MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO
PARANÁ
S E T O R D E C I Ê N C I A S E X A T A S
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
Distribuições Amostrais
1 – Introdução
Já foi visto como resumir descritivamente um conjunto de dados. Visto
também, como construir modelos probabilísticos para descrever alguns
fenômenos. E a partir de agora, iremos ver como reunir os dois tópicos para
estudar uma ramo muito importante da Estatística conhecido como Inferência
Estatística, ou seja, como fazer afirmações sobre características de uma
população, baseando-se em resultados de uma amostra. O uso de informações da
amostra para concluir sobre o todo faz parte da atividade diária da maioria das
pessoas. Basta observar como uma cozinheira verifica se o prato que está
preparando tem ou não a qualidade adequada de sal. Ou ainda, quando uma
dona-de-casa, após experimentar um pedaço de laranja numa banca de feira,
decide se as compra ou não. Essas decisões baseadas em procedimentos
amostrais.
2 – População e Amostra
Em discussões anteriores, tomamos conhecimento de alguns modelos
probabilísticos que procuram medir a variabilidade de fenômenos casuais de
acordo com suas ocorrências: as distribuições de probabilidades de variáveis
aleatórias (qualitativas ou quantitativas). Na prática, raramente o pesquisador
sabe qual distribuição representa a sua variável (variável de interesse).
Por exemplo, parece razoável supor que a distribuição das alturas dos
brasileiros adultos possa ser representada por um modelo normal. Mas esta
afirmação não é suficiente para determinar qual a distribuição normal
correspondente; precisaríamos conhecer os parâmetros (média e variância) desta
normal para que ela ficasse muito bem caracterizada. O propósito do
pesquisador seria, então, descobrir os parâmetros da distribuição para sua
posterior utilização.
Se pudéssemos medir as alturas de todos os brasileiros adultos, teríamos
meios de obter a sua distribuição exata e, daí, produzir os correspondentes
parâmetros.
Prof. Mário Luiz F. da Silva – Distribuições Amostrais
2
Contudo, raramente se consegue obter a distribuição exata de alguma
variável, ou porque isto é muito dispendioso, ou muito demorado ou às vezes
porque consiste num processo destrutivo. Por exemplo, se estivéssemos
observando a durabilidade de lâmpadas e testássemos todas até queimarem, não
restaria nenhuma para ser vendida. Assim, a solução é selecionar parte dos
elementos (amostra), analisá-la e inferir propriedades para o todo (população).
Este é o objetivo da Inferência Estatística.
Assim, os dois conceitos básicos são necessários para o desenvolvimento
da Inferência Estatística: população e amostra.
População é o conjunto de indivíduos, objetos ou característica, tendo
pelo menos uma variável observável. Amostra é qualquer subconjunto da
população.
Vejamos outros exemplo para caracterizar essas definições:
Exemplo 2.1 – Considere uma pesquisa para estudar os salários dos 500
funcionários da Cia. Milsa. Seleciona-se uma amostra de 36 indivíduos, e
anotam-se os seus salários. A variável a ser observada é o salários. A população
é formada pelos 500 funcionários da cia. A amostra é constituída pelos 36
indivíduos selecionados. Na realidade, estamos interessados nos salários;
portanto, para sermos mais precisos, devemos considerar como população os
500 salários correspondentes aos 500 funcionários. Consequentemente, a
amostra será formada pelos 36 salários dos indivíduos selecionados. Podemos
estudar a distribuição dos salários na amostra, e esperamos que a mesma reflita a
distribuição de todos os salários, desde que a amostra tenha sido colhida com
cuidado.
Exemplo 2.2 – Queremos estudar a proporção de indivíduos na cidade A que são
favoráveis a um certo projeto governamental. Uma amostra de 200 pessoas é
sorteada, e a opinião de cada uma é registrada. Então, a variável de interesse é a
resposta: a favor ou contra o projeto. A população consiste em todos os
moradores da cidade, e a amostra é formada pelas 200 pessoas selecionadas.
Exemplo 2.3 – Queremos investigar a duração de vida de um novo tipo de
lâmpada, pois acreditamos que ela tenha uma duração maior do que as lâmpadas
fabricadas atualmente. Cem lâmpadas do novo tipo são deixadas acesas até
queimarem. A duração em horas de cada lâmpada é registrada. Aqui a variável é
a duração em horas de cada lâmpada. A população é formada por todas as
lâmpadas fabricadas ou que venhas as ser fabricadas por esta fábrica. A amostra
é formada pelas 100 lâmpadas selecionadas. Notem que, neste caso, não
podemos observar a população, ou seja, a distribuição da duração de vida das
lâmpadas na população, pois corresponderia a queimar todas as lâmpadas.
