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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE JUSSARA
LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
ADRIANA CARLA DA SILVA
O MÉTODO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
UMA REFLEXÃO DA PRÓPRIA PRÁTICA
JUSSARA-GO
2008
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Adriana Carla da Silva
O MÉTODO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
UMA REFLEXÃO DA PRÓPRIA PRÁTICA
Trabalho realizado para a conclusão do curso de
Licenciatura Plena em Matemática da Universidade
Estadual de Goiás, Unidade Universitária de Jussara,
sob a orientação da professora especialista Josane Rocha
Caldeira.
JUSSARA-GO
2008
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Dedico este trabalho à minha família, namorado e amigos em especial a Karla Patrícia,
que me deram todo suporte necessário para vencer mais essa etapa da minha vida. Amo todos
vocês!!!
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AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por ter me dado força, para sempre levantar a cabeça nas horas
difíceis e por ter permitido que eu chegasse até aqui.
Agradeço aos meus amigos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização
deste trabalho.
Em especial, agradeço a minha professora orientadora Josane Rocha Caldeira que me
deu todo suporte teórico e prático para a realização desta pesquisa.
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Erros são, no final das contas, fundamentos
da verdade. Se um homem não sabe o que uma
coisa é, já é um avanço do conhecimento
saber o que ela não é. (Carl Jung, 18751961).
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RESUMO
Esta pesquisa refere-se à resolução de problemas como método de ensino em que, expõem-se
teorias que podem ser usadas como suporte teórico para compreender tal método. O interesse
pela temática surgiu através de experiências docentes própria. A presente pesquisa é
bibliográfica e investigativa, está dividida em três capítulos: o primeiro é referente às
experiências por mim vividas enquanto professora; o segundo descreve o parecer de autores
em relação à resolução de problemas; o terceiro refere-se às estratégias que o professor pode
usar em sala de aula para trabalhar a resolução de problemas de modo eficaz e motivador.
Quando nos referimos à resolução de problemas apresentam-se para nós situações que
necessitam de auxílios teórico e prático. Auxílios que colaboram para compreender a
dimensão deste método de ensino e a sua importância na construção do conhecimento
matemático. Aborda-se o tema fundamentando-se em Rabelo, Dante, Polya, D’Ambrósio,
PCN’s, Smolle e Diniz, que defendem que a resolução de problema deve obedecer a critérios
de resolução e que ao professor compete estimular em seus alunos: a curiosidade, o
pensamento independente, favorecer conjecturas mentais, motivando-os para a aprendizagem
que nada mais é do que a interpretação do seu cotidiano. Também se levanta a questão do
erro, como sendo fator considerável para a resolução de problemas, uma vez que este é uma
oportunidade de investigação e que por ele pode ser verificado o raciocínio lógico que o aluno
assumiu. Para isto toma-se como referência pesquisas de Piaget descritas por Yves de La
Taille e Revista Presença Pedagógica.
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
CAPÍTULO 1 RELATO DE COMO SURGIU O PROBLEMA
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CAPÍTULO 2 TEORIA CONCEPÇÕES SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA
ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
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2.1 A matemática e o seu ensino
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2.2 Resolução de problemas nos PCN’s
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2.3 O papel do professor
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2.4 Resolução de problemas como método de ensino
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2.5 Conhecendo melhor os problemas
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2.6 Estágios na resolução de problemas
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2.7 Problemas convencionais e não-convencionais
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2.8 A importância do erro no processo de ensino aprendizagem
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CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS PARA O TRABALHO COM RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
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BIBLIOGRAFIA
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INTRODUÇÃO
Tendo em vista que a matemática está presente em tudo que nos rodeia e que ela é uma
das mais importantes ferramentas da sociedade moderna, justamente por permitir à resolução
de problemas do cotidiano, é que ao priorizar a construção do conhecimento pelo fazer pensar
do aluno, o papel do professor é mais o de facilitador, de orientador e de incentivador da
aprendizagem a fim de desenvolver a autonomia do aluno, instigando-o a refletir e a
descobrir. Cria-se assim, na sala de aula, um ambiente de interação professor-aluno e alunoaluno pela busca do desconhecido, em que o diálogo e a troca de idéias são constantes.
Surge, neste contexto a importância de se trabalhar a resolução de problemas.
Apresenta-se neste trabalho a constatação e a discussão da importância que a resolução de
problemas assume no ensino da matemática, algumas estratégias e sugestões que ajudarão o
professor a trabalhar a matemática através deste método. Posto que, não se aprende
matemática para resolver problemas mas sim, se aprende matemática resolvendo problemas.
