Testa os conhecimentos de Geometria Descritiva
Para testar os conhecimentos de Geometria Descritiva, procede da seguinte forma:
responde por escrito à questão escolhida;
em seguida, clica no Hiperlink da pergunta para comparares a tua resposta
com a resposta correcta;
se acertares, passa à pergunta seguinte;
se errares, consulta as páginas indicadas do livro ou outro material à disposição.
Sistemas de Projecção
Descreve como se processa uma Projecção Ortogonal.
Em que consiste a Dupla Projecção Ortogonal ?
Em que consiste o Rebatimento dos Planos de Projecção ?
Como se identifica uma Projecção Horizontal ?
Como se identifica uma Projecção Frontal ?
Representação do Ponto
Define Afastamento no espaço e em projecção.
Define Cota no espaço e em projecção.
Define Abcissa no espaço e em projecção.
Que acontece às projecções de um Ponto com Afastamento Negativo ?
Que acontece às projecções de um Ponto com Cota Negativa ?
Que acontece às projecções de um Ponto com Afastamento Nulo ?
Que acontece às projecções de um Ponto com Cota Nula ?
Como se caracteriza um Ponto contido no β 1,3 ? Como são as suas projecções?
Como se caracteriza um Ponto contido no β 2,4 ? Como são as suas projecções?
Representação da Recta
Como se pode definir uma Recta ?
Indica em que condições é que, em projecção, um Ponto pertence a uma Recta.
Que são Pontos Notáveis da Recta ?
Define Traço Horizontal de uma Recta. Como se caracteriza?
Define Traço Frontal de uma Recta. Como se caracteriza?
Define Traço da Recta no β 1,3. Como se caracteriza?
Define Traço da Recta no β 2,4. Como se caracteriza?
Alfabeto da Recta
Como se caracteriza uma Recta Horizontal ?
Como se caracteriza uma Recta Frontal ?
Como se caracteriza uma Recta de Topo ?
Como se caracteriza uma Recta Vertical ?
Como se caracteriza uma Recta Fronto-Horizontal ?
Como se caracteriza uma Recta Passante ?
Como se caracteriza uma Recta de Perfil ?
Como se caracteriza uma Recta Oblíqua ?
Posição relativa entre Rectas
Quais as Posições Relativas possíveis entre rectas?
Como são as projecções de 2 Rectas Paralelas ?
Como são as projecções de 2 Rectas Concorrentes ?
Sistemas de Projecção
Projecção Ortogonal
Para projectar ortogonalmente um ponto, faz-se passar uma Projectante (linha recta)
pelo Ponto, perpendicularmente ao Plano de Projecção e a Projecção do Ponto é a
intersecção da Projectante e o Plano de Projecção.
Plano de projecção
Projectante
A
A1
Ponto
Projecção do Ponto
Para se visualizar melhor o acto de projectar, o observador deverá estar de frente para o plano
e imaginar uma linha recta que sai de um dos seus olhos em direcção ao ponto e chega ao
Plano de Projecção (ou à folha de papel) na perpendicular (fazendo um ângulo de 90º).
Poderás imaginar ainda uma lanterna que emite luz em direcção perpendicular ao Plano de
Projecção – a sombra do Ponto no plano é a projecção do Ponto.
Para projectar formas mais complexas, serão necessárias várias Projectantes, sempre perpendiculares ao Plano de Projecção, passando por todos os pontos da forma.
A
A1
C1
C
B
B1
Para mais informações, consulta as páginas 20 a 23.
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Sistemas de Projecção
Dupla Projecção Ortogonal
A Dupla Projecção Ortogonal consiste na projecção em dois planos de projecção perpendiculares
entre si – no Plano Horizontal de Projecção e no
Plano Frontal de Projecção – obtendo-se duas
Projecções.
P2
x
Nota: a intersecção dos dois planos corresponde
ao eixo x .
P1
Projecção Horizontal
Projecção Frontal (Vertical)
Monge – este método de representação também é conhecido como Método de Monge – considera que representando (projectando) uma forma em dois planos, perpendiculares entre si,
será dada toda a informação necessária e suficiente para dela se ter um conhecimento tão correcto como a que existe no espaço.
Os dois planos de projecção denominam-se:
Assim far-se-á primeiramente a projecção no Plano Horizontal de
Projecção, utilizando as projectantes horizontais (na realidade
estas estão na vertical)
Ponto
A
Projectante horizontal
Plano Horizontal de Projecção ou νo (lê-se Niú zero)
Plano Frontal de Projecção ou ϕo (lê-se Fi zero)
– obtém-se a Projecção Horizontal
e seguidamente a projecção no Plano Frontal de Projecção, utilizando as projectantes frontais (na realidade estas estão na horizontal)
– obtém-se a Projecção Frontal.
