4.2 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO
4.2.1. Equação; Curvaturas Principais; Teorema de Euler
4.2.2.1 Conceitos sobre curvaturas
4.2.2 Comprimento de um arco de elipse meridiana
4.2.3 Áreas sobre o elipsóide
4.2.4 Latitude Geocêntrica e Reduzida
4.2.4.1 Exercícios
4.2.5 Seções normais no elipsóide
4.2.5.1 Seções normais recíprocas
4.2.5.2 Ângulo formado por duas seções normais recíprocas
4.2.5.3 Separação entre arcos de duas seções normais recíprocas
4.2.6 Linha geodésica
4.2.6.1 Teorema de Clairaut
4.2.6.2 Curvatura da geodésica
4.2.6.3 Diferença de comprimento entre a geodésica e a seção normal
4.2.6.4 Ângulo formado entre a geodésica e as seções normais recíprocas
4.2.7 Aproximação esférica
4.3 REFERÊNCIAS
1
3
6
10
12
13
15
16
18
21
22
23
25
26
26
27
28
29
1
4.2 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO
O elipsóide de revolução é a figura gerada pela rotação de uma elipse sobre um de
seus eixos (eixo de revolução); se este eixo for o menor tem-se um elipsóide achatado.
Seja um sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais dextrógiro cuja origem
coincide com o centro do elipsóide de revolução, conforme ilustra a figura 4.1.
Figura 4.1 – Sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais associado ao elipsóide de
revolução
Z
rφ
rφ
Y
a
a
b
X
Fazendo X = 0, obtém-se no plano YZ uma elipse com semi-eixo maior a e semi-eixomenor b (figura 4.2).
Figura 4.2 – Elipse no plano YZ
b
a
Geodésia
Y
2
Fazendo Z = 0, obtém-se no plano XY uma circunferência com raio igual ao semi-eixo
maior a (figura 4.3). Os planos paralelos ao plano XY também serão circunferências cujos
raios rφ (equação 4.1) irão variar conforme a latitude.
Figura 4.3 – Circunferência no plano XY
Y
a
a
X
E fazendo Y = 0, obtém-se no plano XZ uma elipse com semi-eixo maior a e semieixo-menor b (figura 4.4).
Figura 4.4 – Elipse no plano XZ
Z
b
a
Geodésia
X
3
4.2.1 Equação; Curvaturas principais; Teorema de Euler
Existe outro elipsóide que pode representar a Terra, o elipsóide triaxial ou escaleno,
que possui três eixos desiguais, o que implica na necessidade de três parâmetros para defini-lo
matematicamente e um quarto parâmetro para definir a direção do semi-eixo maior.
Um elipsóide triaxial ou escaleno (figura 4.5), com centro na origem do sistema
cartesiano considerado, tem a seguinte equação:
+
x2
a2
+
y2
c2
+
z2
b2
(4.1)
=1
Na equação (4.1) as variáveis x, y e z podem assumir os intervalos -a ≤ x ≤ a
-c ≤ y ≤ c e - b ≤ z ≤ b;
A condição da equação (4.1) é que os semi-eixos do elipsóide triaxial assumam a
seguinte ordem de grandeza:
b<c<a
(4.2)
Figura 4.5 – Elipsóide triaxial ou escaleno
Z
b
c
Y
a
X
As seções determinadas pelos planos coordenados Z = 0, Y = 0 e X = 0 são elipses
Geodésia
4
dadas pelas equações:
x2
a2
+
y2
c2
x2
=1
a2
+
z2
b2
=1
y2
c2
+
z2
b2
(4.3)
=1
A seção produzida por um plano paralelo ao plano Z = 0, por Z = d é dada pela
equação (4.4) que representa uma elipse:
x2
a2
b2
+
(b − d )
2
2
y2
c2
b2
(4.4)
=1
(b − d )
2
2
De maneira análoga, as seções produzidas por planos paralelos aos demais planos
coordenados também são elipses. Fazendo na equação (4.1) a = c, a seção será uma
circunferência para todos os valores de d que satisfaçam à condição – b < d < b e tem-se um
elipsóide de revolução. Se a > b, o elipsóide de revolução será achatado e constitui a
superfície gerada pela rotação de uma semi-elipse em torno do eixo Z, definida
matematicamente pela equação:
x2 + y 2
a2
+
z2
b2
(4.5)
=1
Um elipsóide de revolução, ou biaxial, fica perfeitamente definido por meio de dois
parâmetros, o semi-eixo maior a e o semi-eixo menor b . Em Geodésia, o elipsóide de
revolução é tradicionalmente definido através dos parâmetros semi-eixo maior a e
achatamento f.