Apesar de POLYA (1995) ser um dos principais autores que se refere à resolução de
problemas, a presente pesquisa também é fundamentada em outros autores, como: DANTE
(1999), RABELO (2002), D’AMBRÓSIO (1986), Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN’s) (1997), SMOLE e DINIZ (2001), que defendem que a resolução de problemas deve
obedecer a critérios de resolução. Portanto, para tal são expostas diferentes formas de abordar
a resolução em sala de aula, propiciando o verdadeiro saber matemático. Espera-se com esta
proposta que os professores reflitam de forma diferente sobre as suas atitudes enquanto
mediador do conhecimento, visando melhorar a qualidade do ensino de matemática.
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O presente trabalho monográfico está dividido em três capítulos. No primeiro capítulo, foi
feito um relato das minhas experiências como docente, esclarecendo a opção pelo tema.
No segundo capítulo, aborda-se o ensino de matemática, o parecer dos PCN’s sobre a
resolução de problemas e o seu papel no processo de ensino aprendizagem de matemática.
Mostra-se também a resolução de problemas como método de ensino segundo RABELO,
DANTE e POLYA, incluindo ainda as funções que os problemas exercem no ensino de
matemática bem como, a sua classificação. São expostas também as etapas de resolução de
problemas segundo POLYA.
Ainda no segundo capítulo, argumenta-se sobre problemas convencionais e nãoconvencionais. Em que, para uma melhor compreensão das concepções apresentadas,
incluíram-se exemplos de problemas e suas respectivas soluções.
Na maioria das vezes os professores encaram o erro como sinônimo de fracasso, aqui
ele será abordado dentro de uma visão construtivista, segundo trabalhos fundamentados em
PIAGET, como CARVALHO (2001), AQUINO (1997) e outros, que vêm o erro como
ferramenta importantíssima no processo de construção do conhecimento, desde que seja
trabalhado de forma correta, ou seja, que assuma um significado no processo ensinoaprendizagem.
O terceiro capítulo é composto de estratégias para o trabalho didático através de
resolução de problemas, mostrando que a leitura e a escrita não são habilidades restritas à
língua portuguesa, mas sim, a todas as disciplinas, no caso da matemática é praticamente
inviável resolver problemas sem ambas. Por isso, são sugeridas propostas de elaboração de
problemas por meio de desenhos e de outras situações problemas, para desenvolver de
maneira significativa às habilidades de resolver problemas.
Contudo, esta pesquisa foi feita no intuito de mostrar que a resolução de problemas é
uma ferramenta muito eficaz no ensino da matemática, desde que seja bem trabalhada; porém
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o professor deve ter a consciência que o seu papel é fundamental para o bom desempenho
desta metodologia de ensino.
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CAPÍTULO 1 RELATO DE COMO SURGIU O PROBLEMA
Às vezes nos deparamos com situações desafiadoras, em que nos encontramos sem
ferramentas para resolvê-las, ainda mais quando temos como referencial a área educacional,
em especial a educação matemática. Isso acontece, não por falta de caminhos a se seguir, mas
por pura falta de informação. Vivenciei isso na prática, porém, passar por esse período de
dificuldade foi de grande valia para o meu crescimento profissional, até porque, ainda sou
uma iniciante na área educacional, mas pretendo ser uma profissional competente e coerente
com o que acredito, e sou convicta de que, se cada um fizer a sua parte, a educação
certamente irá melhorar significativamente.
Apesar de ainda não ter concluído a graduação, já tive a oportunidade de exercer a
profissão de docente. Trabalhei por três anos na rede estadual de educação, no Colégio
Estadual Marechal Rondon situado à rua dois (02), quadra oito (08), lotes de quatro a seis (04
a 06) em Betânia - Distrito de Jussara - Goiás, no ano de dois mil e quatro (2004). Comecei
trabalhando com séries iniciais e após dois anos recebi um convite para trabalhar com a
disciplina de matemática na segunda fase do Ensino Fundamental, concordei de imediato,
achei que seria fácil ministrar as aulas, já que esta é a área, em que eu estou me graduando
Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual de Goiás, na Unidade Universitária
de Jussara.