Projecção Horizontal
do Ponto
A1
Plano Horizontal
de Projecção
Plano Frontal
de Projecção
A
Ponto
Projectante frontal
A2
Projecção Frontal
do Ponto
Para mais informações, consulta as páginas 26 a 27 e 11 a 12.
Observa a animação “Flash” Projecção do Ponto.
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Sistemas de Projecção
Rebatimento dos Planos de Projecção
O Rebatimento dos Planos de Projecção consiste
na rotação do Plano Frontal de Projecção, em
torno do eixo x e no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, até ficar coincidente com o Plano Horizontal de Projecção.
P2
P2
P1
Nota: o eixo x corresponde à intersecção dos dois planos de projecção.
Após a realização das duas projecções é necessário planificar – converter em duas dimensões
– o sistema de projecção tridimensional.
Com este processo a Projecção Frontal vai Rebater sobre o plano horizontal de projecção, ficando esta projecção alinhada com a Projecção Horizontal segundo uma linha perpendicular
ao eixo x (consequência da dupla projecção ortogonal) – a linha de chamada (desenhada a
traço fino).
P2
P2
P1
P1
Pode-se agora transpor a representação para o Papel.
Para mais informações, consulta as páginas 46 a 47.
Observa a animação “Flash” Rebatimento do PFP.
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Sistemas de Projecção
Projecção Horizontal
A Projecção Horizontal é (sempre) identificada com o número 1, colocado em índice a
seguir à letra de identificação do Ponto ou da Recta.
A
Projectante horizontal
Ponto
Projecção Horizontal
do Ponto
A1
Plano Horizontal
de Projecção
Exemplos:
A1
P1
Z1
a1
r1
z1
A forma de se distinguirem as projecções, realizadas em planos diferentes, é verificar qual o
número em índice – todas as projecções com o número 1 são referentes a Projecções Horizontais.
Para mais informações, consulta a página 45.
Observa a animação “Flash” Projecção do Ponto.
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Sistemas de Projecção
Projecção Frontal
A Projecção Frontal é (sempre) identificada com o número 2, colocado em índice a seguir à letra de identificação do Ponto ou da Recta.
Plano Frontal
de Projecção
A
Ponto
Projectante frontal
A2
Projecção Frontal
do Ponto
Exemplos:
A2
P2
Z2
a2
r2
z2
A forma de se distinguirem as projecções, realizadas em planos diferentes, é verificar
qual o número em índice – todas as projecções com o número 2 são referentes a Projecções Frontais.
Para mais informações, consulta a página 45.
Observa a animação “Flash” Projecção do Ponto.
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Representação do Ponto
Afastamento
Afastamento é a distância de um ponto ao Plano
Frontal de Projecção ou ϕo.
Em projecção, é a distância da projecção horizontal (por exemplo P1) do ponto ao eixo x .
P2
P0
x
P1
Projecção Horizontal
Projecção Frontal (Vertical)
De facto, se observarmos a posição do Ponto no espaço, a distância que vai do Plano Frontal
de Projecção ao Ponto é a distância de P2 a P, no entanto, esta dimensão projecta-se com
igual valor no Plano Horizontal de Projecção e corresponde à distância do eixo x ou de Po a P1.
P2
Afastamento
P0
P1
Nota: Po é a projecção do ponto no eixo x e situa-se na intersecção da linha de
chamada do ponto com o eixo x .
O Afastamento corresponde ao eixo y do Referencial a três dimensões.
Nas coordenadas de um ponto, o Afastamento é o primeiro valor (quando apenas se indicam
duas coordenadas) ou ao segundo valor (quando se indicam as três coordenadas): A(5;3) ou
P(0;5;3).
Para mais informações, consulta as páginas 10 a 12 e 46 a 47.
Observa a animação “Flash” Projecção do Ponto.
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Representação do Ponto
Cota
Cota é a distância de um ponto ao Plano Horizontal de Projecção ou νo .
Em projecção, é a distância da projecção frontal
(por exemplo P2) do ponto ao eixo x .
P2
P0
x
P1
Projecção Horizontal
Projecção Frontal (Vertical)
De facto, se observarmos a posição do Ponto no espaço, a distância que vai do Plano Horizontal de Projecção ao Ponto é a distância de P1 a P, no entanto, esta dimensão projecta-se
com igual valor no Plano Frontal de Projecção e corresponde à distância do eixo x ou de Po a
P2 .