Como o elipsóide de revolução é o modelo utilizado para representar a forma da Terra
é necessário conhecer seus elementos geométricos e as relações existentes entre eles.
Da equação (4.5) deduz-se que toda seção produzida por um plano que passe pelo eixo
Z será uma elipse de semi-eixo maior a e semi-eixo menor b, e qualquer relação válida para
uma seção é válida para as demais e para o elipsóide de revolução. A seção produzida pelo
plano X = 0 na superfície representada pela equação (4.5) é uma elipse (figura 4.6) dada pela
equação:
y2
a2
Geodésia
+
z2
b2
=1
(4.6)
5
Figura 4.6 – Seção produzida pelo plano X = 0 no elipsóide de revolução
Z
P
y
a
b
P’( 0, y, z )
R
z
Q’
F
f
B
O
π/2 + φ
φ
Ψ
Q
C
P’
Sendo, na figura 4.6:
F = foco
f = distância focal
a = semi-eixo maior da elipse
b = semi-eixo menor da elipse
φ = latitude elipsóidica
Ψ = latitude geocêntrica
O achatamento f é a razão entre a diferença dos semi-eixos em módulo e o semi-eixo
maior:
f =
a −b
a
A primeira excentricidade ao quadrado e2 é dada por:
Geodésia
(4.7)
Y
6
e2 = 2 f − f 2
e2 =
a2 − b2
a2
(4.8)
(4.9)
A segunda excentricidade e’2 é fornecida por:
e '2 =
a2 − b2
b2
(4.10)
que se relaciona com a primeira excentricidade por:
(1- e2) (1+ e2) = 1
(4.11)
e2
2f − f 2
e =
=
1 − e 2 (1 − f ) 2
(4.12)
ou
'2
e2 =
e '2
1 + e '2
(4.13)
a2
1
e '2
'2
= (1 − e ) =
=
b2
1 − e2 e2
(4.14)
e 2 e '2
f =
e + e'
(4.15)
4.2.2.1 Conceitos sobre curvaturas
Seja s a distância entre dois pontos A e B sobre uma curva plana e ω o ângulo formado
pelas normais que passam por A e B (figura 4.7). Define-se a curvatura (ρ) da linha pelo
quociente:
Geodésia
7
ρ=
ω
(4.16)
s
Figura 4.7 – Curvatura
s
A
B
ω
Raio de curvatura da curva em um ponto (ou raio do círculo osculador) é o inverso da
curvatura, ou seja,
1
ρ
=
s
(4.17)
ω
Chama-se raio de curvatura principal em um ponto A de uma superfície, à seção
produzida por um plano normal à mesma, tal que o raio de curvatura correspondente seja o
máximo ou o mínimo dentre todos os possíveis.
Normalmente, em uma superfície, existirão duas seções principais. Todas as demais,
compreendidas por planos que passam pela normal ao ponto A terão raios de curvatura
compreendidos entre ambos, conforme ilustra a figura 4.8 (ASÍN, 1990, p. 167).
