PRINCIPAIS DIFICULDADES E ERROS COMETIDOS POR ALUNOS
UNIVERSITÁRIOS NA INTERPRETAÇÃO E ANÁLISE DE CONCEITOS DE
ESTATÍSTICA BÁSICA
Arno Bayer
[email protected]
Universidade Luterana do Brasil, Brasil
Simone Echeveste
[email protected]
Universidade Luterana do Brasil, Brasil
Bruno Grilo Honorio
[email protected]
Brasil
Resumo
O ensino da Estatística cada vez mais vem sendo o foco de professores universitários desta
área, no que se refere a quais seriam as melhores metodologias a serem praticadas em sala
de aula com o objetivo de desenvolver nos alunos a capacidade de compreensão e análise de
dados provenientes de pesquisas. O ensino formal destes conteúdos às vezes limita-se ao
ensino de fórmulas matemáticas deixando muitas vezes de lado o entendimento da utilidade e
a interpretação correta destas e de seus resultados no contexto de uma pesquisa. Quando se
leciona estatística faz parte da rotina de professores desta área confrontar-se com resultados
e interpretações aos problemas estatísticos propostos carregados de incoerência e absurdos,
conseqüência da total falta de habilidade dos alunos no entendimento da utilidade e
interpretação dos conceitos teóricos vistos em aula. A partir do conhecimento da construção
do raciocínio estatístico dos alunos podem-se entender os principais erros neste processo, e
ciente destas deficiências, propor soluções didático-pedagógicas que os minimizem. Neste
contexto este artigo tem como objetivo analisar os principais erros cometidos pelos alunos
na resolução de problemas de estatística básica. A análise da resolução de alguns problemas
que envolvem alguns conceitos estatísticos (Média, Mediana, Moda e Desvio-padrão)
resolvidos por uma amostra de 113 universitários de diferentes cursos de licenciatura
permitiu a identificação dos erros mais freqüentes na análise e interpretação destas medidas.
Introdução
Professores de Estatística buscam cada vez mais desenvolver em seus alunos o
raciocínio estatístico necessário para a resolução de problemas, e essa tarefa vai muito além
de ensinar os conceitos e aplicações de fórmulas de medidas estatísticas. Ensinar Estatística
remete ao entendimento da necessidade de analisar dados, a obtenção de dados fidedignos, a
escolha da melhor ferramenta estatística a ser utilizada e principalmente a interpretação e
contextualização dos resultados obtidos.
É inerente ao processo do ensino de fórmulas das medidas estatísticas o entendimento
da utilidade destas e principalmente da interpretação dos resultados no contexto de uma
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pesquisa, isso habilita o aluno a gerar informações referentes a uma questão norteadora de
pesquisa e viabiliza a elaboração de uma tomada de decisão coerente com os resultados
obtidos.
Esse artigo apresenta um estudo sobre os erros na aprendizagem, focando como eles
podem ser indicativos para os professores nas suas ações docentes. Aborda e estuda os
principais erros cometidos pelos alunos na resolução de problemas de estatística básica.
Análise a resolução de problemas que envolvem conceitos estatísticos (Média, Mediana,
Moda e Desvio-padrão) resolvidos por uma amostra de 113 universitários de diferentes
cursos de licenciatura que permitiu a identificação dos erros mais freqüentes na análise e
interpretação destas medidas. O artigo é encerrado com as respectivas considerações finais,
focando que a didática estatística é uma área que ainda necessita do desenvolvimento de mais
trabalhos.
