OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 2011
7.ª e 8.ª SÉRIES/8.º e 9.º ANOS
1. A tecla da divisão da calculadora de Arnaldo parou de funcionar, mas nem por isso ele
deixou de efetuar as divisões, pois a tecla de multiplicação funciona normalmente. Para
calcular 3 252:25, ele deverá multiplicar 3252 por...
Resposta: 0,04
Solução:
2. A administradora de um condomínio com quatro prédios de 20 andares cada um e com 6
apartamentos por andar fez uma pesquisa para computar quantas sacolas plásticas, utilizadas
na coleta das fezes dos cães de estimação, são descartadas. A administradora verificou que
20% dos apartamentos possuem um cachorro e que cada um desses apartamentos gasta, em
média, três sacolas plásticas por dia para coletar as fezes do seu animal de estimação. No
período de um ano (considere o ano com 365 dias), quantas sacolas plásticas usadas na
situação descrita vão para o lixo nesse condomínio?
Resposta: 105 120 sacolas por ano
Solução:
4x 6 x 20 = 480 aptos
20% de 480 aptos = 96 apartamentos
96 x 3 = 288 sacolas por dia
288 sacolas x 365 dias = 105 120 sacolas por ano
3. O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) apurou, no Censo de 2010, que a
população do Brasil era de 190 732 694 pessoas, tendo o dia 1.º de agosto de 2010 como
referência. O Estado de São Paulo tinha, nessa data, 41 252 160 pessoas. Qual a porcentagem
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OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 2011
de brasileiros que vivem no estado de São Paulo contados até o dia 1.º de agosto de 2010?
Resolva usando duas casas decimais sem aproximação.
Resposta: 21,62%
Solução:
190 732 694
41 252 160
100%
x
190 732 694 x = 41 252 160 . 100
x = 21,62%
4. Anulada
5. Uma camionete tem a capacidade de carregar 60 sacos de cimento ou 360 telhas. Essa
camionete está carregada com 120 telhas. Quantos sacos de cimento ela pode ainda carregar?
Resposta: 40 sacos
Solução:
60 sacos = 360 telhas, logo, 1 saco = 6 telhas.
120 telhas : 6 = 20 sacos.
60 – 20 = 40 sacos
6. Se eu colocar um comprimido por dia em copos numerados de 1 a 10 obedecendo à
seguinte regra: no 1.º dia, coloco um comprimido por copo a partir do 1.º copo; no 2.º dia,
coloco um comprimido por copo a partir do 2.º copo; no 3.º dia, coloco um comprimido por
copo a partir do 3.º copo e assim sucessivamente até o último copo. Quantos comprimidos
foram colocados no final dos 10 dias?
Resposta: 55 comprimidos
Solução:
2
OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 2011
Total: 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 +1 = 55 comprimidos
7. Em um jogo de computador, Mário já disputou 179 partidas e obteve 72 vitórias, atingindo
40,22% de rendimento nesse jogo. Quanto o jogador terá de rendimento se perder a próxima
partida?
Resposta: 40%
Solução:
8. O perímetro do retângulo inscrito no trapézio isósceles é de 150 cm, sendo o comprimento
do retângulo o dobro da sua altura. Sabendo que os segmentos AB e CD são congruentes e
medem 10 cm cada um, qual a área do trapézio ADEF?
Resposta: 1 500 cm²
Solução:
3
OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 2011
9. Uma prova de corrida de rua ocorreu em torno de algumas ruas de uma determinada cidade
e os competidores deram várias voltas nesse percurso para completar a prova. Nessa prova só
competem
amadores
e
todos
partem
juntos.
Analisando
o
desempenho
de
quatro
competidores na primeira volta, verificou-se o seguinte: o primeiro completou a primeira volta
em 1 minuto e 10 segundos; o segundo, em 1 minuto e 20 segundos; o terceiro, em 1 minuto
e 40 segundos; e o quarto, em 2 minutos. Quanto tempo, em horas e minutos, esses
competidores, mantendo a mesma velocidade obtida na primeira volta, deveriam ficar
correndo para se encontrarem novamente na linha de saída?
Resposta: 2h 20 min
Solução:
1 minuto e 10 segundos = 70 segundos
1 minuto e 20 segundos = 80 segundos
1 minuto e 40 segundos = 100 segundos
2 minutos = 120 segundos
Mmc (70, 80, 100,120) = 8.400 segundos
8400 segundos : 60 = 140 minutos = 2h 20 minutos.
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OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 2011
10. Um recipiente com a forma de um paralelepípedo tem as seguintes dimensões: 25 cm de
comprimento, 0,3 m de altura e 150 mm de largura. Qual a capacidade máxima desse
recipiente, em litros?