Restringindo-se ao elipsóide, têm-se duas seções principais, a da elipse meridiana,
com curvatura máxima e a produzida por um plano que contém a normal no ponto A e é
perpendicular ao plano do meridiano, cuja curvatura é mínima. Os raios de curvatura
correspondentes a estas seções principais são M e N (equações 4.20 e 4.18 respectivamente)
Figura 4.8 – Planos que passam pela normal no ponto A
Geodésia
8
Normal a superfície
superfície
N
M
Fonte: adaptado de ASÍN (1990, p.168)
O raio de curvatura da seção primeiro vertical N ou grande normal e a pequena normal
N’ são dados por:
N=
a
(1 − e sen φ )
2
2
1/ 2
N ' = N (1 − e 2 )
(4.18)
(4.19)
onde φ é a latitude geodésica de P.
Na figura 4.9, seja uma reta que passa por um ponto P na superfície física da Terra
perpendicular à superfície do elipsóide de revolução. Esta reta é denominada normal de P. A
distância entre os pontos P’ e P’’’ é a grande normal N e a distância entre os pontos P’ e P’’ é
a pequena normal N’.
Figura 4.9 – Grande normal N e pequena normal N’
Geodésia
9
P
Normal de P
Superfície
física
b
P’
P’’
a
P’”
O raio de curvatura da seção meridiana M é calculado por:
M=
a (1 − e 2 )
(1 − e 2 sen 2φ ) 3 / 2
(4.20)
Conhecidos os raios de curvatura principais em um ponto define-se como curvatura
média a expressão:
1
=
Rm
1
NM
(4.21)
E o raio médio de curvatura é dado por:
RM =
NM
(4.22)
Conhecendo-se o azimute A de uma seção normal em um ponto do elipsóide, o raio de
curvatura correspondente a essa seção é proporcionado pelo Teorema de Euler, que fornece o
raio de curvatura R de uma seção genérica com azimute A:
Geodésia
10
1 cos 2 A sen 2 A
=
+
R
M
N
(4.23)
A figura 4.10 ilustra o Teorema de Euler.
Figura 4.10 – Teorema de Euler
α
A
NA
OA
O raio do paralelo rφ que contém um ponto dado é fornecido pelo Teorema de
Meusnier, cujo enunciado é (GEMAEL, 1987, não paginado):
“O raio de curvatura de uma seção oblíqua cujo plano contém uma tangente à
superfície na origem é igual ao produto do raio da seção normal cujo plano contém a mesma
tangente pelo cosseno do ângulo formado pelas duas seções”.
rφ = N cos φ
4.2.2
(4.24)
Comprimento de um arco de elipse meridiana
O comprimento de um arco de elipse meridiana (figura 4.11) é dado por (GEMAEL,
1987, não paginado):
Geodésia
11
1
1
s = a (1 − e 2 )[ A(φ 2 − φ1 )" sen1"− B ( sen2φ 2 − sen 2φ1 ) + C ( sen 4φ 2 − sen 4φ1 ) −
2
4
+
1
1
1
D( sen6φ 2 − sen6φ1 ) + E ( sen8φ 2 − sen8φ1 ) − F ( sen(10φ 2 − sen10φ1 )]...
6
8
10
(4.25)
E os valores dos coeficientes A, B, C, D e E são dados por:
A = 1+
3 2 45 4 175 6 11025 8 43659 10
e +
e +
e +
e +
e + ........
4
64
256
16384
65536
(4.26)
B=
3 2 15 4 525 6 2205 8 72765 10
e + e +
e +
e +
e + ........
4
16
512
2048
65536
(4.27)
C=
15 4 105 6 2205 8 10395 10
e +
e +
e +
e + ........
64
256
4096
16384
(4.28)
D=
35 6 315 8 31185 10
e +
e +
e + ........
512
2048
131072
(4.29)
E=
315 8 3465 10
e +
e + ........
16384
65536
(4.30)
F=
693 10
e + ........
131072
(4.30’)
Geodésia
12
Figura 4.11 – Arco de elipse meridiana
1
2
Δφ
4.4.3 Áreas sobre o elipsóide
A área sobre uma zona elipsóidica (figura 4.12) é obtida por (GEMAEL, 1987, não
paginado):
φ
Aφ 2 = 4πb 2 [ A' sen Δφ cos φ m − B' sen 3Δφ cos 3φ m + C ' sen 5Δφ cos 5φ m − ...]