O Erro na Aprendizagem de Estatística
Os erros, no processo ensino e aprendizagem, podem ser de grande utilidade. Eles
podem oferecer alternativas importantes para melhorar a aprendizagem, disponibilizando
informações a respeito do complexo processo mental que envolve a aprendizagem
Macedo (1994) apud Zanetti, baseando-se na epistemologia genética: reforça a
importância do erro no processo de desenvolvimento da criança e o seu significado para a
apropriação dos conhecimentos escolares. No contexto escolar o erro pode ser encarado de
duas maneiras: uma formal e uma natural. Na formal o errado se opõe ao certo, que é uma
verdade incontestável. Nesse caso o erro é visto como algo ruim, a ser evitado ou punido. Na
maneira natural, o erro faz parte do processo de aprendizagem, pois “as estruturas, os
esquemas, os conceitos, as idéias, são criados, construídos, por um processo de autoregulação” que busca a sintonia necessária para atingir um resultado positivo no que se refere
à aprendizagem do aluno.
O erro faz parte do processo ensino e aprendizagem. Ele sempre vai estar presente, é
necessário fazer com que ele seja um aliado na construção do conhecimento em nosso aluno.
Nos trabalhos de pesquisadores franceses encontra-se notadamente a preocupação com os
erros. Brousseau apud Cury (1995) afirma que “os erros não são devido ao acaso” e “são
ligados entre si por uma fonte comum...”. A análise criteriosa dos erros cometidos pelo
estudante pode fornecer pistas para alcançar as causas que estão nos alicerces da construção
das suas concepções, para ele coerentes, porém, não corretas.
Cury apud Barichello (2006), afirma:
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... os erros cometidos pelos alunos são possibilidades que abrem
para
o sujeito a oportunidade de ser construtor do próprio conhecimento. O erro é
elemento importante para a aprendizagem, considerando que a evolução da
inteligência está vinculada a situações perturbadoras....
O professor ao conhecer o erro do aluno terá a sua disposição dados preciosos para
intervenções mais individualizadas. Os erros cometidos pelos alunos são variados e de
características diferentes. Radatz (1979) apresentou a primeira proposta para classificar os
erros. O critério por ele sugerido foram as causas, isto é, no processo de resolução de um
problema, que teria levado o aluno a cometer determinado erro. O autor propõe cinco
categorias distintas: dificuldades de linguagem, deficiência de pré-requisitos, associações
incorretas e rigidez de raciocínio, aplicação de estratégias irrelevantes e dificuldades em obter
informação a partir de representações gráficas.
Adotando o mesmo critério de classificação, isto é, as causas, Graeber e Johnson
(1990) focaram a sua atenção na “generalização indevida” e “particularização indevida”.
Radatz (1979) teve grande preocupação de cobrir todas causas de caráter cognitivo que
podem fazer com que o aluno venha cometer erros.
A segunda classificação foi proposta por Movshovitz-Hadar et al apud Barichello
(2006). A autora adota um ponto de partida diferente, focando sua atenção na manifestação
operacional do erro e não nas causas, propondo seis categorias: utilização incorreta dos
dados, interpretação incorreta da linguagem, inferência lógica inválida, uso equivocado de
teorema ou definição, solução que não responde à questão proposta e erros de caráter técnico.
Estas categorias foram desenvolvidas a partir de uma amostra de erros documentados
de alunos do ensino médio em Israel, não da área científica. O sistema proposto apresenta
grande objetividade e facilidade para classificar os erros apesar de não assumir bases teóricas
anteriores. Trata-se de um sistema desenvolvido empiricamente, mas que tem se mostrado
bastante eficiente.
O terceiro tipo de classificação trata os erros de acordo com o conteúdo matemático
(Geometria, Álgebra, Cálculo, Aritmética). Nesta terceira classificação dos erros a
pesquisadora procura discriminar a parte da matemática em que o aluno cometeu um
determinado tipo de erro. Devem-se salientar os trabalhos desenvolvidos por Helena Noronha
Cury na PUC/RS. Considerando a Função Modular a pesquisador desenvolveu as seguintes
categorias de erros:
a) o aluno não sabe trabalhar com módulo;
b) o aluno não leva em conta o sinal negativo;
c) o aluno não sabe substituir valores de x em f ou em g;
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d) soluções únicas e que apresentam detalhes que evidenciam problemas em outros
conteúdos” (CURY, 2006).