Prof. Mário Luiz F. da Silva – Distribuições Amostrais
3
Assim, em alguns casos, não podemos observar os elementos da população,
pois isso corresponderia a danificar todos os elementos da população. Esse
problema geralmente é contornado, atribuindo-se um modelo teórico para a
distribuição da variável. Incidentalmente, neste caso, o modelo geralmente
adotado é o modelo exponencial, isto é, o conhecimento do problema físico
sugere a adoção do modelo exponencial para a duração das lâmpadas.
Exemplo 2.4 – Em alguns casos, fazemos suposições mais precisas sobre a
população (variável). Digamos que X represente o peso real de pacotes de café,
enchidos automaticamente. Sabe-se que X tem distribuição normal. Sorteamos
100 pacotes e medimos seus pesos. A variável de interesse é X, peso de cada
pacote. A população será o conjunto de todos os pacotes enchidos ou que virão a
ser enchidos pela máquina, e que obedece a um modelo normal. E, finalmente, a
amostra será formada pelas 100 medidas obtidas dos pacotes selecionados.
Exemplo 2.5 – Para investigar a “honestidade” de uma moeda, lançamos 50
vezes, e contamos o números de caras observadas. A população, pode ser
considerada como a distribuição da variável X, assumindo o valor 1 com
probabilidade p se ocorrer cara, e assumindo o valor 0 com probabilidade 1-p se
ocorrer coroa. A amostra será uma seqüência de 50 números zeros ou uns.
3 – Distribuições Amostrais
O problema da Inferência Estatística é fazer uma afirmação sobre
parâmetros da população através da amostra. Digamos que nossa afirmação deva
ser feita sobre um parâmetro θ da população (média, variância ou qualquer outra
medida). Decidimos utilizar uma amostra aleatória simples, com reposição, de n
elementos sorteados dessa população. Também decidimos que a nossa decisão
será baseada na estatística T, que será uma função da amostra (X1, X2, ..., Xn),
ou seja, T = f (X1, X2, ..., Xn). Colhida uma amostra, teremos observado um
particular valor de T, digamos t0, e baseados nesse valor é que faremos a
afirmação sobre θ, o parâmetro populacional.
A validade da nossa resposta seria melhor compreendida se soubéssemos
o que acontece com a estatística T, quando retiramos todas as amostras de uma
população conhecida segundo o plano amostral adotado. Isto é, qual a
distribuição de T quando (X1, X2, ..., Xn) assume todos os valores possíveis. Esta
distribuição é chamada de distribuição amostral da estatística T e desempenha
papel fundamental na teoria de Inferência Estatística. Esquematicamente,
teríamos o procedimento representado na figura 3.1 abaixo:
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4
Figura 3.1 – Distribuição Amostral da estatística T
em que, temos:
(i)
Uma população X, com um certo parâmetro θ de interesse.
(ii) Todas as amostras retiradas da população, de acordo com um certo
procedimento.
(iii) Para cada amostra, calculamos o valor de t da estatística T.
(iv) Os valores de t formam uma nova população, cuja distribuição recebe o
nome de distribuição amostral de T.
Vejamos alguns exemplos simples para aclarar um pouco melhor o
conceito de distribuição amostral.
Exemplo 3.1 – Colher todas as possíveis amostras de tamanho 2, com reposição,
da população {1, 3, 5, 5, 7}. Defina a variável X = valor assumido pelo
elemento na população, temos que a distribuição de X é dada por:
x
P(X = x)
1
1/5
3
1/5
5
2/5
7
1/5
Indicando por X1 o número selecionado na primeira extração e por X2 o número
extraído na segunda extração. Assim, as 25 possíveis amostras de tamanho 2 que
podemos extrair dessa população correspondem a observar uma particular
realização da variável aleatória (X1, X2), X1 e X2 independentes, e tais que
P(X1 = x) = P(X2 = x) = P(X = x), ∀ x.
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A distribuição conjunta da variável bidimensional (X1, X2) é dada por:
X1
X2
1
3
5
7
Total
1
3
5
7
Total
1/25
1/25
2/25
1/25
1/5
1/25
1/25
2/25
1/25
1/5
2/25
2/25
4/25
2/25
2/5
1/25
1/25
2/25
1/25
1/5
1/5
1/5
2/5
1/5
1
5
Vejamos qual a distribuição amostral da estatística
X + X2
X= 1
2
Por exemplo, quando a amostra selecionada é o par (1, 1), corresponderá à
média 1; então, temos P( X = 1) = 1/25. Obteremos média igual a 3 quando
ocorrer o evento A = {(1, 5), (3, 3), (5, 1)}, logo,
2
1
2
5 1
P(X = 3) = P(A ) =
+
+
=
= .