Nas primeiras semanas tudo ocorreu bem, no entanto certo dia quando eu estava
planejando minhas aulas, encontrei em um livro didático alguns problemas, e por sinal muito
interessantes, selecionei alguns para trabalhar em sala com os alunos, mas o resultado não foi
o que eu esperava, pois a maioria dos alunos demonstrou uma dificuldade muito grande no
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momento de resolver os problemas. Achei que se preparasse uma lista com problemas
mais simples, eles efetuariam a resolução com tranqüilidade, mas não foi bem assim,
infelizmente eles também não obtiveram êxito. Notei que os alunos não conseguiam
solucionar se quer problemas simples usando aplicações de algoritmos. Neste momento, me
deparei com uma dessas situações desafiadoras, na qual não conseguia enxergar um recurso
para resolvê-la. Ficou mais complicado ainda, quando percebi, que apesar de todo o esforço,
eles não conseguiam atingir o objetivo, que era resolver os problemas propostos. Alguns por
não compreenderem o problema, outros por não conseguirem efetuar os cálculos, ou ainda,
por puro desinteresse.
Antes de ter um contato direto com esse tipo de situação, julgava essas questões
obsoletas, sem nenhum tipo de valor pedagógico. No entanto passei a vivenciar essa realidade
e o que parecia não ter valor passou a assumir uma relevante e crucial importância, levandome a questionar qual era o motivo de tamanha dificuldade. Então, iniciei um processo de
observação, tendo em vista detectar a fonte dessa defasagem, ou seja, se o problema surgiu
devido o não desenvolvimento de algumas competências e habilidades, e quais seriam elas.
Após observar os alunos por um tempo, pude notar que em todas as séries as
dificuldades eram as mesmas. Não conseguiam interpretar textos matemáticos e não sabiam
manusear as operações matemáticas necessárias à resolução.
Posto isso, fui em busca de informações de como havia sido trabalhada a resolução de
problemas, objetivando nortear o meu trabalho, para ajudar os educandos a superarem esse
problema. Por fim, deparei-me com uma “situação problema”, ou seja, a de usar a resolução
de problemas como método de ensino.
De forma mais clara, procurei entender o que havia acontecido para que os alunos se
encontrassem em tal estado. Então percebi, que a resolução de problemas era vista e usada
como mera atividade, o que acabou provocando o desinteresse dos alunos e,
conseqüentemente, o não aprendizado. Observei que, ao utilizar a resolução de problemas
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como simples atividade, os professores anteriores ao meu trabalho não deram a oportunidade
aos alunos de desenvolverem o seu potencial, a autonomia, a autoconfiança e a criatividade.
Não conseguiram mostrar aos alunos, que a resolução de problemas é algo que está não só
dentro da sala de aula, mas em inúmeras situações do nosso cotidiano.
Após compreender o que havia acontecido, procurei novas estratégias para trabalhar
com esses alunos. Comecei então a trabalhar a resolução de problemas, como método de
ensino, os obstáculos encontrados foram muitos. Os alunos não se interessavam, reclamavam
muito, dizendo que não conseguiam fazer o que se pedia, e ainda, que estavam perdendo
tempo, insistindo em algo que não daria resultado positivo. Notei que a auto-estima dos
alunos estava muito baixa. Cheguei à conclusão de que para reverter esse quadro teria que me
dedicar muito. Passei a trabalhar alguns desafios matemáticos em sala, todos bem simples,
então ví que alguns alunos se mostraram interessados, tentaram resolver e conseguiram. Mas,
infelizmente, a maior parte dos alunos não quis nem tentar.
Tentei ainda, trabalhar com problemas diversificados, focalizando a interpretação de
textos matemáticos, pensei que, se eles conseguissem desenvolver a habilidade de
interpretação, facilitaria bastante a resolução dos problemas propostos, também organizei um
torneio de matemática entre as séries, no intuito de promover o estudo das operações
elementares da matemática. Os alunos conseguiram obter algum sucesso, mas não foi
satisfatório, pois a maioria não conseguiu desenvolver suas habilidades em relação à
resolução de problemas.
Depois de inúmeras tentativas, comecei a refletir sobre tudo que eu, enquanto
professora juntamente com os alunos, havíamos feito e os resultados que alcançamos. Percebi
que os alunos progrediram, porém não o suficiente. Cheguei à conclusão que, este era um
trabalho que seria realizado em longo prazo e necessitaria de muita dedicação por parte do
professor e dos alunos e, ainda, de muita pesquisa.
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Tomando este fato como ponto de partida, resolvi fazer este trabalho monográfico
voltado para a resolução de problemas como método de ensino de matemática; em que, no
próximo capítulo, estaremos expondo teorias que explicam como surge essa defasagem no
processo de ensino-aprendizagem da resolução de problemas, e como nós, professores,
devemos agir perante essas situações para conseguirmos melhorar a qualidade do ensino de
matemática.