Analisando esta classificação proposta por Cury, deve-se registrar que ela gera
informações úteis para o professor e de forma bastante rápida, apresentando os tópicos onde
os erros ocorreram e onde estão as dificuldades. No entanto a classificação proposta oferece
pouca informação sobre os porquês destas dificuldades e tendo os resultados restritos a
conteúdos específicos ou questões específicas, dificultando uma análise mais ampla.
Estatística Básica: Principais dificuldades e erros cometidos pelos alunos
Nestes últimos anos houve um aumento significativo de trabalhos na área de educação
estatística destacando a importância deste conhecimento nas mais diversas áreas de estudo.
Cada vez mais surgem novas metodologias de ensino de Estatística nos mais diversos níveis
evidenciando um interesse crescente nesta área de pesquisa.
Pode-se destacar atualmente como fruto dos resultados da grande maioria destas
pesquisas a importância do ensino de estatística ser realizado de uma maneira mais ampla,
não limitando a aprendizagem a fórmulas e cálculos, mas sim enfatizando a importância da
interpretação e do entendimento dos conceitos estatísticos no contexto da pesquisa,
procurando fazer com que o aluno valorize a aplicação destes conceitos na tomada de
decisão. (Oliveira & Gracio, 2006; Vendramini & Canalle, 2004; Batanero, Ottavianni &
Truran, 2000; Brito, 2006).
Para que se possa desenvolver metodologias de ensino que venham ao encontro das
necessidades dos alunos, um dos elementos que deve ser pesquisado é como os alunos
“pensam estatisticamente”, ou seja, como estes resolvem os problemas de estatística
propostos por seus professores. A partir do conhecimento da construção do raciocínio
estatístico dos alunos podem-se observar os principais erros neste processo, e ciente destas
deficiências, soluções didático-pedagógicas que os minimizem podem ser propostas.
De acordo com Vendramini & Dias (2005) observa-se na literatura que os educadores
estão cada vez mais conscientes das dificuldades de aprendizagem dos estudantes. Isto pode
ser verificado pelo número crescente de pesquisas em que se procura identificar os principais
erros cometidos pelos alunos na resolução de problemas.
HUDSON (1999) destaca que os alunos freqüentemente possuem um “conhecimento
isolado” sobre vários conceitos de estatística, eles são capazes de calcular corretamente um
desvio-padrão, por exemplo, contudo eles não entendem como esta medidas estão
relacionadas com o contexto da situação de pesquisa e como utilizar o resultado deste cálculo
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para a resolução de um problema real. O autor destaca ainda que esta situação pode ser
designada como um “problema de entendimento” na aplicação da estatística, isto é, o
problema de desenvolver a capacidade de selecionar a ferramenta estatística mais apropriada
para analisar os dados de uma determinada situação de pesquisa.
“Levar o aluno a pensar é fundamental para a aprendizagem em qualquer
área de conhecimento. Isso é inquestionável. Principalmente quando se trata
de conteúdos de Estatística. Uma estratégia já consagrada que visa ao
alcance dessa aprendizagem é o ensino por meio de problemas. Problemas
não triviais, de preferência extraídos do cotidiano, com significado,
portanto, e que desafiem a mente do aluno.” (OLIVEIRA, 2007).
O primeiro aspecto a ser destacado em relação aos erros cometidos na resolução de
problemas estatísticos é a carência do conhecimento matemático que interfere na obtenção
das medidas estatísticas, onde se observa que muitas vezes os erros cometidos na resolução
de problemas são frutos de erros de cálculos, ou seja, erros matemáticos.
Outro aspecto observado na aplicação das ferramentas estatísticas é a falta de
compreensão do que as medidas calculadas representam na interpretação dos resultados
obtidos, ou seja, após a realização do cálculo em si, o que o resultado obtido representa no
contexto do problema e como ele deve ser utilizado na prática.