Cota
P2
P0
P1
Nota: Po é a projecção do ponto no eixo x e situa-se na intersecção da linha de
chamada do ponto com o eixo x .
A Cota corresponde ao eixo z do Referencial a três dimensões.
Nas coordenadas de um ponto, a Cota é o segundo valor (quando apenas se indicam duas coordenadas) ou ao terceiro valor (quando se indicam as três coordenadas): A(5;3) ou P(0;5;3).
Para mais informações, consulta as páginas 10 a 12 e 46 a 47.
Observa a animação “Flash” Projecção do Ponto.
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Representação do Ponto
Abcissa
Abcissa é a distância de um ponto ao Plano de
Perfil ou πo .
Em projecção, é o posicionamento das projecções do Ponto na direcção do eixo x .
P2
x
P1
Projecção Horizontal
Projecção Frontal (Vertical)
A Abcissa é um dado importante quando se representam dois ou mais pontos, permitindo definir a distância entre eles ao longo do eixo x.
O Plano πo atrás referido não é um plano de projecção mas apenas um plano de referência
zero para as Abcissas. Para a sua esquerda são medidas as Abcissas positivas e para a sua
direita as negativas.
Uma vez que a sua intersecção com os Planos de Projecção correspondem aos eixos y e z, na
representação desenha-se uma recta perpendicular ao eixo x e identifica-se como y≡z , que
corresponde à abcissa zero.
y=z
P2
P0
Abcissa
P1
A Abcissa corresponde ao eixo x do Referencial a três dimensões.
Nas coordenadas de um ponto, a Abcissa é o primeiro valor (quando se indicam as três coordenadas): P(2;5;3).
Para mais informações, consulta as páginas 10 a 12 e 54 a 55.
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Representação do Ponto
Ponto com Afastamento Negativo
Quando um Ponto tem Afastamento negativo, a sua
Projecção Horizontal fica acima do eixo x.
P2
P2
P1
x
P2
x
P1
P2
Projecção Horizontal
Projecção Horizontal
Projecção Frontal
Projecção Frontal
Se um ponto se situar no II ou III quadrantes, o seu Afastamento passa a ser negativo – quando se mede a distância “para lá” do Plano Frontal até ao ponto está-se a medir no sentido negativo.
Como se pode observar na representação espacial, a projecção horizontal do Ponto situado no
II ou no III quadrante fica situada no Semi-plano Horizontal Posterior, logo situa-se na zona
acima do eixo x (após realizado o rebatimento dos planos de projecção).
P2
P1
P1
P2
Exemplo:
P(-2;3) [IIQ]
P(-2;-3) [IIIQ]
Para mais informações, consulta as páginas 12 a 14 e 49 a 50.
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Representação do Ponto
Ponto com Cota Negativa
Quando um Ponto tem Cota negativa, a sua Projecção Frontal fica abaixo do eixo x.
P1
P2
x
S1 S2
x
S2
P2
Projecção Horizontal
Projecção Horizontal
Projecção Frontal
Projecção Frontal
Se um ponto se situar no III ou IV quadrantes, a sua Cota passa a ser negativa – quando se
mede a distância “para baixo” do Plano Horizontal até ao ponto está-se a medir no sentido negativo.
Como se pode observar na representação espacial, a projecção frontal do Ponto situado no III
ou no IV quadrante fica situada no Semi-plano Frontal Inferior, logo situa-se na zona abaixo
do eixo x (após realizado o rebatimento dos planos de projecção – note-se que o SPFI roda até
se sobrepor ao Semi-plano Horizontal Anterior).
P1
S1
P2
Exemplo:
P(-2;-3) [IIIQ]
S2
S(2;-3) [IVQ]
Para mais informações, consulta as páginas 12 a 14 e 49 a 50.
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Representação do Ponto
Ponto com Afastamento Nulo
Quando um Ponto tem Afastamento nulo, a sua Projecção Horizontal fica contida no eixo x.
P2
P2
P1
x
Nota: a projecção frontal fica coincidente com o próprio
Ponto no espaço.
Projecção Horizontal
Projecção Frontal
Se um ponto se situar no Plano Frontal de Projecção (plano relativamente ao qual se medem
os afastamentos), o seu Afastamento passa a ser nulo (igual a zero).
Como se pode observar na representação espacial, a projecção horizontal do Ponto situado no
Plano Frontal de Projecção vai-se efectuar no eixo x (que é a referência zero para a medição
dos afastamentos).
