CONTEÚDOS
QUESTÕES
INTERDISCIPLINARES
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Mande-me um e-mail
Sen a = cateto oposto
hipotenusa
Cos a = cateto adjacente
hipotenusa
Cateto oposto
1. Razões trigonométricas
a
Cateto adjacente
tan a = Sen a = cateto oposto
Cos a
cateto adjacente
Ops, Bichão!!!
• Em todo triângulo retângulo, o quadrado da
medida da hipotenusa é igual a soma dos
quadrados das medidas dos catetos. Daí,
temos:
a
2
b c
2
2
• Em todo triângulo, a soma dos ângulos
internos é igual a 180º. Daí, temos:
       180º
• Quando a soma das medidas de dois ângulos é
90º, eles são chamados complementares. Daí,
temos:
    90º
C
(= (90º - )
c
a
A
B
b
()
C
(= (90º - )
c
A
a
b
Note que:
  (90º  )
c
Sen  
a
b
Cos 
a
b
a
c
Cos (90º  ) 
a
Sen (90º  ) 
Sen  Cos (90º  )
Cos  Sen (90º  )
B
()
1
tg (90º  )
ou
1
tg  
tg 
ou
tg  .tg (90º  )  1
tg  
Euclides de Alexandria foi um dos maiores
matemáticos da Antiguidade, que viveu por volta
do século III a.C, na Grecia.
Sua obra Os elementos tornou-se muito
famosa. Trata-se de proposições que hoje são
conhecidas como Lei dos Cossenos.
No século VII viveu um matemático hindu
Bramagupta. Na obra sobre astronomia que ele
escreveu no ano 628, dois, dos 21 capítulos, são
dedicados à matemática, em especial a Lei dos
Senos.
Na obra de Bramagupta, a Lei dos Senos,
em linguagem atual, é assim escrita:
Em um triângulo qualquer, a razão entre
a medida de um lado e o seno do ângulo
oposto a esse lado é constante.
Assim, se a, b e c são as medidas dos
lados de um triângulo ABC e Â, ^B e ^C são
ângulos respectivamente opostos a esses lados.
Daí temos:
a
b
c


Sen Aˆ Sen Bˆ Sen Cˆ
a
b
c
Demonstração:
Tomemos
um
triângulo acutângulo
ABC, de altura AH,
relativa ao lado BC,
como mostra a figura
a seguir.
A
B
H
a
C
Observando o triângulo
AHB, podemos escrever:
A
c
b
AH
Sen Bˆ 
 AH  c . sen Bˆ ( I )
c
No triângulo AHC, temos:
B
H
a
AH
ˆ
Sen C 
 AH  b . sen Cˆ ( II )
b
C
A
De (I) e (II), temos:
c . sen Bˆ  b . sen Cˆ
ou
b
c

SenBˆ SenCˆ
c
B
b
H
a
C
Traçando a altura BK, relativa
ao lado AC, obtemos os
triângulos BAK e BCK.
No triângulo BAK temos:
BK
sen  
 BK  c . Sen ( III )
c
b
No triângulo BCK, temos:
BK
ˆ
sen C 
 BK  a . SenCˆ ( IV )
a
b
Daí, temos:
a
c

SenÂ
Sen Ĉ
Portanto:
a
b
c


ˆ
ˆ
SenÂ
SenB
SenC
Se Ligue, Bichão!!!
Se o triângulo ABC utilizado fosse
obtusângulo ou retângulo, teríamos chegado à
mesma expressão. Então, usamos a lei dos
senos:
 Quando são dados dois ângulos e o lado
oposto a um destes ângulos;
 Quando são dados dois lados e um ângulo
que não seja o formado pelos lados.
01-R) Qual é a distância entre as duas
árvores?
01-RESOLUÇÃO:
d
500

Sen 120º
Sen 45º
Sen 120º . 500
d
Sen 45º
01-RESOLUÇÃO:
3
Como Sen 120º 
e
2
2
Sen 45º 
, temos :
2
3
. 500
d 2
2
2
3 2
d
.
. 500
2
2
6 . 500
d
2
2,45 . 500
d
2
d  612,5 metros
02-R - Os ângulos de um triângulo medem x,
2x e 3x. O menor dos lados mede 5 cm.
Quanto mede o lado maior?
5
a