1
(4.31)
com
Δφ =
φm =
φ 2 − φ1
2
φ 2 + φ1
A' = 1 +
2
1 2 3 4
5 6
35 8
63 10
e + e +
e +
e +
e + ........
2
8
16
128
256
(4.32)
(4.33)
(4.34)
B' =
1 2
3 4
3 6
35 8
45 10
e +
e +
e +
e +
e + ........
64
16
16
192
256
(4.35)
C' =
3 4
1 6
5 8
45 10
e +
e +
e +
e + ........
80
16
64
512
(4.36)
D' =
1 6
5 8
15 10
e +
e +
e + ........
112
256
512
(4.37)
Geodésia
13
E' =
5 8
3 10
e +
e + ........
2304
512
(4.38)
Figura 4.12 – Zona elipsóidica
X
A área T do quadrilátero elipsóidico, compreendido entre dois paralelos e dois
meridianos é fornecida por
T = 2b 2 Δλ ( A' sen Δφ cos φ m − B' sen 3Δφ cos 3φ m + C ' sen 5Δφ cos 5φ m + .... )
4.2.4
(4.39)
Latitude geocêntrica e reduzida
Seja o ponto P’ sobre a superfície elipsóidica da figura 4.6. A normal ao elipsóide que
passa por P’ forma com sua projeção equatorial (Z=0) a latitude geodésica ou elipsóidica φ,
cuja variação é de -π/2 ≤ φ ≤ π/2, sendo considerada por convenção positiva no Hemisfério
Norte e negativa no Hemisfério Sul.
A latitude geocêntrica ψ do ponto P’ é o ângulo formado pelo raio vetor deste ponto
com sua projeção sobre o plano equatorial. A latitude geocêntrica apresenta a mesma variação
e convenção da latitude geodésica.
tgΨ = (1 − e 2 )tgφ
(4.40)
A figura 4.13 ilustra a latitude geodésica e geocêntrica no elipsóide de revolução.
Geodésia
14
Figura 4.13 – Representação da latitude geodésica e geocêntrica no elipsóide de revolução
PN
P’
φ
ψ
B
C
PS
O elipsóide de revolução possui duas esferas principais, uma com raio igual ao semieixo menor e outra com raio igual ao semi-eixo maior, ambas concêntricas, com centro no
elipsóide (figura 4.14).
Figura 4.14 – Esferas principais do elipsóide de revolução
Z
A’
r
A (0,y,z)
z
a
O
μ
y
Geodésia
Y
M
15
A superfície esférica de raio igual ao semi-eixo maior é tangente ao elipsóide ao longo
da linha equatorial. Esta superfície é conhecida por “esfera de Jacobi” ou “esfera reduzida”. A
cada ponto A situado na superfície do elipsóide de revolução corresponde um ponto A’ na
esfera reduzida, através do prolongamento da ordenada de A .
Latitude reduzida (μ) é o ângulo formado pelo raio vetor ( OA' ) do ponto imagem sobre
a esfera reduzida e sua projeção sobre o plano equatorial. Apresenta a mesma variação e
convenções das latitudes geodésicas e geocêntricas.
A relação entre latitude reduzida e latitude geodésica é dada por:
(4.41)
tgμ = (1 − e 2 )1/ 2 tgφ
4.2.4.1 Exercícios
Para um ponto de latitude geodésica φ = 25o 25’42’’S determinada no sistema
geodésico SAD 69, calcular os itens a seguir discriminados.
Para o SAD 69 o elipsóide utilizado é o de referência de 1967 cujos parâmetros são:
a = 6378160,00 m
f = 1/298,25
1) Primeira excentricidade ao quadrado:
e2 = .................................................
2) Semi-eixo menor:
b = ..................................................
3) Raio de curvatura da seção primeiro vertical:
N = .................................................
4) Pequena normal:
N’= .................................................
5) Raio de curvatura da seção meridiana:
M = ................................................
6) Raio médio de curvatura:
Rm = ...............................................
Geodésia
16
7) Raio de curvatura de uma seção cujo azimute é A = 30o:
R = .................................................