Se o ponto se situar no Semi-plano Frontal Superior, a projecção frontal fica acima do eixo x
(porque tem cota positiva). Exemplo: P(0;3)
P P2
R1
P1
R R2
Se o ponto se situar no Semi-plano Frontal Inferior, a projecção frontal fica abaixo do eixo x
(porque tem cota negativa). Exemplo: R(0;-3)
Para mais informações, consulta as páginas 12 a 14 e 51 a 52.
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Representação do Ponto
Ponto com Cota Nula
Quando um Ponto tem Cota nula, a sua Projecção
Frontal fica contido no eixo x.
P2
x
Nota: a projecção horizontal fica coincidente com o próprio
Ponto no espaço.
P1
Projecção Horizontal
Projecção Frontal
Se um ponto se situar no Plano Horizontal de Projecção (plano relativamente ao qual se medem as cotas), a sua Cota passa a ser nula (igual a zero).
Como se pode observar na representação espacial, a projecção frontal do Ponto situado no
Plano Horizontal de Projecção vai-se efectuar no eixo x (que é a referência zero para a medição das cotas).
Se o ponto se situar no Semi-plano Horizontal Anterior, a projecção horizontal fica abaixo do
eixo x (porque tem afastamento positivo). Exemplo: P(3;0)
P2
T T1
P P1
T2
Se o ponto se situar no Semi-plano Horizontal Posterior, a projecção horizontal fica acima do
eixo x (porque tem afastamento negativo). Exemplo: T(-3;0)
Para mais informações, consulta as páginas 12 a 14 e 50 a 51.
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Representação do Ponto
Ponto contido no β 1,3
Um Ponto contido no β
igual.
1,3
tem Cota e Afastamento
As suas projecções são simétricas em relação ao eixo
x (estão equidistantes do eixo x).
P2
P2
P2
x
P1
P1
O β 1,3 é um plano bissector – é um plano que divide os quadrantes ímpares ao meio (em 4 diedros iguais) – pelo que todos os Pontos situados neste plano têm Cota e Afastamento igual,
como é característica de qualquer ponto situado nos Quadrantes Ímpares (Afastamento e Cota
positivas – IQ – e Afastamento e Cota negativas – IIIQ).
Exemplo: P(3;3)
P2
P2
P
β1,3
P1
Vista de lado dos Planos de Projecção
Devido a esta característica, após efectuar as projecções de um Ponto, quando se rebate o
plano frontal de projecção sobre o plano horizontal de projecção a projecção frontal do ponto
do ponto fica, relativamente ao eixo x, oposta e a igual distância da projecção horizontal do
ponto.
Para mais informações, consulta as páginas 16 a 17 e 53.
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Representação do Ponto
Ponto contido no β 2,4
Um Ponto contido no β 2,4 tem Cota e Afastamento
igual, mas de sinal contrário.
As suas projecções são coincidentes (estão sobrepostas).
P2
P1 P2
P1 P2
x
O β 2,4 é um plano bissector – é um plano que divide os quadrantes pares ao meio (em 4 diedros iguais) – pelo que todos os Pontos situados neste plano têm Cota e Afastamento igual,
mas de sinal diferente (se um é positivo o outro é negativo), como é característica de qualquer
ponto situado nos Quadrantes Pares (Afastamento negativo e Cota positiva – IIQ – e Afastamento positivo e Cota negativa – IVQ).
Exemplo: P(-3;3)
β2,4
P
P1 P2
P2
Vista de lado dos Planos de Projecção
Devido a esta característica, após efectuar as projecções de um Ponto, quando se rebate o
plano frontal de projecção sobre o plano horizontal de projecção a projecção frontal do ponto
do ponto fica sobreposta à projecção horizontal do ponto.
Para mais informações, consulta as páginas 16 a 17 e 53.
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Representação da Recta
Definição de uma Recta
Uma Recta define-se por dois Pontos ou um Ponto e uma Direcção.
r
B
A
r
d
P
Este conceito relaciona-se com o menor número de informações necessárias para traçar uma
determinada recta, e deverá estar sempre presente na resolução de problemas geométricos.
Assim, com apenas dois pontos é possível desenhar a Recta pretendida. Num exemplo prático,
um pedreiro quando precisa de construir uma parede de tijolos (numa linha recta) basta-lhe
espetar dois ferros (2 pontos) e atar-lhe uma linha para alinhar os tijolos.
Ou então, se tiver um Ponto e uma Direcção, pode-se igualmente desenhar a Recta pretendida. Num exemplo prático, o mesmo pedreiro para construir uma parede paralela à anterior a
uma dada distância, basta-lhe espetar um ferro à distância pretendida (1 ponto) e alinhar os
tijolos na mesma direcção da parede anterior (que, neste caso, é uma direcção paralela a outra).
