Questão 1
Questão 2
O gráfico esboçado representa o peso médio,
em quilogramas, de um animal de determinada espécie em função do tempo de vida t, em
meses.
Em seu trabalho, João tem 5 amigos, sendo
3 homens e 2 mulheres. Já sua esposa Maria
tem, em seu trabalho, 4 amigos (distintos dos
de João), sendo 2 homens e 2 mulheres. Para
uma confraternização, João e Maria pretendem
convidar 6 dessas pessoas, sendo exatamente
3 homens e 3 mulheres. Determine de quantas
maneiras eles podem convidar essas pessoas:
a) dentre todos os seus amigos no trabalho.
b) de forma que cada um deles convide exatamente 3 pessoas, dentre seus respectivos
amigos.
Resposta
a) Para 0 ≤ t ≤ 10 o gráfico é um segmento de
reta. Determine a expressão da função cujo
gráfico é esse segmento de reta e calcule o
peso médio do animal com 6 meses de vida.
b) Para t ≥ 10 meses a expressão da função
que representa o peso médio do animal, em
120t − 1000
quilogramas, é P(t) =
. Determit + 10
ne o intervalo de tempo t para o qual
10 < P(t) ≤ 70.
Resposta
a) O segmento de reta para 0 ≤ t ≤ 10 tem coefi10 − 5
1
e coeficiente linear 5.
ciente angular
=
10 − 0
2
Assim, a função cujo gráfico é esse segmento de
t
reta é P( t ) =
+ 5 . O peso médio do animal
2
6
com 6 meses de vida é P(6) =
+ 5 = 8 kg.
2
b) Para t ≥ 10, t + 10 > 0 e10 < P(t) ≤ 70 ⇔
120t − 1 000
≤ 70 ⇔
t + 10
⇔ 10t + 100 < 120t − 1 000 < 70t + 700 ⇔
⇔ 10 <
⇔
t + 10 < 12t − 100
t > 10
⇔
⇔
12t − 100 ≤ 7t + 70
t ≤ 34
⇔ 10 < t ≤ 34
a) O número de maneiras para eles convidarem
⎛5 ⎞ ⎛5 ⎞
3 dentre 3 + 2 = 5 homens é ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =
⎝3 ⎠ ⎝ 2 ⎠
5 ⋅4
=
= 10 e o número de maneiras para eles
2 ⋅1
convidarem 3 dentre 2 + 2 = 4 mulheres é
⎛4 ⎞ ⎛4 ⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 4. Assim, eles podem convidar essas
⎝3 ⎠ ⎝1 ⎠
pessoas de10 ⋅ 4 = 40 maneiras diferentes.
b) Como cada um deve convidar exatamente
3 pessoas, dentre seus amigos, e nenhum deles
tem 3 amigos, o único caso possível é um deles
convidar 2 homens e 1 mulher, e o outro, 1 homem e 2 mulheres.
O número de maneiras de João convidar 2 homens e 1 mulher, e Maria convidar 1 homem e
⎛3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞
2 mulheres é ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1 =
⎝2 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝2 ⎠
= 12.
O número de maneiras de João convidar 1 homem e 2 mulheres, e Maria convidar 2 homens e
⎛3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞
1 mulher é ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 3 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 = 6.
⎝1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠
Logo eles podem convidar essas pessoas de
12 + 6 = 18 maneiras diferentes.
Questão 3
Um forno elétrico estava em pleno funcionamento quando ocorreu uma falha de energia
elétrica, que durou algumas horas. A partir
do instante em que ocorreu a falha, a tempe-
matemática 3
ratura no interior do forno pôde ser expressa
pela função:
T(t) = 2t + 400 × 2− t ,
com t em horas, t ≥ 0, e a temperatura em
graus Celsius.
a) Determine as temperaturas do forno no
instante em que ocorreu a falha de energia
elétrica e uma hora depois.
b) Quando a energia elétrica voltou, a temperatura no interior do forno era de 40 graus.
Determine por quanto tempo houve falta de
energia elétrica. (Use a aproximação
log2 5 = 2,3.)
