e difusão da cultura ”.
Neste sentido, é salutar que o estudante do Curso de Matemática seja estimulado,
orientado e se dedique, desde o início de seu curso, para ter bom rendimento
acadêmico e com isto possa almejar a uma bolsa de iniciação científica. Vários
são os órgãos de fomento à pesquisa, tais como o CNPq (Conselho Nacional de
Desenvolvimento Científico e Tecnológico); a FAPEMIG (Fundação de Amparo
à Pesquisa do Estado de Minas Gerais) e o Instituto Milênio – AGIMB (Avanço
Global e Integrado da Matemática Brasileira), os quais tem concedido bolsas de
Iniciação Científica aos nossos alunos de graduação. Naturalmente, com a
crescente demanda de bolsas de iniciação científica, aliado à triste realidade de os
órgãos de fomento nem sempre atenderem essa demanda, recomenda-se que
aqueles projetos de iniciação científica não contemplados com bolsa e que
apresentem mérito científico, sejam desenvolvidos no âmbito do PROMAT –
Programa Institucional de Iniciação Científica, em conformidade com as
disponibilidades de professores orientadores na Faculdade de Matemática. A
participação em projetos e atividades de pesquisa durante a graduação desenvolve
no aluno atitudes investigativas e instigadoras, e insere-o, de modo crítico, ao
modus operandi do fazer-ciência.
C ) Participação em projetos e ou atividades de extensão:
Segundo a LDB, “as atividades de extensão, aberta à participação da
população, visa à difusão das conquistas e benefícios resultantes da criação
cultural e da pesquisa científica e tecnológica geradas na instituição”. Desta
forma, a execução das mesmas devem ser fortemente estimuladas. No âmbito da
FAMAT, citamos como exemplo de atividades desta natureza as Olimpíadas
Brasileiras de Matemática que envolve o treinamento de alunos do ensino básico.
Além disso, considerando que as “empresas juniores” constituem um excelente
laboratório para o graduando complementar sua formação profissional,
recomenda-se a participação dos graduandos na estruturação, gerenciamento e
execução de atividades de extensão vinculadas a tais empresas.
D ) Participação em eventos científico-culturais e artísticos;
Inúmeros e diversificados eventos científico-culturais e artísticos são
realizados por todo o Brasil ou no exterior. No sentido de ampliar a vivência
acadêmica e qualificação profissional, recomenda-se a participação de nossos
discentes em tais eventos. Citamos, como exemplo de eventos desta natureza
realizados na UFU ou próximo dela, os que seguem: Semana de Matemática,
promovida anualmente pela FAMAT; Semana Acadêmica da UFU; Simpósio
Internacional de Iniciação Científica da USP; Simpósios de Iniciação Científica.
E ) Participação em grupos de estudos temáticos sob orientação docente;
A formação de grupos de estudos temáticos sob orientação docente
favorece, dentre outras coisas, a interdisciplinaridade, a pesquisa de novas
metodologias de ensino e o desenvolvimento de pesquisa científica em ambiente
coletivo, contribuindo desta forma para o enfrentamento de problemas que
surgem no processo de ensino e aprendizagem.
F ) Visitas orientadas a centros educacionais / empresariais em área
específica;
Com o intuito de possibilitar ao aluno a vivência de novos ambientes de
ensino, a troca de experiências acadêmicas – cientificas - culturais e a ampliação
das suas possibilidades de articular parcerias científicas ou ainda planejar a
continuidade de seus estudos, é fundamental a participação do mesmo em visitas
orientadas a:
Centros de Educação Especial (como por exemplo, o ICBC – Instituto de
Cegos do Brasil Central / Uberaba, onde são desenvolvidas atividades de
orientação aos profissionais da educação básica no sentido de buscar soluções
para os problemas de aprendizagem que por ventura estejam ligados à baixa
visão);
Centros Acadêmicos e ou de Pesquisa ( sendo estes de excelência
reconhecida e de diversificadas áreas, onde o graduando tenha oportunidade de
vivenciar in loco as atividades desenvolvidas, as preocupações atuais dentro de
cada área, a utilização de ferramental matemático na resolução de problemas
práticos, as novas tendências e metodologias utilizadas e as dificuldades locais
enfrentadas pelos educadores / pesquisadores. Como exemplo podemos citar os
seguintes centros: IMPA–Instituto de Matemática Pura e Aplicada – Rio de
Janeiro, RJ; LNCC-Laboratório Nacional de Computação Científica – Petrópolis,
RJ; Instituto de Matemática e Estatística – UNICAMP- Campinas, SP; Unesp –
Rio Claro,SP: USP - São Carlos, SP; UnB – Universidade de Brasília- Brasília,
DF ou UFMG – Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, MG)
Empresas, sendo estas públicas ou privadas, que tenham atividades que
favoreceram uma visão interdisciplinar, associadas à utilização de ferramentas
matemáticas, sejam elas técnicas estatísticas no controle da qualidade, no
planejamento da produção e na tomada de decisões ou quaisquer outras técnicas
relacionadas a pesquisa operacional, modelagem, etc.
G ) Exercício de monitoria;
Partindo do pressuposto de que “muito se aprende ensinando”, a atividade
de monitoria, remunerada ou não, também é considerada como atividade
acadêmica complementar por excelência, e sempre deverá ser incentivada.
H ) Representação Estudantil.
A participação oficial do aluno em atividades do Diretório Acadêmico do
Curso de Matemática ou do Diretório Central dos Estudantes, como também na
representação discente no âmbito do Colegiado de Curso ou Conselho da
FAMAT contribui fortemente para a formação de sua mentalidade ética e
política, sendo assim deve ser reconhecida em nível curricular. Vale destacar
ainda que, ao mesmo tempo em que representa os alunos frente às Instituições de
Ensino Superior, colocando-os a par dos vários problemas enfrentados por estas e
das formas de enfrentamento dos mesmos, o aluno contribui para a construção de
uma gestão educacional inclusiva.
I ) Disciplinas Facultativas;
Poderão ser cursadas disciplinas em diversificados cursos da UFU, desde
que a matrícula nas mesmas seja autorizada pelo Colegiado do Curso de
Matemática e que estas estejam em conformidade com as normas acadêmicas da
UFU.
J ) Atividades Acadêmicas a Distância;
Visando democratizar e elevar o padrão de qualidade da educação
brasileira, o Ministério da Educação - MEC, através da Secretaria de Educação à
Distância - SEED, atualmente fomenta a incorporação de “tecnologias de
informação e comunicação” e de técnicas e ações relacionadas com a “educação a
distância”, aos cursos de formação de profissionais da educação. Dentre os vários
programas e projetos atuais que a SEED promove e que poderão se configurar
como atividade acadêmica complementar para os alunos do Curso de
Matemática, destacamos os seguintes: o PAPED; o WEB EDUC; o PRÓ-INFO;
o Salto Para o Futuro e o RIVED.
K ) Participação em concursos;
O governo federal ou sociedades relacionadas ao mesmo instituíram
vários concursos com o objetivo de estimular a pesquisa, revelar talentos e
investir em estudantes e profissionais que procurem novas alternativas para o
enfrentamento de problemas educacionais brasileiros. Dentre eles citamos as
Olimpíadas Universitárias de Matemática e o Prêmio Jovem Cientista. Assim,
toda e qualquer participação de nossos discentes em atividades desta natureza que
seja correlacionada com a área de matemática ou venha a utilizar-se de
ferramentas desta serão reconhecidas como atividades complementares.
Finalmente, para que o aluno do Curso de Matemática possa optar por um
conjunto de atividades complementares sem o perigo de uma “especialização
precoce”, serão impostas limitações, quanto à carga horária, em cada um dos
onze grupos de atividades acima descritos. Entendemos que esta postura garantirá
escolhas bem diversificadas dando ao aluno a oportunidade de vivenciar
múltiplas experiências acadêmicas e profissionais. A tabela abaixo expressa
detalhadamente as limitações supracitadas.
ATIVIDADE ACADÊMICA COMPLEMENTAR
LIMITAÇÃO
A. Participação em Projetos Especiais de Ensino
B. Participação em Projetos e ou Atividades de Pesquisa
C. Participação em Projetos de Extensão
D. Participação em Eventos Científico-Culturais e Artísticos
E. Participação em Grupos de Estudo Temáticos sob orientação
docente
F. Visitas Orientadas
G. Monitoria
H. Representação Estudantil
I. Disciplinas Facultativas
J. Atividades Acadêmicas à Distância
K. Participação em Concursos
Máximo: 60 horas
Máximo: 120 horas
Máximo: 60 horas.
Máximo: 100 horas
Máximo: 60 horas
Máximo: 20 horas
Máximo: 60 horas
Máximo: 20 horas
Máximo: 100 horas
Máximo: 60 horas
Máximo: 30 horas
Observação: O aluno da Licenciatura deverá desenvolver, no mínimo, uma carga horária total
para essa componente curricular de 200 horas. O bacharelando, no mínimo, 120 horas.
Finalmente, passemos ao Estágio Supervisionado. O Estágio
Supervisionado terá caráter curricular, constituindo um componente obrigatório
no Curso de Licenciatura em Matemática. Realizar-se-á em campos internos e ou
externos a UFU, que apresentem possibilidades de atuação articuladas ao eixo de
formação profissional do estudante, com atividades relacionadas à sua formação
acadêmica. Este componente curricular será desenvolvido via o Seminário de
Prática Educativa (SPE) e em 04 disciplinas denominadas Estágios
Supervisionados I, II, III e IV, cada qual com uma específica carga horária
destinada e discriminada em ação presencial de supervisão e atuação de
campo/estágio. A primeira novidade neste ponto é o aumento da carga horária do
Estágio Supervisionado, em atendimento à legislação específica dos cursos de
formação de professores. A carga horária total destas disciplinas quando
integradas à carga horária do Seminário de Prática Educativa irá perfazer um total
de 410 horas, conforme mostra a tabela abaixo.
ESTÁGIO SUPERVISIONADO
CH
SUPERVISÃO
CH
CAMPO
CH
TOTAL
Estágio Supervisionado 1
Estágio Supervisionado 2
Estágio Supervisionado 3
Estágio Supervisionado 4
Seminário de Prática
Educativa
TOTAIS
30
15
30
15
0
75
60
90
75
20
105
75
120
90
20
90
320
410
Outra novidade é a exigência do estabelecimento de convênios entre a UFU e as
unidades concedentes de estágio, sejam elas escolas públicas ou particulares. Foi
criado na UFU o Núcleo de Estágios, o qual se responsabilizará, dentre outras
coisas, com as questões dos convênios e o pagamento de seguro. Outra figura
nova dentro de cada curso é a do Coordenador de Estágios, que auxiliará o
coordenador de curso nas questões relacionadas com este componente curricular.
Em nosso curso a atual Coordenadora de Estágios é a Profª Maria Teresa
Meneses de Freitas, recém chegada de seu doutoramento na Faculdade de
Educação da Unicamp, e altamente qualificada para desenvolver um trabalho
sério nesta coordenação. No Projeto Pedagógico do Curso de Matemática estão
detalhadas as atribuições dos alunos com relação ao estágio supervisionado.
Neste sentido, é de extrema importância a leitura detalhada dessas atribuições
para que o aluno não fique prejudicado por não conhecê-las.
Tendo descrito sobre cada componente da nova estrutura curricular,
conclamo a todos, alunos e professores, ao trabalho árduo. Do contrário, tudo o
que foi idealizado no Projeto Pedagógico não passará de um conjunto de boas
intenções. Já disse em outra ocasião nesta revista que os bons frutos são
conseguidos com trabalho intenso. No andar da carruagem é provável que
descubramos problemas. Deveremos então refletir e debater sobre os mesmos,
propor soluções e, no momento oportuno de avaliação do Projeto Pedagógico,
colocá-las em prática.
Aos alunos eu recomendo fortemente que leiam o Projeto Pedagógico, na
íntegra. Importantes informações são fornecidas nas Regras de Transição, dando
respostas às seguintes questões: Quem terminará o Curso de Matemática na
estrutura antiga?; Quem migrará para a nova estrutura?; Quais são as
equivalências de disciplinas do currículo antigo e do novo?, dentre outras.
Algumas reuniões de apresentação do Projeto Pedagógico já foram
realizadas na FAMAT, e várias outras serão levadas a termo, tantas vezes
quantas forem necessárias, a fim de dirimir eventuais dúvidas dos alunos e até
mesmo de alguns colegas professores, quando for o caso.
A todos que contribuíram para a elaboração do Projeto Pedagógico, Prof.
Dr. Walter Dos Santos Motta Jr, Prof. Dr. Luis Antônio Benedetti, coordenadores
que me antecederam, aos demais docentes e também os dicentes, recebam meus
sinceros agradecimentos. Se às vezes as discussões foram acaloradas é porque os
envolvidos tinham noções distintas do que seria um projeto de qualidade. O
importante é que tudo convergiu para o bem, e prova disso é que, em todas as
instâncias, nosso Projeto não recebeu sequer um voto contrário. Foi aprovado por
unanimidade no Colegiado de Curso, foi aprovado por unanimidade no Conselho
da Faculdade, e por fim foi aprovado no Conselho de Graduação com 19 votos
favoráveis, 5 abstenções, e nenhum voto contrário. Ao Prof. Dr. Jocelino Sato
meu agradecimento é especial, pois foi o único que participou ininterruptamente
de todo o processo, inclusive intervindo nas reuniões do Congrad para defender
nossa proposta, juntamente com a Profª Dra Sezimária de Fátima Pereira
Saramago, Diretora da Faculdade de Matemática.
Para terminar deixo registrado a fala de dois alunos de uma universidade
paulista que também promoveu melhorias em seus cursos de graduação mediante
ações parecidas com as que vamos tomar a partir da execução do Projeto
Pedagógico. São frases ditas em contextos específicos, mas que valem a pena
serem reproduzidas, pois nos enchem de esperança:
“ Realmente, o futuro pertence àqueles que acreditam na beleza dos seus
sonhos. O sonho está se tornando realidade. Uma realidade nova para os
estudantes da ex matéria-problema Cálculo. Esta semente que em nós foi
plantada foi de muita importância”,
colhido do discente Ricardo Capitano.
De Sérgio Bernardo, aluno que ajudou numa das mostras de trabalhos
realizados na aludida universidade, colheu-se o seguinte depoimento:
“ Na terça-feira, durante todo o dia, eu vi um monte de sementes. Um
monte mesmo. Cada um deles (isto é, dos alunos que apresentaram trabalho) me
arrepiou ao final da apresentação quando diziam o que havia mudado em suas
vidas com o projeto, com a atenção dada a eles no primeiro ano da universidade
... Eles são sementes, as nossas sementes. Vamos torcer para que germinem”.