25 25 25 25 5
Procedendo de modo análogo, obtemos a distribuição amostral da
estatística X .
A distribuição obtida:
Distribuição amostral da estatística X
1
2
3
4
5
6
7
Total
x
P( X = x )
1,00
Figura 3.2 – Distribuição de X (linha cheia) e de X (linha tracejada)
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Com um procedimento análogo, podemos determinar a distribuição
amostral da amplitude total W:
w
P(W = w)
Distribuição amostral de W
0
2
4
6
Total
1,00
18
Total
1,00
6
Ou, ainda, da variância S2
s2
P(S2 = s2)
0
2
8
3.1 – Amostras com e sem reposição
Amostras com reposição é aquela em que o elemento extraído é devolvido
à população após ano tadas suas características.
Amostra sem reposição é aquela em que o elemento extraído não é
devolvido à população após anotadas suas características.
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7
É importante entender a diferença entre a amostragem com e sem
reposição. Enquanto nas amostras com reposição é possível que um mesmo
elemento seja considerado várias vezes, nas amostras sem reposição é
impossível formar uma amostra onde o mesmo componente apareça mais de
uma vez. Extraído um elemento qualquer de uma população, a importância da
distinção entre amostragem com e sem reposição está em que esse fato pode
interferir significativamente (ou não, dependendo do tamanho da amostra) nas
probabilidades de os demais itens daquela população comporem – ou não – a
amostra que está sendo formada.
3.2 – Número de amostras
O número de amostras possíveis com e sem reposição é dado pelas
seguintes relações:
• se a amostragem for com reposição: → k = Nn
• se a amostragem for sem reposição: → k =
N!
( N − n )!
• se for distintas sem reposição: → k =
N!
n!( N − n )!
em que:
N
n
k
→
→
→
é o número de elementos da população
é o número de elementos da amostra
é o número de amostras possíveis
No estudo das distribuições amostrais, devemos distinguir populações
finitas de infinitas. Na prática, populações suficientemente grandes podem ser
consideradas como infinitas. Uma população finita, cuja a amostragem seja feita
com reposição, pode ser considerada teoricamente, como infinita, pois qualquer
número de amostras que for extraído não consegue exaurir a população.
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4 – Estatísticas e Parâmetros
Obtida uma amostra, muitas vezes desejamos usá-la para produzir alguma
característica da amostra. Por exemplo, se queremos calcular a média da amostra
(X1, X2, ..., Xn) esta será dada por:
1
1 n
X = (X1 + X 2 + ... + X n ) = ∑ X i
n
n i=1
É fácil verificar que X é também uma variável aleatória. Podemos
também estar interessados em qualquer outra característica da amostra, que
sempre será uma função do vetor aleatório (X1, X2, ..., Xn).
Uma estatística é uma característica da amostra, ou seja, uma estatística T
é uma função de X1, X2, ..., Xn, T = f (X1, X2, ..., Xn).
As estatísticas mais comuns são:
1 n
X = ∑ Xi
→ média da amostra
n i=1
1 n
2
S =
(X i − X) 2
→ variância da amostra
∑
n − 1 i=1
X(1) = min (X1, X2, ..., Xn)
→ o menor valor da amostra
X(n) = máx (X1, X2, ..., Xn)
→ o maior valor da amostra
W = X(n) – X(1)
→ amplitude total da amostra
X(i)
→ i-ésima maior observação da amostra
Para facilitar a linguagem usada em Inferência Estatística, iremos diferenciar as
características da amostra e da população.
Um parâmetro é uma medida usada para descrever uma característica da
população.
Assim, se estamos colhendo amostras de uma população identificada pela
variável aleatória X, seriam parâmetros a média E(X) ou, ainda, sua variância
V(X).
Os símbolos mais comuns são dados na tabela a seguir:
Média
Variância
N.º elementos
Proporção
Parâmetro
µ
σ2
N
p
Estatística
X
S2
n
)
p
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5 – Distribuição Amostral da Média
Vamos estudar a distribuição amostral da estatística X ; a média de uma
amostra de n elementos.
Consideremos uma população identificada pela variável X, cujos os
parâmetros média populacional µ = E(X) e a variância populacional σ2 = V(X)
são supostamente conhecidos.
Vamos retirar todas as possíveis amostras aleatórias simples de tamanho n
dessa população, e para cada uma calcular a média X . Em seguida,
construiremos a distribuição amostral e estudaremos as suas propriedades.