Resposta
a) Considerando t = 0 para o instante em que
ocorreu a falha de energia, a temperatura do forno era T(0) = 2 o + 400 ⋅ 2 o = 401 oC . Após uma
hora, a temperatura do forno passou para
T(1) = 21 + 400 ⋅ 2 −1 = 202 o C .
b) ParaT = 40 o C , 40 = 2 t + 400 ⋅ 2 −t ⇔
1
⇔ 2 t − 40 + 400 ⋅ t = 0 ⇔
2
⇔ (2 t ) 2 − 40 ⋅ (2 t ) + 400 = 0 ⇔ 2 t = 20 ⇔
⇔ t = log 2 20. Utilizando a aproximação dada, o
tempo que durou a falha elétrica foi:
t = log 2 20 = log 2 (2 2 ⋅ 5) = log 2 2 2 + log 2 5 =
= 2 + 2,3 = 4,3 h
Questão 4
Suponha que o planeta Terra seja uma esfera
de centro C e raio R. Na figura, está representado o planeta Terra e uma nave espacial
N. A fração visível da superfície da Terra por
um astronauta na nave N é dada em função
do ângulo θ, mostrado na figura, pela expressão:
1 − senθ
f(θ) =
2
a) Determine o ângulo θ, em graus, para o
qual é visível da nave a quarta parte da superfície da Terra e a distância da nave à superfície da Terra neste caso. (Use a aproximação R = 6.400 km.)
b) Se um astronauta numa nave, a uma distância d da Terra, avista a superfície da Terra com ângulo θ = 15o, determine a fração visível da superfície da Terra pelo astronauta.
(Use as aproximações 2 = 1,4 e 6 = 2,4.)
Resposta
1 1 − senθ
1
a) Temos
=
⇔ senθ =
⇔ θ = 30o ,
4
2
2
pois 0o < θ < 90o . No triângulo CNA, retângulo
CA
1
R
em A, sen 30o =
⇔
=
⇔
NC
2
R +d
⇔ d = R = 6 400 km.
b) Como sen 15 o = sen(45 o − 30o ) =
= sen 45 o cos 30o − sen 30o cos 45 o =
2
3
1
2
6 − 2
⋅
−
⋅
=
≅
2
2
2
2
4
2,4 − 1,4
1
≅
= , a fração visível da superfície da
4
4
Terra pelo astronauta é aproximadamente
1
1−
4 = 3 .
2
8
=
Questão 5
A figura mostra um prisma retangular reto
de base quadrada com um cilindro circular
reto inscrito no prisma. O lado da base do
prisma mede 4 dm e a altura é dada por
h(x) = x 3 − 5x2 + 8x dm, com x > 0.
matemática 4
a) Calcule o volume do prisma para x = 3 dm.
b) Para x = 1 dm o volume do cilindro inscrito
é 16π dm3 . Encontre os outros valores de x
para os quais isto acontece.
π ⋅ 2 2 ⋅ h(x) = 16 π ⇔ h(x) = 4 ⇔
⇔ x 3 − 5x 2 + 8x − 4 = 0
Como x = 1 é uma solução da equação, pelo algoritmo de Briot-Ruffini:
Resposta
1
a) Quando x = 3 dm, o volume do prisma é
4 2 ⋅ h(3) = 16 ⋅ (3 3 − 5 ⋅ 3 2 + 8 ⋅ 3) = 96 dm 3 .
b) Observando que se trata de um cilindro de raio
4
da base
= 2 dm e altura h(x), o seu volume é
2
3
16 π dm quando:
1
−5
8
−4
1
−4
4
0
Assim, x 3 − 5x 2 + 8x − 4 = 0 ⇔
⇔ (x − 1)(x 2 − 4x + 4) = 0 ⇔ x = 1 ou x = 2 .
Logo, os possíveis valores de x para os quais o
volume do cilindro é16 π dm 3 são 1 dm e 2 dm.
FORMULÁRIO DE MATEMÁTICA
b2 − 4ac
2a
Equações Algébricas: α é raiz de um polinômio p(x) ⇔ ( x − α ) divide p(x).
Equação do segundo grau: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0; x =
Logaritmo:
logc ab = logc a + logc b
a
logc
= logca − logc b
b
Trigonometria:
Ângulo 0o
30o
60o
90o
senα = CO/H
cosα = CA/H
0
1/2
2 /2
3 /2
1
cos
1
3/2
2 /2
1/2
0
tg
0
3/3
1
3
–
Fórmulas de Adição e Subtração:
sen(p + q) = senp.cosq + senq.cosp
sen(p − q) = senp.cosq − senq.cosp
sen(p + q) = cosp.cosq − senq.senp
cos(p − q) = cosp.cosq + senq.senp
Geometria Plana e Espacial:
área de retângulo: b.h
área de círculo: πr2
volume do prisma: A b.h
volume do cilindro: A b.h
Combinatória:
A n, p =
45o
sen
logc a n = n.logc a
⎛n⎞
n!
Cn, p = ⎜ ⎟ =
⎝p⎠
p!(n − p)!
−b ±
n!
(n − p)!
Pn = n!
tgα = CO/CA
Geometria Analítica:
y = mx + n (equação reduzida da reta)
Δx
m =
= tgα
Δy