2
RECTA
O alfabeto da recta é o conjunto das posições genéricas que uma recta pode
ter em relação aos planos de projecção. Neste capítulo apresentam-se
essas posições, assim como posições particulares que algumas rectas
podem ter. Mostra-se também como se determinam as projecções laterais
de algumas rectas, como se marcam pontos nas rectas e como se determina
o percurso de uma recta.
Sumário:
2. Recta horizontal
3. Recta frontal
4. Recta fronto-horizontal
5. Recta de topo
6. Recta vertical
7. Recta oblíqua
8. Recta de perfil
9. Posições particulares da recta fronto-horizontal
10. Posições particulares da recta oblíqua
11. Posições particulares da recta de perfil
12 e 13. A projecção lateral da recta de perfil
14. A projecção lateral das rectas vertical, de topo e fronto-horizontal
15. A projecção lateral das rectas horizontal, frontal e oblíqua
16. Marcação de pontos nas rectas fronto-horizontal, de topo e vertical
17. Marcação de pontos nas rectas horizontal e frontal
18. Marcação de pontos na rectas oblíqua e de perfil
19. Percurso das rectas horizontal e frontal
20. Percurso das rectas oblíqua e de perfil
21. Percurso das rectas de topo e vertical
22. Exercícios
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Recta - 1
Recta horizontal
A recta horizontal, ou de nível, é paralela ao plano horizontal de projecção e oblíqua ao plano frontal
de projecção. Tem apenas traço frontal. Esta recta pode ter abertura para a esquerda ou para a
direita, que se considera do lado onde o afastamento é positivo.
Designam-se por traços os pontos onde as rectas cruzam os planos de projecção.
φo
n2
F≡F2
n1
F1
x
n
n
// PHP
/ PFP
νo
A recta horizontal em perspectiva
A recta horizontal n é projectada no PHP em n1,
projecção essa que é paralela à própria recta e
oblíqua ao eixo x. A sua projecção no PFP é n2,
paralela ao eixo x. A recta cruza o PFP no ponto F,
que é o seu traço frontal.
F2
n2
F1
x
F1
a2
F2
n1
a1
A recta horizontal em projecções
A recta n tem cota positiva e abertura para a direita, e corresponde àquela que está representada na perspectiva acima. A recta a tem cota negativa e abertura para a esquerda, estando apenas representada pelas suas
projecções.
A projecções frontais duma recta horizontal são paralelas ao eixo x, as horizontais são oblíquas.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Recta - 2
Recta frontal
A recta frontal é oblíqua ao plano horizontal de projecção e paralela ao plano frontal de projecção.
Tem apenas traço horizontal. Esta recta pode ter abertura para a direita ou para a esquerda, que se
considera do lado onde a cota é positiva.
φo
f2
f
f
// PFP
/ PHP
f1
H2
νo
x
H≡H1
A recta frontal em perspectiva
A recta frontal f é projectada no PHP em f1, projecção essa que é paralela ao eixo x. A sua projecção
no PFP é f2, que é paralela à própria recta f. A recta cruza o PHP no ponto H, que é o seu traço horizontal.
b2
f2
H1
b1
H2
x
H2
H1
f1
A recta frontal em projecções
A recta f tem afastamento positivo e abertura para a direita e corresponde à que está representada em perspectiva. A recta b tem afastamento negativo e abertura para a esquerda, estando apenas representada pelas suas
projecções. A projecções horizontais duma recta frontal são paralelas ao eixo x, as frontais são oblíquas.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Recta - 3
Recta fronto-horizontal
A recta fronto-horizontal é paralela aos dois planos de projecção, pelo que não possui traços.