Exemplo 5.1 – A população {1, 3, 5, 5, 7} tem média µ = 4,2 e σ2 = 4,16, e a
distribuição amostral de X para n = 2, nas tabelas a seguir:
Tabela 5.1 - Distribuição Conjunta (X1, X2)
X1
X2
1
3
5
7
Total
1
3
5
7
Total
1/25
1/25
2/25
1/25
1/5
1/25
1/25
2/25
1/25
1/5
1/25
1/25
4/25
1/25
2/5
1/25
1/25
2/25
1/25
1/5
1/5
1/5
2/5
1/5
1
Tabela 5.2 - Distribuição amostral da estatística X para n = 2
x
P( X = x )
1
1/25
2
2/25
3
5/25
4
6/25
5
6/25
Baseando-se nos dados, podemos verificar que:
E( X ) = 4,20
De modo análogo, encontramos
V( X ) = 2,08
6
4/25
7
1/25
Total
1,00
Prof. Mário Luiz F. da Silva – Distribuições Amostrais
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Será que foi coincidência o fato de que a média das médias amostrais Ter
coincidido com a média populacional ? E a variância de X ser igual à V(X)
dividida por 2 ?
Não, mostraremos que isso sempre acontece.
(i)
Distribuição de X para n = 1; a distribuição coincide com a distribuição
de X
(ii)
Distribuição de X para n = 2
(iii)
Distribuição de X para n = 3
Observe que, conforme n vai aumentando, o histograma vais ficando mais
serrilhado e tende a concentrar-se cada vez mais em torno de E( X ). Os casos
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11
extremos passam a ter pouca probabilidade de ocorrência. Quando n for
suficientemente grande, o histograma alisado aproxima-se da distribuição
normal. Esta convergência é melhor verificada, analisando-se os resultados da
figura 3.3, que mostra o comportamento do histograma de X para várias
populações e diversos valores do tamanho da amostra n.
Figura 3.3 – Histogramas correspondentes à distribuição amostral de algumas populações
Os exemplos vistos sugerem-nos que, quando o tamanho da amostra
aumenta, independendo da distribuição da população original, a distribuição
amostral de X aproxima-se cada vez mais de uma distribuição normal. Esse
resultado, fundamental na teoria da Inferência Estatística, é conhecido como
Teorema Central do Limite1.
1
Alguns textos referem-se, erroneamente, ao Teorema do Limite Central; o que é central é o teorema, e não o
limite.
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5.1 – Teorema Central do Limite
12
Seguem-se dois resultados importantes, que mencionaremos sem
demonstrar:
(i)
se a população tem distribuição normal, a distribuição das suas médias
amostrais será normal para qualquer tamanho da amostra, isto é, quando a
população é normal N(µ, σ2), a média amostral X de amostras de tamanho
n tem distribuição também normal com média µ e variância σ2/n.
(ii)
se a população tem distribuição não normal, a distribuição das suas
médias amostrais será normal para amostras grandes, isto é, para uma
população não normal com média µ e variância σ2, a distribuição da
média amostral X para amostras de tamanho n suficientemente grande é
aproximadamente normal com média µ e variância σ2/n, ou desvio padrão
σ2
X−µ
, isto é,
~ N (0, 1) .
n
σ/ n
O segundo resultado, bastante surpreendente, constitui o chamado
Teorema Central do Limite. Esse resultado é muito útil em estimação intervalar,
ou melhor, na Inferência Estatística.
Vamos esclarecer melhor esses resultados !
Sendo da população infinita ou a amostragem feita com reposição, resulta
que os diversos valores da amostra podem ser considerados como valores de
variáveis aleatórias independentes, com a mesma distribuição de probabilidade
da população, portanto com a mesma média µ e mesma variância σ2 da
população.
Do Cálculo de Probabilidades, sabemos que:
(a) multiplicando os valores de uma variável aleatória por uma constante, a
média fica multiplicada por essa constante;
(b) a média de uma soma de variáveis aleatórias é igual à soma das médias
dessas variáveis.
Usando as propriedades, temos
µ X = E(X) = µ
Vemos portanto, que a média em torno da qual devem variar os possíveis
valores da estatística X é a própria média µ da população. Um resultado que
não deixa de ser intuitivo.
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13
Esse resultado é extensivo ao caso de amostragem sem reposição de
populações finitas, pois a aplicação da propriedade (b) não exige independência
das variáveis Xi e todas essas variáveis têm a mesma distribuição de
probabilidade quando aprioristicamente consideradas em relação ao processo de
amostragem.
Quanto à variância, o Cálculo de Probabilidades nos ensina que:
(a) multiplicando os valores de uma variável aleatória por uma constante, a
variância fica multiplicada pelo quadrado dessa constante;
(b) a variância de uma soma de variáveis aleatórias independentes é igual à
soma das variâncias.