Para mais informações, consulta as páginas 57.
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Representação da Recta
Ponto de uma Recta
Um Ponto pertence a uma Recta quando as suas
projecções estão contidas nas projecções do mesmo
nome (homónimas) da recta.
r2
A2
r2
A2
r
r1
x
A1
r1
A1
Como acontece com o Ponto, em Dupla Projecção Ortogonal também a recta é representada
com duas projecções – a Projecção Horizontal da recta e a Projecção Frontal da recta.
Quando se pretende identificar um Ponto da Recta (ou fazer passar a recta por um ponto) terse-á de considerar as duas projecções do Ponto – observe-se o que acontece na representação espacial:
a Projecção Horizontal do Ponto vai coincidir com um ponto da Projecção Horizontal da Recta;
a Projecção Frontal do Ponto vai coincidir com um ponto da Projecção Frontal da
Recta.
Por isso, esta condição é importante para se verificar numa representação se um Ponto pertence ou não a uma Recta.
Poderão haver situações que causem dúvidas, como:
r2
A2
apenas uma projecção do ponto ser coincidente com um ponto da projecção da recta (mesmo que seja homónima) – caso
do ponto B;
B2
C1
ou ambas projecções serem coincidentes mas de projecções
contrárias – caso do ponto C;
B1
e nestas duas situações nem o ponto B nem o ponto C pertencem à recta (porque não respeitam o conceito de pertença).
r1
C2
A1
Para mais informações, consulta as páginas 58 a 60.
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Representação da Recta
Pontos Notáveis da Recta
Pontos Notáveis da Recta são os pontos de intersecção da Recta com os Planos de Projecção e os Planos Bissectores.
Numa Recta existem quatro pontos notáveis – Traço Horizontal, Traço Frontal, Traço no β 1,3 e
Traço no β 2,4 – correspondentes aos pontos onde a Recta intersecta, respectivamente o Plano
Horizontal de Projecção, o Plano Frontal de Projecção, o β1,3 e o β2,4 .
Estes pontos permitem determinar as mudanças de Quadrante (traços Horizontal e Frontal) e
de Octante (traços no β 1,3 e no β 2,4 ) e, consequentemente, o Percurso da Recta no Espaço
(quadrantes e octantes por que passa). Relativamente à visibilidade, considera-se visível (traço
contínuo) a parte da recta contida no 1º quadrante.
Vista de lado
Nota: durante o estudo do Alfabeto da Recta verificar-se-á que algumas rectas podem não ter
alguns pontos notáveis.
Para mais informações, consulta as páginas 61 a 67.
Ver as 4 questões seguintes (com pormenores sobre os Traços da Recta).
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Representação da Recta
Traço Horizontal de uma Recta
Traço Horizontal de uma Recta é o ponto de intersecção da recta com o Plano Horizontal de Projecção.
Este ponto tem Cota nula.
Nota: o Traço Horizontal coincide com a sua projecção
horizontal.
Uma vez que o Traço Horizontal da recta resulta da sua intersecção com o Plano Horizontal de
Projecção, este ponto só pode ter Cota igual a zero.
Este Ponto (identificado com a letra H) é um ponto simultaneamente da recta e do νo , assim,
para o determinar:
procura-se na projecção frontal da recta o sítio de cota nula – ponto de intersecção da projecção frontal com o eixo x;
identifica-se, aí, a projecção frontal do Traço Horizontal da recta – H2 ;
desenha-se a linha de chamada até à projecção horizontal da recta;
aí identifica-se a projecção horizontal do Traço Horizontal da recta – H1 ;
Para mais informações, consulta as páginas 62 e 63.
Ver a questão Ponto com Cota Nula.
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Representação da Recta
Traço Frontal de uma Recta
Traço Frontal de uma Recta é o ponto de intersecção da recta com o Plano Frontal de Projecção.
Este ponto tem Afastamento nulo.
Nota: o Traço Frontal coincide com a sua projecção frontal.
Uma vez que o Traço Frontal da recta resulta da sua intersecção com o Plano Frontal de Projecção, este ponto só pode ter Afastamento igual a zero.
Este Ponto (identificado com a letra F) é um ponto simultaneamente da recta e do ϕo , assim,
para o determinar:
procura-se na projecção horizontal da recta o sítio de afastamento nulo – ponto
de intersecção da projecção horizontal com o eixo x;
identifica-se, aí, a projecção horizontal do Traço Frontal da recta – F1 ;
desenha-se a linha de chamada até à projecção frontal da recta;
aí identifica-se a projecção frontal do Traço Frontal da recta – F2 ;
Para mais informações, consulta as páginas 61 e 62.
