COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ
APLICAÇÕES NA GEOMETRIA PLANA
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA
www.cap.ufrj.br/matematica
Ponto Médio de um Segmento
Dados dois pontos A = (xa, ya) e B = (xb, yb). O ponto médio M é um ponto colinear a A e B e que dista
igualmente de ambos.
JJJG
Para descobrir as coordenadas do ponto médio entre A e B, considere o vetor AB = B – A.
JJJG
JJJG
O ponto médio M eqüidista de A e B, portanto o vetor AM = MB .
JJJG
JJJG
A +B
.
Logo, se AM = MB , então M – A = B – M ∴ 2M = A + B ∴ M =
2
Determinação do Baricentro de um Triângulo
Dado um triângulo ABC, sabe-se que o encontro das medianas (cevianas que partem do vértice ao ponto médio
do lado oposto) é determinado pelo BARICENTRO, o centro de gravidade, representado por G na figura.
Uma propriedade do Baricentro é que ele divide a mediana em dois segmentos na razão 2 para 1.
Por exemplo, nota-se na figura que os segmentos AP’, P’G e GP são congruentes. Sendo assim, podemos
estabelecer algumas relações:
COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ
APLICAÇÕES NA GEOMETRIA PLANA
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA
www.cap.ufrj.br/matematica
I) Na mediana AP
JJJG
JJJG
a) AG = 2 GP
b)
c)
JJJG
2 JJJG
AG = AP
3
JJJG
1 JJJG
GP = AP
3
Em qualquer uma das relações acima, pode-se determinar as coordenadas do Baricentro de um triângulo ABC,
sendo conhecidos os seus vértices.
Para a determinação do baricentro, pode-se usar qualquer uma das três medianas.
Que relações você tiraria sobre as medianas BN e CM?
II) Na mediana BN
a)
b)
c)
III) Na mediana CM
a)
b)
c)
Exemplo: Dado o triângulo de vértices P(4,6), Q(-2,2) e R(1, 3), determine as coordenadas do Baricentro.
Resposta: Se M é o ponto médio do lado PQ, então M =
G – R = 2 (M – G) → G – R = 2M – 2G → 3G = 2M + R
3G = 2 (1, 4) + (1, 3) = (2, 8) + (1, 3) = (3, 11)
(3, 11) = ⎛1, 11 ⎞ .
G=
⎜
⎟
3
3 ⎠
⎝
JJJG
JJJJG
P + Q
= (1, 4). Logo, se RG = 2 GM , então:
2