8) Raio do paralelo que contém o ponto dado:
rφ = .................................................
9) Segunda excentricidade do elipsóide:
e’2 = ................................................
10) Latitude geocêntrica:
ψ = .................................................
11) Latitude reduzida :
μ=....................................................
12) Distância do ponto ao centro do elipsóide:
y = ..................................................
z = .................................................
R = .................................................
4.2.5 Seções normais no elipsóide
Por um ponto P’ sobre a superfície do elipsóide de revolução é possível conduzir
infinitos planos que contém a normal à superfície. Qualquer plano que contém a normal e
portanto seja perpendicular ao plano tangente ao elipsóide nesse ponto é chamado de plano
normal. A curva resultante da interseção de um plano normal com a superfície elipsóidica
chama-se seção normal. Em cada ponto existem duas seções normais principais que são
mutuamente perpendiculares e cujas curvaturas nesse ponto são, uma máxima e uma mínima.
Um ponto P’ sobre a superfície de um elipsóide de revolução possui as seções normais
principais chamadas de seção normal meridiana e seção normal primeiro vertical. A seção
normal do primeiro vertical é gerada pelo plano Ω perpendicular seção meridiana no ponto P’
(figura 4.15).
O raio de curvatura da seção meridiana é representado por M e o raio de curvatura da
seção primeiro vertical é representado por N.
Geodésia
17
Figura 4.15 – Seção normal primeiro vertical
Z
P’
P’’
X
π/2 + φ
φ
Y
P’’’
Ω
A figura 4.16 ilustra uma curva resultante da interseção do plano paralelo ao plano xy,
passante por P’, oblíqua à seção do primeiro vertical, sendo que ambas as seções se
interceptam segundo a tangente ao elipsóide.
Figura 4.16 – Raio vetor de um ponto no elipsóide de revolução
Z
t
P’ (0,y,z)
r =y
R
z
π/2 + φ
φ
O
Y
π/2 - φ
P’’
X
Geodésia
18
O Teorema de Meusnier fornece o raio de curvatura de uma seção oblíqua (equação
4.24). De acordo com os elementos já definidos e com a figura 4.16 tem-se:
r = y = N cos φ =
a cos φ
(1 − e 2 sen 2φ )1 / 2
(4.42)
z = N ' senφ = N (1 − e 2 ) senφ
(4.43)
O raio vetor de P’ corresponde ao segmento OP' = R (figuras 4.6 e 4.16) distância do
centro do elipsóide a um ponto P’ sobre sua superfície. Este segmento apresenta uma variação
de b ≤ R ≤ a.
O raio vetor em função das coordenadas retilíneas do ponto P’ é dado por:
R=
y2 + z2
(4.44)
4.2.5.1 Seções normais recíprocas
As normais relativas a dois pontos de uma superfície esférica convergem no centro da
esfera, sendo portanto co-planares (figura 4.17). O mesmo não acontece com dois pontos
quaisquer da superfície elipsoidal.
Figura 4.17 – Normais a uma superfície esférica
Z
A
B
O
X
Geodésia
Y
19
Sejam dois pontos P1 e P2 sobre a superfície de um elipsóide de revolução, com
latitudes φ1 e φ2 tais que ⎜φ1⎜< ⎜φ2 ⎜e as longitudes λ1 e λ2 sejam diferentes, conforme a figura
4.18.
Figura 4.18 – Seções normais em dois pontos P1 e P2
Z
P2
P1
N2
N1
φ1
φ2
Y
n1
n2
X
As normais à superfície elipsóidica de cada ponto interceptam o eixo Z em dois pontos
diferentes n1 e n2. Os segmentos de reta definidos por P1n1 = N1 e P2n2 = N2 são as grandes
normais (ou raios de curvatura da seção primeiro vertical) dos pontos P1 e P2.
Observa-se na figura 4.18 que quanto maior a latitude do ponto, maior a grande
normal.