Ver a questão Ponto com Afastamento Nulo.
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Representação da Recta
Traço da Recta no β 1,3
Traço da Recta no β 1,3 é o ponto de intersecção da
recta com o Plano Bissector dos Quadrantes Ímpares
ou β 1,3 .
Este ponto tem Cota e Afastamento iguais.
Uma vez que o Traço da recta no β1,3 resulta da sua intersecção com o β1,3 , este ponto só pode
ter Afastamento igual à Cota.
Este Ponto (sempre identificado com a letra Q) é um ponto simultaneamente da recta e do β1,3 ,
assim, para o determinar:
desenha-se um arco de circunferência (com abertura qualquer) com centro na intersecção da projecção horizontal da recta (também se pode utilizar a outra projecção) com o eixo x;
com centro na intersecção do arco com o eixo x abre-se o compasso até à intersecção da projecção horizontal com o arco; desenha-se o arco de circunferência
até intersectar noutro ponto o primeiro arco;
traça-se uma recta que una o ponto atrás calculado e o ponto que serviu de centro ao primeiro arco de circunferência;
na intersecção da recta auxiliar desenhada e a projecção frontal identifica-se a
projecção frontal do Traço da recta no β1,3 – Q2 ;
desenha-se a linha de chamada até à projecção horizontal da recta;
aí identifica-se a projecção horizontal do Traço da recta no β1,3 – Q1;
Para mais informações, consulta as páginas 63 e 64.
Ver a questão Ponto contido no β1,3 .
Consulta no Site o texto Traço da Recta no beta 1,3 .
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Representação da Recta
Traço da Recta no β 2,4
Traço da Recta no β 2,4 é o ponto de intersecção da
recta com o Plano Bissector dos Quadrantes Pares
ou β 2,4.
Este ponto tem Cota e Afastamento iguais, mas de
sinal contrário.
Uma vez que o Traço da recta no β2,4 resulta da sua intersecção com o β2,4 , este ponto só pode
ter Afastamento igual e de sinal contrário à Cota.
Este Ponto (sempre identificado com a letra I) é um ponto simultaneamente da recta e do β2,4 ,
assim, para o determinar:
procura-se a intersecção da projecção horizontal com a projecção frontal da recta;
identificam-se, aí, as projecções do Traço da recta no β2,4 – I1 e I2 .
Para mais informações, consulta a página 63.
Ver a questão Ponto contido no β2,4 .
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Alfabeto da Recta
Recta Horizontal ou Recta de Nível
Recta Horizontal é toda a Recta que é paralela ao
Plano Horizontal de Projecção e oblíqua ao Plano
Frontal de Projecção.
Todos os seus pontos têm cota constante.
Como se pode observar na representação tridimensional, a recta Horizontal apesar de ser paralela ao Plano Horizontal de Projecção, é na projecção frontal h2 que se observa a posição
relativa da recta ao νo – ficando paralela ao eixo x – sendo a outra projecção h1 oblíqua ao eixo
x.
Sendo a recta paralela ao νo , observa-se o seguinte:
todos os seus pontos têm cota constante;
apenas atravessa dois quadrantes – o 1º e o 2º ou o 3º e o 4º (se a recta tiver
cota negativa);
não tem Traço Horizontal.
Análise do percurso da recta no espaço e respectivas visibilidade e invisibilidade:
Para mais informações, consulta a página 71.
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Alfabeto da Recta
Recta Frontal ou Recta de Frente
Recta Frontal é toda a Recta que é paralela ao Plano Frontal de Projecção e oblíqua ao Plano Horizontal de Projecção.
Todos os seus pontos têm afastamento constante.
Como se pode observar na representação tridimensional, a recta Frontal apesar de ser paralela
ao Plano Frontal de Projecção, é na projecção horizontal f1 que se observa a posição relativa
da recta ao ϕo – ficando paralela ao eixo x – sendo a outra projecção f2 oblíqua ao eixo x.
Sendo a recta paralela ao ϕo , observa-se o seguinte:
todos os seus pontos têm afastamento constante;
apenas atravessa dois quadrantes – o 1º e o 4º ou o 3º e o 2º (se a recta tiver
afastamento negativo);
não tem Traço Frontal.
Análise do percurso da recta no espaço e respectivas visibilidade e invisibilidade:
Para mais informações, consulta a página 74.