Sen30º
Sen90º
RESOLUÇÃO:
C
a
5 cm
A
B
x  2 x  3x  180º
x  30º
5
a

1
1
2
5 2
a  .  a  10
1 1
Sejam a, b e c as medidas dos lados de um
triângulo não-retângulo e ,  e  as medidas dos
ângulos respectivamente opostos aos lados.
C

a
b
h

H
m

A

c
B
Demonstração:
Observando a figura, temos:
No triângulo CHB:
C
a 2  h 2  (c  m) 2 ( I )

a
No triângulo CHB:
h
b  h  m ( II )
2
2
2
H
b
 
m A

c
B
Demonstração:
De (I) e (II):
m
Cos  , ou seja,
b
m  b . Cos ( IV )
a 2  b 2  m 2  ( c  m) 2
Substituindo IV em III,
temos:
a 2  b 2  c 2  2 . c . m ( III )
a 2  b 2  c 2  2 . b . c . Cos 
Retornando
ao
triângulo CHA, temos:
Observe no triângulo que
 e  são ângulos
suplementares, e  é
obtuso. Logo, Cos  = Cos . Daí, temos:
Observe no triângulo que  e  são ângulos
suplementares, e  é obtuso. Logo, Cos  = - Cos
. Daí, temos: a 2  b 2  c 2  2 . b . c . Cos 
Ops, Bichão!!!
Se o triângulo ABC utilizado fosse acutângulo ou
retângulo, chegaríamos às mesmas conclusões.
Usamos a lei dos cossenos:
• Quando são dados dois lados do triângulo e o
ângulo por eles formado.
• Quando são dados os três lados do triângulo.
Conhecendo dois lados de um triângulo e o
ângulo que eles formam, podemos calcular a área
desse triângulo aplicando a lei das áreas.
Note que:
A área de um triângulo qualquer é igual ao
semi-produto das medidas de dois de seus lados
pelo seno do ângulo formado por eles.
Sejam a, b e c as medidas dos lados de um
triângulo ABC, e Â, B̂ e Ĉ os ângulos
respectivamente opostos a esses lados. A área S
desse triângulo é dada por:
1
S  . a . b . Sen Cˆ
2
1
1
. b . c . Sen   . a . c . Sen Bˆ
2
2
Demonstração:
Considere o triângulo obtusângulo ABC da
figura, cuja área é dada por:
Pelo
triângulo
temos:
ACD,
h
Sen (180º  Â ) 
b
C
a
h
b
180º - Â
Como Sen (180º - Â) =
Sen Â, podemos escrever:
h
Sen    h  b . Sen Â
b
D
Â
A
c
B
Substituindo o valor de h em (I), obtemos:
1
S  . b . c Sen Â
2
C
a
h
180º - Â
D
Â
A
c
B
1. Introdução
B
O
Arco AB
A
Dois
pontos
quaisquer de uma
circunferência, divide
essa circunferência
em duas partes,
cada uma delas
chama-se arco de
circunferência.
Ângulo central
Equivalência:  rd = 180o
Todo ângulo que tem o vértice coincidente com o
centro de uma circunferência é denominado ângulo
central.
A cada arco de circunferência corresponde um
ângulo central.
Ops, Bichão!!!
A medida do ângulo central é igual à medida do arco
correspondente.
B
O
Arco AB
A
Ângulo central
As unidades mais usadas para medir arcos e
ângulos são o grau e o radiano.
Ops, Bichão!!!
O grau (º) corresponde 1/360º da circunferência na
qual está o arco a ser medido.
Submúltiplos do grau:
O minuto (´);
• O segundo (´´)
•
1º = 60´
1´ = 60´´
comprimento do arco AB
med ( AB ) 
medida do raio
Note que :
med (AB)   , comprimento do arco AB  
e medida do raio  r, temos :