Resposta: 11,25 litros
Solução:
1 litro = 1dm³
Comprimento = 25 cm = 2,5 dm
Altura = 0,3 m = 3 dm
Largura = 150 mm = 1,5 dm
Volume = 2,5 x 3 x 1,5 = 11,25 dm³ = 11,25 litros. O que não é implícito no problema é a
conversão de dm³ para litros porque a pergunta foi qual a capacidade.
11. Ao analisar as ninhadas de uma criação de cachorros, entre cachorros brancos e pretos, o
criador verificou que: a) 60% do total de cães nascidos são machos; b) 60 cadelas são
brancas; c) 80% do total de cães são pretos; d) 40% dos cães brancos são machos. Qual é o
número de cães machos e pretos?
Resposta: 260 cães machos e pretos.
Solução:
80% do total pretos
60% do total machos
40% brancos machos
60 cadelas brancas
Machos e pretos?
60 cadelas brancas => como 40% brancos são machos => 60% cadelas brancas
40% brancos machos => 40 cães brancos e machos
100 cães brancos => 20% do total
100% = 5 x 20% => 5 x 100 = 500 cães no total (entre machos e fêmeas)
80% do total pretos => 80% de 500 = 400 cães pretos (entre machos e fêmeas)
60% do total machos => 60 % de 500 = 300 cães machos (entre pretos e brancos)
Resposta final:
300 cães machos – 40 cães machos e brancos = 260 cães machos e pretos.
12. Em um domingo à tarde, uma sorveteria entrevistou 37 pessoas sobre suas preferências
de sabores de sorvete: 8 delas disseram que gostam de sorvete de morango, creme e
chocolate; 4 gostam de sorvete de creme e chocolate; 5 gostam de sorvete de morango e
chocolate; 9 gostam de sorvete de morango e creme; 3 gostam somente de morango; 5
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OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 2011
gostam somente de creme e 2 gostam somente de chocolate. Quantas das pessoas
entrevistadas não gostam de nenhum destes três sabores: creme, chocolate ou morango?
Resposta: 1 pessoa
Solução:
8 pessoas: morango, creme e chocolate
4 pessoas só creme e chocolate mas não morango
5 pessoas só morango e chocolate mas não creme
9 pessoas só morango e creme mas não chocolate
3 pessoas: só morango
5 pessoas: só creme
2 pessoas: só chocolate
Basta subtrair do total de pessoas entrevistadas a quantidade de pessoas que optou por cada
combinação de sabores.
37 pessoas – 8 – 4 – 5 – 9 – 3 – 5 – 2 = 1 pessoa.
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OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 2011
Fase 2
1. Um fio de arame de 78 metros de comprimento serve para fabricar pregos de 3,25 cm, que
são vendidos a R$ 0,32 a dúzia. Quanto o fabricante receberá na venda dos pregos feitos com
esse fio?
Resposta: R$ 64,00
Solução:
78 m = 7800 cm
7800 : 3,25 = 2400 pregos
2400 : 12 = 200 dúzias
200 . R$ 0,32 = R$ 64,00
2. Um relógio de ponteiros marca exatamente 8 horas e 30 minutos. Qual é a medida, em
graus, do menor ângulo formado pelos ponteiros nesse instante?
Resposta: 75°
Solução:
Enquanto o ponteiro dos minutos percorre os 180° do 12 até o 6, o ponteiro das horas
percorre metade da distância entre o 8 e o 9.
A distância entre dois números, no relógio, é:
360° : 12 = 30°
Portanto, o ponteiro das horas percorreu a metade disso, 15°.
A distância entre os dois ponteiros, então, corresponde à distância entre o 6 e o 8, acrescida
dos 15° percorridos pelo ponteiro menor:
30° + 30° + 15° = 75°
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OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 2011
3. Em um certo dia da semana, uma piscina de uma academia, com dimensões
20 m de
comprimento, 10 m de largura e 1,5 metro de profundidade, estava cheia até os seus 0,9 de
volume. Qual era o volume de água dessa piscina, em metros cúbicos, ao final de um dia de
atividade, considerando que cada um dos 300 alunos que frequentaram a piscina nesse dia
saiu levando no corpo, cabelos e roupa, a média de 800 ml de água?
Resposta: 269,76 m³
Solução:
4. ANULADA
5. Com quais dimensões, em centímetros, seria representado, em uma planta baixa de um
apartamento, um quarto de forma quadrada e de área de 9 m² usando a escala 1:20?
Resposta: 15 cm x 15 cm
Solução:
8
OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 2011
6. Um relógio de pêndulo muito antigo está com problema e atrasa 20 segundos a cada 4
horas. D. Maria não acredita que ele está com problema e sempre se baseia nesse relógio para
seus afazeres do dia a dia. Hoje, a empregada acertou a hora do relógio às 15 h, sem saber
que D. Maria marcou uma consulta para daqui a uma semana às 11 h. Com quanto tempo de
atraso D. Maria chegará para a consulta, se o relógio não for acertado novamente até lá?