φo
a
a2
// PHP
// PFP
a
a1
νo
x
A recta fronto-horizontal em perspectiva
A recta fronto-horizontal a é projectada no PHP em
a1 e no PFP em a2, ambas as projecções são paralelas ao eixo x. Esta recta não cruza os planos de
projecção, pelo que não tem traços.
b1
a2
b2
x
a1
A recta fronto-horizontal em projecções
A recta a tem afastamento positivo e cota positiva, situa-se no I.º diedro. A recta b tem afastamento negativo e
cota positiva, situando-se no II.º diedro. A recta a corresponde à que está representada em perspectiva; a recta
b está apenas representada em projecções.
Ambas as projecções duma recta fronto-horizontal são paralelas ao eixo x.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Recta - 4
Recta de topo
A recta de topo é paralela ao plano horizontal de projecção e perpendicular ao plano frontal de projecção. Tem apenas traço frontal. Esta recta é projectante frontal, o que quer dizer que todos os
pontos que possui são projectados frontalmente no seu traço (ver mais adiante “Marcação de pontos
nas rectas fronto-horizontal, de topo e vertical”).
φo
t
// PHP
PFP
F≡F2≡(t2)
t
x
F1
νo
t1
A recta de topo em perspectiva
A recta de topo t é projectada no PHP em t1, projecção essa paralela à própria recta. A projecção
frontal fica reduzida a um ponto, indicando-se entre
parêntesis (t2). Essa projecção coincide com o traço da recta.
(t2)≡F2
F1
F1
x
(d2)≡F2
d1
t1
A recta de topo em projecções
A recta t tem cota positiva, situa-se nos I.º e II.º diedros; a recta d tem cota negativa, pelo que se situa nos III.º e
IV.º diedros. A recta t corresponde à que está representada em perspectiva; a recta d está apenas representada nas projecções.
A projecção horizontal de uma recta de topo é perpendicular ao eixo x, a frontal fica reduzida a um ponto coincidente com o seu traço.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Recta - 5
Recta vertical
A recta vertical é paralela ao plano frontal de projecção e perpendicular ao plano horizontal de projecção. Tem apenas traço horizontal. Esta recta é projectante horizontal, o que quer dizer que todos
os pontos que possui são projectados horizontalmente no seu traço (ver mais adiante “marcação de
pontos nas rectas de topo e vertical”).
φo
v2
v
// PFP
PHP
v
H2
H≡H1≡(v1)
x
νo
A recta vertical em perspectiva
A recta vertical v é projectada no PFP em v2, projecção essa paralela à própria recta. A projecção
horizontal fica reduzida a um ponto, indicando-se
entre parêntesis(v1). Essa projecção coincide com
o traço da recta.
v2
a2
(a1)≡H1
H2
x
H2
(v1)≡H1
A recta vertical em projecções
A recta v tem afastamento positivo, situa-se nos I.º e IV.º diedros. A recta a tem afastamento negativa, pelo que
se situa nos IIº e IIIº diedros. A recta v corresponde à que está representada em perspectiva; a recta a está
apenas representada nas projecções.
A projecção frontal de uma recta vertical é perpendicular ao eixo x, a horizontal fica reduzida a um ponto, coincidente com o seu traço.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Recta - 6
Recta oblíqua
A recta oblíqua é oblíqua a ambos os planos de projecção e oblíqua também ao eixo x. Tem dois
traços. As suas projecções horizontal e frontal podem ter abertura para a esquerda ou para a direita,
o que se considera onde os afastamentos e as cotas são positivas, respectivamente.
φo
r
F≡F2
r2
H2
/ PHP
/ PFP
/ eixo x
r
x
r1
F1
H≡H1
νo
A recta oblíqua em perspectiva
A recta oblíqua r é projectada no PHP em r1 e no
PFP em r2. Essas projecções são oblíquas ao eixo
x. A recta cruza o PHP no ponto H e o PFP no ponto F, que são os seus traços.