FAMAT em Revista
Revista Científica Eletrônica da
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
¸´
±
Em Sala de Aula
Número 06 - Maio de 2006
www.famat.ufu.br
Comitê Editorial da Seção
Em Sala de Aula
do Número 06 da FAMAT EM REVISTA:
Márcio José Horta Dantas (coordenador da seção)
Marcos Antônio da Câmara
Jogo no ensino de matemática: uma visão de futuros professores
Fabiana Fiorezi de Marco1
RESUMO
Neste artigo discutimos os resultados de uma pesquisa realizada com alunos do curso
de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal de Uberlândia em que interpretamos
as concepções dos alunos sobre a utilização de jogos no ensino de Matemática após algumas
discussões teóricas e práticas. Procurávamos compreender: Quais as idéias/concepções que
futuros professores de Matemática manifestam após vivenciar situações de intervenção na
utilização de jogos no processo de ensino e aprendizagem de Matemática? Nosso objetivo
consistiu em propiciar um novo olhar aos alunos de graduação para a utilização de jogos
matemáticos para o Ensino Fundamental e Médio e discutir possíveis intervenções
pedagógicas. Os dados foram coletados a partir dos portifólios2 da formação matemática,
elaborados no segundo semestre de 2005, na disciplina de Oficina de Prática Pedagógica II,
por doze alunos. Fizemos um estudo interpretativo de extratos dos portifólios concernentes às
reflexões sobre suas concepções segundo as categorias: a importância de vivenciar as etapas
do processo de intervenção pedagógica no trabalho com jogo; o papel do professor no
trabalho com jogo; novas percepções sobre o trabalho pedagógico com jogos. A análise dos
portifólios revela que as pré-concepções, dos futuros professores, sobre a utilização de jogos
no ensino de matemática é que estes podem ajudar o aluno a desenvolver o raciocínio lógico.
Os resultados chamam a atenção para a necessidade da existência de discussões teóricas e
práticas sobre o assunto nos cursos de Licenciatura para que futuros professores entendam que
não é o jogo que ensina Matemática, mas as intervenções pedagógicas intencionalmente
planejadas e mediadas pelo professor no momento de jogo que poderão contribuir para a
melhoria do processo de ensinar e aprender Matemática.
Palavras-chave: Jogo no ensino de matemática, intervenções pedagógicas.
1
Professora da Faculdade de Matemática/UFU, doutoranda do Programa de Pós-Graduação da Faculdade de
Educação da Unicamp, área: Educação Matemática.
2
Portifólio, segundo os portugueses, é uma pasta para guardar escritos, desenhos, fotos, músicas. No nosso caso,
os portifólios guardavam reflexões escritas produzidas pelos alunos durante o processo de formação pedagógica.
Introdução
... a melhor maneira de se ensinar Matemática é
mergulhar as crianças num ambiente onde o desafio
matemático esteja naturalmente presente.
Ubiratan D’Ambrósio
Uma boa forma de estudar a Matemática, por muitos considerada uma disciplina
sisuda e abstrata devido à maneira com que foi apresentada ao longo dos séculos, é por meio
da exploração de conceitos de maneira lúdica, de forma que o prazer, a criatividade e a
satisfação pessoal estejam presentes no processo de resolução de problemas.
Pode-se garantir esta satisfação mediante a utilização de jogos no ensino de
Matemática, não no sentido do prazer do novo, de consumir jogos, mas pelo prazer de ser
ativo, pensante, questionador e reflexivo no processo de aprender. Como Corbalán (1994)
citando Alsina, menciona:
Ensinar e aprender Matemática pode e deve ser uma experiência feliz. Curiosamente
quase nunca se cita a felicidade dentro dos objetivos educativos, mas é bastante
evidente que só poderemos falar de um trabalho docente bem feito quando todos
alcançarmos um grau de felicidade satisfatório (p.14)3
Frente a tal afirmação, acreditamos que o ensino de Matemática pode ser realizado
dentro de um ambiente divertido e sério, no qual a criação passa a ser um componente de
esforço e auto-desafio, possibilitando a construção e reelaboração do conhecimento.
O jogo no ensino de matemática
A palavra jogo, do latim joco, significa, etimologicamente, gracejo e zombaria, sendo
empregada no lugar de ludus, que representa brinquedo, jogo, divertimento e passatempo
(GRANDO, 1995).
Independentemente das várias concepções existentes, a palavra jogo, muitas vezes,
denota sentimento de alegria e prazer e trata-se de uma atividade que, possivelmente permite
uma ponte para algum conhecimento. É uma atividade autônoma característica da infância, na
medida em que expressa a maneira como a criança vê o mundo (meio físico e cultural) e
busca compreendê-lo.
3
Traduzido da língua espanhola pela autora.
No contexto de ensino e aprendizagem, o objetivo do professor no trabalho com jogos
atenta para valorizar seu papel pedagógico, ou seja, o desencadeamento de um trabalho de
exploração e/ou aplicação de conceitos matemáticos. Além disso, a elaboração de estratégias
de resolução de problemas pelos alunos, com a mediação do professor, merece ser
considerada. É necessário que o professor questione o aluno sobre suas jogadas e estratégias
para que o jogar se torne um ambiente de aprendizagem e (re)criação conceitual e não apenas
de reprodução mecânica do conceito, como ocorre na resolução de uma lista de exercícios
denominados problemas.
Uma vez que o professor planeja a exploração do jogo, este deixa de ser
desinteressado para o aluno, porque visa à elaboração de processos de análise de
possibilidades e tomada de decisão: habilidades necessárias para o trabalho com resolução de
problemas, tanto no âmbito escolar como no contexto social no qual estamos inseridos. Para
essa elaboração, o aluno é “forçado” a criar processos pessoais para que possa jogar e resolver
os problemas que inesperadamente irão surgir, elaborando assim novos pensamentos e
conhecimentos, deixando de seguir sempre a mesma “receita”.
Ao se propor a análise do jogo pelo aluno, este é levado a refletir sobre as estratégias
(intuitivas ou lógicas) que utilizou durante as jogadas e a avaliá-las, influenciando na
melhoria da habilidade de resolução de problemas. Tal reflexão ocorre sem que o aluno tenha
consciência, pois analisar os processos de pensamento seguidos é exigência do próprio jogo, o
que o leva a detectar as jogadas erradas realizadas, compreender as variáveis envolvidas na
ação e buscar alternativas para solucioná-las a tempo de ganhar a partida e produzir
conhecimento.
Nessa perspectiva, a análise do erro e do acerto pelo aluno se dá de maneira dinâmica
e efetiva, proporcionando a reflexão e a (re)criação de conceitos matemáticos que estão sendo
discutidos; o professor tem condições de analisar e compreender o desenvolvimento do
raciocínio do aluno e de dinamizar a relação ensino e aprendizagem, por meio de
questionamentos sobre as jogadas realizadas pelos jogadores.
Um outro aspecto que é próprio da natureza do jogo é o seu caráter social que
possibilita à criança expor suas idéias e analisar pontos de vista dos outros colegas, refletir
sobre as jogadas realizadas pelo grupo e as do adversário e tomar decisões sobre qual melhor
jogada deve realizar, podendo entender a opinião de um colega pode ser melhor que a própria
ou que juntos podem encontrar soluções mais interessantes. Esse fato contribui para que o
aluno compreenda que, em seu futuro profissional, a interação e troca de idéias serão
relevantes para poder bem desempenhar seu papel na sociedade.
Ressaltamos que o trabalho com jogos deve ser desencadeador, mediador, aplicadorfixador (MOURA, 1992) do trabalho de exploração de conceitos ou um revelador do
conhecimento matemático formal e do pensamento teórico que os alunos constroem ao longo
dos anos escolares. Essa consideração é feita uma vez que, no jogo em si, não está envolvida a
idéia de desenvolvimento conceitual. Isso ocorre porque, muitas vezes, o jogo não abrange a
construção do conceito em sua completude, uma vez que o desenvolvimento do conceito tem
a operacionalidade da linguagem que é própria da linguagem formal matemática. Essa é uma
linguagem especializada frente à linguagem natural do aluno de ensino fundamental ou
médio. Seguramente, ele auxilia sim na operacionalidade do conceito, servindo como auxiliar
didático para se chegar à formalização daquele.
No Brasil, os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (PCN´s, 1998), do
Ministério de Educação e Cultura (MEC), em relação à inserção de jogos no ensino de
Matemática, pontuam que estes
constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem que estes
sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na elaboração de
estratégias de resolução de problemas e busca de soluções. Propiciam a simulação
de situações-problema que exigem soluções vivas e imediatas, o que estimula o
planejamento das ações [...] (p. 46).
Apesar de os PCN´s orientarem para a utilização de jogos no ensino de Matemática,
não orientam em relação a como deve ser encaminhado o trabalho pedagógico após “o jogo
pelo jogo”. Fica a sensação de que o jogo por si mesmo estará trabalhando análises,
desencadeamentos ou formalizações de conceitos matemáticos.
Os jogos têm suas vantagens no ensino da Matemática desde que o professor tenha
objetivos claros do que pretende atingir com a atividade proposta. Não concordamos com o
fato de que o jogo, propiciando simulação de problemas, exija soluções imediatas, como
defendem os PCN´s. Entendemos que as situações vivenciadas durante a partida levam o
jogador a planejar as próximas jogadas para que tenha um melhor aproveitamento. No
entanto, esse fato só ocorrerá se houver intervenções pedagógicas por parte do professor.
Com estas considerações delineadas, acreditamos que, ao propor um jogo a seus
alunos, o professor deve estabelecer e deixar muito claro seus objetivos para o jogo escolhido,
bem como verificar a adequação da metodologia que deseja utilizar à faixa etária com que
trabalha, e que este jogo represente uma atividade desafiadora aos alunos para que o processo
de aprendizagem seja desencadeado. Em outras palavras, o professor deve tê-lo jogado
anteriormente para que conheça o jogo selecionado, o que permitirá realizar intervenções
pedagógicas adequadas no momento da aplicação em sala de aula.
Intervenções pedagógicas
As intervenções pedagógicas com jogos nas aulas de Matemática podem ser
realizadas, segundo Grando (2000) em sete momentos distintos: familiarização com o
material do jogo, reconhecimento das regras, jogar para garantir regras, intervenção
pedagógica verbal, registro do jogo, intervenção escrita e jogar com competência.
No momento de familiarização com o material do jogo, os alunos entram em contato
com o material, construindo-o ou experimentando-o mediante simulações de possíveis
jogadas. É comum o estabelecimento de analogias com os jogos já conhecidos por eles. O
reconhecimento das regras do jogo pelos alunos pode ocorrer mediante a explicação do
professor, a leitura pelos alunos ou pela identificação a partir de várias jogadas entre o
professor e um dos alunos, que aprendeu anteriormente o jogo. Os outros alunos tentam
perceber as regularidades nas jogadas e identificar as regras.
O jogar para garantir regras é o momento do “jogo pelo jogo”, momento do jogo
espontâneo e de exploração de noções matemáticas contidas no jogo. Concomitantemente a
este momento, o professor pode intervir verbalmente nas jogadas por meio de
questionamentos e observações, a fim de provocar os alunos para analisar suas jogadas. Tratase de atentar para os procedimentos de resolução de problema de jogo dos alunos,
relacionando-os à formalização matemática.
O registro do jogo pode acontecer dependendo de sua natureza e dos objetivos que se
têm com o registro. O registro dos pontos ou dos procedimentos realizados ou dos cálculos
utilizados pode ser considerado uma forma de sistematização e formalização por meio de uma
linguagem própria: a linguagem matemática. É importante que o professor crie intervenções
que gerem a necessidade do registro escrito do jogo, havendo um sentido para este registro e
não mera exigência.
No momento de intervenção escrita, o professor e/ou os alunos elaboram situaçõesproblema sobre o jogo para que os próprios alunos resolvam. A resolução dos problemas de
jogo propicia uma análise mais específica sobre o mesmo, na qual os problemas abordam
diferentes aspectos que podem não ter ocorrido durante as partidas. O registro do jogo
também se faz presente nesse momento.
Como último momento do trabalho pedagógico com jogos, o jogar com competência,
é o retorno à situação real de jogo. É importante que o aluno retorne à ação do jogo para que
execute estratégias definidas e analisadas durante a resolução dos problemas.
Nosso estudo...
Quais as idéias/concepções que futuros professores de Matemática manifestam em
após vivenciar situações de intervenção na utilização de jogos no processo de ensino e
aprendizagem de Matemática? Tendo esta pergunta como norteadora, no segundo semestre de
2005, ministramos a disciplina Oficina de Prática Pedagógica II para o Curso de Licenciatura
em Matemática da Universidade Federal de Uberlândia4 e fizemos um estudo interpretativo
dos portifólios de formação matemática elaborados por doze alunos do curso. A maioria deles
não havia tido experiência com a docência, a não ser por meio da participação nos estágios
realizados nas disciplinas Prática de Ensino de Matemática I e II. Procuramos, com este
trabalho, propiciar um novo olhar aos alunos de graduação para a utilização de jogos
matemáticos para o Ensino Fundamental e Médio e discutir possíveis intervenções
pedagógicas.
Entre os jogos por nós utilizados estão Torre de Hanói e Contig 60®5. O primeiro jogo
tem como objetivo educacional levar o aluno a observar regularidades e a elaborar a estratégia
que envolve a construção de fórmulas algébricas. O segundo, escolhido para nossa análise,
tem como objetivo educacional, a utilização do cálculo mental com as 4 operações, criação de
estratégias de análise de possibilidades e de antecipação de jogadas e a análise combinatória.
O jogo Contig 60® é composto por um tabuleiro (figura 1), 25 fichas de uma cor e 25
de cor diferente, 3 dados.
0
27
26
25
24
23
22
21
1
28
54
50
48
45
44
20
2
29
55
120
108
100
42
19
3
30
60
125
180
96
41
18
4
31
64
144
150
90
40
17
5
32
66
72
75
80
39
16
6
33
34
35
36
37
38
15
7
8
9
10
11
12
13
14
Fig. 1 - Tabuleiro do CONTIG 60®
Para ganhar o jogo o jogador deve ter o número de pontos necessários, definidos
inicialmente (30 ou 40 pontos). Uma outra forma de vencer é ser o primeiro a identificar
4
Na instituição também é oferecido o curso Bacharel em Matemática.
Jogo criado por Dr. John C. Del Regato – Copyright 1980, 1986; by Pentathlon Institute, Inc. GRANDO, R. C.
O jogo e a matemática no contexto da sala de aula. São Paulo: Papirus, 2004.
5
cinco fichas de mesma cor em linha reta (diagonal, vertical ou horizontal). Para tanto, o
jogador deve seguir as seguintes regras:
1. Adversários jogam alternadamente. Cada jogador joga os três dados. Constrói uma sentença
numérica usando os números indicados pelos dados e uma ou duas operações diferentes. Por
exemplo, com os números 2, 3 e 4 o jogador poderá construir (2 + 3) x 4 = 20. O jogador,
neste caso, cobriria o espaço marcado 20 com uma ficha de sua cor. Só é permitido utilizar as
quatro operações básicas.
2. Contagem de pontos: Um ponto é ganho por colocar uma ficha num espaço desocupado
que seja adjacente a um espaço com uma ficha (horizontalmente, verticalmente ou
diagonalmente). O jogador marca um ponto. Colocando-se um marcador num espaço
adjacente a mais de um espaço ocupado mais pontos poderão ser obtidos. A cor das fichas nos
espaços ocupados não faz diferença. Os pontos obtidos numa jogada são somados para o
jogador.