Usando as propriedades, temos
σ2
2
σ X = V(X) =
n
Vemos, portanto, que a variância com que se dispersam os possíveis valores da
estatística X é n vezes menor que a variância da população de onde é retirada a
amostra. Isso se deve à essência do processo aleatório, que faz com que haja,
dentro da amostra, uma natural compensação entre valores mais elevados e
valores mais baixos, produzindo valores de X que tendem a ser tanto mais
próximos da média µ da população quanto maior o tamanho da amostra n.
No caso de amostragem sem reposição de populações finitas, em que a
independência entre os valores Xi não se verifica, demonstra-se que:
σ2 N − n
2
σ (X) = V(X ) =
⋅
n N −1
em que, N é o número de elementos da população, n é o número de elementos da
amostra e o fator
N−n
N −1
é chamado de fator de correção de população finita. Note-se que esse fator
tende à unidade quando o tamanho da população tende ao infinito.
Quanto à forma da distribuição amostral de X , seremos também
auxiliados por dois importantes resultados do Cálculo de Probabilidades. Esses
resultados são dados pelo teorema das combinações lineares2 (de variáveis
normais independentes) e pelo teorema central do limite3.
2
Esse teorema afirma que se uma variável aleatória obtida pela combinação linear de variáveis aleatórias
normais independentes tem distribuição normal.
3
Esse teorema, em geral apresentado sob diversas formas, afirma, em essência, que, sob condições bastante
gerais, uma variável aleatória, resultante de uma soma de n variáveis aleatórias independentes, no limite,
quando n tende ao infinito, tem distribuição normal.
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14
Assim, se a distribuição for normal, a distribuição amostral de X será
também normal para qualquer tamanho de amostra, devido ao primeiro teorema,
pois X será, então, uma combinação linear de variáveis normais independentes4.
Na figura 5.1 abaixo, procuramos representar um caso genérico envolvendo a
distribuição amostral de X no caso de população normal.
Figura 5.1 – Distribuição amostral de X - população normal
Por outro lado, se a distribuição da população não for normal, mas
amostra for suficientemente grande, resultará, do teorema do limite central, que,
no caso de população infinita ou amostragem com reposição, a distribuição
amostral de X será aproximadamente normal, pois o valor de X resultará de uma
soma de um número grande de variáveis aleatórias independentes. Sendo
aproximada, essa conclusão é extensível ao caso de amostragem sem reposição
de populações finitas, porém razoavelmente grandes.
Na prática, uma amostra suficientemente grande para que já se possa
aproximar a distribuição de X por uma normal não necessita ser muito grande,
especialmente quanto mais simétrica ou próxima da normalidade for a
distribuição da população.
Na figura 5.2 abaixo temos uma distribuição populacional não normal e a
correspondente distribuição amostral de X para um tamanho de amostra
suficientemente grande.
Figura 5.2 – Distribuição Amostral de X - população não-normal e amostra suficientemente
grande
4
Note-se que considerar normal a distribuição da população implica, a rigor, admitir que a população é infinita.
Entretanto a aplicação desse resultado a populações finitas é válida, em termos práticos, em muitos casos.
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15
Exemplo 5.2 – Voltemos ao exemplo 2.4, onde a máquina enchia pacotes de
café cujos pesos seguiam uma N(500, 100). Colhendo uma amostra de 100
pacotes e pesando-os, sabemos que pelo Teorema Central do Limite que X terá
distribuição normal, com média 500 e variância 100/100 = 1 g2. Assim, se a
máquina estiver regulada, a probabilidade de encontrarmos a média de 100
pacotes diferindo de 500 com menos de 2 gramas será
P( | X - 500 | < 2) = P(498 < X < 502) = P( -2,00 < Z < 2,00) ≅ 95%
Ou seja, dificilmente 100 pacotes terão uma média fora do intervalo ]498, 502[.
Caso 100 pacotes apresentem uma média fora desse intervalo, podemos
considerar como sendo um evento raro, e será razoável desconfiar que a
máquina esteja desregulada.
5.2 – Parâmetros da Distribuição
Se o parâmetro estudado é a média populacional µ, a estatística a ela
correspondente, representada por X , é chamada de estatística amostral de X e a
distribuição a ela associada é chamada de distribuição amostral das médias.
A média da distribuição amostral das médias é sempre igual à média
populacional, independentemente do tamanho da amostra e do fato de a
amostragem ser com ou sem reposição.
Observe-se que a igualdade entre as médias amostrais e a populacional só
é verdadeira se forem consideradas todas as amostras possíveis de serem
extraídas da população. No caso de tomarmos apenas algumas amostras, tal
igualdade não pode ser tão plenamente assegurada.