F2
s2
r2
H2
H2
x
F1
F1
H1
r1
s1
F2
H1
A recta oblíqua em projecções
As projecções da recta r têm aberturas para lados opostos. As projecções da recta s têm aberturas para o mesmo lado. A recta r corresponde à que está representada em perspectiva; passa pelos diedros II, I e IV. A recta s
está apenas representada nas projecções; passa pelos diedros I, IV e III.
A projecções duma recta oblíqua são oblíquas ao eixo x.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Recta - 7
Recta de perfil
A recta de perfil é oblíqua aos planos de projecção e perpendicular ao eixo x. Tem dois traços que,
situados em diferentes semi-planos, farão com que a recta atravesse diferentes diedros.
φo
F≡F2
p
p2
p
F1≡H2
x
/ PHP
/ PFP
eixo x
νo
H≡H1
p1
A recta de perfil em perspectiva
A recta de perfil p é projectada no PHP em p1 e no
PFP em p2. Essas projecções são perpendiculares
ao eixo x. A recta cruza o PHP no ponto H e o PFP
no ponto F, que são os seus traços.
F2
F2
H1
F1≡H2
x
F1≡H2
H1
p1≡p2
b1≡b2
A recta de perfil em projecções
No espaço, as projecções da recta de perfil não são coincidentes, como se pode ver na perspectiva, mas
depois de se dar o rebatimento de um plano de projecção sobre o outro elas ficam coincidentes e perpendiculares ao eixo x. A recta p passa pelos diedros II, I e IV e corresponde à que está representada na perspectiva; a
recta b é uma de outras possibilidades, passando pelos diedros I, II e III.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Recta - 8
Posições particulares da recta fronto-horizontal
A recta fronto-horizontal apresenta algumas posições particulares, onde está contida nos planos bissectores.
a2
b1
x
b2
a1
a є β1/3
b є β1/3
d2≡d1
x≡e1≡e2
c2≡c1
c є β2/4
d є β2/4
e ≡ eixo x
Rectas situadas nos planos bissectores e no eixo x
As rectas a e b situam-se no β1/3 porque as suas projecções se apresentam uma para cada lado do eixo x e
com cota e afastamento iguais. As rectas c e d têm projecções coincidentes, pelo que se situam no β2/4. Estas
situações de pertença aos planos bissectores são idênticas às que encontramos nos pontos. A recta e coincide
com o eixo x.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Recta - 9
Posições particulares da recta oblíqua
Em posições particulares, a recta oblíqua pode ser paralela aos planos bissectores, estar contida
neles ou ser apenas passante. Rectas passantes são as que cruzam o eixo x.
F2
-
-
H2
s2
=
x
=
F1
=
r1
H1
F1
H2
-
r2
s1
=
F2
H1
r // β2/4
r1 // r2
s // β1/3
Rectas paralelas aos planos bissectores
As projecções da recta r são paralelas entre si, pelo que os seus traços têm medidas iguais, situando-se para
lados opostos do eixo x. É paralela ao β2/4. As projecções da recta s fazem ângulos iguais com o eixo x, com
aberturas para o mesmo lado; os seus traços têm medidas iguais e ficam para o mesmo lado do eixo x. É paralela ao β1/3.
b2
a2≡a1
c2
=
x
H1≡H2≡F1≡F2
H1≡H2≡F1≡F2
H1≡H2≡F1≡F2
=
b1
c1
a є β2/4 (recta passante)
b є β1/3 (recta passante)
c - recta passante qualquer
Rectas passantes
A recta a tem projecções coincidentes, situa-se no β2/4; a recta b tem projecções com ângulos simétricos, situase no β1/3. Qualquer ponto da recta a tem projecções coincidentes, por isso pertence ao β2/4; qualquer ponto da
recta b tem projecções simétricas, pelo que pertence β1/3. A recta c é uma recta passante qualquer, uma vez
que as suas projecções têm ângulos diferentes.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Recta - 10
Posições particulares da recta de perfil
As posições particulares da recta de perfil são idênticas às da recta oblíqua. Por serem mais difíceis
de visualizar a partir das suas projecções, mostram-se representações dessas rectas nos planos de
projecção vistos de lado.