     2 rad
r
Se ligue, Bichão!!!
 O arco de volta inteira mede 2 rad,
independente do valor do raio.
 É muito comum a omissão do rad nas
medidas expressas em radianos.
Assim, quando se escreve que a medida
de um arco é igual a 3 , igual 2 , etc,
subtende - se que essa medida é igual a
3 rad , 2 rad etc.
Ops, Bichão!!!
 Uma circunferê ncia mede 360º ou 2 rad ,
ou então, podemos dizer que : 180º correspondem
a  rad .
 Utilizando uma regra de três simples, podemos
transformar a medida de um arco, dada em graus,
para radianos e vice - versa.
01. (UFRN-2010) - Dois garotos
estavam conversando ao lado de uma
piscina, nas posições A e B, como
ilustra a figura ao lado. O garoto que
estava na posição A observou que o
ângulo CÂB era de 90º e que as
distâncias BD e AD eram de 1m e 2m,
respectivamente. Sabendo que o
garoto da posição B gostava de
estudar geometria, o da posição A
desafiou-o a dizer qual era a largura da
piscina. A resposta, correta, do garoto
da posição B deveria ser:
A) 4 m
B) 5 m
C) 3 m
D) 2 m
02. (UFSCar-2007) - Os satélites de comunicação são
posicionados em sincronismo com a Terra, o que
significa dizer que cada satélite fica sempre sobre o
mesmo ponto da superfície da Terra. Considere um
satélite cujo raio da órbita seja igual a 7 vezes o raio da
Terra. Na figura, P e Q representam duas cidades na
Terra, separadas pela maior distância possível em que
um sinal pode ser enviado e recebido, em linha reta,A
por esse satélite.
Se r é a medida do raio da Terra, para ir de P até Q,
passando pelo satélite, o sinal percorrerá, em linha reta, a
distância de:
A) 6r 3
B) 7r 3
C) 8r 3
D)11r 3
03. (UNICAMP-2011) - Quando um carro não se move di
retamente na direção do radar, é preciso fazer uma
correção da velocidade medida pelo aparelho (Vm) para
obter a velocidade real do veículo (Vr). Essa correção
pode ser calculada a partir da fórmula Vm = Vr . cos (α) ,
em que α é o ângulo formado entre a direção de tráfego
da rua e o segmento de reta que liga o radar ao ponto da
via que ele mira. Suponha que o radar tenha sido
instalado a uma distância de 50 m do centro da faixa na
qual o carro trafegava, e tenha detectado a velocidade do
carro quando este estava a 130 m de distância, como
mostra a figura abaixo.
Se o radar detectou que o
carro trafegava a 72 km/h,
sua velocidade real era igual
a
A) 66,5 km/h.
B) 78 km/h.
C) 36 3 km/h.
D) 144 / 3 km/h.
04. (UFRN-2009) - Para medir a altura de uma
árvore, da qual não podia aproximar-se, um
ambientalista colocou, a certa distância dessa
árvore, um cavalete de 1 m de altura e observou
seu ponto mais alto, segundo um ângulo de 300.
Aproximando-se mais 10 m, observou o mesmo
ponto segundo um ângulo de 450, conforme a
figura abaixo.
Com esse procedimento, o ambientalista obteve
como resultado que a altura da árvore era de:
A) 5 3 +15
B) 5 3 + 5
C) 5 3 + 6
D) 5 3 + 16
05. (UFRN-2006) - Na figura abaixo, o triângulo
BCD é eqüilátero e AB = BC. Sabendo-se que o
comprimento da viga AE é igual a 10 m, pode-se
afirmar que a altura h da extremidade E mede:
06. (UFRN-2008) - A casa central de uma fazenda
situa-se a 9 km, contados ao longo de um caminho
perpendicular à estrada reta que limita a fazenda.
Na beira da estrada e a uma distância de 15 km
da casa central, o fazendeiro construiu uma casa
para seu filho. O fazendeiro agora quer construir,
na beira da mesma estrada, um escritório que
fique igualmente distanciado da casa do filho e da
casa central.
A distância comum deverá ser:
A) entre 8 e 9 km
B) entre 11 e 12 km
C) entre 12 e 13 km
D) entre 9 e 10 km
06. (UFRN-2006) - O relógio ao
lado está marcando 2h30min.
Passadas duas horas e quinze
minutos, a medida do menor
ângulo formado pelos ponteiros
do relógio será:
A) 127,5º
B) 105º
C) 112,5º
D) 120º
07. (UFSM-2006) – No último pleito, o horário de
encerramento das votações, segundo determinação
do TSE para todo o Estado do Rio Grande do Sul,
foi às 17 horas. Passados 5 minutos do
encerramento, o menor ângulo entre os ponteiros
do relógio era de:
A) 123º
B) 122º30’
C) 122º
D) 120º30’
09. (UFVC-2010) - Quantos graus têm o arco
descrito pelos ponteiros de um relógio, quando
eles se encontram pela primeira vez após as 14
horas?
A) 5º 27’
B) 5º 37’
C) 5º 40’
D) 5º 45’
10. (UFVC-2009) – Determine a medida do arco
descrito pelos ponteiros de um relógio, quando eles se
encontram pela primeira vez após as 17 horas?
A) 13º 38’ para o ponteiro menor e 163º38’ para o
ponteiro menor.
B) 23º 28’ para o ponteiro menor e 263º38’ para o
ponteiro menor.
C) 43º 38’ para o ponteiro menor e 263º38’ para o
ponteiro menor.
D) 53º 38’ para o ponteiro menor e 163º38’ para o
ponteiro menor.
11. (UFVC-2009) - O Sr. Trigonométrico um dos
maiores professores da historiografia da literatura
Matemática, nas suas horas vagas costuma
passar o seu tempo em um salão de beleza. Certo
dia ao embelezar-se em sua casa de frente ao
espelho plano S, vertical e de costas para uma
planta com altura igual a 6,0 m, quis medir o
comprimento do espelho para que possa ver a
imagem completa da planta. Qual deve ser o
mínimo comprimento desse espelho? Observe a
ilustração abaixo.
6,0 m
3,0 m
12. (UNISSINOS-2006) - O esquema abaixo
representa uma casa em construção, com um
telhado de 20º de “caimento”. Sabendo-se que o
telhado mede 6 m em cada lado e que, até a laje
do teto, a casa tem 3 m de altura, o ponto mais
alto da casa se encontra a uma altura de: (sen 20º
 0,34; cos 20º  0,94; tg 20º  0,36)
a) 9 m
b) 8,6 m
c) 7,64 m
d) 5,04 m
OBS: AS QUESTÕES FORAM
EXTRAÍDAS DOS
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