A seção normal resultante da interseção do plano que contém a normal em P1 e o
ponto P2, com o elipsóide de revolução, é dita “seção normal direta” em relação a P1, ou
“seção normal recíproca” em relação em relação a P2, indicada por uma seta no sentido de P2.
A seção normal resultante da interseção do plano que contém a normal em P2 e o ponto P1,
com o elipsóide de revolução, é chamada “seção normal direta” em relação a P2 ou “seção
normal recíproca” em relação a P1, indicada por uma seta no sentido de P1. Para identificar a
seção normal direta de um ponto P1 para um ponto P2 toma-se como referência o ponto que
estiver mais ao Sul. A seção direta do ponto mais ao Sul é a curva mais ao Sul (figura 4.19).
As duas seções, a direta e a recíproca, são chamadas “seções normais recíprocas”. Os planos
que definem as seções normais recíprocas não coincidem quando as latitudes e longitudes são
diferentes.
Geodésia
20
Figura 4.19 – Seções normais diretas e recíprocas
P4
P3
P1
P2
P5
Existem alguns casos particulares em que as normais se interceptam, ou seja, são coplanares:
a) quando os dois pontos P1 e P2 possuem a mesma latitude, situando-se portanto no
mesmo paralelo (figura 4.20).
Figura 4.20 – Seções normais em dois pontos com mesma latitude
Z
P2
P1
N2
N1
φ1
φ2
Y
X
b) quando os dois pontos P1 e P2 possuem a mesma longitude, situando-se portanto
no mesmo meridiano (figura 4.21).
Geodésia
21
Portanto, para latitudes ou longitudes iguais, as seções normais recíprocas são
coincidentes.
Figura 4.21 – Seções normais em dois pontos com mesma longitude
Z
P2
P1
φ2
φ1
Y
X
4.2.5.2 Ângulo formado por duas seções normais recíprocas
Dois pontos P1 e P2 com coordenadas elipsóidicas diferentes sobre a superfície de um
elipsóide de revolução definem duas seções normais recíprocas. O ângulo formado pelas
seções normais recíprocas é obtido pela equação:
θ ''=
SsenAs sen2φ
e' 2 S 2
2
sen
A
(
2
cos
−
)
φ
s
4b
4b 2
(4.45)
Onde:
θ”= ângulo entre duas seções normais recíprocas em segundos de arco;
e’2 = segunda excentricidade;
S = comprimento da linha geodésica;
As = Azimute da seção normal direta (contado a partir do Norte do sentido horário);
φ = latitude geodésica ou elipsóidica;
b = semi-eixo menor;
Geodésia
22
Como a diferença entre os ângulos θ1 e θ2 formados pelas duas seções normais
recíprocas em P1 e P2, respectivamente, é muito pequena (figura 4.22), θ1 e θ2 são
considerados iguais, o que não compromete a precisão dos resultados em cálculos geodésicos,
como por exemplo, o transporte de coordenadas. O ângulo formado por duas seções normais
recíprocas pode atingir a ordem de centésimos de segundo (0,01”) em triangulações e
poligonações clássicas.
Figura 4.22 – Ângulo entre duas seções normais recíprocas
P2
θ2
θ1
P1
4.2.5.3 Separação entre arcos de duas seções normais recíprocas
Fazendo-se algumas simplificações, chega-se à equação que fornece a separação
máxima (l) entre duas seções normais recíprocas (GEMAEL, 1987, não paginado):
l=
e 2 S 3 cos 2 φsen2 As
16 N 2
(4.46)
Nas condições mais desfavoráveis para φ = 0° e As = π/4, o valor máximo da
separação (l) entre duas seções normais recíprocas (considerando-se o comprimento das
seções como igual ao da linha geodésica), para um comprimento de 40 km, não chega a 1
mm.