3. Se um jogador passar sua jogada, por acreditar que não é possível fazer uma sentença
numérica com aqueles valores dos dados, o adversário terá uma opção a tomar. Se o
adversário achar que seria possível fazer uma sentença com os dados jogados pelo colega, ele
pode fazer antes de fazer sua própria jogada. Ele ganhará, neste caso, O DOBRO DO
NÚMERO DE PONTOS, e em seguida poderá fazer sua própria jogada.
4. O jogo termina quando o jogador conseguir atingir o número de pontos definidos no início
do jogo ou colocar 5 fichas de mesma cor em linha reta sem nenhuma ficha do adversário
intervindo. Essa linha poderá ser horizontal, vertical ou diagonal.
Nos momentos de exploração e vivência do jogo íamos lançando questões como “Qual
seria o melhor cálculo para você conseguir muitos pontos neste momento?”, “Será que agora a
melhor opção é fazer maior número de pontos ou bloquear futura jogada de seu adversário?”.
Estas e outras questões levavam os alunos a pensar melhor sobre as jogadas que pretendiam
realizar. A intervenção verbal faz com que antecipações/previsões de jogadas sejam criadas
pelos alunos e, às vezes, estes conseguem perceber jogadas ótimas que não haviam previsto.
Nos portifólios, pedimos que escrevessem sobre o que haviam refletido sobre as
discussões teóricas realizadas em sala sobre a utilização de jogos no ensino de Matemática e
suas “novas” concepções sobre o tema. O portifólio foi sugerido com o objetivo de
proporcionar ao aluno, futuro professor de matemática, relembrar suas vivências matemáticas
escolares com a utilização de jogos para, a partir delas, construir perspectivas para uma futura
prática pedagógica.
As concepções registradas foram classificadas em três categorias: a importância de
vivenciar as etapas do processo de intervenção pedagógica do trabalho com jogo; o papel do
professor no trabalho com jogo; novas percepções sobre o trabalho pedagógico com jogos.
Indicamos a autoria das falas com letras maiúsculas do alfabeto e cada letra
corresponde a um aluno diferente, pois retiramos de cada portifólio somente o trecho que faz
referência a uma das categorias analisadas.
A importância de vivenciar as etapas do processo de intervenção pedagógica do trabalho
com jogo.
Nos portifólios aqui analisados, os alunos fazem referência à importância de o
professor vivenciar o jogo que poderá levar para a sala de aula.
Considero que esta experiência de trabalhar com o jogo Contig 60®, em sala de aula,
foi muito rica. Primeiramente pela oportunidade de manipular o material e vivenciar na
prática todas as etapas do processo, isso nos faz compreender melhor o aluno nessa situação.
(A)
Trabalhando com o jogo Contig 60® percebi que mesmo num ambiente lúdico é
possível aprender. Compreendi também que há momentos certos de fazer intervenções. (U)
Vi a diferença de uma aula com e sem intervenção do professor, o que foi possível
tendo experienciado uma partida realizada de qualquer jeito, esquecendo das regras do jogo.
Com a intervenção da professora, a segunda rodada foi muito diferente, pois abordamos
todas as regras, armamos estratégias; sem dúvidas pensamos muito mais e o jogo ficou mais
desafiante. (F)
Os extratos de portifólios acima nos levam a perceber que os futuros professores
compreenderam que não basta conhecer o material do qual o jogo é composto e suas regras.
Faz-se necessário que o professor ou o futuro professor vivencie as etapas do processo de
intervenção pedagógica para que melhor compreenda cada um dos sete momentos, podendo
rever suas estratégias de jogo e sua concepção sobre o trabalho com jogos no ensino de
Matemática.
Desse modo, o jogo, na Educação Matemática, “passa a ter o caráter de material de
ensino quando considerado promotor de aprendizagem. A criança, colocada diante de
situações lúdicas, apreende a estrutura lógica da brincadeira e, deste modo, apreende também
a estrutura matemática presente” (MOURA, 1996, p.80).
Sobre o papel do professor no trabalho com jogo
Nos extratos seguintes, podemos perceber que os futuros professores passaram a ter
uma preocupação em relação ao trabalho com jogos no ensino de Matemática em sua futura
prática pedagógica.
Pude notar que uma aula com jogos, além de ser bastante atrativa para os alunos,
ajuda no processo de ensino e aprendizagem. E ainda auxilia na resolução de problemas,
mas percebi que não adianta levarmos um jogo para sala de aula se não soubermos quais os
conteúdos que iremos trabalhar e se não tivermos um objetivo a atingir. (M.L.)
Durante o curso de licenciatura em matemática já havia estudado o jogo como uma
ferramenta no ensino de matemática, sabendo assim da sua importância. O que mudou com a
aula de jogos em Oficina 2, foi que aprendi que não basta levar o jogo à sala. É necessário
que o professor tenha um principal objetivo em cima do mesmo, e a partir desse fazer
intervenções com os alunos fazendo ligações com o conteúdo matemático. (F)
Pude refletir sobre o papel do professor, que ao dar um jogo, deverá dominá-lo bem
para tirar qualquer dúvida que os alunos venham a ter. (L)
A partir da vivência do trabalho com jogos, os futuros professores puderam perceber
que o papel do professor neste contexto é muito importante, pois não basta oferecer o “jogo
pelo jogo” aos alunos, é preciso que o professor tenha objetivos claros do que pretende atingir
com a atividade proposta para que o jogo matemático assuma a característica de jogo
pedagógico (MOURA, 1992). O jogo em si não oferece todo o rigor e formalização da
linguagem matemática; o trabalho de formalização de conceitos matemáticos deve ser
orientado pelo próprio professor.
Ao professor cabe questionar o aluno sobre suas jogadas e estratégias para que o jogar
se torne um ambiente de aprendizagem e (re)criação conceitual e não apenas de reprodução
mecânica do conceito.
Novas percepções sobre o trabalho pedagógico com jogos
Aprendi que não será com o uso somente de jogos que eu como professora estarei
resolvendo todos os problemas da minha turma. São vários fatores que dificultam a
aprendizagem do aluno, por isso o jogo pode auxiliar essa aprendizagem sem, no entanto,
fazer milagres. (J)
Com a leitura do texto e a discussão em sala de aula pude ver que quando vamos
trabalhar com jogos temos que conhecer bem o jogo que estamos propondo e é preciso saber
relacioná-lo com o conteúdo que se pretende trabalhar, pois caso contrário sua utilização se
torna apenas uma diversão. (G)
É importante a percepção da aluna J ao mencionar que não será o jogo o grande
solucionador dos problemas de uma turma. O jogo pode auxiliar no processo de aprendizagem
se o professor realizar intervenções pedagógicas intencionalmente planejadas e mediá-las no
momento de jogo, mas não sanará os diversos problemas que serão encontrados.
Como dito anteriormente, o trabalho com jogos deve ser desencadeador, mediador ou
aplicador-fixador (MOURA, 1992) do trabalho de desenvolvimento de conceitos, podendo
levar o aluno a pensar sobre os conteúdos ou conceitos matemáticos. O jogo pode ainda
auxiliar no processo de formalização do conceito.
À guisa de conclusões...
Com o trabalho realizado na disciplina de Oficina de Prática Pedagógica 2, pudemos
perceber que os futuros professores, em seus portifólios, mencionaram um novo olhar sobre a
questão de jogos no ensino de Matemática. Dentre esses destacamos a importância de terem
vivenciado as etapas de intervenção pedagógica que levou os alunos a entenderem a essência
de cada momento de intervenção e sua contribuição para a construção de conceitos
matemáticos mediados pelo professor.
Os futuros professores perceberam também que o jogo pode estimular a concentração,
possibilitando o desenvolvimento de habilidades pessoais como exploração, investigação de
um contexto, análise, comparação, interpretação, previsão, síntese e tomada de decisão elementos essenciais para o ‘resolvedor’ de problemas.
Finalizamos com o entendimento da necessidade da existência de discussões teóricas e
práticas sobre o assunto nos cursos de Licenciatura para que futuros professores entendam que
não é o jogo que ensina Matemática, mas que estes, quando intencionalmente definidos,
podem promover um contexto estimulador e desafiante para o movimento de formação do
pensamento do ser humano, de sua capacidade de cooperação e um auxiliar didático na
construção de conceitos matemáticos. Entendemos que o jogo é um facilitador da
aprendizagem, pois mobiliza a dimensão lúdica para a resolução de problema,
disponibilizando o aluno a aprender, mesmo que a formalização do conceito seja a posteriori
ao jogo.
Referências Bibliográficas
CORBALÁN, F. Juegos matemáticos para secundaria y bachillerato. Madrid: Sintesis,
1994.
GRANDO, R. C. O jogo e a matemática no contexto da sala de aula. São Paulo: Papirus,
2004.
______________. O jogo e suas possibilidades metodológicas no processo ensinoaprendizagem da matemática. Dissertação de Mestrado. Campinas, SP, Faculdade de
Educação, UNICAMP, 1995.
MARCO, F. F. Estudo dos processos de resolução de problema mediante a construção de
jogos computacionais de matemática no ensino fundamental. Dissertação de Mestrado.
Campinas, SP. Faculdade de Educação, UNICAMP, 2004.
MEC - Ministério da Educação - Secretaria de Educação Fundamental - PCN’s: Parâmetros
Curriculares Nacionais. Brasília: MEC/SEF, 1998.
MOURA, M. O. A construção do signo numérico em situação de ensino. Tese de
Doutorado. São Paulo, SP, Faculdade de Educação, USP, 1992.
FAMAT em Revista
Revista Científica Eletrônica da
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
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Iniciação Científica
em Números
Número 06 - Maio de 2006
www.famat.ufu.br
Comitê Editorial da Seção
Iniciação Científica em Números
do Número 06 da FAMAT EM REVISTA:
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira (coordenador da seção)
Márcio José Horta Dantas
Título: O problema da trissecção do ângulo e algumas soluções na Grécia antiga
Orientador: Dulce Mary de Almeida
Bolsista(s): Flávia Cristina Martins Queiroz e Mariana Fernandes dos Santos Villela
Período de realização: março de 2005 a fevereiro de 2006.
Bolsa: SESu/MEC
Título: Interdisciplinaridade e Interação Construtiva: uma experiência à luz das
novas diretrizes curriculares
Orientador: Dulce Mary de Almeida
Bolsista(s): Thiago Rodrigues da Silva
Período de realização: junho de 2005 a maio de 2006.
Bolsa: UFU
Título: Estudo de Alguns Algoritmos Evolutivos
Orientador: Sezimária Saramago
Bolsista(s): Jair Rocha do Prado
Período de realização: fevereiro de 2004 a fevereiro de 2006.
Bolsa: PIBIC- CNPq
Título: Corpos de Funções Algébricas.
Orientador: Cícero Fernandes de Carvalho.
Bolsista(s): Flaviano Bahia Paulinelli Vieira.
Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007.
Bolsa: SESu/MEC
Título: Estudo e algumas aplicações do Cálculo Avançado
Orientador: Lúcia Resende Pereira Bonfim
Bolsista(s): Alessandra Ribeiro da Silva.
Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007.
Bolsa: SESu/MEC
Título: Tópicos de Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies
Orientador: Edson Agustini
Bolsista(s): Laís Bássame Rodrigues
Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007.
Bolsa: SESu/MEC
Título: Tópicos de Geometrias Não – Euclidianas
Orientador: Edson Agustini.
Bolsista(s): Patrícia Borges dos Santos e Flávia Cristina Martins Queiroz
Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007.
Bolsa: SESu/MEC
Título: Frações Contínuas e Aplicações.
Orientador: Luiz Alberto Duran Salomão
Bolsista(s): Leandro Cruvinel Lemes
Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007.
Bolsa: SESu/MEC
Título: A Álgebra Comutativa da Geometria Algébrica
Orientador: Cícero Fernandes de Carvalho
Bolsista(s): Ernani Magno de Freitas Junior
Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007.
Bolsa: SESu/MEC
Título: Introdução à Álgebra Comutativa e Computacional
Orientador: Cícero Fernandes Carvalho
Bolsistas: Stela Zumerle Soares e Karla Barbosa de Freitas
Período de realização: agosto de 2005 a agosto de 2006.
Bolsa: SESu/MEC
Título: Frações contínuas: primeiros passos
Orientador: Luiz Alberto Duran Salomão
Bolsista(s): Mariana Fernandes dos Santos Villela
Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007.
Bolsa: SESu/MEC
Título: Simulação Numérica De Problemas De Transferência De Calor E De
Mecânica Dos Fluidos Unidimensionais Transientes
Orientador: Aristeu da Silveira Neto
Bolsista(s):Maksuel Andrade Costa
Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007.
Bolsa: SESu/MEC
Título: Informação e Codificação
Orientador: Ercílio Carvalho da Silva
Bolsista(s): Weyder Orlando Brandão Junior
Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007.
Bolsa: SESu/MEC
Título: Um estudo de funções
Orientador: Antônio Carlos Nogueira
Bolsista(s): Matheus Bartolo Guerrero
Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007.
Bolsa: SESu/MEC
Título: Divisão Áurea
Orientador: Marcos Antônio da Câmara
Bolsista(s): Giselle Moraes Resende Pereira
Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007.
Título: Introdução à Teoria da Informação e Codificação
Orientador: Edson Agustini
Bolsista(s): Franciella Marques da Costa
Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007.
Bolsa: FAPEMIG
Título: Introdução a Álgebra Comutativa computacional
Orientador: Cícero Fernandes de Carvalho
Bolsista(s): Warlisson Inácio de Miranda
Período de realização: agosto de 2006 a agosto de 2007.
Órgão Responsável: Promat
Título: A Álgebra Comutativa da Geometria Algébrica
Orientador: Cícero Fernandes de Carvalho
Bolsista(s): Diogo Antônio Carvalho
Período de realização: agosto de 2006 a agosto de 2007.
Órgão Responsável: Promat
Título: Avaliação do desempenho dos alunos do curso de Engenharia Elétrica da
UFU
Orientador: Rogério de Melo Costa Pinto
Bolsista(s): Gustavo Silva Salge
Período de realização: novembro de 2006 a novembro de 2007.
Órgão Responsável: Promat
Título: Superfícies com curvatura Gaussiana Constante
Orientador: Jocelino Sato
Bolsista(s): Bruno Nunes de Souza
Período de realização: abril de 2005 a abril de 2006.
Órgão Responsável: Promat
Título: Superfícies regradas
Orientador: Jocelino Sato
Bolsista(s): Cláudia Helena Vieira Freitas
Período de realização: abril de 2005 a abril de 2006.
Órgão Responsável: Promat
Título: Velhas e novas ações em Geometria Analítica: diminuindo a reprovaçãoevasão e pensando o futuro
Orientador: Valdair Bonfim
Bolsista(s): Danilo Adrian Marques
Período de realização: junho de 2005 a maio de 2006.
Órgão Responsável: PIBEG – UFU
Título: Aspectos extra-curriculares de Matemática Elementar I e iniciação ao
software CABRI-GEOMÉTRÈ
Orientador: Dulce Mary de Almeida
Bolsista(s): Thiago Rodrigues da Silva
Período de realização: junho de 2005 a maio de 2006.