Também existem relações numéricas entre as variâncias populacional e a
amostral, com e sem reposição. Essas relações são as seguintes:
(a) Se a população é infinita ou se a amostragem é com reposição:
σ 2X
σ2
= V(X ) =
n
(b) Se a população é finita e a amostragem é sem reposição:
σ 2X
σ2 N − n
= V (X) =
⋅
n N −1
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EXERCÍCIOS
16
Exercício 1:
Admita uma população formada pelos números 3, 5, 7, 9 e 11.
(a) Escreva o conjunto de todas as amostras, com e sem reposição, que se pode
formar com dois elementos quaisquer da população dada.
(b) Calcule as médias dessas amostras, e obtenha a distribuição amostral
(c) Da população e de suas distribuições amostrais obtenha os seguintes
parâmetros:
(i)
Médias
média populacional:
média das médias da distribuição amostral:
• com reposição
• sem reposição
(ii) Variâncias
variância populacional:
variância da amostra:
• com reposição:
• sem reposição:
Exercício 2 – Considere como população os seguintes números: 3, 6, 9, 12 e 15.
As amostras de três elementos que se pode formar são:
(a) Dados populacionais e amostrais
tamanho da população:
tamanho da amostra:
Número de amostras:
com reposição:
sem reposição:
distintas sem reposição:
(b) médias amostrais
com reposição:
sem reposição:
distintas sem reposição:
(c) esboce os histogramas para as distribuições amostrais das médias
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6 – Distribuição Amostral da Proporção
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Consideremos agora o caso em que o parâmetro a ser estudado é a
proporção p de uma população, que apresenta certa característica.
Extrai-se da população uma amostra de tamanho n. X será o número de
elementos da amostra que apresentam a característica em estudo.
)
Assim, a proporção amostral p é dada por:
X
p̂ =
n
Isto é, uma população em que a proporção de elementos portadores de
uma certa característica é p. Assim, a população pode ser considerada como a
variável X, tal que:
se o indivíduo é portador da característica
1,
X=
0, se o indivíduo não é portador da característica
logo,
µ = E(X) = p
e
σ2 = V(X) = p (1 – p)
As observações dos n elementos podem ser consideradas como n provas
de Bernoulli com probabilidade de sucesso p, ou seja, X tem distribuição
Binomial b(n; p) com média np e variância npq.
A proporção populacional é igual à média das proporções nas amostras
com o sem reposição.
1
X 1
E (p̂) = E  = E(X ) = ⋅ np = p
n
n n
A variância da distribuição amostral está relacionada com a proporção
populacional do seguinte modo:
• com reposição
1
pq
X 1
V(p̂) = V  = 2 V (X) = 2 ⋅ npq =
n
n
n n
• sem reposição
pq N − n
V(p̂) =
⋅
n N −1
Se a freqüência f com que foi observada alguma característica na amostra.
Essa característica poderá ser uma das classificações de uma variável
qualitativa, um ou mais valores de uma variável quantitativa discreta, ou o fato
de um valor de uma variável quantitativa contínua cair em um dado intervalo. A
freqüência f é uma estatística, pois é determinada em função dos elementos da
amostra. Extraindo-se uma amostra aleatória de n elementos da população,
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suponha-se que tenha ocorrido X vezes o evento sucesso. Então X
(freqüência absoluta), número de sucessos, é uma variável aleatória Binomial de
X
média np e variância npq. Logo, a distribuição da freqüência relativa f r =
n
pq
será: E(fr) = p e V(f r ) =
.
n
Evidentemente, podemos, para cada elemento da amostra, considerar a
ocorrência de um sucesso, caso a característica desejada se verifique, e de um
fracasso, caso contrário. Seja p a probabilidade de ocorrência de sucesso para
cada elemento da amostra. Se a população é infinita ou a amostragem é feita
com reposição, p é constante para todos os elementos da amostra, e os resultados
observados para todos eles serão independentes. Nessas condições, o Cálculo de
Probabilidades nos ensina que a distribuição amostral da freqüência f será uma
distribuição binomial de parâmetros n e p. A freqüência relativa fr, por sua vez,
sendo simplesmente o quociente de f pelo tamanho da amostra n, terá média e
variância facilmente obtidas pela aplicação das propriedades da média e da
variância. O tipo de distribuição de fr continua, para todos os efeitos, sendo uma
distribuição binomial, porém cujos os valores foram comprimidos entre 0 e 1
com intervalos de 1/n, ao invés de variarem de 0 a n segundo os números
naturais, o que ocorreria na distribuição binomial propriamente dita.
