1. Concavidade
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Definição de Concavidade:
Seja f diferenciável em um intervalo aberto
I. O gráfico de f é
Concavidade e o Teste da Derivada Segunda
1.côncavo para cima em I se f
intervalo.
‘
é crescente no
2.côncavo para baixo em I se f ‘ é decrescente no
intervalo.
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
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1. Concavidade
Concavidade e o Teste da Derivada Segunda
1.Concavidade
Pela figura a seguir, temos a seguinte
interpretação gráfica da concavidade.
2.Pontos de inflexão
3.O teste da derivada segunda
1. Uma curva que é côncava para cima está acima
de sua tangente.
4.Uma aplicação: retornos decrescentes
2. Uma curva que é côncava para baixo está abaixo
de sua tangente.
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1. Concavidade
1. Concavidade
Já vimos como a determinação dos
intervalos em que uma função f é crescente ou
decrescente pode facilitar o traçado do seu
gráfico. Nesta aula, veremos que a determinação
dos intervalos em que a derivada f ‘ é crescente ou
decrescente servirá para indicar onde o gráfico de
f se encurva para cima ou para baixo. Esta noção
de encurvamento para cima ou para baixo é
definida formalmente como a concavidade do
gráfico da função.
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1. Concavidade
1. Concavidade
Esse teste visual da concavidade é válido
quando é dado o gráfico de uma função. A
determinação da concavidade sem ver o gráfico
exige um teste analítico. Acontece que podemos
utilizar a derivada segunda para determinar esses
intervalos, precisamente da mesma forma como
utilizamos a derivada primeira para determinar os
intervalos em que f é crescente ou decrescente.
Diretrizes para
Concavidade
Aplicação
do
Teste
da
1. Localizar os valores de x nos quais f “(x) = 0 ou
f “(x) não é definida.
2. Com esses valores
intervalos de teste.
de
x, estabelecer os
3. Testar o sinal de f “(x) em cada intervalo de
teste.
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1. Concavidade
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1. Concavidade
Teste da Concavidade
Exemplo 1: Aplicação do teste da convidade
a. O gráfico da função
Seja f uma função com derivada segunda em
um intervalo aberto I.
f(x) = x2
é côncavo para cima em toda a reta real porque sua
derivada segunda
1. Se f ”(x) > 0 para todo x em I, então f é côncava
para cima em I.
f “(x) = 2
é positiva para todo x.
2. Se f ”(x) < 0 para todo x em I, então f é côncava para baixo em I.
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1. Concavidade
1. Concavidade
Para uma função f contínua, podemos achar
como se segue os intervalos em que f é côncava
para cima ou para baixo. [Para uma função nãocontínua, os intervalos de teste devem ser
formados
utilizando-se
os
pontos
de
descontinuidade juntamente com os pontos em que
f “(x) é zero ou não é definida.]
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1. Concavidade
2. Pontos de inflexão
Exemplo 1: Aplicação do teste da convidade
Como um ponto de inflexão ocorre onde a
concavidade de um gráfico muda de sentido, deve
ser verdade que, em tais pontos, o sinal de f “(x)
também varia. Assim, para localizar possíveis
pontos de inflexão, basta determinar os valores de
x para os quais f “(x) = 0 ou f “(x) não existe. O
processo apresenta analogia com o da localização
de extremos relativos de f mediante determinação
dos pontos críticos de f.
b. O gráfico da função
f (x) = x
é côncavo para baixo para x > 0, porque sua
derivada segunda
f '' ( x ) = −
1 −3 2
x
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é negativa para todo x > 0.
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2. Pontos de inflexão
1. Concavidade
Propriedade dos Pontos de Inflexão
Se (c, f(c)) é um ponto de inflexão do gráfico de f,
então ou
f “(c) = 0
ou
f “(c) não existe.
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2. Pontos de inflexão
2. Pontos de inflexão
Definição de Ponto de Inflexão
Se o gráfico de uma função contínua possui
uma tangente em um ponto onde sua concavidade
muda de sentido, então o ponto é um ponto de
inflexão.
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3. O teste da derivada segunda
4. Uma aplicação:
decrescentes
É possível utilizar a derivada segunda para
fazer um teste simples quanto a máximos e
mínimos relativos. Se f é uma função tal que
f ‘(c) = 0 e o gráfico é côncavo para cima em x = c,
então f(c) é mínimo relativo de f. Da mesma forma,
se f é uma função tal que f ‘(c) = 0 e o gráfico de f
é côncavo para baixo em x = c, então f(c) é máximo
relativo de f, conforme a figura a seguir.
retornos
Em Economia, a noção de concavidade está
relacionada com o
conceito de retorno
decrescente. Consideremos uma função
Insumo
Produto
y = f (x)
onde x mede o insumo (em dólares) e y mede o
produto (em dólares). Na figura a seguir, note que
o gráfico desta função de insumo-produto é
côncavo para cima no intervalo (a, c) e côncavo
para baixo no intervalo (c, b).
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3. O teste da derivada segunda
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4. Uma aplicação:
decrescentes
retornos
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3. O teste da derivada segunda
4. Uma aplicação:
decrescentes
“
retornos
No intervalo (a, c), obtém-se um retorno
maior a cada dólar adicional de insumo, ao
contrário do que ocorre no intervalo (c, b), onde o
retorno é menor a cada dólar adicional. O ponto
(c, f(c)) é chamado ponto de retorno decrescente.
Um aumento de investimento além deste ponto é
considerado má aplicação de capital.
O Teste da Derivada Segunda
Seja f ’(c) = 0 e suponhamos que f
em um intervalo que contém c.
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exista
1. Se f “(c) > 0, então f(c) é mínimo relativo.
2. Se f “(c) < 0, então f(c) é máximo relativo.
3. Se f “(c) = 0, o teste falha. Neste caso, podemos
aplicar o Teste da Derivada Primeira para
determinar se f(c) é mínimo relativo ou máximo
relativo.
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4. Uma aplicação:
decrescentes
retornos
Exemplo 2: Aumentando seu gasto x com
propaganda (em milhares de dólares), uma empresa
constata que pode aumentar as vendas y (em
milhares de dólares) de um produto de acordo com
o modelo.
y=
(
)
1
300 x 2 − x 3 ,
10.000
0 ≤ x ≤ 200.
Ache o ponto de diminuição de resultados para
este produto.
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4. Uma aplicação:
decrescentes
retornos
Comecemos calculando as derivadas primeira
e segunda.
(
1
600 x − 3 x 2
10.000
1
y '' =
( 600 − 6 x )
10.000
y' =
)
Derivada primeira
Derivada segunda
A derivada segunda é zero somente quando
x = 100. Testando os intervalos (0, 100) e
(100, 200), constatamos que o gráfico acusa um
ponto de retorno decrescente quando x = 100,
conforme a figura a seguir.
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4. Uma aplicação:
decrescentes
retornos
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