Órgão Responsável: PIBEG – UFU
Título: Tópicos de Matemática do Ensino Médio
Orientador: Antônio Carlos Nogueira
Bolsista(s): Juliana Maria de Oliveira
Período de realização: junho de 2005 a maio de 2006.
Órgão Responsável: PIBEG – UFU
Título: O papel da Matemática na Ciência
Orientador: Luiz Alberto Duran Salomão
Bolsista(s): Mariana Ramos Reis
Período de realização: junho de 2005 a maio de 2006.
Órgão Responsável: PIBEG - UFU
FAMAT em Revista
Revista Científica Eletrônica da
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
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Ë
E o Meu Futuro Profissional?
Número 06 - Maio de 2006
www.famat.ufu.br
Comitê Editorial da Seção
E o Meu Futuro Profissional?
do Número 06 da FAMAT EM REVISTA:
Marcio José Horta Dantas (coordenador da seção)
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira
Maria Luiza Vitorino Gonçalves
Entrevista com Germano Abud
1) Qual sua formação acadêmica?
Bacharelado em Matemática – UFU (2002)
Mestrado em Matemática – Unicamp (2004)
2) Quando você acabou a graduação, você teve alguma dúvida sobre a escolha do
mestrado? (se gostaria mesmo fazer mestrado, ou pensava em trabalhar logo, se
teve dúvida em onde fazer o mestrado)
Não, desde o meu ingresso no PET, no 2° período da graduação, eu já tinha o mestrado
como objetivo.
A principio minha escolha foi o ICMC/USP – São Carlos, mas o acaso acabou me
levando a Unicamp.
3) Como foi o processo de seleção para ser professor da UFU? Você achou difícil?
Qual a dificuldades para futuras ingressantes?
O processo de seleção foi bem tranqüilo. A relação candidato/vaga foi alta, mas poucos
tinham mestrado em matemática. Para futuros ingressantes acho que a maior
dificuldade é a concorrência.
4) Quais as dificuldades como professor universitário?
No meu caso a maior dificuldade é com relação ao tempo. O salário de professor
substituto é muito baixo, o que nos obriga a procurar um segundo emprego na rede
privada. Assim, não sobra tempo para outras atividades (pesquisa, estudos, etc.).
5) O que você pensa sobre o futuro profissional de professores universitários?
Gosto muito da carreira acadêmica. Acho uma carreira promissora, lucrativa e
agradável. É uma pena que não tem o seu merecido respeito e valor.
6) Daqui a 10 anos, você acha que ingressar em uma universidade pública como
professor de matemática será muito difícil, ou sempre haverá muitas vagas para
novos professores. E se for uma universidade particular? Como se preparar para
isso?
A rede pública está em constante crescimento. Este ano houve um grande salto em
relação ao número de vagas, com a criação de novas instituições federais e a
federalização de outras já existentes.
Acredito que esta é uma tendência que vai permanecer por muito tempo visto que o
mercado de trabalho está cada vez mais exigente.
Quem pretende seguir a carreira acadêmica deve ter como principal objetivo a pósgraduação.
Até mesmo as universidades particulares já exigem, no mínimo, o título de mestre para
seus professores.
7) Se fosse para começar, de novo, você se prepararia para ser um professor
universitário, ou professor de ensino médio/fundamental? Porque?
Professor universitário, certamente. É o que gosto de fazer. Não só pelas disciplinas,
mas pelo contato com pesquisadores, possibilidade de crescimento, e o meio acadêmico
em geral.
8) Quais as dificuldades para futuros ingressantes do mestrado e doutorado?
Você teve alguma?
O curso de matemática da UFU oferece uma excelente base para todos que desejam
ingressar na pós-graduação. A maior dificuldade é a concorrência, que tem aumentado
muito. Por isso, você precisa começar a se preparar o quanto antes, participando de
eventos científicos, atividades de extensão e cursos de verão.
Comecei a direcionar minha formação para o mestrado já no quarto período de
graduação, por isso não tive dificuldades para ingressar na Unicamp (também fui aceito
no ICMC-USP)
9) O que você pode contar sobre sua experiência na pós-graduação?
Foi muito boa. Tive professores excelentes e um ótimo orientador. A escolha do
orientador é um passo fundamental na pós-graduação. Infelizmente não consegui seguir
adiante com o doutorado, pois já não tinha o mesmo entusiasmo, após dois e meio longe
da família e uma crescente vontade de lecionar.
10) Atualmente você está fazendo pesquisa em alguma área? Qual?
Como já disse, sou professor na UFU e na Uniube. Minha carga horária semanal é
muito alta. Não sobra tempo para a pesquisa. Minha área de interesse é a de Sistemas
Dinâmicos. Pretendo fazer concurso para professor efetivo o mais breve possível, para
retornar as atividades de pesquisa.
11) Quais as vantagens de se fazer pesquisa? Isto pode gerar lucros?
Acho que a pesquisa pode gerar lucros dependendo da área de atuação. De qualquer
forma é uma atividade que me dá muito prazer. É claro que acaba trazendo algum
adicional salarial, mas nada muito significativo.
Espaço livre para falar o que quiser.
Deixo aqui algumas palavras de incentivo a todos alunos do curso de matemática da UFU:
x
Pense seriamente sobre a possibilidade de fazer o mestrado
x
Comece a se preparar desde já, informe-se sobre as formas de ingresso, cursos de
verão, eventos científicos, etc.
x
Não faça filhos na graduação!!
Quem desejar entrar em contato comigo, pode escrever. A minha página é
www.famat.ufu.br/prof/germano
FAMAT em Revista
Revista Científica Eletrônica da
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
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Ñ
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Merece Registro
Número 06 - Maio de 2006
www.famat.ufu.br
Comitê Editorial da Seção
Merece Registro
do Número 06 da FAMAT EM REVISTA:
Marcos Antônio da Câmara (coordenador da seção)
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira
Merece Registro
A) REFORMA CURRICULAR
Atendendo às Diretrizes Curriculares Nacionais, o Curso de Matemática da
Universidade Federal de Uberlândia passou por uma reforma curricular.
São muitas as novidades, como por exemplo o aumento da carga horária dos
Estágios Supervisionados, a obrigatoriedade de uma carga horária mínima para as
Atividades Acadêmicas Complementares, as Práticas Educativas e o Trabalho de
Conclusão de Curso. Já aconteceram algumas reuniões de apresentação do Projeto
Pedagógico, com esclarecimento das dúvidas mais comuns dos alunos, tais como: Como
será a fase de transição? Quem migra para o novo currículo? Como se dará a
equivalência entre disciplinas do currículo antigo e do currículo novo? Como funcionará
o Projeto Integrado de Prática Educativa?, dentre outras. Novas reuniões serão
agendadas durante o primeiro semestre letivo de 2006 com o objetivo de esclarecer
ainda mais os alunos, bem como orientá-los nas questões referentes à matrícula em
disciplinas, e a construção de percursos acadêmicos. Em breve nosso Projeto
Pedagógico estará na página da Famat. Por enquanto, sugiro aos alunos a leitura da
seção Reflexões Sobre o Curso de Matemática para entender algumas dificuldades que
estamos enfrentando na aprovação do Projeto no Conselho de Graduação.
B) MESTRADO EM MATEMÁTICA NA UFU
Nos dias 03 e 04 de abril de 2006 a FAMAT recebeu a visita dos professores
Márcio Soares da Universidade Federal de Minas Gerais (Belo Horizonte-MG) e
Abramo Hefez da Universidade Federal Fluminense (Niterói-RJ) que são representantes
do Comitê de Matemática e Estatística da CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de
Pessoal de Nível Superior) - órgão federal que regulamenta todas as pós-graduações
stritu-sensu no país.
O objetivo da visita foi, dentre outras coisas, a análise de nossas instalações e a
sugestão de algumas alterações no projeto de implantação do Mestrado em Matemática
na FAMAT. Os referidos professores mostraram-se favoráveis à implantação do
mestrado e fizeram um relatório que foi encaminhado ao Comitê Técnico-Científico da
CAPES que deliberará sobre a aprovação ou não do nosso mestrado. Resta-nos torcer
pela sua aprovação...
C) VAGAS DOCENTES
Na última distribuição de vagas docentes para a UFU, a Faculdade de
Matemática recebeu 3 vagas. Por decisão do CONFAMAT, será realizado um concurso
na área de Matemática (duas vagas) e outro na área de Estatística (uma vaga).
D) NOVOS PROFESSORES
No ano passado foi realizado concurso para 3 docentes da carreira, sendo
admitidos:
Prof. Edmílson Rodrigues Pinto (Estatística)
Profa. Fabiana Fiorezi de Marco Matos (Educação Matemática)
Profa. Célia Aparecida Zorzo Barcelos (Matemática Aplicada)
Neste ano foram contratatos dois novos professores substitutos:
Prof. Solidônio Rodrigues de Carvalho
Profa. Fabiana Bissochi
E) FACULDADE DE CIÊNCIAS INTEGRADAS DO PONTAL – ITUITABA
Foram aprovadas 7 vagas para atender as disciplinas de Matemática e
Estatística desta nova Faculdade. Os concursos serão realizados até o mês de junho,
sendo assim distribuídos:
Matemática: 5 vagas
Estatística: 1 vaga
Educação Matemática: 1 vaga
F) V SEMANA DA MATEMÁTICA
Foi realizada nos dias 25 a 28 de outubro de 2005, na Faculdade de Matemática,
a V Semana da Matemática.
A Semana da Matemática FAMAT – UFU representa um instrumento de
divulgação científica e propicia um intercâmbio entre os discentes da região e docentes
de várias Instituições de Ensino Superior no país. Desenvolvida junto a Faculdade de
Matemática - UFU, ela caracteriza-se como uma reunião regional de caráter específico
que visa difundir a Matemática como ciência, promovendo uma reflexão acerca de
atividades de ensino, pesquisa e enriquecimento curricular realizadas no âmbito da
Universidade Federal de Uberlândia.
Este evento vem sendo realizado anualmente e, por vezes, em parceria com
sociedades científicas ou centros de estudos, tais como: SBM, SBMAC, etc.
O público alvo consiste de discentes de graduação em matemática e áreas afins,
bem como docentes do ensino fundamental, médio e superior. As atividades
desenvolvidas na Semana concentram-se na apresentação de palestras, mini-cursos
técnicos, seções de apresentação de trabalhos de iniciação científica, relatos de
experiências e oficinas.
A Comissão organizadora da V Semana da Matemática foi composta pelos
seguintes membros:
Prof. Edson Agustini (UFU): Coordenador da V Semana da Matemática.
Prof. Valdair Bonfim (UFU): Coordenador do Curso de Licenciatura e Bacharelado em
Matemática.
Prof. César Guilherme de Almeida (UFU): Tutor do Programa de Educação Tutorial PET - da FAMAT.
Profa. Rosana Sueli da Motta Jafelice (UFU): Membro da comissão.
Profa. Dulce Mary de Almeida (UFU): Membro da comissão.
Prof. Rogério de Melo Costa Pinto (UFU): Membro da comissão.
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira: Representante do Grupo PET-Matemática.
Maísa Gonçalves: Representante do Diretório Acadêmico - Matemática.
A Famat em Revista parabeniza toda a comissão organizadora do evento, bem
como aos alunos do DAMAT e do PET que colaboraram de forma decisiva para o bom
êxito desta atividade.
G) NOSSOS ALUNOS EM PROGRAMA DE MESTRADO
Ingressou no programa de mestrado em matemática pura do IMPA neste
semestre o aluno Jairo Menezes e Souza.
H) DEFESAS DE MONOGRAFIAS PET-MATEMÁTICA
Foram realizadas as seguintes defesas de monografia por alunos do PetMatemática:
Data
14.12.2005
27.03.2006
Aluno(a)
Título
Banca
Cícero Fernandes de
Carvalho (Orientador)
Ercílio Carvalho da
Silva
Marcos Antônio da
Câmara
Jairo Menezes e
Souza
Introdução à Geometria
Algébrica
Carolina
Fernandes
Molina Sanches
Modelagem Matemática
no Crescimento de
Espécies
Aquáticas
Rosana Sueli da Motta
Jafelice
(Orientadora)
César Guilherme de
Almeida
Sezimária de Fátima
Pereira Saramago
I) DEFESA DE TESE
Merece destaque a defesa de tese de doutoramento, A escrita no processo de
formação contínua do professor de matemática, da Professora Maria Teresa Menezes
Freitas, em fevereiro, na Faculdade de Educação da UNICAMP. Parabéns a mais uma
doutora da FAMAT.
J) ORIENTAÇÕES
Destacamos a seguir as orientações de nossos docentes no segundo semestre de
2005.
Docente
Orientador
Orientando
Antônio Carlos
Nogueira
Juliana Maria de
Oliveira
Órgão de
Fomento
PIBEG - UFU,
No. E05/020-1
Curso /
Tipo de
Programa Orientação
Matemática
Ensino
Graduação
Arlindo José de
Souza Júnior
Edinei Leandro dos
Reis
PIBEG - UFU,
No. E05/016-1
Matemática
Ensino
Graduação
Arlindo José de
Souza Júnior
Deive Barbosa
Alves
PACTo-CNPq
(Port. R978
UFU)
Matemática
Iniciação
Científica
Arlindo José de
Souza Júnior
Ronicley Eduardo
Corrêa Araújo
(1021433-5)
PACTo-CNPq
(Port. R978
UFU)
Matemática
Iniciação
Científica
Arlindo José de
Souza Júnior
Fernando da Costa
Barbosa
CNPq-UFU,
Iniciação
Matemática
Edital 014/2004
Científica
Arlindo José de
Souza Júnior
Vanessa de Paula
Cintra
CNPq-UFU,
Iniciação
Matemática
Edital 014/2004
Científica
Arlindo José de
Souza Júnior
Arlindo José de
Souza Júnior
Maria Fátima
Cursino Borges
Sandra Gonçalves
Vilas Boas
Márcia Aparecida
Mendes (50415236)
Adriana Rodrigues
(5041502-3)
Arlindo José de
Souza Júnior
Arlindo José de
Souza Júnior
Célia Aparecida
Zorzo Barcelos
Célia Aparecida
Zorzo Barcelos
Célia Aparecida
Zorzo Barcelos
Célia Aparecida
Zorzo Barcelos
Cristiane de Fátima
dos Santos
-----------
--Ivan Oliveira Lopes
Alexandre Fieno da
Silva
---
--Márcio R.Ferreira
Pós-Grad.
Educação.
Pós-Grad.
Educação.
Pós-Grad.
Educação.
Pós-Grad.
Educação.
Pós-Grad.
Computação
.
Pós-Grad.
Computação
.
Pós-Grad.
Computação
.
Pós-Grad.
Computação
.
Mestrado
Mestrado
Mestrado
Mestrado
Mestrado
Mestrado
Mestrado
Mestrado
Pós-Grad.
Computação Mestrado
.
Célia Aparecida
Zorzo Barcelos
Mylene Lemos
Rodrigues
Célia Aparecida
Zorzo Barcelos
Ciência da
Anselmo de Morais Proj. CNPq. No.