c1≡c2
F2
Q2≡Q1
a1≡a2
F2≡H1
=
x
P2
=
R2
H1≡H2≡F1≡F2
H2≡F1
H2≡F1
H1≡H2≡F1≡F2
H1≡H2≡F1≡F2
=
=
P1
b1≡b2
d1≡d2
R1
H1
a
e1≡e2
// β2/4
β1/3
b
// β1/3
β2/4
c є β1/3
(Pєβ1/3)
d є β2/4
(Qєβ2/4)
recta passante
recta passante
φo
a
c
e
Q
P
R
νo
β1/3
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
qualquer
(R - ponto qualquer)
Posições particulares da
recta de perfil, representadas
nas projecções e vistas de lado
b
d
e - recta passante
β2/4
Os traços da recta a têm medidas
iguais, cada um representado para um
lado do eixo x, o que faz com que
essa recta seja paralela ao β2/4 e
simultaneamente perpendicular ao
β1/3. Os traços da recta b são
coincidentes, o que faz com que seja
paralela ao β1/3 e perpendicular ao β2/4.
A recta c situa-se no β1/3, cruza o eixo
x e contém o ponto P, que também se
situa nesse bissector. A recta d situase no β2/4, cruza o eixo x e contém o
ponto Q, que se situa nesse bissector.
A recta e cruza o eixo x e contém o
ponto R que é um ponto qualquer.
As rectas c, d e e são passantes, isto
é, cruzam o eixo x, por que é aí que se
situam ambos os seus traços. Para
ficarem devidamente definidas há que
acrescentar um outro ponto que as
situe no espaço.
Recta - 11
A projecção lateral da recta de perfil
Alguns exercícios de Distâncias, Ângulos, Paralelismos e Perpendicularidades determinam-se recorrendo à projecção lateral da recta. A recta de perfil é aquela que mais uso faz da projecção lateral.
z
p2
F3
A projecção lateral de uma
recta de perfil em perspectiva
F≡F2
p3
p
νo
H3
H2≡F1
x
H≡H1
y
p1
Aqui mostram-se as três projecções de
uma recta de perfil. Tal como acontece
com o PFP e o PHP, a projecção no PLP
é feita na perpendicular a este plano.
Uma vez obtida a projecção lateral, o
PLP rebate sobre o PFP, ficando a projecção lateral da recta como se mostra
na imagem seguinte.
πo
φo
y≡z
F2
F3
A projecção lateral da recta de perfil
F1≡H2
H3
x
H1
p3
A projecção lateral da recta de perfil obtém
-se unindo as projecções laterais dos pontos que a definem. Neste caso a recta está
definida pelos seus traços, mas quando
está definida por outros pontos procede-se
do mesmo modo.
A projecção H3 obtém-se rodando a medida de H1 no sentido inverso dos ponteiros
do relógio.
p1≡p2
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Recta - 12
Dado que a recta de perfil apresenta algumas variantes, será útil verificar como se determinam as
suas projecções laterais em algumas situações diferentes.
y≡z
F2
y≡z
F3
p2≡p1
H1
F1≡H2
x
H3
F1≡H2
H3
x
p3
F2
p3
F3
p2≡p1
H1
Recta de perfil com os traços acima do eixo x
Recta de perfil com os traços abaixo do eixo x
A projecção H3 surge à esquerda de y≡z em virtude
de o rebatimento do PHP se efectuar no sentido
inverso ao dos ponteiros do relógio.
A projecção lateral do ponto F está sempre em y≡z,
obtém-se através de uma linha paralela ao eixo x.
y≡z
y≡z
F2
p2≡p1
A2
A2
A3
p2≡p1
p3
B2
B2
B3
F1≡H2
x
F3
A3
p3
B3
H3
x
A1
A1
B1
B1
H1
Recta de perfil definida por dois pontos
Determinação dos traços da recta de perfil
Se uma recta está definida por dois pontos, que
não os traços, a sua projecção lateral determina-se
unindo as projecções laterais desses pontos.
