7a Lista de Exercı́cios - Geometria Analı́tica
1. Estude a posição relativa das retas nos seguintes casos:
(
y+z =3
(a) r : X = (1, −1, 1 + λ(−2, 1, −1) e s :
x+y−z =6
(
(
x−y−z =2
2x − 3y + z = 5
(b) r :
es:
x+y−z =0
x + y − 2z = 0
(c) r :
x+1
2
=
y
3
=
z+1
2
e s : X = (0, 0, 0) + λ(1, 2, 0)
2. Determine m para que as retas r : X = (1, 0, 2) + λ(2, 1, 3) e s : X = (0, 1, −1) +
λ(1, m, 2m) sejam coplanares, e neste caso, estude sua posição relativa.
3. Estude a posição da reta e do plano a seguir:
(a) r : X = (1, 1, 0) + λ(0, 1, 1) e π : x − y − z = 2
x−1
= y = z e π : X = (3, 0, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(2, 2, 0)
(2
x−y+z =0
(c) r :
e π : X = (0, 12 , 0) + λ(1, − 12 , 0) + µ(0, 1, 1)
2x + y − z − 1 = 0
(b) r :
4. Calcule m para que a reta r : X = (1, 1, 1) + λ(2, m, 1) seja paralela ao plano π : X =
(0, 0, 0) + α(1, 2, 0) + β(1, 0, 1).
5. Calcule m, n ∈ R para que a reta r : X = (n, 2, 0) + λ(2, m, m) esteja contida no
plano π : x − 3y + z = 1.
6. Calcule a posição relativa de π1 e π2 nos seguintes casos:
(a) π1 : X = (1, 1, 1) + λ(0, 1, 1) + µ(−1, 2, 1)
π2 : X = (1, 0, 0) + λ(1, −1, 0) + µ(−1, −1, −2)
(b) π1 : 2x − y + 2z − 1 = 0 e π2 : 4x − 2y + 4z = 0
7. Calcule m para que os planos
π1 : X = (1, 1, 0) + λ(m, 1, 1) + µ(1, 1, m)
e
π2 : 2x + 3y + 2z − 5 = 0,
sejam paralelos distintos.
8. Verifique se as retas r e s são ortogonais; em caso afirmativo, se são também perpendiculares.
(a) r : X = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 1) e s : X = (2, 4, 4) + λ(−1, 1, −1)
(b) r : X = (0, 1, 0) + λ(3, 1, 4) e s : X = (−1, 1, 0) + λ(1, 0, 1)
(c) r :
x−1
2
=
y−3
5
=
z
7
e s : X = (1, 3, 0) + λ(0, −7, 5)
9. Ache equações sob forma simétrica da reta perpendicular comum às retas reversas

(

x = 2 + λ
x+y =2
r: y=λ
e
.

z=0

z = −1 + λ
1
10. Ache equações paramétricas da reta que passa por P = (1, −1, 0) e é perpendicular ao
plano π : X = (1, −1, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(1, 1, 1).
11. Ache uma
( equação geral do plano π que passa por P = (1, 1, −1) e é perpendicular à
x − 2y + z = 0
reta r :
.
2x − 3y + z − 1 = 0
12. Ache o simétrico do ponto P = (1, 4, 2) em relação ao plano π : x − y + z − 2 = 0.
13. Ache o co-seno do ângulo entre as retas:
(a) r : X =
(b) r : x =
(− 52 ,
1−y
2
=
2, 0) +
z
3
λ( 21 ,
(
3x − 2y + 16 = 0
1, 1) e s :
3x − z = 0
(
3x + y − 5z = 0
es:
2x + 3y − 8z = 1
14. Ache a medida em radianos do ângulo entre a reta e o plano dados:
(
x=0
(a)
ez=0
y=z


x = 1 + λ
(b) y = λ
e x + y − z − 1 = 0.


z = −2λ
15. Ache a medida em radianos do ângulo entre os planos:
(a) 2x + y − z − 1 = 0 e x − y + 3z − 10 = 0
(b) X = (1, 0, 0) + λ(1, 0, 1) + µ(−1, 0, 0) e x + y + z = 0
16. Ache a reta que passa pelo ponto (1, −2, 3) e que forma ângulo de 45o e 60o respectivamente com o eixo dos x e o eixo dos y.
17. Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano π : x + y + z = 0 e que forma 45o
com o plano π1 : x − y = 0.
2