Iniciação
Computação
Silva
205924/2004-7
Científica
.
César Gilherme
de Almeida
Weyder Orlando
Brandão Júnior
PET - SESu MEC
Matemática
Iniciação
Científica
Cícero Fernandes Jairo Menezes e
de Carvalho
Sousa
PET - SESu MEC
Matemática
Iniciação
Científica
Cícero Fernandes Ernani Magno de
de Carvalho
Freitas Júnior
PET - SESu MEC
Matemática
Iniciação
Científica
Cícero Fernandes Karla Barbosa de
de Carvalho
Freitas
PET - SESu MEC
Matemática
Iniciação
Científica
Cícero Fernandes Stela Zumerle
de Carvalho
Soares
PET - SESu MEC
Matemática
Iniciação
Científica
Dulce Mary de
Almeida
Thiago Rodrigues
da Silva
PIBEG - UFU,
No. E05/020-2
Matemática
Ensino
Graduação
Dulce Mary de
Almeida
Flávia Cristina
Martins Queiroz
PET - SESu MEC
Matemática
Iniciação
Científica
Dulce Mary de
Almeida
Mariana Fernandes
dos Santos Villela
PET - SESu MEC
Matemática
Iniciação
Científica
Edmílson
Rodrigues Pinto
Guilherme
Gonçalves
Felizardo
PIBEG - UFU,
No. E05/019-1
Matemática
Iniciação
Científica
---
Ednaldo Carvalho Gabriella de Freitas PIBIC-CNPq, No.
Iniciação
Matemática
Guimarães
Alves
A-011/2005
Científica
Ednaldo Carvalho Alessandra Ribeiro
Guimarães
da Silva
PET - SESu MEC
Matemática
Iniciação
Científica
Edson Agustini
Fabiana Alves
Calazans
PET - SESu MEC
Matemática
Iniciação
Científica
Edson Agustini
Sandreane Poliana
Silva
PET - SESu MEC
Matemática
Iniciação
Científica
Heyder Diniz
Silva
Heyder Diniz
Silva
Elpítio Francisco
Neto
---
Kátia Bernardelli
---
Heyder Diniz
Silva
Leandro Cândido
Brasão
PBIICFAPEMIG, No.
A-010/2005
Eng.
Elétrica
Iniciação
Científica
Jocelino Sato
Leandro Cruvinel
Lemes
PET - SESu MEC
Matemática
Iniciação
Científica
Luíz Alberto
Duran Salomão
Mariana Ramos
Reis
PIBEG - UFU,
No. E05/020-3
Matemática
Ensino
Graduação
Luíz Alberto
Duran Salomão
Maksuel Andrade
Costa
PET - SESu MEC
Matemática
Iniciação
Científica
Marcelo Tavares Fernanda Bonuti
Marcelo Tavares
Camila Afonso
Bernardes
Márcio José Horta Carlos Henrique
Dantas
Tognon
Pós-Grad
Doutorado
Gen/Bio
Pós-Grad.
Mestrado
Agronomia.
PBIICIniciação
FAPEMIG, No. Matemática
Científica
A-013/2005
PIBIC-CNPq, No. Medicina
A-013/2005
Veterinária
Iniciação
Científica
PIBIC-CNPq, No.
Iniciação
Matemática
A-014/2005
Científica
Marcos Antônio
da Câmara
Flaviano Bahia
Paulinelli Vieira
PET - SESu MEC
Matemática
Iniciação
Científica
Marcos Antônio
da Câmara
Lais Bássame
Rodrigues
PET - SESu MEC
Matemática
Iniciação
Científica
Marcos Antônio
da Câmara
Patrícia Borges dos
Santos
PET - SESu MEC
Matemática
Iniciação
Científica
Rogério de Melo Beques Aparecido PIBIC-CNPq, No.
Costa Pinto
Araújo de Souza
A-015/2005
Eng.
Elétrica
Iniciação
Científica
Rosana Sueli da
Motta Jafelice
João Cláudio
Martins de Freitas
FAPEMIG - CEX
109/04
Eng.
Elétrica
Iniciação
Científica
Rosana Sueli da
Motta Jafelice
Éder Lúcio Da
Fonseca
PIBIC-CNPq, No.
Iniciação
Matemática
A-016/2005
Científica
Sezimária de
Fátima Pereira
Saramago
Matheus Borges
Arantes
PIBIC-CNPq, No.
A-009/2005
Sezimária de
Fátima Pereira
Saramago
PBIICIniciação
Jair Rocha do Prado FAPEMIG, No. Matemática
Científica
A-015/2005
Sezimária de
Fátima Pereira
Saramago
Sezimária de
Fátima Pereira
Saramago
Sezimária de
Fátima Pereira
Saramago
Sezimária de
Fátima Pereira
Saramago
Sezimária de
Fátima Pereira
Saramago
Valdair Bonfim
Eng.
Elétrica
Pós-Grad.
Eng.
Mecânica.
Pós-Grad.
E.
Mecânica.
Iniciação
Científica
Giovana Trindade
da Silva Oliviera
---
Lúcio Aurélio
Purcina
---
Sidney Araújo
Mendonça
PET - SESu MEC
Eng,
Mecânica
Iniciação
Científica
Antônio Dias
Carrijo Neto
PET - SESu MEC
Eng,
Mecânica
Iniciação
Científica
Plínio José de
Oliveira
---
Pós-Grad.
E.
Mecânica.
Doutorado
Danilo Adrian
Marques
PIBEG - UFU,
No. E05/020-4
Matemática
Ensino
Graduação
Mestrado
Doutorado
L) PRODUÇÃO CIENTÍFICA
Destacamos a seguir a produção científica da FAMAT no segundo semestre de
2005.
Descrição
ROCAHA, L. P.; FREITAS, M. T. M. "Professor(a)-Pesquisador(a): Possibilidades na
Formação Humana e na Formação do Educador Matemático". Revista de Educação
Matemática (ISSN: 1676-8868). Vol 09, Números 09 e 10, 2o. semestre de 2005. pp.
39 a 45.
CÂMARA, M. A.; CARVALHO, C. F.; CARRIJO, G. "Construção de Códigos
Lineares Binários através de Códigos Geométricos de Goppa". Ciência & Engenharia
(Science & Engineering Journal), 14 (1). pp. 53 a 58. 2o. semestre de 2005.
NACARATO, A. M.; PASSOS, C. L. B.; FIORENTINI, D.; BRUM, E. D.; MEGID,
M. A.; FREITAS, M. T. M.; MELO, M. V.; GRANDO, R. C.; MISKULIN, R. G. S.
"Saberes Docentes em Matemática: uma análise da prova do concurso paulista de
2003". Revista de Educação Matemática (ISSN: 1676-8868). Vol 09, Números 09 e 10,
2o. semestre de 2005. pp. 61- 70.
ARAÚJO, M. A.; GOULART, L. R.; CORDEIRO, E. R.; GATTI, R. R.; MENEZES,
B. S.; LOURENÇO, C.; SILVA, H. D. "Genotipic interactions of renin-angiotensin
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agosto de 2005. pp. 27-32.
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Retrieval: A Feature-Based Correspondence Method in Fourier Spectrum". Lecture
Notes on Computer Science - Springer, No. 3687, vol.2. ISSN 03029743, pp. 424 a
433. 2o. semestre de 2005.
BOTELHO, G, M. A. "Ideals of polynomials generated by weakly compact
operators". Note di Matematica. No. 25, 2o. semestre de 2005, pp. 69 a 102.
LOPES, W. A.; JAFELICE. R. S. M.; BARROS, L. C. "Modelagem Fuzzy de
Diagnóstico Médico e Monitoramento do Tratamento da Pneumonia". Biomatemática.
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No. 05, setembro de 2005, pp. 21 a 50.
OLIVEIRA, N. J.; DANTAS, M. J. H. "Uma Introdução à Mecânica Clássica: Força
Central e Movimento Planetário". FAMAT em Revista. No. 05, setembro de 2005, pp.
51 a 84.
LOPES, W. A.; JAFELICE, R. S. M. "Modelagem Fuzzi na Saúde". FAMAT em
Revista. No. 05, setembro de 2005, pp. 85 a 126.
SANTOS, J. L. C.; BONFIM, L. R. P. "Algumas Aplicações e Teoria Qualitativa das
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COSTA, F. M.; AGUSTINI, E. "Álgebra Linear e Formação de Imagens: a
Tomografia Computadorizada". FAMAT em Revista. No. 05, setembro de 2005, pp.
193 a 210.
VIEIRA, F. B. P.; RODRIGUES, L. B.; AGUSTINI, E. "O Problema do Cabo
Suspenso". FAMAT em Revista. No. 05, setembro de 2005, pp. 225 a 234.
CAVALCANTI, R. S.; COSTA, F. M.; MAIA, D. V. P.; ROCHA, L. A.; AGUSTINI,
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setembro de 2005, Santo Amaro-São Paulo -SP. 1 página. (CD-ROM).
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da iluminação e da pose no reconhecimento da face humana". XXVIII CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional. 12 a 15 de setembro de
2005, Santo Amaro-São Paulo -SP. 1 página. (CD-ROM)
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d’água digital – Inserção e ataque". XXVIII CNMAC - Congresso Nacional de
Matemática Aplicada e Computacional. 12 a 15 de setembro de 2005, Santo AmaroSão Paulo -SP. 1 página. (CD-ROM)
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setembro de 2005, Santo Amaro-São Paulo -SP. 1 página. (CD-ROM).
DANTAS, M. J. H. Apresentação do Trabalho "A Stability Result for O.D.E. with
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RANGEL, V. O.; FRONTAROLLI, A. C.; GOMES, D. C.; MORALES, N. M. O.;
ARAÚJO, R. R. H.; PINTO, R. M. C.; SILVA, C. H. M. Publicação do Resumo
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RELACIONADA À SAÚDE EM CRIANÇAS E ADOLESCENTES COM
PARALISIA CEREBRAL". XVIII Semana Científica da Medicina, 27 a 30 de
setembro de 2005, UFU. Res. no. 336. 1 página. (CD-ROM)
BARCELOS, C. A.; ASSUNÇÃO, R. G. Publicação do resumo "Análise de Robustez
das Marcas D’Água no Domínio Espacial". CD-ROM da V Semana da Matemática da
FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005. pp. 53 a 55.
GUIMARÃES, E. C.; SILVA, A. R. "Comportamento de Semivariogramas Esféricos
sob Diferentes Tipos de Tendências". CD-ROM da V Semana da Matemática da
FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005, pp. 01 e 02.
SOUSA, J. M.; CARVALHO, C. F. Publicação do Resumo "Variedades Projetivas".
CD-ROM da V Semana da Matemática da FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005, pp. 33 e
34.
COSTA, M. A.; SALOMÃO, L. A. D. Publicação do Resumo "As frações de Farey de
um ponto de vista geométrico". CD-ROM da V Semana da Matemática da FAMATUFU, 25 a 28/10/2005, p. 45.
ABREU, R. S.; PINTO, R. M. C. Publicação do Resumo "Avaliação do desempenho
dos graduandos do Curso de Engenharia Química da UFU". CD-ROM da V Semana da
Matemática da FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005, pp. 65 e 66.
LOPES, W. A.; JAFELICE, R. S. M.; BARROS, L. C. Publicação do Resumo
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Pneumonia". CD-ROM da V Semana da Matemática da FAMAT-UFU, 25 a
28/10/2005, pp. 77 e 78.
VIEIRA, F. B. P.; CÂMARA, M. A. Publicação do Resumo "Códigos Corretores de
Erros (Códigos Cíclicos)". CD-ROM da V Semana da Matemática da FAMAT-UFU,
25 a 28/10/2005, pp. 79 e 80.
FREITAS, M. T. M. Apresentação do Trabalho "Práticas e indicadores do
desenvolvimento profissional do professor de matemática revelados por investigações
acadêmicas". VIII Congresso Estadual Paulista sobre Formação de Educadores UNESP. Águas de Lindóia-SP. 25 a 29 de setembro de 2005.
VIEIRA, F. B. P.; CÂMARA, M. A. Publicação do Resumo "Códigos Corretores de
Erros". XXVIII CNMAC - Congresso Nacional de Matemática Aplicada e
Computacional. 12 a 15 de setembro de 2005, Santo Amaro-São Paulo -SP. (CDROM).
LEMES, L. C.; SATO, J. Publicação do Resumo "Projeções Cartográficas". XXVII
CNMAC - Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional. 12 a 15 de
setembro de 2005, Santo Amaro-São Paulo -SP. 1 página. (CD-ROM).
BOTELHO, G. M. A. Apresentação do Trabalho "Holomorphy types and ideals of
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21 a 24 de novembro de 2005. (30 páginas. CD-ROM).
BOTELHO, G. M. A. Apresentação do Trabalho "On the way to strictly singular nonlinear mappings". 62o. Seminário Brasileiro de Análise, UNIRIO-Rio de Janeiro, 21 a
24 de novembro de 2005. (9 páginas. CD-ROM).
BOTELHO, G. M. A. Apresentação do Trabalho "Absolutely summing homogeneous
polynomials on Banach spaces with unconditional basis". 62o. Seminário Brasileiro de
Análise, UNIRIO-Rio de Janeiro, 21 a 24 de novembro de 2005. (9 páginas. CDROM).
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FIORENTINI, D.; MISKULIN, R. G. S.; PASSOS, C. L. B.; NACARATO, A. M.;
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of Drugs". International Symposium on Mathematical and Computational Biology. 3 a
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Iniciação Científica da USP (SIICUSP), São Carlos-SP. 09-11/11/2005. 1 página.
(Anais em CD-ROM)
SOUZA, B. N.; SATO, J. Publicação do Resumo "Superfícies de Rotação com
Curvatura Média ou Gaussiana Constante". Anais do 13o. Simpósio Internacional de
Iniciação Científica da USP (SIICUSP), São Carlos-SP. 09-11/11/2005. 1 página.
(Anais em CD-ROM)
LEMES, L. C.; SATO, J. Publicação do Resumo "Equações Difenreciais Associadas às
Superfícies de Curvatura Média Constante e de Curvatura Gaussiana Constante". Anais
do 13o. Simpósio Internacional de Iniciação Científica da USP (SIICUSP), São CarlosSP. 09-11/11/2005. 1 página. (Anais em CD-ROM)
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Parâmetros Fuzzy nos Modelos de Evolução da AIDS". Anais do 13o. Simpósio
Internacional de Iniciação Científica da USP (SIICUSP), São Carlos-SP. 0911/11/2005. 1 página. (Anais em CD-ROM)
FREITAS, J. C. M.; JAFELICE, R. S. M. Publicação do Resumo "Uso de Autômato
Celular no Estudo da Evolução da AIDS". Anais do 13o. Simpósio Internacional de
Iniciação Científica da USP (SIICUSP), São Carlos-SP. 09-11/11/2005. 1 página.
(Anais em CD-ROM)
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Iniciação Científica da USP (SIICUSP), São Carlos-SP. 09-11/11/2005. 1 página.