Resposta: 13 minutos e 40 segundos
Solução:
4 horas => 20 segundos
24 horas => 6 x 20 segundos = 120 segundos = 2 minutos por dia
2 minutos por dia x 7 dias = 14 minutos
Como a consulta dela será às 11 h, terão que ser retirados 20 segundos, ou seja, ela atrasará
13 minutos e 40 segundos.
7. Às 15 h de um sábado, havia 200 carros no estacionamento de um shopping e, a partir
dessa hora, a cada 30 minutos entraram, em média, 30 carros através de cada uma das
quatro cancelas de controle de entrada. Quantos carros havia no estacionamento às 18h e 12
minutos sabendo-se que nesse mesmo período saíram, em média, a cada 30 minutos, 15
carros através de cada uma das três cancelas de saída?
Resposta: 680 carros
Solução:
Em 30 minutos entram: 4 x 30 = 120 carros
Em 1 hora entram: 120 x 2 = 240 carros
Em 3 horas entram: 240 x 3 = 720 carros
Em 12 minutos: 12 minutos cabem 2,5 x em 30 minutos => 120 : 2,5 = 48 carros
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OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 2011
Em 3h12 entram: 720 + 48 = 768 carros
Em 30 minutos saíram: 3 x 15 = 45 carros
Em 1 hora saíram: 45 x 2 = 90 carros
Em 3 horas saíram: 3 x 90 = 270 carros
Em 12 minutos: 45 : 2,5 = 18 carros
Em 3h12 saíram: 270 + 18 = 288 carros
Já tinha 200 carros no estacionamento e entraram 768 = 968 carros
Saíram 288 carros => 968 - 288 carros = 680 carros
8. Carolina coordenou uma campanha para arrecadar livros de leitura que serão doados para
uma instituição que cuida de crianças carentes. O número de livros arrecadados nos três
primeiros dias seguiu os valores demonstrados na tabela abaixo. Seguindo a mesma
proporção, quantos livros ela arrecadou no 10.º dia?
Resposta: 1 024
Solução:
9. Considerando o intervalo dos números entre 230 e 310, qual o resultado da soma do
primeiro e do último múltiplo de 15 compreendidos entre esses números?
Resposta: 540
Solução:
230 : 15 = 15,3... logo, o primeiro número múltiplo de 15 é 15 x 16 = 240.
Somando-se 15: 255
Somando-se 15: 270
Somando-se 15: 285
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OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 2011
Somando-se 15: 300
Soma do primeiro e último: 240 + 300 = 540.
10. Do total de alunos do 8.° ano de uma escola,
2
2
são meninos. Se
das meninas têm 13
5
3
anos, 60% das meninas de 13 anos têm olhos pretos e sabendo-se que as meninas de 13 anos
e de olhos pretos são em número de 24, determine quantas turmas do 8.° ano tem essa
escola, se cada turma tem 25 alunos.
Resposta: 4 turmas
Solução:
11. O triatlon olímpico é uma prova esportiva composta de: 1500 metros de natação, 40
quilômetros de ciclismo e 10 quilômetros de corrida. Um atleta teve o seguinte desempenho
em relação ao tempo de prova em duas competições consecutivas:
Considerando a prova completa, qual foi a diferença de tempo nas duas competições?
Resposta: 4 minuto(s) e 1 segundo(s)
Solução:
Natação: 18 minutos e 20 segundos = 18 x 60 + 20 = 1.100 segundos, que equivale a 100%
=> logo 10% = 110 segundos
2.ª competição: 1.100 segundos + 110 segundos = 1.210 segundos = 20 min 10 s
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OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 2011
Ciclismo: 1 h 17 min = 3.600 + 1.020 = 4.620 segundos, que equivale a 100% => logo 10%
= 462 segundos => 5% = 231 segundos
2.ª competição: 4.620 - 231 = 4.389 segundos => 1 h 13 min 9 s
Corrida: 40 minutos que equivale a 100% => logo 10% = 4 minutos => 5% = 2 minutos
2.ª competição: 40 - 2 = 38 min
Tempo total na 1.ª competição:
18 min 20 s + 1 h 17 min + 40 min => 2 h 15 min 20 s
Tempo total na 2.ª competição:
20 min 10 s + 1h 13 min 9 s + 38 min => 2 h 11 min 19 s
2h 15 min 20 s - 2h 11 min 19 s = 4 min e 1 s
12. Maria queria distribuir 9 figurinhas para cada aluno de sua turma. Quando ela contou as
figurinhas, percebeu que tinha 3 a mais do que precisava. Além disso, no dia da distribuição,
chegaram mais 2 alunos à sua turma. No fim, cada aluno recebeu 8 figurinhas e não sobrou
nenhuma. Quantas figurinhas Maria tinha ao todo?