Sendo a amostra suficientemente grande, podemos aproximar as
distribuições de f e fr por distribuições normais de mesma média e mesma
variância. Em termos práticos, em geral, podemos considerar que a amostra será
suficientemente grande, para efeito dessa aproximação, se np ≥ 5 e np(1-p) ≥ 5.
Exemplo 6.1: A Cactus Cola resolveu lançar no mercado o refrigerante do
deserto: mata qualquer sede. Em razão disso, encomendou uma pesquisa de
marcado, cujo principal resultado foi que 20% dos provadores manifestaram real
interesse em sua aquisição. Dado que a empresa só se dispõe a lançar esse novo
produto se mais de 25% do mercado estiver interessado nele, calcule a
probabilidade de que uma amostra de 500 consumidores apresente proporção de
interessados superior ao piso requerido pela empresa.
Exemplo 6.2: Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para
garantir um máximo de 10% de itens defeituosos na produção. A cada 15
minutos sorteia-se uma amostra de 20 peças, e, havendo mais de 15% de
defeituosos, para-se a produção para verificações. Qual a probabilidade de uma
parada desnecessária ?
Prof. Mário Luiz F. da Silva – Distribuições Amostrais
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Exemplo 6.3: Supondo que a produção do exemplo anterior esteja sob
controle, isto é, p = 10%, e que os itens sejam vendidos em caixas de 100, qual a
probabilidade de que uma caixa tenha mais do que 10% de defeituosos ?
7 – Distribuição Amostral das Somas ou Diferenças
Se X1 ~ N(µ1, σ12) e X2 ~ N(µ2, σ22), então X1 e X2 são independentes,
 σ12 
 σ 22 


com X1 ~ N µ1 ,  e X 2 ~ N µ1 ,  .
n1 

 n2 
Teremos, pois, que a distribuição amostral das somas ou diferenças será
uma normal com:
E (X1 ± X 2 ) = E (X1 ) ± E (X 2 ) = µ1 ± µ 2
σ12 σ 22
V ( X1 ± X 2 ) = V ( X1 ) + V ( X 2 ) =
+
n1 n 2
Dessa forma,

σ12 σ 22 

.
(X1 ± X 2 ) ~ N µ1 ± µ 2 ,
+

n
n
1
2 

8 – Outras Distribuições Amostrais
Do mesmo modo que estudamos a distribuição amostral de X , podemos
estudar a distribuição amostral de qualquer estatística T = f (X1, X2, ..., Xn). Mas,
quanto mais complexa for essa relação f, mais difícil será a derivação
matemática das propriedades dessa estatística.
Vejamos algumas ilustrações de distribuições empíricas de algumas
estatísticas.
8.1 – Distribuição Amostral de S2 – Distribuição Qui Quadrado χ2
Já sabemos que a variância de uma amostra deve ser calculada por
1 n
S2 =
(X i − X) 2
∑
n − 1 i=1
ou por expressões equivalentes.
A distribuição amostral da estatística S2 está relacionada com uma família
de distribuições de probabilidades de grande importância em diversos problemas
da Inferência Estatística, que são distribuições do tipo χ2. Diremos que a
estatística
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2
20
x −µ
2
χ 2υ = ∑  i
 = ∑ zi ,
σ 
i =1
i =1 
em que xi são valores aleatórios independentemente retirados de uma população
normal de média µ e variância σ2, tem distribuição χ2 com υ graus de liberdade.
Tal denominação deve-se a Karl Pearson. Os valores de zi são correspondentes
valores da variável normal reduzida. Podemos, portanto, considerar a
distribuição da variável χ2 com υ graus de liberdade como a soma dos
quadrados de υ valores independentes da variável normal reduzida.
Então, seja X uma população normal de média µ e variância σ2, demostrase que:
υ
υ
n
∑ (X i − X) 2 = σ 2 ⋅ χ 2n−1
i =1
em que os valores Xi são conhecidos e σ2 é uma constante.
Partindo dessa expressão, tem-se
1 n
1 2 2
(X i − X) 2 =
σ ⋅ χ n −1
∑
n − 1 i=1
n −1
1 n
σ2
2
2
como S2 =
(
X
−
X
)
,
vem:
S
=
⋅ χ 2n −1 isto é, S2 tem distribuição
∑
i
n − 1 i=1
n −1
2
χ , com (n-1) graus de liberdade.