(Anais em CD-ROM)
VIEIRA, F. B. P.; CÂMARA, M. A. Publicação do Resumo "Códigos Corretores de
Erros – Códigos Lineares Binários". Anais do 13o. Simpósio Internacional de Iniciação
Científica da USP (SIICUSP), São Carlos-SP. 09-11/11/2005. 1 página. (Anais em CDROM)
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Anais do 13o. Simpósio Internacional de Iniciação Científica da USP (SIICUSP), São
Carlos-SP. 09-11/11/2005. 1 página. (Anais em CD-ROM)
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Científica da USP (SIICUSP), São Carlos-SP. 09-11/11/2005. (Anais em CD-ROM)
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http://w3.impa.br/~icimpa/.
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Iniciação Científica do IMPA - Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada. 0612/11/2005. 20 páginas. Publicação eletrônica: http://w3.impa.br/~icimpa/.
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Rio de Janeiro, RJ. 9 páginas.
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Sibgrapi 2005 – XVIII Brazilian Symposium on Computer Graphics and Image
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INTERNO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA, 2005, Uberlândia. Anais do V Encontro
Interno de Iniciação Científica. 05-07/10/2005. v. 1, p. 1-10. (Anais em CD-ROM e
Eletrônico: www.propp.ufu.br)
QUEIROZ, F. C. M.; FRASSETO, W.; SILVA, H. D. Publicação do trabalho
completo "Estimativas intervalares para rendimento em carcaça de bovinos". 11 Seagro
- Simpósio de Estatística Aplicada à Experimentação Agropecuária e 50 RBRAS Reunião Anual da Região Brasileirada Sociedade Internacional de Biometria.
Londrina-PR. 04-08/07/2005. 5 páginas. (CD-ROM)
OLIVEIRA, V. N.; SILVA, H. D.; ESPINDOLA, F. S. Publicação do trabalho
completo "Estimação do limiar anaeróbico por meio de regbressão linear
bissegmentada". 11 Seagro - Simpósio de Estatística Aplicada à Experimentação
Agropecuária e 50 RBRAS - Reunião Anual da Região Brasileirada Sociedade
Internacional de Biometria. Londrina-PR. 04-08/07/2005. 5 páginas. (CD-ROM)
BRASÃO, L. C.; SILVA, H. D. Publicação do Trabalho Completo: "Ajustes de
Modelos não lineares à curva de crescimento médio de fêmeas da raça nelore". 11
Seagro - Simpósio de Estatística Aplicada à Experimentação Agropecuária e 50
RBRAS - Reunião Anual da Região Brasileirada Sociedade Internacional de Biometria.
Londrina-PR. 04-08/07/2005. 5 p. (CD-ROM)
SOUSA, B. A. A.; SILVA, H. D.; PEDROSA, M. G. Publicação do Trabalho
Completo "Avaliação da dependência espacial em experimentos de avaliação de
progênies de milho quanto a resistência a doenças". 11 Seagro - Simpósio de Estatística
Aplicada à Experimentação Agropecuária e 50 RBRAS - Reunião Anual da Região
Brasileirada Sociedade Internacional de Biometria. Londrina-PR. 04-08/07/2005. 5
páginas. (CD-ROM)
NOMELINI, Q. S. S.; SOUZA, Jr. A. J.; SILVA, H. D. Publicação do Trabalho
Completo "PROJETOS DE EDUCAÇÃO ESTATÍSTICA NA UNIVERSIDADE
FEDERAL DE UBERLÂNDIA". 11 Seagro - Simpósio de Estatística Aplicada à
Experimentação Agropecuária e 50 RBRAS - Reunião Anual da Região Brasileirada
Sociedade Internacional de Biometria. Londrina-PR. 04-08/07/2005. 5 páginas. (CDROM)
PINTO, R. M. C.; BONELLI, A. F.; SILVA, H. D.; PEREIRA, R. S. B.; ESTEVES,
A. "ADAPTABILIDADE E ESTABILIDADE DE HÍBRIDOS SIMPLES DE MILHO
AVALIADOS EM DEZ LOCAIS CLASSIFICADOS COMO ZONA TROPICAL DE
TRANSIÇÃO". 11 Seagro - Simpósio de Estatística Aplicada à Experimentação
Agropecuária e 50 RBRAS - Reunião Anual da Região Brasileirada Sociedade
Internacional de Biometria. Londrina-PR. 04-08/07/2005. 5 páginas. (CD-ROM)
PÁSCOA, M. A. R.; LARA, R. G. M.; PINTO, R. M. C.; SILVA, H. D.; BONELLI,
A. F.; PEREIRA, R. S. B.; ESTEVES, A. "ADAPTABILIDADE E ESTABILIDADE
FENOTÍPICA EM MILHO PARA OS ESTADOS DE GOIÁS, MINAS GERAIS E
SÃO PAULO".11 Seagro - Simpósio de Estatística Aplicada à Experimentação
Agropecuária e 50 RBRAS - Reunião Anual da Região Brasileirada Sociedade
Internacional de Biometria. Londrina-PR. 04-08/07/2005. 5 p. (CD-ROM)
SARAMAGO, S. F. P.; OLIVEIRA, G. T. S. "Estratégias de Evolução Diferencial
Aplicadas a Problemas de Otimização Restritos", 15º. Simpósio do Programa de Pósgraduação em Engenharia Mecânica, 2005, Uberlândia, v.1, pp. 1 a 10.
SARAMAGO, S. F. P.; SANTOS, R. R. , STEFFEN Jr., V. "Otimização do Torque
Aplicado pelos Atuadores de Robôs usando Técnicas de Controle Ótimo", 15º.
Simpósio do Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica, 2005, Uberlândia,
v.1, pp. 1 a 10.
SARAMAGO, S. F. P.; OLIVEIRA, L. S. "Seleção de Geradores usando Otimização
Multi-Objetivo", 15º. Simpósio do Programa de Pós-graduação em Engenharia
Mecânica, 2005, Uberlândia, v.1, pp. 1 a 11.
SARAMAGO, S. F. P.; OLIVEIRA, P. J.; ROSA, R. G. "Trajetória Ótima de uma
Estrutura Paralela para Diferentes Combinações dos Ângulos de Entrada". In:
CONGRESSO
NACIONAL
DE
MATEMÁTICA
APLICADA
E
COMPUTACIONAL, 12-15/09/2005, São Paulo. XXVIII CNMAC. SBMAC, 2005. v.
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SARAMAGO, S. F. P.; PRADO, J. R. "Otimização por Colônia de Formigas". In:
CONGRESSO
NACIONAL
DE
MATEMÁTICA
APLICADA
E
COMPUTACIONAL, 12-15/09/2005, São Paulo. XXVIII CMNAC. SBMAC, 2005. v.
1, pp. 1 a 6.
SARAMAGO, S. F. P.; COELHO, L. S.; BERGAMASCHI, P. R. "Evolução
Diferencial Aplicada à Otimização do Volume do Espaço de Trabalho de um
Manipulador Robótico". In: VII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE AUTOMAÇÃO
INTELIGENTE, 2o. semestre de 2005, São Luiz. VII SBAI - II IEEE-LARS. SBA,
2005. v. 1, pp. 1 a 6.
CAVALCANTI, R. S.; COSTA, F. M.; MAIA, D. V. P.; ROCHA, L. A.; AGUSTINI,
E. "Identificando Curvas Cônicas Utilizando Autovalores". CD-ROM da V Semana da
Matemática FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005, pp. 27 a 30.
BOTELHO, G. M. A.; BRAUNSS, H.; JUNEK, H.; PELLEGRINO, D. Publicação do
Trabalho Completo "Holomorphy types and ideals of multilinear mappings". Anais do
62o. Seminário Brasileiro de Análise, UNIRIO-Rio de Janeiro, 21 a 24 de novembro de
2005. 30 páginas. CD-ROM.
BOTELHO, G. M. A.; RUEDA, P.; PELLEGRINO, D. Publicação do Trabalho
Completo "On the way to strictly singular non-linear mappings". Anais do 62o.
Seminário Brasileiro de Análise, UNIRIO-Rio de Janeiro, 21 a 24 de novembro de
2005. 9 páginas. CD-ROM.
BOTELHO, G. M. A.; PELLEGRINO, D. Publicação do Trabalho Completo
"Absolutely summing homogeneous polynomials on Banach spaces with unconditional
basis". Anais do 62o. Seminário Brasileiro de Análise, UNIRIO-Rio de Janeiro, 21 a 24
de novembro de 2005. 9 páginas. CD-ROM.
BONUTTI, F.; TAVARES, M.; GUIMARÃES, E. C. Publicação do Trabalho
"Avaliação das relações de atributos químicos e físicos de um solo e produtividade da
soja". 11o. SIMPÓSIO DE ESTATÍSTICA APLICADA À EXPERIMENTAÇÃO
AGRONÔMICA, Londrina. Anais do 11o. SEAGRO e 50o. RBRAS. 04-08/07/2005, 5
páginas. (Anais em CD-ROM)
BERNADES, C. A; GUIMARÃES, E. C.; TAVARES, M. Publicação do Trabalho
"Comparação de dois sistemas de amostragem em diferentes condições de manejo de
solo". 11o. SIMPÓSIO DE ESTATÍSTICA APLICADA À EXPERIMENTAÇÃO
AGRONÔMICA, Londrina. Anais do 11o. SEAGRO e 50o. RBRAS. 04-08/07/2005, 5
páginas. (Anais em CD-ROM)
OLIVEIRA, J. A.; GUIMARÃES, E. C.; TAVARES, M. Publicação do Trabalho
"Comportamento espacial de chuvas de verão no Estado de Minas Gerais". 11o.
SIMPÓSIO
DE
ESTATÍSTICA
APLICADA
À
EXPERIMENTAÇÃO
AGRONÔMICA, Londrina. Anais do 11o. SEAGRO e 50o. RBRAS. 04-08/07/2005, 5
páginas. (Anais em CD-ROM)
SARAMAGO, S. F. P.; PRADO, J. R. Publicação do trabalho completo "Otimização
por Colônia de Partículas". IN: IX SEMINÁRIO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA, UFU.
UBERLÂNDIA. 05-07/10/2005. 10 páginas. (CD-ROM)
SANTOS, P. B.; BONFIM, L. R. P. Publicação do trabalho completo "Estudo sobre as
Propriedades Geométricas das Cônicas e suas Aplicações". IX SEMINÁRIO DE
INICIAÇÃO CIENTÍFICA , UFU. Uberlândia. 05-07-10/2005. 10 páginas. (CD-ROM)
SARAMAGO, S. F. P.; ROSA, R. G., Publicação do trabalho completo "Aplicação de
B-Splines Cúbicas Uniformes para Modelar Trajetórias de um Robô Paralelo", In: IX
SEMINÁRIO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA , UFU. Uberlândia. 05-07-10/2005. 10
páginas. (CD-ROM)
BONUTTI, F.; GUIMARÃES, E. C.; TAVARES, M. Publicação do Trabalho
"Determinação do número de medições de caracteres de ovos utilizando diferentes
métodos de estimação da repetibilidade". 11o. SIMPÓSIO DE ESTATÍSTICA
APLICADA À EXPERIMENTAÇÃO AGRONÔMICA, Londrina. Anais do 11o.
SEAGRO e 50o. RBRAS. 04-08/07/2005, 5 páginas. (Anais em CD-ROM)
ZANÃO Jr., L. A.; LANA, R. M. Q.; GUIMARÃES, E. C.; NOLLA, A. Publicação
do Trabalho "Geoestatística na avaliação da variabilidade espacial de micronutrientes
em Latossolo Vermelho sob sistema plantio direto". XXX CONGRESSO
BRASILEIRO DE CIÊNCIA DO SOLO, Recife. Anais do XXX CBCS.17-22/07/2005,
5p.(Anais CD-ROM).
SILVA, A. M.; BARCELOS, C. A. Z. Publicação do Trabalho Completo "Marca
d’água robusta no domínio da freqüência". CD-ROM da V Semana da Matemática da
FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005, pp. 03 a 09.
SILVA, S. P.; AGUSTINI, E. Publicação do Trabalho Completo "Teoria da
Informação e Codificação: um estudo do Algoritmo de Huffmann para codificação de
fonte". CD-ROM da V Semana da Matemática da FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005, pp.
67 a 72.
SANTOS, P. B.; CAMARA, M. A. Publicação do Trabalho Completo "A Utilização
do Polinômio de Taylor na Resolução de Equações de Congruência". CD-ROM da V
Semana da Matemática da FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005, pp. 47 a 51.
PRADO, J. R.; SARAMAGO, S. F. P. Publicação do Trabalho Completo "Otimização
de Funções Contínuas por Colônia de Formigas". CD-ROM da V Semana da
Matemática da FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005, pp. 35 a 44.
TEIXEIRA, R. L.; LÉPORE, F. P.; RIBEIRO, J. F. Publicação do trabalho completo
"DESCRIÇÃO, MONTAGEM E FUNCIONAMENTO DE UM PROTÓTIPO DE
AMORTECEDOR ATIVO PIEZOELÉTRICO". 15º POSMEC - Simpósio do
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica - 7 a 9 de dezembro de 2005 na
Universidade Federal de Uberlândia. 10 páginas. CD-ROM.
TEIXEIRA, R. L.; LÉPORE, F.P. Publicação do trabalho completo "ACTIVE
DAMPER USING FUZZY CONTROLLER". Proceedings of the IEEE International
Conference on Systems, Man and Cybernetics, Volume 4, 10-12 Oct. 2005 - Big
Island, Hawaii, Page(s): 3841 - 3846.
AGUSTINI, E.; COSTA, S. I. R. "AWGN-Signal Transmission in Hyperbolic
Spaces". In: IEEE-ISIT2005 - International Simposyum in Information Theory. 0409/09/2005. Adelaide, Austrália. pp. 1 a 4. (Anais em CD-ROM).
SOUZA, A. M. ; SOUZA, F. J.; SILVEIRA NETO, A. "Numerical simulation of the
turbulent transition in free round jets". In: 18th International congress of mechanical
engineering, 2o. semestre de 2005, Ouro Preto. Proceedings of COBEM 2005. Rio de
Janeiro: ABCM, 2005. v. 1. p. 1-10. (CD-ROM)
SARAMAGO, S. F. P.; SANTOS, R. R.; STEFFEN Jr., V. "Solving the Inverse
Kinematics Problem through Performance Index Optimization". In: IBERIAN LATIN
AMERICAN
CONGRESS
ON
COMPUTATIONAL
METHODS
IN
ENGENEERING, 2o. semestre de 2005, Guarapari. XXVI CILAMCE. ABMEC, 2005.
v. 1, pp. 1 a 15. (CD-ROM)
SARAMAGO, S. F. P.; STEFFEN Jr., V.; SANTOS, R. R. "Robot Path Planning:
Avoiding Obstacles". In: 18TH INTERNATIONAL CONGRESS OF MECHANICAL
ENGINEERING, 2o. semestre de 2005, Ouro Preto. COBEM05 ABCM, 2005. v. 1, pp.
1 a 8. (CD-ROM)
SARAMAGO, S. F. P.; OLIVEIRA, P. J.; CARVALHO, J. C. M.; CECCARELLI, M.