Quando uma recta está definida por dois pontos,
pode-se determinar os seus traços através da projecção lateral. Este exercício continua o anterior.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Recta - 13
A projecção lateral das rectas vertical, de topo e fronto-horizontal
Sobretudo nos capítulos Distâncias e Ângulos é, por vezes, necessário recorrer às projecções laterais destas rectas. Mostra-se aqui como se determinam.
y≡z
y≡z
v2
v3
H2
F2≡(t2)
F3
t3
F1
H3
x
x
H1≡(v1)
t1
A projecção lateral da recta vertical
A projecção lateral da recta de topo
A projecção lateral da recta vertical fica perpendicular ao eixo x, contendo a projecção lateral do seu
traço.
A projecção lateral da recta de topo fica paralela ao
eixo x e passa pela projecção lateral do seu traço.
y≡z
a2
L2
a1
L1
(a3)≡L3
x
A projecção lateral da recta fronto-horizontal
Para obter a projecção lateral desta recta roda-se para o eixo x a medida correspondente ao seu afastamento.
Uma vez que a recta é perpendicular ao PLP, a sua projecção lateral fica reduzida a um ponto, coincidente com
a projecção lateral do traço da recta, o ponto L.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Recta - 14
A projecção lateral das rectas horizontal, frontal e oblíqua
Embora sem aplicação prática na resolução de qualquer outro tipo de exercício, mostra-se aqui
como se determinam as projecções laterais destas rectas.
y≡z
y≡z
F2
L3
n2≡n3
L2≡F3
L1
F1
x
F1
x
n1
n1
L2≡F3
F2
L1
L3
n2≡n3
y≡z
y≡z
H1
L2
L1
f1
L3
f3
f2
H2
H3
x
x
H2
H3
f2
L1
H1
f3
f1
L3
L2
y≡z
F2
A projecção lateral das rectas
horizontal, frontal e oblíqua
e respectivos traços
F3
r3
r2
L3
L2
H3
x
H2
F1
r1
L1
H1
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
As projecções laterais das rectas horizontais, tenham cota positiva ou negativa, são coincidentes com as frontais.
As projecções laterais das rectas frontais,
tenham afastamento positivo ou negativo,
são perpendiculares ao eixo x.
Para determinar as projecções laterais
das rectas oblíquas é necessário determinar as projecções laterais de dois dos
seus pontos. Aqui utilizam-se os seus
traços, mas podem ser utilizados outros
pontos.
Nos casos anteriores estão também indicadas as três projecções dos traços das
rectas.
Recta - 15
Marcação de pontos nas rectas fronto-horizontal, de topo e vertical
Para que um ponto pertença a uma recta é necessário que as suas projecções se situem nas projecções homónimas dessa recta. Como veremos, basta dar uma das coordenadas de um ponto para
que este pertença às rectas fronto-horizontal, de topo e vertical.
y≡z
a2
A2
C2
B2
A1
C1
B1
x
a1
Marcação de pontos na recta fronto-horizontal
Todos os pontos que se marquem numa recta fronto-horizontal terão sempre o mesmo afastamento e a mesma
cota (que são os da recta). Por isso, basta dar a medida da abcissa de cada um dos pontos.
Aqui são dados os seguintes pontos:
A, com 3cm de abcissa; B, com -2cm de abcissa; C, com 0cm de abcissa.
v2
(t2)≡F2≡J2≡K2
L2
K1
H2
x
F1
(v1)≡H1≡L1≡M1
J1
t1
M2
Marcação de pontos nas rectas de topo e vertical
Uma recta de topo mantém os mesmos valores de abcissa e de cota. Para marcar pontos nessa recta basta dar
o valor do afastamento. Uma recta vertical mantém os valores de abcissa e de afastamento. Para marcar pontos nessa recta basta dar o valor da cota.