Usando esse resultado, pode-se calcular os parâmetros da distribuição
amostral de S2, ou seja:
 σ2 2  σ2
σ2
2
2
χ n −1  =
E (S ) = E
E (χ n −1 ) =
⋅ (n − 1) = σ 2
n −1
 n −1
 n −1
 σ2
σ4
σ4
2σ 4
2 
2


V(S ) = V
⋅ χ n −1  =
V(χ n −1 ) =
⋅ 2(n − 1) =
2
n −1
(n − 1) 2
 n −1
 (n − 1)
2
8.2 – Distribuição t de Student
Suponhamos que, a partir de uma amostra de n valores retirados de uma
população normal de média µ e variância σ2, fosse definida a estatística
X−µ
z=
σ
n
Como a distribuição amostral de X seria precisamente normal, com média µ e
desvio padrão σ n , segue-se que essa estatística teria simplesmente
distribuição normal reduzida, o que justifica o uso do símbolo z.
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Entretanto, se usarmos na expressão acima o desvio padrão da amostra
(raiz quadrada da variância da amostra calculada com n-1 no denominador),
obteremos uma estatística cuja distribuição não mais é normal. De fato,
conforme mostrou Student5, a estatística
X−µ
t=
s
n
distribui-se simetricamente, com média 0, porém não normalmente. É claro que,
para amostras grandes, s deve ser próximo de σ, e as correspondentes
distribuições t devem estar próximas da normal reduzida. Vemos, pois, que
existe uma família de distribuições t cuja forma tende à distribuição normal
reduzida quando n cresce.
A figura abaixo ilustra comparativamente uma distribuição t e a
distribuição normal reduzida z. Vemos que uma distribuição t genérica é mais
alongada que a normal reduzida.
8.3 – Distribuição F de Snedecor
Suponhamos que duas amostras independentes retiradas de populações
normais forneçam variâncias S12 e S22, e que desejamos conhecer a distribuição
amostral do quociente S12 S22 . Isso será possível através do conhecimento das
distribuições F de Snedecor6.
Define-se a variável F com ν1 graus de liberdade no numerador e ν2 graus
de liberdade no denominador, ou simplesmente, Fν1 ,ν 2 , por
χ ν21
Fν1 ,ν 2 =
ν1
,
χ ν22
ν2
5
6
W.S. Gosset, estatístico inglês que publicou seus trabalhos sob o pseudônimo de Student.
G. Snedecor adaptou convenientemente essas distribuições – já antes estudadas sob outra forma por Fisher –
adotando a denotação F em homenagem a esse grande estatístico.
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em que, conforme a própria notação indica, χ ν2i designa uma variável aleatória
com distribuição χ 2 com νi graus de liberdade. As distribuições χ 2
consideradas devem ser independentes.
Evidentemente, a definição geral precedente engloba uma família de
distribuições de probabilidade para cada par de valores (ν1, ν2).
Imaginemos agora que duas populações normais com mesma variância σ2
(ou, o que seria equivalente, de uma mesma população normal), sejam extraídas
duas amostras independentes com, respectivamente, n1 e n2 elementos e
tomemos o quociente S12 S22 das variâncias dessas amostras. Utilizando a
seguinte expressão podemos concluir que a distribuição desse quociente será
uma distribuição Fn1 −1, n 2 −1 , pois
 σ2  2
χ 2n1 −1

 ⋅ χ n −1
S12  n1 − 1  1
n1 − 1
= Fn1 −1, n 2 −1
=
=
S22  σ 2  2
χ 2n 2 −1

 ⋅ χ n 2 −1
−
n
1
n2 −1
 2

2
As distribuições χ , t e F são de grande importância para a solução dos
problemas da Inferência Estatística, conforme será visto nos assuntos
subseqüentes.
8.4 – Relações particulares entre as distribuições z, t, χ2 e F
A família de distribuições t de Student converge para a distribuição
normal padronizada de z quando ν cresce. Logo, a distribuição z equivale à
distribuição t∞.
A distribuição χ2 surge de uma soma de ν valores independentes de z2.
Logo, a distribuição de χ12 equivale à distribuição do quadrado de z.
Quanto à distribuição F, temos, da definição que F1, ν 2 = χ12 ⋅
ν2
. Como
χ ν2 2
χ12 = z2, temos que, a distribuição F1, ν 2 equivale à distribuição do quadrado de
t ν2 .
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Por outro lado,
= ν e, aplicando à um resultado do Cálc ulo de
Probabilidades conhecido como a Lei Forte dos Grandes Números7, temos que,
χ ν21
quando ν2 tende ao infinito, a distribuição de Fν1 ,ν 2 tende à
:
ν1
E( χ ν2 )
Fν1 ,∞ =
χ ν21
ν1
.
Em particular, a distribuição de F1, ∞ equivale à de χ12 , ou z2.
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Esse resultado não será apresentado na presente disciplina.