Geodésia
23
4.2.6 Linha geodésica
A figura 4.23 ilustra três pontos P1, P2 e P3 sobre a superfície do elipsóide de
revolução. Se fosse possível instalar um teodolito no vértice P1, fazendo o eixo vertical
coincidir com a normal ao ponto P1, ao apontá-lo para o ponto P2 o plano de visada
coincidiria com o plano da seção normal direta de P1 para P2. De P2 para P1 o plano de visada
do teodolito interceptaria a superfície do elipsóide ao longo do plano da seção normal direta
de P2 para P1. A mesma análise pode ser feita para os outros vértices. Conclui-se que o
triângulo P1-P2-P3 não é determinado de maneira unívoca devido à duplicidade de seções
normais.
Figura 4.23 – Triângulo elipsóidico
P3
P1
P2
Para definir o triângulo elipsóidico P1-P2-P3 de maneira unívoca, os vértices P1, P2 e
P3 devem ser unidos pelo melhor caminho. A curva que representa o menor caminho entre
dois vértices geodésicos P1 e P2 sobre o elipsóide de revolução, não é a seção normal direta de
P1 nem a sua seção normal recíproca, mas sim uma curva, em geral reversa, situada entre duas
seções normais recíprocas, denominada de geodésica. Curva reversa é uma curva que não está
contida em um plano.
O menor caminho entre dois pontos no plano é um segmento de reta, na esfera, um
arco de circunferência máxima e no elipsóide de revolução, a geodésica. Sobre a superfície
esférica a geodésica é um arco de circunferência máxima.
Geodésica (figura 4.24) é a linha jacente numa superfície, tal que em todos os seus
pontos o plano osculador é normal à superfície, ou em todos os seus pontos a normal principal
coincide com a normal à superfície.
Geodésia
24
Figura 4.24 - Geodésica
Z
A12
P2
A21
P1
Y
X
O plano osculador da geodésica é perpendicular em qualquer ponto ao plano tangente
à superfície, conforme ilustra a figura 4.25.
Figura 4.25 – Plano Osculador
Plano osculador
Plano normal
Plano retificador
Fonte:<http://www.terra.es/personal/ jftjft/Imagenes/Plano.gif>
Geodésia
25
4.2.6.1 Teorema de Clairaut
O enunciado do Teorema de Clairaut é o seguinte:
“Em qualquer ponto de uma linha geodésica traçada sobre uma superfície de revolução
o produto do raio r do paralelo desse ponto pelo seno do azimute A da geodésica é constante”.
Ou seja:
r sen A = constante
(4.47)
O estudo do comportamento da geodésica sobre o elipsóide de revolução, fundamental
na solução do problema geodésico direto e inverso, baseia-se no Teorema de Clairaut.
Para um ponto situado no equador, as latitudes geodésica, geocêntrica e/ou reduzidas
são nulas, pode-se então escrever:
a sen Aq = constante
(4.48)
Como o raio r é máximo no equador, igual ao semi-eixo maior a, e considerando-se o
Teorema de Clairaut tem-se que
sen Aq = min
(4.49)
Comparando-se as equações (4.47) e (4.48) obtém-se:
r sen A = a sen Aq = constante
(4.50)
Substituindo na equação (4.50) o valor de r fornecido pela equação (4.42) obtém-se a
equação do azimute equatorial Aq da linha geodésica. O azimute equatorial de uma linha
geodésica é do mesmo quadrante do azimute em um ponto qualquer da mesma, com latitude
variando de 0° até o paralelo limite:
senAq =
Geodésia
N cos φsenA
a
(4.51)
26
Toda geodésica admite dois paralelos limites, simétricos e tangentes, determinando a
zona elipsoidal em que está contida. Os pontos comuns à geodésica e aos paralelos limites são
os vértices da geodésica, onde a latitude é máxima ou mínima. A geodésica não se fecha sobre
si mesma, isto é, percorre “espiras” dentro da zona elipsóidica na qual está contida.
4.2.6.2 Curvatura da geodésica
O raio de curvatura de uma geodésica é fornecido pelo Teorema de Guderman, cujo
enunciado é: “O raio de curvatura de uma linha geodésica jacente na superfície de um
elipsóide de revolução é, em todos os pontos, proporcional ao raio de curvatura da seção
meridiana.”