"Trajectory Modeling of CaPaMan (Cassino Parallel Manipulator) by using 4th order
B-splines. In: 18thInternational Congress of Mechanical Engineering, 2o. semestre de
2005, Ouro Preto. COBEM05. ABCM, 2005. v. 1, pp. 1 a 8. (CD-ROM)
BARCELOS, C. A. Z. Coordenadora de Projeto de Pesquisa. Processo 502924/20047. Modalidade do processo: AI - Auxilio Integrado. Edital CNPq 05/2004,
http://www.cnpq.br/resultadosjulgamento/lista02.pdf. Auxílio Integrado ao Projeto
"Processamento de Imagens via Equações Diferenciais Parciais Modelagem - Aspectos
Numéricos e Computacionais". Vigência 08/2004 a 07/2007.
BARCELOS, C. A. Z. Coordenadora de Projeto de Pesquisa. Processo 302549/20030. Modalidade do processo PQ - Produtividade Em Pesquisa.Título do Projeto:
"Processamento de Imagens via Equações Diferenciais Parciais Modelagem - Aspectos
Numéricos e Computacionais. Vigência: agosto de 2003 a 28/02/2006.
AGUSTINI, E. Coordenador do Projeto de Pesquisa: "Aplicações de Geometria
Hiperbólica e Diferencial em Teoria da Informação e Codificação - Aspectos
Probabilísticos". PEP/UFU-2003. Vigência: 07/2004 a 06/2006.
SARAMAGO, S. F. P. Coordenadora de projeto de pesquisa TEC 80084/02 FAPEMIG: "Projeto Ótimo de Robôs Manipuladores 3R, Considerando seu Espaço de
Trabalho". Vigência: 08/2003 a 10/2005.
ALMEIDA, C. G. Coordenador de projeto de pesquisa CEX 80847/02 - FAPEMIG:
"Análise Numérica e Matemática de escoamentos em meios porosos". Vigênica:
08/2003 a 10/2005.
CARVALHO, C. F. Coordenador de projeto de pesquisa CEX 80140/02 - FAPEMIG:
"Estudo de uma classe de semigrupos relacionada a pontos ramificados de
recobrimentos de curvas". Vigência: 07/2003 a 10/2005.
PINTO, R. M. C. Coordenador do Projeto de Pesquisa: "Avaliação da interação
genótipos x ambientes utilizando a metodologia "AMMI" (aditive main effects and
multiplicative interaction)". PEP/UFU-2003. Vigência: 05/2004 a 04/2006.
SILVA,, H. D. Coordenador do Projeto de Pesquisa: "Estudo da curva de crescimento
de bovinos da raça Nelore". PEP/UFU-2003. Vigência: 05/2004 a 04/2006.
CUNHONG, Z. Coordenador do Projeto de Pesquisa: "Semigrupos e Geometria
Algébrica real". PEP/UFU-2003. Vigência: 07/2004 a 06/2006.
CÂMARA, M. A. Coordenador do Projeto de Pesquisa: "Aplicação da Teoria de
Weierstrass ao Estudo dos Códigos Geométricos de Goppa". PEP/UFU-2003.
Vigência: 03/2004 a 02/2006.
PINTO, R. M. C. Coordenador do Projeto: "Formação de Grupos Heterótipos com
Linhagens de Milho Tropical Utilizando-se a Representação Biplot AMMI". CAG
38/03 - DIPOC 191/2004 - FAPEMIG. Vigência: 10/2004 a 09/2005.
SILVA, H. D. Coordenador do Projeto: "Incorporação da Dependência Espacial no
Mapeamento de QTL's para Resistência a Doenças do Milho". CAG 36/03 - DIPOC
190/2004 FAPEMIG. Vigência: 10/2004 a 09/2005.
SOUZA, Jr. A. J. Coordenador do Projeto de Ensino "Aprimoramento do ensino
estatístico e trabalhos de projetos na universidade" - Projeto E05/019-1. PIBEG-UFU.
Edital PRGRAD 1/2005. Vigência: 07/2005 a 06/2006. (orientador: Edmilson
Rodrigues Pinto)
SALOMÃO, L. A. D. Coordenador do Projeto de Ensino "Interdisciplinaridade e
Interação Construtiva: uma experiência à luz das novas diretrizes curriculares" - Projeto
E05/020-1,2,3,4. PIBEG-UFU. Edital PRGRAD 1/2005. Vigência: 07/2005 a 06/2006.
SOUZA Jr, A. J. Coordenação de Projeto de Pesquisa: CNPq-UFU Desenvolvimento
Tecnológico. Edital 014/2004. Projeto: "Ferramenta de autoria para criação de
Webquest". Vigência: 07/2005 a 06/2006.
SILVA, E. C. Coordenador do Projeto de Pesquisa "Sobre funções de ordens fracas e
códigos geométricos de Goppa". PEP/UFU-2004. Vigência: 01/2005 a 12/2006.
BONFIM, L. R. P. Coordenadora do Projeto de Pesquisa "Análise qualitativa de
equações de reação-difusão". PEP-UFU-2004. Vigência: 01/2005 a 12/2006
SICRE, M. R. Coordenador do Projeto de Pesquisa "Implementação e estudo de
metodos essencialmente não oscilatórios em malhas não estruturadas e sua aplicação a
escoamento de gases reativos compressíveis". PEP/UFU-2004. Vigência: 01/2005 a
12/2006.
JAFELICE, R. S. M. Coordenadora do Projeto de Pesquisa "Modelagem Fuzzy da
Evolução da AIDS". PEP/UFU-2004. Vigência: 01/2005 a 12/2006.
GUIMARÃES, E. C. Coordenador do projeto de pesquisa "Análise da Dependência
Espacial de Variáveis Climáticas no Estado de Minas Gerais". EDT 1923/03 - DIPOC
169/2004 FAPEMIG. Vigência: 07/2004 a 06/2006.
JAFELICE. R. S. M. Coordenadora do projeto de pesquisa "Biomatemática e
Modelagem Epidemiológica: Uma Abordagem para o Estudo da Evolução da AIDS
utilizando a Teoria dos Conjuntos Fuzzy". FAPEMIG. Processo no. CEX 109/04.
Vigência: 03/05/2005 a 03/05/2007.
JAFELICE, R. S. M. Publicação do livro "Teoria dos Conjuntos Fuzzy com
Aplicações". Uma publicação da SBMAC – Editora Plêide – ISBN 85-7651-020-0. 2o.
semestre de 2005.
BOTELHO, G. M. A. Participação em banca examinadora de concurso público para
professor-doutor no IME-USP, São Paulo, 04-08/07/2005.
DANTAS, M. J. H. Membro de banca de dissertação de mestrado. Título: "Análise da
Dinâmica de um sistema Vibrante não Ideal de dois graus de Liberdade". Aluno: Luiz
Oreste Cauz. Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada, UNESP-São José
do Rio Preto, 25/07/2005. Outros membros da banca: Masayoshi Tsushida (Orientador)
e Manoel Ferreira Borges Neto.
CARVALHO, C. F. Membro de banca de dissertação de mestrado. Título:
Apresentação de senhas em máquinas hostis. Candidata: Karla Aparecida Perine
Lagares. Instituição: FACOM-UFU. Data: 22/09/2005. Outros membros da banca:
Jeroen Antonius Maria Van der Graaf e João Nunes de Souza (orientador).
JAFELICE, R. S. M. Membro de banca de dissertação de mestrado. Candidato:
Fernando Feltrin Milani. Instituição: UNESP-Campus de São José do Rio Preto-SP.
Data: 21/07/2005. Outros membros da banca: Cleonice Fátima Bracialli (orientadora) e
Alagacone Sri Ranga.
PINTO, R. M. C. Membro de Banca de Defesa de Dissertação de Mestrado de Kátia
Bernardeli. “MAPEAMENTOS DE QTLS ASSOCIADOS A ESPESSURA DA
PAREDE DO COLMO EM MILHO”. 29/09/2005. Programa de Pós-Graduação em
Agronomia da Unversidade Federal de Uberlândia-MG. Outros membros da banca:
SILVA, H. D. (Orientador); BRITO, C. H.
BOTELHO, G. M. A. Membro de banca de dissertação de mestrado. Título: O
teorema de Dvoretzky-Rogers. Candidato: Alex Farah Pereira. Instituição: IM-UFRJ.
Data: 13/10/2005. Demais membros da banca: Luíza Amália de Moraes (Orientadora UFRJ) e Antônio Roberto da Silva (UFRJ).
BOTELHO, G. M. A. Membro de banca de dissertação de mestrado. Título: Fatoração
de operadores fracamente compactos entre espaços de Banach. Candidato: Ariosvaldo
Marques Jatobá. Instituição: IMECC-Unicamp. Data: 05/08/2005. Demais membros da
banca: Jorge Mujica (orientador - IMECC-Unicamp) e Mário Carvalho de Matos
(IMECC-Unicamp).
GUIMARÃES, E. C. Membro de banca de dissertação de mestrado de Marcos André
Silva Souza. "Comportamento espacial e temporal de alguns atributos em Latossolo
Vermelho Distrófico na cafeicultura do Cerrado". (Mestrado em Agronomia) Universidade Federal de Uberlândia. Data: 28/07/05. Outros membros da banca: Elias
Nascentes Borges (orientador), Regina Maria Q. Lana e Alberto Carvalho Filho.
GUIMARÃES, E. C. Membro de banca de dissertação de mestrado de Rafael
Montanari. "Variabilidade Espacial de classes de solos influênciados pela paisagem".
(Mestrado em Agronomia (Ciências do Solo) [Jaboticabal]) - Universidade Estadual
Paulista Júlio de Mesquita Filho. Data: 25/11/05. Outros membros da banca: Gener
Tadeu Pereira (orientador) e José Carlos Barbosa.
SARAMAGO, S. F. P. Banca de Dissertação de Mestrado, Aluno: Luís Henrique
Moedinger, PUC-PR, 05/09/05. Outros membros da banca: Leandro dos Santos Coelho
(orientador) e Júlio César Nievola.
BOTELHO, G. M. A. Membro de banca de tese de doutorado. Tese: Operadores
hipercíclicos e funções analíticas em espaços de Banach. Candidato: André Arbex
Hallack. Instituição: IME-USP. Data: 11/11/2005. Demais membros da banca: Mary
Lilian Lourenço (orientadora - IME-USP), Richard Aron (Kent State University, KentOhio), Raymundo Luiz de Alencar (IMECC-Unicamp) e Nilson Bernarder (UFF).
SICRE, M. R. Membro de Banca de Tese de Doutorado. Título: "Otimização de
trajetórias de robôs com estrutura paralela". Aluno: Plínio José de Oliviera. Local:
FEMEC-UFU. Data: 30/08/05. Outros membros da banca: Sezimária de Fátima Pereira
Saramago (orientadora), João Carlos M Carvalho, José Mauricio S Motta e Luiz
Siqueira M Filho.
SARAMAGO, S. F. P. Banca de Tese de Doutorado, Aluno: Dogmar Antônio de
Souza Júnior, UFU, 12/12/05. Outros membros da banca: Francisco Antônio R
Gesualdo (orientador), Cleudmar Amaral de Araújo, Renato Bertolino Júnior, João
Alberto V. Requena.
CÂMARA, M. A. Banca de monografia de final de curso de graduação. "Introdução à
geometria Algébrica". Aluno: Jairo Menezes e Souza. 14/12/2005. PET-Matemática.
Demais membros da banca: Ercílio Carvalho da Silva e Cícero Fernandes de Carvalho
(orientador).
SILVA, E. C. Banca de monografia de final de curso de graduação. "Introdução à
geometria Algébrica". Aluno: Jairo Menezes e Souza. 14/12/2005. PET-Matemática.
Demais membros da banca: Ercílio Carvalho da Silva e Cícero Fernandes de Carvalho
(orientador).
CAMARA, M. A. Membro de Banca de Monografia. Título: Modelagem de Problemas
de Matemática Financeira e Suas Resoluções Utilizando Técnicas Matemática e
Computacionais. Aluna: Leone Alves Leite. VII Curso de Especialização em
Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Edson Agustini e César
Guilherme de Almeida (orientador).
AGUSTINI, E. Membro de Banca de Monografia. Título: Modelagem de Problemas
de Matemática Financeira e Suas Resoluções Utilizando Técnicas Matemática e
Computacionais. Aluna: Leone Alves Leite. VII Curso de Especialização em
Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Marcos Antônio da Câmara e
César Guilherme de Almeida (orientador).
ALMEIDA, C. G. Membro de Banca de Monografia. Título: Modelagem Fuzzy na
Saúde. Aluna: Wanda Aparecida Lopes. VII Curso de Especialização em Matemática.
10/08/2005. Outros membros da banca: Edson Agustini e Rosana Sueli da Motta
Jefelice (orientadora).
AGUSTINI, E. Membro de Banca de Monografia. Título: Modelagem Fuzzy na
Saúde. Aluna: Wanda Aparecida Lopes. VII Curso de Especialização em Matemática.
10/08/2005. Outros membros da banca: César Guilherme de Almeida e Rosana Sueli da
Motta Jefelice (orientadora).
CUNHONG, Z. Membro de Banca de Monografia. Título: O Modelo de Leslye para
Crescimento Populacional. Aluna: Juliana de Souza Guimarães. VII Curso de
Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Rosana Sueli
da Motta Jefelice e Edson Agustini (orientador).
JAFELICE, R. S. M. Membro de Banca de Monografia. Título: O Modelo de Leslye
para Crescimento Populacional. Aluna: Juliana de Souza Guimarães. VII Curso de
Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Zhang
Cunhong e Edson Agustini (orientador).
AGUSTINI, E. Membro de Banca de Monografia. Título: As Cônicas e a Equação
Geral do 2o. Grau. Aluno: Kleyber Moura Ribeiro. VII Curso de Especialização em
Matemática. 11/08/2005. Outros membros da banca: Luís Antônio Benedetti e Mário
Luiz de Mendonça Faria (orientador).
BENEDETTI, L. A. Membro de Banca de Monografia. Título: As Cônicas e a
Equação Geral do 2o. Grau. Aluno: Kleyber Moura Ribeiro. VII Curso de
Especialização em Matemática. 11/08/2005. Outros membros da banca: Edson Agustini
e Mário Luiz de Mendonça Faria (orientador).
BONFIM, L. R. P. Membro de banca de monografia. Título: Caracterização dos
Polígonos Equicompostos e uma Introdução ao Cálculo Avançado, com Aplicações".
Aluna: Katiúcia Mendes dos Santos. VII Curso de Especialização em Matemática.
09/08/2005. Outros membros da banca: Antônio Carlos Nogueira e Valdair Bonfim
(orientador).
NOGUEIRA, A. C. Membro de banca de monografia. Título: Caracterização dos
Polígonos Equicompostos e uma Introdução ao Cálculo Avançado, com Aplicações".
Aluna: Katiúcia Mendes dos Santos. VII Curso de Especialização em Matemática.
09/08/2005. Outros membros da banca: Lúcia Resende Pereira Bonfim e Valdair
Bonfim (orientador).