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CAPÍTULO 2 CONCEPÇÕES SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA ATRAVÉS DA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
No capítulo que se segue levantam-se questões teóricas, no entanto, apesar de POLYA
(1995) ser um dos pioneiros da resolução de problemas, a pesquisa fundamenta-se também
nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s) (1997), em RABELO (2002), em DANTE
(1999), em SMOLE e DINIZ (2001), autores que se referenciam em POLYA (1995), porém
não deixam de ter concepções diferentes em alguns aspectos, por isso o envolvimento destes e
de suas concepções.
Aborda-se neste capítulo, o ensino da matemática, a resolução de problemas nos
PCN’s, a resolução de problemas como metodologia, o papel do professor no processo de
ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas, as funções que os
problemas desempenham no ensino de matemática e, o erro de acordo com a teoria
construtivista de PIAGET. No intuito de deixar bem claro aos leitores tudo o que foi
pesquisado serão apresentadas diversas situações problematizadas.
2.1 A matemática e o seu ensino
Não é possível argumentar sobre a resolução de problemas sem primeiro falar
da matemática de um modo geral, porque é a disciplina do currículo escolar responsável por
desenvolver habilidades como pensar, criar, conjecturar habilidades que por sua vez, facilitam
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significativamente a resolução de problemas. Mesmo sabendo que a matemática faz parte
desde cedo da nossa vida, inclusive em situações inusitadas, e também que é considerada uma
das mais importantes matérias escolares, justamente por ajudar a resolver problemas da nossa
vida, a maior parte das pessoas não gostam dela ou possuem aversão a ela.
Baseando-se na diferença de concepções, entre o “aprender matemática” para a vida e
o “gostar de aprender matemática” para aplicá-la na vida, chega-se à pergunta: como podemos
ver a matemática e o seu ensino? De acordo com D’AMBRÓSIO “... a transferência do
aprendizado resultante de uma certa situação para uma situação nova é o ponto crucial do que
se poderia chamar aprendizado da matemática e talvez o objetivo maior do seu ensino.”
(D’AMBRÓSIO, 1986, p. 44).
Sendo assim, é necessário que todos os educadores falem a mesma língua, ou seja,
todos sem exceções, comecem a ensinar a matemática mostrando a sua utilidade dentro e fora
da sala de aula, caso isto não ocorra, a matemática continuará tendo barreiras para o processo
de ensino aprendizagem. Segundo RABELO (2002), é necessário caminhar para o lado do
desempenho individual que a matemática exerce sobre cada um, visando o seu
desenvolvimento enquanto pessoa que vive em sociedade, bem como suas capacidades
cognitivas e ainda a sua formação enquanto indivíduo que formula e resolve problemas em
situações corriqueiras do cotidiano. “O ensino da matemática deve ser entendido como parte
de um processo global na formação do aluno, enquanto ser social.” (RABELO, 2002, p.70).
Sabe-se que a qualidade do ensino de matemática é baixa para todos que se encontram
envolvidos e, principalmente, preocupados com o ensino dessa área de conhecimento.
RABELO (2002) diz que existem muitos pontos para se repensar, um deles é a questão dos
profissionais de educação estarem sempre se limitando a mudanças de métodos, técnicas e
seqüências curriculares, não que isto não ajude em alguns aspectos, mas segundo o autor, para
se melhorar o ensino da matemática é preciso algo maior, como uma mudança fixa de postura,
uma mudança de filosofia pedagógica. Isto quer dizer que, os profissionais da educação
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devem repensar os seus conceitos do que realmente vem a ser ensinar, e trabalhar em prol
dessa mudança, tendo como objetivo melhorar a qualidade do ensino.
Nota-se então que ensinar é bem mais que fazer os alunos decodificar símbolos e
operações matemáticas, é preciso mostrar a utilidade de tudo que se ensina na prática,
tornando o aprendizado, significativo, coerente e concreto.
2.2 Resolução de Problemas nos PCN’s
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s) apontam a resolução de problemas
como um caminho para o ensino da matemática. Entretanto, na maioria das vezes ela é usada
como mera atividade para se aplicar conhecimentos adquiridos anteriormente, o que acaba por
banalizar a resolução de problemas.
Defende-se que a resolução de problemas não é uma atividade que deve ser trabalhada
separada da aprendizagem, mas sim incluída em todas as disciplinas, pois tudo o que se tem a
resolver pode ser considerado um problema a ser resolvido.
A resolução de problemas quando executada de forma correta propicia ao educando a
capacidade de gerenciar as informações que estão ao seu alcance, podendo assim ampliar os
seus conhecimentos matemáticos e do mundo em geral, desenvolvendo a sua autoconfiança, a
criatividade, a autonomia e muitas outras potencialidades.