J, com 2cm de afastamento; K, com -1cm de afastamento. L, com 2cm de cota; M, com -3cm de cota.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Recta - 16
Marcação de pontos nas rectas horizontal e frontal
Também para traçar pontos situados nestas rectas basta dar uma de duas coordenadas, já que a
outra mantém o mesmo valor.
y≡z
B2
A2
F2
C2
n2
B1
F1
x
A1
C1
n1
Marcação de pontos na recta horizontal
Todos os pontos que se marquem numa recta horizontal terão sempre a mesma cota (que é a da própria recta).
Para marcar pontos nessa recta basta dar a medida da abcissa ou do afastamento.
São dados os seguintes pontos, a título de exemplo:
A, com 1,5cm de abcissa; B, com -1cm de afastamento; C, com 2,5cm de afastamento.
y≡z
f2
J2
K2
H2
x
L1
f1
J1
K1
H1
L2
Marcação de pontos na recta frontal
Os pontos de uma recta frontal terão sempre o mesmo afastamento (que é o da própria recta). Para se marcar
pontos nessa recta basta dar o seu valor de cota ou de abcissa.
A título de exemplo são dados os seguintes pontos:
J, com 3cm de cota; K, com 1cm de abcissa; L, com -2,5cm de cota.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Recta - 17
Marcação de pontos nas rectas oblíqua e de perfil
Para marcar pontos na recta oblíqua basta dar uma das suas coordenadas, qualquer que ela seja.
Para marcar pontos na recta de perfil dá-se o valor do afastamento ou da cota, já que o da abcissa é
sempre o mesmo. Aqui recorre-se à projecção lateral para marcar pontos na recta de perfil.
y≡z
A2
r2
F2
A1
B2
C2
r1
H2
F1
x
B1
C1
H2
Marcação de pontos na recta oblíqua
A recta oblíqua não mantém constante nenhuma coordenada, mas para se traçarem pontos nela basta que seja
dada uma das suas coordenadas, seja ela qual for. São dados os seguintes pontos, a título de exemplo:
A, com -1,5cm de afastamento; B, com 1cm de cota; C, com -2,5cm de abcissa
y≡z
p2≡p1
F2
M2
H2≡F1
F3
M3
H3
x
M1
N2
H1
N3
p3
N1
Marcação de pontos na recta de perfil
Uma recta de perfil mantém o mesmo valor de abcissa. Para se marcar pontos nessa recta recorre-se à projecção lateral, bastando saber o valor da cota ou do afastamento desses pontos. A título de exemplo são dados os
seguintes pontos:
M, com 1cm de afastamento; N, com -1,5cm de cota.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Recta - 18
Percurso das rectas horizontal e frontal
Aqui determinam-se pontos notáveis e indicam-se os diedros e os octantes por onde cada uma destas rectas passa. É nisso que consiste a determinação do percurso de uma recta.
Pontos notáveis de uma recta são os seus traços nos planos de projecção e nos planos bissectores.
I2≡I1
n2
Q2
F2
=
x
F1
=
n1
Q1
4.º octante
3.º octante
2.º octante
II.º diedro
1.º octante
I.º diedro
Percurso da recta horizontal
Aqui mostra-se o percurso de uma recta horizontal com cota positiva e abertura para a direita. A recta cruza o
β2/4 no ponto I e o β1/3 no ponto Q. Para obter o ponto Q traçou-se, a partir do eixo x, uma linha simétrica à projecção n1; deste modo, esse ponto terá cota e afastamento iguais.