Resposta: 120 figurinhas
Solução: Para resolver essa questão, vamos montar uma tabela em que consideraremos um
número possível de alunos e quantos eles seriam depois de entrar mais dois alunos na turma.
Com base no número de alunos, podemos calcular o número de figurinhas. A resposta é o
número que aparece na segunda e na quarta colunas, quando eles forem iguais.
12
OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 2011
Fase 3
1. Uma planta invasora começa a gerar sementes quando completa quatro anos de idade. Ela
gera mil sementes por ano, sempre no mesmo mês. Dessas sementes, 10% germinam e
formam novas plantas.
Se uma área é invadida inicialmente por uma planta com essa característica, considerando-se
que o processo não sofre alterações com mudanças ambientais, quando essa planta completar
oito anos de vida, quantas plantas, ao todo, haverá nesse lugar?
Resposta: 10 501 plantas
Solução:
Final do ano 1: planta 1
Final do ano 2: planta 1
Final do ano 3: planta 1
Final do ano 4: planta 1 + 100 plantas novas (que ainda não dão sementes)
Final do ano 5: planta 1 + 100 plantas com 1 ano (que ainda não dão sementes) + 100
plantas novas (que ainda não dão sementes)
Final do ano 6: planta 1 + 100 plantas com 2 anos (que ainda não dão sementes) + 100
plantas com 1 ano (que ainda não dão sementes) + 100 plantas novas (que ainda não dão
sementes)
Final do ano 7: planta 1 + 100 plantas com 3 anos (que ainda não dão sementes) + 100
plantas com 2 anos (que ainda não dão sementes) + 100 plantas com 1 ano (que ainda não
dão sementes) + 100 plantas novas (que ainda não dão sementes)
Final do ano 8: planta 1 + 100 plantas com 4 anos + 10000 plantas novas (que ainda não dão
sementes) + 100 plantas com 3 anos (que ainda não dão sementes) + 100 plantas com 2 anos
(que ainda não dão sementes) + 100 plantas com 1 ano (que ainda não dão sementes) + 100
plantas novas (que ainda não dão sementes) = 10501 plantas
2. Um número é formado de dois algarismos e a soma dos seus valores absolutos é 10.
Trocando as posições desses algarismos entre si, o novo número é 4 vezes o número dado
acrescido de 15. Qual é o número?
Resposta: 19
Solução:
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OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 2011
3. Um engenheiro florestal está desenvolvendo um projeto de restauração ambiental em uma
área que apresenta um problema muito sério com uma espécie de árvore exótica invasora,
conhecida como pinheiro-americano, e essas árvores devem ser cortadas. Ele contratou um
trabalhador para cortar as árvores pequenas e esse profissional consegue cortar 12 dessas
árvores em 8 minutos. Mas o engenheiro tem um prazo de entrega desse serviço e calculou
que necessita que sejam cortadas 12 árvores a cada dois minutos. Quantos funcionários o
engenheiro ainda precisa contratar, que trabalhem no mesmo ritmo do primeiro trabalhador
contratado, para cumprir o prazo de entrega do serviço?
Resposta: 3 funcionários
Solução:
O primeiro funcionário: 12 : 4 = 3 árvores a cada dois minutos.
12 - 3 = 9 árvores a cada dois minutos.
Cada funcionário corta 3 árvores a cada dois minutos => Logo, mais 3 funcionários.
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OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 2011
Fase 4
1. Os quadrados a seguir foram construídos obedecendo-se a uma regra. Que número está
faltando na última figura?
Resposta: X = 1
Solução:
2. Um professor propôs 20 problemas a um aluno, estabelecendo as seguintes condições:
daria 5 pontos por solução correta e tiraria 3 pontos por solução errada ou problema não
resolvido. O número de pontos que o aluno recebeu excedeu em 44 o número de pontos que
ele perdeu. Quantos problemas esse aluno acertou?
Resposta: 13 problemas
Solução:
15
OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 2011
Esse aluno acertou 13 problemas.
3. No mês passado, uma administradora de condomínios pagou R$ 2.400,00 pelo consumo de
gás dos moradores de um prédio que administra. O gás é vendido a R$ 2,50 o quilograma,
mas é cobrado em m³ dos moradores. Se um morador pagou R$ 18,00 pelo seu consumo de 3
m³ de gás, quantos quilogramas de gás ele gastou?
Resposta: 7,2 quilos
Solução:
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