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Alfabeto da Recta
Recta de Topo ou Recta Projectante Frontal
Recta de Topo é toda a Recta que é perpendicular
ao Plano Frontal de Projecção (e, por consequência,
paralela ao Plano Horizontal de Projecção).
Todos os seus pontos têm cota e abcissa constantes.
Como se pode observar na representação tridimensional, a recta Projectante Frontal (ou de
Topo) apesar de ser perpendicular ao Plano Frontal de Projecção, é na projecção horizontal t1
que se observa a posição relativa da recta ao ϕo – ficando perpendicular ao eixo x – sendo a
outra projecção t2 um ponto na mesma abcissa de t1.
Sendo a recta perpendicular ao ϕo , observa-se o seguinte:
todos os seus pontos têm cota e abcissa constantes (daí todos as suas projecções frontais coincidirem com t2);
apenas atravessa dois quadrantes – o 1º e o 2º ou o 3º e o 4º (se a recta tiver
cota negativa);
não tem Traço Horizontal.
Análise do percurso da recta no espaço e respectivas visibilidade e invisibilidade:
Vista de lado
Notas: repara que I1 é a única projecção horizontal que coincide com t2 . O percurso da recta
tem de ser feito na vertical, para acompanhar a direcção da recta.
Para mais informações, consulta as páginas 72 e 73.
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Alfabeto da Recta
Recta Vertical ou Recta Projectante Horizontal
Recta Vertical é toda a Recta que é perpendicular ao
Plano Horizontal de Projecção (e, por consequência,
paralela ao Plano Frontal de Projecção).
Todos os seus pontos têm afastamento e abcissa
constantes.
Como se pode observar na representação tridimensional, a recta Projectante Horizontal (ou
Vertical) apesar de ser perpendicular ao Plano Horizontal de Projecção, é na projecção frontal
v2 que se observa a posição relativa da recta ao νo – ficando perpendicular ao eixo x – sendo a
outra projecção v1 um ponto na mesma abcissa de v2.
Sendo a recta perpendicular ao νo , observa-se o seguinte:
todos os seus pontos têm afastamento e abcissa constantes (daí todos as suas
projecções horizontais coincidirem com v1);
apenas atravessa dois quadrantes – o 1º e o 4º ou o 2º e o 3º (se a recta tiver
afastamento negativo);
não tem Traço Frontal.
Análise do percurso da recta no espaço e respectivas visibilidade e invisibilidade:
Vista de lado
Notas: repara que I2 é a única projecção frontal que coincide com v1 . O percurso da recta tem
de ser feito na vertical, para acompanhar a direcção da recta.
Para mais informações, consulta as páginas 75 e 76.
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Alfabeto da Recta
Recta Fronto-Horizontal ou Recta Paralela a x
Recta Fronto-Horizontal é toda a Recta que é paralela ao Plano Frontal de Projecção e ao Plano Horizontal de Projecção.
Todos os seus pontos têm afastamento e cota constantes.
Como se pode observar na representação tridimensional, a recta Fronto-Horizontal por ser paralela aos dois Planos de Projecção, as suas projecções horizontal p1 e frontal p2 ficam paralelas ao eixo x.
Sendo a recta paralela ao ϕo e ao νo , observa-se o seguinte:
todos os seus pontos têm afastamento e cota constantes;
apenas atravessa um quadrante;
não tem Pontos Notáveis.
Análise do percurso da recta no espaço e respectivas visibilidade e invisibilidade:
Para mais informações, consulta a página 73.
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Alfabeto da Recta
Recta Passante
Recta Vertical é toda a Recta oblíqua aos Planos de
Projecção e passa (é concorrente) no eixo x.
Como se pode observar na representação tridimensional, a recta Passante por ser oblíqua aos
dois Planos de Projecção, as suas projecções horizontal a1 e frontal a2 ficam oblíquas ao eixo x,
e são concorrentes (intersectam-se) num ponto do eixo x.
Sendo a recta oblíqua ao νo e ao ϕo e concorrente com o eixo x, observa-se o seguinte:
apenas atravessa dois quadrantes – o 1º e o 3º ou o 2º e o 4º (é a única recta
que passa por quadrantes e octantes não consecutivos);
os seus Pontos Notáveis situam-se no eixo x.
Análise do percurso da recta no espaço e respectivas visibilidade e invisibilidade:
Vista de lado
As Rectas Passantes podem ser Passantes Oblíquas (caso analisado) e Passantes de Perfil.
Para mais informações, consulta a página 79.
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Alfabeto da Recta
Recta de Perfil
Recta de Perfil é toda a Recta oblíqua aos Planos de
Projecção e ortogonal (perpendicular) ao eixo x.