Aplica-se este processo quando o ângulo da projecção da recta é um valor inteiro e conhecido.
f2
Q2
=
H2
x
=
I1≡I2
f1
Q1
2.º octante
H1
1.º octante
8.º octante
I.º diedro
7.º octante
IV.º diedro
Percurso da recta frontal
Esta recta tem afastamento positivo e abertura para a esquerda. Cruza o β2/4 no ponto I e o β1/3 no ponto Q.
Aqui o ponto Q obteve-se traçando uma paralela ao eixo x com medida igual à do afastamento da recta.
É possível aplicar este processo apenas nas rectas frontal e horizontal.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Recta - 19
Percurso das rectas oblíqua e de perfil
Aqui determinam-se os pontos notáveis destas rectas e indicam-se os seus percursos.
I2≡I1
F2
Q2
r2
=
x
H2
F1
=
Q1
r1
4.º octante
3.º octante
2.º oct.
H1
1.º octante
IV.º diedro
I.º diedro
II.º diedro
8.º octante
Percurso da recta oblíqua
Aqui está indicado o percurso de uma recta oblíqua com o traço frontal com cota positiva e o horizontal com
afastamento positivo. A recta cruza o β2/4 no ponto I e o β1/3 no ponto Q. Para obter o ponto Q pode marcar-se
um ponto qualquer numa das projecções (não é necessário dar-lhe nome) e transpor a mesma medida para o
lado oposto do eixo x. Traçando uma linha simétrica à da projecção utilizada determina-se o ponto.
y≡z
p2≡p1
II.º diedro
3.º oct.
F2
F3
2.º oct.
I.º diedro
lβ1/3
Q2
1.º oct.
Q3
F1≡H2
H3
x
8.º oct.
p3
Q1
H1
lβ2/4
IV.º diedro
I3
I1≡I2
7.º oct.
Percurso da recta de perfil
Como as projecções frontal e horizontal são coincidentes, o percurso da recta de perfil indica-se na projecção
lateral. Para determinar os pontos I e Q utilizam-se os traços laterais dos planos bissectores, que fazem 45º
com os eixos. Esta recta estava, à partida, definida pelos seus traços, mas se estiver definida por outros pontos
procede-se de forma idêntica.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Recta - 20
Percurso das rectas de topo e vertical
Aqui, os pontos notáveis determinam-se directamente. Contudo, como uma das projecções destas
rectas fica reduzida a um ponto, sugere-se a indicação do seu percurso na projecção lateral.
y≡z
II.º diedro
3.º oct.
4.º oct.
(t2)≡F2≡Q2≡I2≡I1
x
II.º diedro
2.º oct.
1.º oct.
t3
Q3
I3
F1
lβ2/4
lβ1/3
Q1
t1
Percurso da recta de topo
Os pontos Q e I, respectivamente do β1/3 e do β2/4, determinam-se directamente, uma vez que o ponto Q tem
uma projecção para cada lado do eixo x e o ponto I tem projecções coincidentes. Com recurso aos traços laterais dos planos bissectores, fica evidente o percurso da recta.
y≡z
v3
v2
2.º oct.
Q2
Q3
I.º diedro
1.º oct.
lβ2/4
H2
x
H3
lβ1/3
(v1)≡H1≡Q1≡I1≡I2
8.º oct.
IV.º diedro
I3
7.º oct.