A partir deste estágio inicial o aluno deve destacar as informações apresentadas que
são pertinentes para a resolução de um problema, viabilizando com isso, a escolha da melhor
estratégia de solução, que seria composta da escolha da medida estatística adequada à
situação, bem como a aplicação desta medida através de sua expressão matemática. Após a
execução do cálculo matemático da medida adequada, finalmente o aluno deverá interpretar
os resultados obtidos no contexto da situação proposta inicialmente no problema. (Figura 1)
No transcorrer das etapas do processo de solução de problemas estatísticos
distinguem-se 5 principais erros que podem ocorrer neste processo:
- Erro Tipo 1: está relacionado à falta de compreensão do aluno a respeito da leitura
do problema, ou seja, o aluno não compreende situação problemática, ou ainda não interpreta
corretamente o texto lido.
- Erro Tipo 2: o aluno não compreende o que está sendo solicitado pelo problema, ou
ainda por falta de atenção entende erroneamente o que é solicitado para ser feito.
- Erro Tipo 3: configura-se por um erro decorrente da falta de conhecimento teórico
do aluno sobre os conceitos de Estatística. Saber a adequação de cada medida/teste estatístico
para um determinado problema.
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- Erro Tipo 4: cometido no cálculo matemático da medida estatística – ocorre muitas
vezes por falta de atenção ou pela falta de uma base matemática relacionada muitas vezes a
operações básicas de cálculo.
- Erro Tipo 5: No término do cálculo da medida/teste estatístico realizado os valores
obtidos são erroneamente interpretados no contexto do problema, ou seja, o aluno não
compreende o porquê do cálculo da medida e o que seu significado representa na solução do
problema.
Erro
4
Figura 1. Processo de Solução de Problemas Estatísticos
A estatística procura modelar a aleatoriedade e a incerteza de forma a estimar ou
possibilitar a previsão de fenômenos futuros. Neste processo de modelar a aleatoriedade e a
incerteza a estatística se fundamenta e recorre à matemática. Sendo assim o “problema” com
a matemática passa a ser também com a estatística. As dificuldades e a resistência que muitos
alunos apresentam em à Matemática é também elaborada em relação à Estatística.
Neste cenário o presente estudo teve como objetivo a análise dos erros cometidos
pelos alunos, que já é uma realidade um tanto consolidada na Matemática, mas ainda é pouco
investigada na Estatística. Para isso uma amostra de 113 universitários de diferentes cursos de
licenciatura foi investigada através da proposição de um teste contendo alguns problemas
envolvendo conteúdos de estatística básica (média, mediana, moda e desvio-padrão).
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Os testes foram corrigidos e os erros encontrados foram categorizados permitindo
uma análise descritiva da incidência de cada tipo de erro. Para os conteúdos avaliados (média,
mediana, moda e desvio-padrão) os erros cometidos foram classificados em: erros estatísticos
(conceituais e interpretação das medidas), matemáticos (erros de cálculos), erros de
interpretação (no enunciado do problema e/ou na solicitação de resolução) e devido a lapsos
ou falta de atenção.
A maior incidência de erros ocorreu na interpretação das medidas, ou seja, o que
significam seus resultados, configurando-se por um erro decorrente da falta de conhecimento
teórico do aluno sobre os conceitos de Estatística e sobre a adequação de cada medida para a
resolução de um determinado problema. Este resultado confirma que o aluno freqüentemente
possui um conhecimento isolado sobre vários conceitos de estatística, são capazes de calcular
corretamente um desvio-padrão, por exemplo, contudo não entendem como esta medida está
relacionada com o contexto da situação de pesquisa e como utilizar o resultado deste cálculo
para a resolução de um problema real. Conseqüentemente falta a este aluno a capacidade de
selecionar a ferramenta estatística mais apropriada para analisar os dados de uma determinada
situação de pesquisa.
Tipo de Erro
Erro Matemático
Erro Estatístico
Interpretação do problema
Lapso/Atenção
Não Identificado
Total
Média
Desvio-padrão Mediana
n
%
n
%
n
%
13
13,1
8
13,3
6
20,7
56
56,6
27
45,0
21 72,4
19
19,2
14
23,3
7
11,7
2
6,9
11
11,1
4
6,7
99
100,0
60
100,0
29 100,0
Moda
Total
n
%
n
%
27
13,4
13 100,0 117
58,2
33
16,4
9
4,5
15
7,5
13 100,0 201 100,0
Tabela 1. Determinação da quantidade e do percentual de erros encontrados.