ρA =
M
1 − e sen 2 Aq
2
(4.52)
4.2.6.3 Diferença de comprimento entre a geodésica e a seção normal
As seções normais não formam triângulos elipsóidicos únicos e para solucionar
problemas geodésicos é necessário conhecer a linha geodésica correspondente às seções
normais.
A diferença de comprimento da seção normal relativa a dois pontos P1 e P2 e o
comprimento da linha geodésica é calculada através de uma série, sendo suficiente seu
primeiro termo:
δ −S =
S 5 e 4 cos 4 φsen 2 2 A
360 N 4
(4.53)
sendo:
δ = comprimento da seção normal;
S = comprimento da linha geodésica;
A = azimute da linha geodésica entre P1 e P2;
Nas condições mais desfavoráveis (φ = 0° e A = 45°) e sendo o comprimento S da
geodésica 40.000 m a diferença não atinge 0,1 mm.
Geodésia
27
4.2.6.4 Ângulo formado entre a geodésica e as seções normais recíprocas
Duas seções normais recíprocas sobre a superfície de um elipsóide de revolução
formam entre si um ângulo θ. Se fosse possível instalar um teodolito sobre a superfície do
elipsóide as medidas angulares se refeririam às seções normais. Mas, é necessário transformar
as medidas correspondentes às seções normais em medidas correspondentes à linha geodésica.
A figura (4.26) mostra duas seções normais recíprocas e a correspondente linha
geodésica.
Figura 4.26- Seções normais recíprocas e a linha geodésica correspondente
2
As
θ/3
2θ/3
θ
A12
2θ/3
θ/3
1
A linha geodésica S divide o ângulo θ entre duas seções normais recíprocas na razão
1:2, portanto o ângulo formado pela geodésica e a seção normal direta de P1 para P2
corresponde a 1/3 do ângulo formado pelas seções normais recíprocas. O ângulo formado pela
geodésica e a seção normal recíproca de P1 para P2 é 2/3 do ângulo formado pelas seções
normais recíprocas.
Como o ângulo entre duas seções normais recíprocas é dado pela equação (4.45), para
obter o ângulo entre a seção normal e a linha geodésica faz-se:
SsenAs sen2φ
e' 2 S 2
''=
( sen2 As cos 2 φ −
)
2
3
4b
4b
θ
Geodésia
(4.54)
28
A transformação do azimute de uma seção normal direta (As) no azimute da
correspondente geodésica (A12) é dada pela equação abaixo, considerando-se o azimute
contado a partir do Norte, no sentido horário:
A12 = As −
θ
3
(4.55)
4.2.7 Aproximação esférica
O modelo esférico também pode ser utilizado para representar a superfície terrestre.
Uma esfera particular é a “esfera de adaptação de Gauss” cujo raio (Rm) é igual ao raio médio
a ser definido posteriormente.
O Teorema de Gauss (ASÍN, 1990, p.174) diz: “Para que um elemento de uma
superfície considerada perfeitamente flexível e indeformável possa ser aplicado sobre um
elemento de outra superfície sem sofrer rompimento, nem dobras é necessário e suficiente que
nos centros dos elementos considerados a curvatura média de ambas as superfícies seja a
mesma.”
Na passagem de elipsóide à esfera, as linhas geodésicas passam a ser círculos
máximos. Dentro de aproximação admissível para determinadas aplicações é possível
transformar um elemento da superfície do elipsóide em um elemento da esfera cujo raio Rm
será (MN)1/2 .
A esfera de adaptação de Gauss é adotada como superfície de referência pela NBR
14166 – Rede de Cadastral Municipal – Procedimento.
Geodésia
29
4.3. REFERÊNCIAS
ABNT. NBR 13133 –Execução de Levantamento Topográfico. ABNT – Associação
Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro. 1994. 35 p.
ABNT. NBR 14166 – Rede de Referência Cadastral Municipal – Procedimento. ABNT –
Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro. 1998. 23 p.
ASÍN, F. M. Geodesia y Cartografía Matemática. Ed. Madrid: Instituto Geografico
Nacional. 1990. 422 p.
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