Percurso da recta vertical
Tal como na recta anterior, também aqui os pontos Q e I se determinam directamente e se indica o percurso da
recta na sua projecção lateral.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Recta - 21
Recta – Exercícios
Rectas com marcação de pontos
1. Representar a recta fronto-horizontal h, que contém o ponto P(1;3;-1). Nela marcar os pontos:
A, com 2cm de abcissa
B, com 4cm de abcissa
C, com -3cm de abcissa
2. Representar a recta horizontal n, com 2cm de
cota, fazendo 40ºad, sendo o seu traço o ponto F
com 2cm de abcissa. Nela marcar os pontos:
D, com 4cm de afastamento
E, com -1cm de abcissa
G, com -1cm de afastamento
I, com 6cm de abcissa
3. Representar a recta frontal f, que contém o ponto
R(4;-3;6). Nela marcar os pontos:
H, traço da recta, com -3cm de abcissa
K, com 4cm de cota
L, com -2cm de abcissa
M, com -4cm de cota
4. Representar a recta de topo t, com 3cm de cota e
4cm de abcissa. Nela marcar os pontos:
F, traço da recta
N, com 2cm de afastamento
O, com -5cm de afastamento
P, com -3cm de afastamento
5. Representar a recta vertical v, com -2cm de afastamento e 3cm de abcissa. Nela marcar os pontos:
H, traço horizontal
Q, com 4cm de cota
R, com -3cm de cota
6. Representar a recta oblíqua r, cujos traços são os
pontos H(2;2;0) e F(4;0;5). Nela marcar os pontos:
S, com 4cm de abcissa
T, com 2cm de cota
U, com 1cm de afastamento
V, com -1cm de afastamento
Pontos notáveis e percurso de rectas
7. Representar a recta n do exercício 2. Determinar
os pontos notáveis e o percurso dessa recta.
8. Representar a recta f do exercício 3. Determinar
os pontos notáveis e o percurso dessa recta.
9. Representar a recta t do exercício 4. Determinar
os pontos notáveis e o percurso dessa recta.
10. Representar a recta v do exercício 5. Determinar
os pontos notáveis e o percurso dessa recta.
11. Representar a recta r do exercício 6. Determinar
os pontos notáveis em falta e o seu percurso.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
12. Representar a recta s, que contém os pontos
A(4;-1;5) e B(-2;-4;-2). Determinar os pontos notáveis e o percurso dessa recta.
13. Representar a recta b, que contém o ponto
R(-2;2;3), fazendo as suas projecções frontal e horizontal 40ºad e 40ºae, respectivamente. Determinar
os pontos notáveis e o percurso dessa recta.
14. Representar a recta m, que contém o ponto
M(2;-1,5;-3), fazendo as suas projecções frontal e
horizontal 55ºad e 20ºae, respectivamente. Determinar os pontos notáveis e o percurso dessa recta.
15. Representar a recta c, que contém o ponto
C(3;2;4) e é passante no ponto P com -2cm de
abcissa. Determinar o percurso dessa recta.
16. Representar a recta e, passante no ponto R com
3cm de abcissa, fazendo as suas projecções frontal
e horizontal 55ºad e 25ºae, respectivamente. Determinar o percurso dessa recta.
17. Representar a recta r, que contém o ponto
P(1;2;3) e é paralela ao β2/4, fazendo a sua projecções frontal 35ºad. Determinar os pontos notáveis e
o percurso dessa recta.
18. Representar a recta s, que contém o ponto
S(-4;1;5), fazendo a suas projecções frontal e horizontal ambas 30ºad. Determinar os pontos notáveis
e o percurso dessa recta.
Recta em tripla projecção
19. Representar as rectas h e n dos exercícios 1 e
2. Determinar as suas projecções laterais.
20. Representar as rectas f, t e v dos exercícios 3, 4
e 5. Determinar as suas projecções laterais.
21. Representar a recta r do exercício 6. Determinar
as suas projecções laterais.
22. Representar a recta de perfil p, cujos traços são
os pontos H(3;2;0) e F(3;0;5). Determinar, recorrendo à projecção lateral, os seus pontos:
X, com -1cm de afastamento
Y, com 2cm de cota
23. Representar a recta do exercício anterior. Determinar os pontos notáveis em falta e o seu percurso.
24. Representar a recta a, definida pelos pontos R
(4;1:3) e S(4;4;1).Determinar os pontos notáveis e o
seu percurso.
25. Representar a recta de perfil b, que contém o
ponto Z(6;2) e é paralela ao β1/3. Determinar os pontos notáveis e o seu percurso
Recta - 22