Considerações Finais
A didática estatística é uma área que ainda necessita do desenvolvimento de mais
trabalhos. A grande inserção destes conteúdos no dia a dia, bem como no ambiente de
trabalho em várias áreas de atuação amplia a necessidade do desenvolvimento de atividades
que tenham por objetivo a manipulação de dados reais e concretos em sala de aula. A grande
aplicabilidade dos conteúdos de estatística viabiliza ao professor oportunidades de
desenvolvimento de uma série de atividades relacionadas ao cotidiano destes.
Cabe aos educadores nesta área procurar responder a seguinte questão: Como fazer
para que os alunos compreendam os conceitos importantes e saibam interpretar corretamente
dados estatísticos?
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A proposição de uma metodologia que envolva aspectos teóricos e práticos dos
conteúdos é indispensável para que o professor tenha êxito na sua tarefa de ensinar estatística,
facilitando a aprendizagem do aluno e, com isso, minimizando seus erros. As atividades
concretas podem interferir positivamente no interesse e na motivação para a aprendizagem do
nosso aluno, quando usadas adequadamente e no momento certo. Não se deseja depositar
nelas a carga da esperança para resolver o problema. As atividades concretas são importantes
e em muitos momentos necessárias para ter bons resultados na aprendizagem. A atividade
concreta é o ponto de partida, mas o objetivo principal deve ser o conteúdo de estatística, o
conhecimento envolvido, a estruturação de conexões mentais que permitam ao aluno se
articularem em novas situações envolvendo a estatística.
Referências
AQUINO, J. G. Erro e fracasso na escola: alternativas teóricas e práticas. São Paulo:
Summus, 1997.
BARICHELLO, L., MISKULIN, R. G.S. Análise de Erros e de Processos de Resolução de
Problemas
em
Cálculo
Diferencia.
Disponível
no
site:
http://barichello.googlepages.com/GT10_barichello_ta.pdf visitado em 13 de outubro de
2008.
BATANERO, C., OTTAVIANI, G. & TRURAN, J. Investigación en educación estadística:
Algunas cuestones prioritárias. Satistical Education Research Newsletter, Nº 2, Vol 1, 2000.
BRITO, M.R. Alguns Aspectos Teóricos e Conceituais da Solução de problemas
matemáticos. Solução de problemas e a Matemática escolar. Organizadora Márcia Regina
Ferreira de Brito. Campinas, São Paulo: Editora Alínea, 2006.
CURY, Helena N. Análise de erros em disciplinas matemáticas de cursos superiores. Anais
doIII Simpósio Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. Águas de Lindóia,
2006.
ECHEVESTE, S., BAYER, A . & SEIBERT, L. Classificação dos erros mais frequentes na
resolução de problemas estatísticos. V Congresso Internacional de Ensino da Matemática –
CIEM – Universidade Luterana do Brasil – Canoas, 2010.
GRAEBERG, A. O., JOHNSON, M. L. (1990). Insights into secondary school
students´understanding of mathematics. San Diego: San Diego State University.
OLIVEIRA, F.E.M. Estatística e Probabilidade. 2ª edição. São Paulo: Ed Atlas, 2007.
GARDNE, P. L. , HUDSON, I. University Students' Ability to Apply Statistical
Procedures. Journal of Statistics Education v.7, n.1. 1999.
RADATZ, H. Error analysis in mathematics education. Journal for Research in Mathematics
Education, vol. 10, 1979.
VENDRAMINI, C. M. M., SILVA, M. C., CANALLE M. (2004). Análise de itens de uma
prova de raciocínio estatístico. Psicologia em Estudo, 9(3), 331-342.
Actas del 3er CUREM, 2011
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