Todos os seus pontos têm abcissa constante.
Como se pode observar na representação tridimensional, a recta de Perfil, apesar de ser oblíqua aos Planos de Projecção, as projecções horizontal p1 e frontal p2 ficam coincidentes e perpendiculares ao eixo x devido à sua posição ortogonal com o eixo x.
Sendo a recta oblíqua ao νo e ao ϕo e ortogonal ao eixo x, observa-se o seguinte:
todos os seus pontos têm abcissa constante;
atravessa três quadrantes – o 1º, 2º e 3º ou o 2º, 3º e 4º ou 3º, 4º e 1º ou 4º, 1º e
2º;
a recta para estar bem definida, tem de estar representada com dois dos seus
pontos.
Representação correcta da recta e seus pontos notáveis:
Vista de lado
Notas: devido à posição da recta de perfil, a determinação dos pontos notáveis e do seu percurso no espaço só é possível recorrendo aos métodos auxiliares (matéria do 11º ano). A recta
poderá não ter um dos traços nos planos bissectores se for paralelo (ou perpendicular) a um
deles. É a única excepção à aplicação do conceito de Ponto pertencente a uma Recta.
Para mais informações, consulta as páginas 77 e 78.
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Alfabeto da Recta
Recta Oblíqua
Recta Vertical é toda a Recta oblíqua aos dois Planos de Projecção.
Como se pode observar na representação tridimensional, a recta Oblíqua tem as suas projecções horizontal a1 e frontal a2 oblíquas ao eixo x.
Sendo a recta oblíqua ao νo e ao ϕo , observa-se o seguinte:
atravessa três quadrantes – o 1º, 2º e 3º ou o 2º, 3º e 4º ou 3º, 4º e 1º ou 4º, 1º e
2º.
Análise do percurso da recta no espaço e respectivas visibilidade e invisibilidade:
Vista de lado
Notas: a recta poderá não ter um dos traços nos planos bissectores se for paralelo a um deles.
Para mais informações, consulta as páginas 76 e 77.
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Posição relativa entre Rectas
Rectas Complanares e Rectas não Complanares
Duas rectas são: Complanares ou não Complanares entre si. As Rectas Complanares
são Concorrentes ou Paralelas.
Duas rectas no espaço são Complanares se estiverem contidas no mesmo plano (ou se nelas
for possível assentar um plano).
As Rectas Complanares dividem-se em:
Rectas Paralelas – são rectas que têm a mesma direcção (são concorrentes no
infinito);
Rectas Concorrentes – são rectas que têm um ponto comum (e, por isso, direcções diferentes).
As Rectas Concorrentes podem ainda ser:
Oblíquas – se o ângulo entre elas for diferente de 0 e 90º;
Perpendiculares – se o ângulo entre elas for igual a 90º.
As Rectas não Complanares, ou Rectas Enviesadas, são rectas com direcções diferentes e
não concorrentes.
São Rectas Enviesadas as Rectas Ortogonais – rectas que não são complanares, mas são paralelas a duas rectas perpendiculares (como é o caso das rectas
de Perfil em relação ao eixo x).
Para mais informações, consulta as páginas 68 a 70.
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Posição relativa entre Rectas
Rectas Paralelas
As projecções homónimas (do mesmo nome) de
Rectas Paralelas são paralelas entre si.
Quando duas rectas são Paralelas entre si no espaço, qualquer que seja o ponto de vista de
observação, são vistas como paralelas (descontando, obviamente, o efeito de perspectiva do
nosso modo de visão) – assim, as projecções das rectas em qualquer plano serão sempre paralelas.
Em dupla projecção ortogonal as projecções horizontais das rectas serão paralelas (a1 // b1)
entre si e as projecções frontais (a2 // b2) também – se esta dupla condição não se confirmar
então as rectas não são paralelas.
Para mais informações, consulta a página 68.
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Posição relativa entre Rectas
Rectas Concorrentes
As projecções homónimas de Rectas Concorrentes
são concorrentes nas respectivas projecções do
ponto de concorrência.
Quando duas rectas são Concorrentes, têm um ponto comum – o ponto de concorrência ou
de intersecção – assim, as projecções horizontais das rectas (a1 e b1) passam na projecção
horizontal do ponto (P1) e as projecções frontais das rectas (a2 e b2) contêm a projecção frontal
do ponto (P2).
Em dupla projecção ortogonal, se a dupla condição não se confirmar então as rectas não são
concorrentes.
Para mais informações, consulta as páginas 68 e 69.
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