BONFIM, L. R. P. Membro de banca de monografia. Título: Comparação entre as
integrais de Riemann e de Lebesgue. Aluno: Ricardo Magno Carvalho de Melo. VII
Curso de Especialização em Matemática. 13/07/2005. Outros membros da banca:
Marcos Antônio da Câmara e Geraldo Márcio de Azevedo Botelho (orientador).
CAMARA, M. A. Membro de banca de monografia. Título: Comparação entre as
integrais de Riemann e de Lebesgue. Aluno: Ricardo Magno Carvalho de Melo. VII
Curso de Especialização em Matemática. 13/07/2005. Outros membros da banca: Lúcia
Resende Pereira Bonfim e Geraldo de Azevedo Botelho (orientador).
GUIMARÃES, E. C. Membro de Banca de Monografia. Título: Análise dos
fornecedores de couro bovino em relação à qualidade, utilizando análise multivariada.
Aluno: Frederico Gilber de Campos. VII Curso de Especialização em Matemática.
12/08/2005. Outros membros da banca: Marcelo Tavares e Rogério de Melo Costa
Pinto (orientador).
TAVARES, M. Membro de Banca de Monografia. Título: Análise dos fornecedores de
couro bovino em relação à qualidade, utilizando análise multivariada. Aluno: Frederico
Gilber de Campos. VII Curso de Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros
membros da banca: Ednaldo Carvalho Guimarães e Rogério de Melo Costa Pinto
(orientador).
GUIMARÃES, E. C. Membro de Banca de Monografia. Título: Evolução do INPC no
periodo de janeiro de 1995 a dezembro de 2004, uma aplicação de séries temporais.
Aluno: Cleber Ferreira Oliveira. VII Curso de Especialização em Matemática.
12/08/2005. Outros membros da banca: Marcelo Tavares e Heyder Diniz Silva
(orientador).
TAVARES, M. Membro de Banca de Monografia. Título: Evolução do INPC no
periodo de janeiro de 1995 a dezembro de 2004, uma aplicação de séries temporais.
Aluno: Cleber Ferreira Oliveira. VII Curso de Especialização em Matemática.
12/08/2005. Outros membros da banca: Ednaldo Carvalho Guimarães e Heyder Diniz
Silva (orientador).
GUIMARÃES, E. C. Membro de Banca de Monografia. Título: Tomada de decisão
por meio de técnicas estatísticas aplicadas em Marketing. Aluna: Kelbia Cristina Braga
Santos. VII Curso de Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da
banca: Rogério de Melo Costa Pinto e Marcelo Tavares (orientador).
PINTO, R. M. C. Membro de Banca de Monografia. Título: Tomada de decisão por
meio de técnicas estatísticas aplicadas em Marketing. Aluna: Kelbia Cristina Braga
Santos. VII Curso de Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da
banca: Ednaldo Carvalho Guimarães e Marcelo Tavares (orientador).
NOGUEIRA, A. C. Membro de Banca de Monografia. Título: Códigos Corretores de
Erros Lineares. Aluna: Adenilce Oliveira Souza. VII Curso de Especialização em
Matemática. 15/07/2005. Outros membros da banca: Luíz Alberto Duran Salomão e
Marcos Antônio da Câmara (orientador).
SALOMÃO, L. A. D. Membro de Banca de Monografia. Título: Códigos Corretores
de Erros Lineares. Aluna: Adenilce Oliveira Souza. VII Curso de Especialização em
Matemática. 15/07/2005. Outros membros da banca: Antônio Carlos Nogueira e
Marcos Antônio da Câmara (orientador).
SALOMÃO, L. A. D. Membro de Banca de Monografia. Título: Polinômios e
equações polinomiais. Aluna: Ana Thaís Pereira. VII Curso de Especialização em
Matemática. 09/08/2005. Outros membros da banca: Marcos Antônio da Câmara e
Antônio Carlos Nogueira (orientador).
CÂMARA, M. A. Membro de Banca de Monografia. Título: Polinômios e equações
polinomiais. Aluna: Ana Thaís Pereira. VII Curso de Especialização em Matemática.
09/08/2005. Outros membros da banca: Luíz Alberto Duran Salomão e Antônio Carlos
Nogueira (orientador).
ALMEIDA, D. M. Membro de Banca de Monografia. Título: A evolução do conceito
de volume do Egito a Cavalieri. Aluno: Luiz Gambogi. VII Curso de Especialização em
Matemática. 11/08/2005. Outros membros da banca: Arlindo José de Souza Júnior e
Luís Antônio Benedetti (orientador).
SOUZA Jr. A. J. Membro de Banca de Monografia. Título: A evolução do conceito de
volume do Egito a Cavalieri. Aluno: Luiz Gambogi. VII Curso de Especialização em
Matemática. 11/08/2005. Outros membros da banca: Dulce Mary de Almeida e Luís
Antônio Benedetti (orientador).
ALMEIDA, D. M. Membro de Banca de Monografia. Título: uma generalização do
Teorema de Pick. Aluna: Déborah Patrícia Santos do Nascimento Oliveira. VII Curso
de Especialização em Matemática. 11/08/2005. Outros membros da banca: Luíz
Alberto Duran Salomão e Walter dos Santos Motta Júnior (orientador).
SALOMÃO, L. A. D. Membro de Banca de Monografia. Título: uma generalização do
Teorema de Pick. Aluna: Déborah Patrícia Santos do Nascimento Oliveira. VII Curso
de Especialização em Matemática. 11/08/2005. Outros membros da banca: Dulce Mary
de Almeida e Walter dos Santos Motta Júnior (orientador).
SARAMAGO, S. F. P. Membro de Banca de Monografia. Título: Uma Introdução à
mecânica clássica: força central e movimento planetário. Aluno: Neilon José de
Oliviera. VII Curso de Especialização em Matemática. 14/07/05. Outros membros da
banca: Valdair Bonfim e Márcio José Horta Dantas (orientador).
BONFIM V. Membro de Banca de Monografia. Título: Uma Introdução à mecânica
clássica: força central e movimento planetário. Aluno: Neilon José de Oliviera. VII
Curso de Especialização em Matemática. 14/07/05. Outros membros da banca:
Sezimária de Fátima Pereira Saramago e Márcio José Horta Dantas (orientador).
SICRE, M. R. Membro de Banca de Monografia. Título: Um estudo sobre algoritmo
genético. Aluno: Sidney Tadeu Santiago. VII Curso de Especialização em Matemática.
06/07/2005. Outros membros da banca: Rosana Sueli da Motta Jafelice e Sezimária de
Fátima Pereira Saramago (orientadora).
JAFELICE, R. S. M. Membro de Banca de Monografia. Título: Um estudo sobre
algoritmo genético. Aluno: Sidney Tadeu Santiago. VII Curso de Especialização em
Matemática. 06/07/2005. Outros membros da banca: Mauricio Romero Sicre e
Sezimária de Fátima Pereira Saramago (orientadora).
TAVARES, M. Membro de Banca de Monografia. Título: Uso de paródias musicais
nas disciplinas de matemática e física na Escola Agrotécnica Federal de Uberlândia:
Comparação estatística de desempenho. Aluna: Tatyana Maestri de Barros Soares. VII
Curso de Especialização em Matemática. 11/08/2005. Outros membros da banca:
Rogério de Melo Costa Pinto e Ednaldo Carvalho Guimarães (orientador).
PINTO, R. M. C. Membro de Banca de Monografia. Título: Uso de paródias musicais
nas disciplinas de matemática e física na Escola Agrotécnica Federal de Uberlândia:
Comparação estatística de desempenho. Aluna: Tatyana Maestri de Barros Soares. VII
Curso de Especialização em Matemática. 11/08/2005. Outros membros da banca:
Marcelo Tavares e Ednaldo Carvalho Guimarães (orientador).
NOGUEIRA, A. C. Membro de Banca de Monografia. Título: Investigando a trajetória
de uma situação problema. Aluna: Vanessa de Fátima Cruz. VII Curso de
Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Luís Antônio
Benedetti e Arlindo José de Souza Júnior (orientador).
BENEDETTI, L. A. Membro de Banca de Monografia. Título: Investigando a
trajetória de uma situação problema. Aluna: Vanessa de Fátima Cruz. VII Curso de
Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Antônio Carlos
Nogueira e Arlindo José de Souza Júnior (orientador).
PEREIRA, M. G. Membro de Banca de Monografia. Título: Algumas alternativas
metodológicas para o ensino da matemática. Aluna: Helenice Maria Costa. VII Curso
de Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Valdair
Bonfim e Lúcia Resende Pereira Bonfim (orientadora).
BONFIM, V. Membro de Banca de Monografia. Título: Algumas alternativas
metodológicas para o ensino da matemática. Aluna: Helenice Maria Costa. VII Curso
de Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Maria das
Graças Pereira e Lúcia Resende Pereira Bonfim (orientadora).
GUIMARÃES, E. C. Participação em banca de trabalho de conclusão de curso de
Adriana Figueiredo. "Ciclo de vida do fitonematoide Rotylenchulus reniformis em
algodoeiro ao longo do ano sob condições de casa de vegetação". Graduação em
Agronomia - Universidade Federal de Uberlândia. Data: 01/07/05. Outros membros da
banca: Maria Amelia dos Santos (orientadora) e Julio Cesar Viglioni Penna.
CARVALHO, C. F. Palestra "On Weierstrass semigroups at one or several points"
proferia no Symposium on Algebraic Curves, 19-22/12/2005. Tóquio, Japão.
SALOMÂO, L. A. D. Palestra "Estratégias para resolução de problemas". V Semana
do Curso de Licenciatura em Matemática da Fundação Educacional de Ituiutaba-MG.
05/10/2005.
SICRE, M. R. Minicurso: "Análise Convexa". Evento: XX Semana do IME/UFG.
Goiânia-GO, 03-07/10/2005.
SILVA, H. D. Palestra: "Métodos biométricos aplicados à análise de QTLs". 11 Seagro
- Simpósio de Estatística Aplicada à Experimentação Agropecuária e 50 RBRAS Reunião Anual da Região Brasileirada Sociedade Internacional de Biometria.
Londrina-PR. 04-08/07/2005.
FREITAS, M. T. M. Coordenação de mesa redonda "A comunicação e os processos
de escritas nas aulas de matemática" no 15o. COLE - Congresso de Leitura do Brasil.
05-08/07/2005. Campinas-SP.
ALMEIDA, D. M. Palestra "Sobre a Aplicação de Gauss de superfícies de Riemann
imersas em H3 e H4".Evento: I Encontro de Geometria Diferencial da UFRJUniversidade Federal do Rio de Janeiro. 01 a 05 de agosto de 2005. Data da palestra:
03 de agosto.
PINTO, R. M. C. Parecer ad-hoc do artigo número 055/05 da REVISTA SCIENTIA
AGRICOLA. Novembro de 2005.
SARAMAGO, S. F. P. Parecer ad-hoc para o Processo Capes AEX 1016/05-9: título:
Reconstrução de Superfícies no Planejamento de Trajetórias de tarefas de Robôs
através de Diagramas de Voronoi ; Autor: Altamir Dias; ago/05.
SARAMAGO, S. F. P. Parecer ad-hoc para o Evento: Iberian Latin American
Congress On Computational Methods In Engeneering- CILAMCE 2005, paper code:
CIL0200, Title: Aplicação de Métodos de Otimização Não Linear na Definição da
Composição Granulométrica de Agregados, ago/05.
SARAMAGO, S. F. P. Parecer ad-hoc para o Evento: Iberian Latin American
Congress On Computational Methods In Engeneering - CILAMCE 2005, paper code:
CIL0659, Title: Reliability –Based Desig Optimization of Reinforced Concrete CrossSection under Uniaxial Moment and axi8al Force, ago/05.
SOUZA Jr. A. J. Consultor ad hoc do artigo "Filosofia da Matemática e Educação
Matemática para a concessão de incentivo funcional por produção científica". IV
CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM E EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA. Universidade Estadual de Feira de Santana.
SOUZA Jr., A. J. Consultor ad-hoc do artigo "Visão de Matemática: processo
infindável de movimentos e desdobramentos para a concessão de incentivo funcional
por produção científica". IV CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM E
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Universidade Estadual de Feira de Santana.
GUIMARÃES, E. C. Consultoria Científica à Revista de Matemática e Estatística.
Artigo "22/05 RevMat.Est". 2o. Semestre de 2005. (consultoria Científica).
GUIMARÃES, E. C. Consultoria Científica ao Instituto de Pesquisas e Estudos
Florestais - IPEF - Manuscrito 0040/04. 2005. (Consultoria Científica).
JAFELICE, R. S. M. Parecer ad-hoc do artigo "A Self-Learning Fuzzy Discrete Event
System for HIV/AIDS Treatment Regiment Selection". SMCB – E-10282005-0732 IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics – Part B.
TAVARES, M. Consultor ad-hoc da Revista Horticultura Brasileira – Manuscrito HB
344-05. 2005. (consultoria Científica).
TAVARES, M. Consultor ad-hoc da Revista Horticultura Brasileira – Manuscrito no
5220. 2005. (consultoria Científica).
TAVARES, M. Consultor ad-hoc da Revista Brasileira de Botânica – Manuscrito no
49/05. 2005. (consultoria Científica).
TAVARES, M. Consultor ad-hoc da Revista Bragantia – Manuscrito no 397/05. 2005.
(consultoria Científica).
TAVARES, M. Consultor ad-hoc da Revista Brasileira de Botânica – Manuscrito no
404/05. 2005. (consultoria Científica).
BARCELOS, C. A. Z. Parecer ad-hoc. CNPq - Processo 304574/2005-8. out/2005.
BARCELOS, C. A. Z. Parecer ad-hoc. CNPq - Processo 305737/2005-8. out/2005.
BARCELOS, C. A. Z. Parecer ad-hoc. CNPq - Processo 304091/2005-7. out/2005.
BARCELOS, C. A. Z. Parecer ad-hoc. CNPq - Processo 460099/2005-1. dez/2005.
BARCELOS, C. A. Z. Parecer ad-hoc. IPSE – Inverse problem in Science and
Engineering. No. IPSE-05416. nov/2005.
BARCELOS, C. A. Z. Parecer ad-hoc. Journal IEE Proc. Vision, Image & Signal
Processing. No. Vis-2004-5242. set/2005.
BARCELOS, C. A. Z. Parecer ad-hoc. Journal of Mathematical Imaging and Vision.
No. JMIV48. out/2005.
BOTELHO, G. M. A. Resenha publicada no Mathematical Reviews-AMS:
Factorization of injective ideals of n-homogeneous polynomials, by H. Braunss and H.
Junek, in J. Math. Anal. Appl. 297 (2004), 740-750, AMS-2005.
BOTELHO, G. M. A. Resenha publicada no Mathematical Reviews-AMS:
Dominated, diagonal polynomials on lp-spaces, by R. Cilia and J. Gutierrez, in Arch.
Math. 84 (2005), 421-431, AMS-2005.
BOTELHO, G. M. A. Resenha publicada no Mathematical Reviews-AMS: Extension
of vector-valued integral polynomials, by D. Carando and S. Lassalle, in J. Math. Anal.
Appl. 307 (2005), 77-85, AMS-2005.
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