Em muitos casos os problemas que são dispostos aos alunos não apresentam situações
desafiadoras, o que se torna algo repetitivo, mecânico e sem proveito pedagógico.
Em diversas situações, o que é problema para um não é problema para outro, em
função dos conhecimentos que cada um possui, para que estes constrangimentos sejam
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evitados o professor deverá ter o cuidado de analisar essas diferenças, para saber formular um
bom problema.
Os PCN’s deixam claro que a resolução de problemas entra na matemática como um
eixo organizador do processo de ensino aprendizagem, em que a situação problema deve fazer
com que os alunos pensem e procurem estratégias para resolvê-la desenvolvendo assim
aptidões cognitivas.
De acordo com os PCN’s:
Resolver um problema não se resume em compreender o que foi proposto e
em dar respostas aplicando procedimentos adequados. Aprender a dar uma
resposta correta, que tenha sentido, pode ser suficiente para que ela seja
aceita e até seja convincente, mas não é garantia de apropriação do
conhecimento envolvido. (PCN’S, 1997, p. 45).
Tendo isto em vista, vê-se que o importante não é a resposta correta, e sim o processo
de resolução que foi usado para se chegar a essa resposta. Pois, através dele, é possível
concluir se houve ou não retenção de conhecimento.
2.3 O papel do professor
Segundo DANTE (1999), ao adotar o método de resolução de problemas o professor
deve assumir o papel de incentivador, facilitador, mediador das idéias dispostas pelos
educandos de maneira que estas sejam produtivas, levando os alunos a pensarem e gerarem os
seus próprios conhecimentos. Deve criar um ambiente de cooperação e busca, de exploração e
descoberta deixando claro que o mais importante é o processo e não o tempo gasto para
resolvê-lo ou a resposta final.
Dado um problema para ser resolvido em grupo ou individualmente, é importante que
o professor:
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o Permita a leitura e a compreensão do mesmo;
o Propicie a discussão entre os alunos para que todos entendam o que se pede no
problema – proporcione a verbalização;
o Não responda diretamente as perguntas feitas durante o trabalho, mas sim, os incentive
com novas indagações, idéias e dicas.
Trabalhando dessa forma o professor estará ajudando os alunos a desenvolver
habilidades que lhes serão úteis na resolução de qualquer situação problema.
2.4 Resolução de problemas como método de ensino
De acordo com os Parâmetros Nacionais Curriculares (PCN’s) o ensino através da
resolução de problemas é um método que tem como pré-requisito fazer com que os alunos
pensem matematicamente e agucem a sua autonomia matemática, não se restringindo apenas a
aprender meras fórmulas prontas e métodos mecânicos de resolução.
Ratificando a esses métodos mecânicos de resolução, RABELO (2002) defende que “a
resolução de problemas deve proporcionar o desenvolvimento de conceitos e descoberta de
relações”. (RABELO, 2002, p.76). Se for feita uma análise na prática, nota-se realmente que
se a resolução de problemas for vista apenas como simples atividade, os alunos serão
prejudicados, pois não estarão desenvolvendo as suas habilidades e competências, para se
tornarem bons formuladores e resolvedores de problemas. Posto isto, é fundamental para o
ensino que os educadores aproveitem todas as formas e oportunidades que surgem para
mostrar aos educandos, que eles são plenamente capazes de solucionar os problemas
propostos, basta ter vontade, esforço, autoconfiança e muita pesquisa. Assim, os aprendizes
poderão ampliar os seus conhecimentos, lapidar o seu aprendizado e desenvolver aptidões
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cognitivas. “A resolução de problemas é uma aptidão cognitiva altamente complexa que
caracteriza uma das atividades humanas mais inteligentes”. (RABELO, 2002, p.77).
Complementa o autor dizendo que a resolução de problemas é um processo de
reorganização de conceitos e habilidades. Entretanto o professor desempenha um papel
primordial nesse processo. São de responsabilidade dele, desafiar a curiosidade dos educandos
propondo problemas compatíveis com o seu nível de conhecimento e ainda indagar-lhes
estimulantemente para despertar o gosto pelo pensamento independente, não esquecendo da
parte principal, a de proporcionar aos seus alunos os meios necessários para atingir o objetivo
em questão. Veja a opinião de POLYA a respeito:
Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma
pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode
ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades
inventivas quem o resolver por seus próprios meios experimentará a tensão
e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível,
poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua
marca na mente e no caráter. (POLYA, 1995, p.v).
Incentivar os alunos a buscarem diferentes formas de resolver problemas permite uma
reflexão mais elaborada sobre os processos de resolução, porém é necessário que o professor
deixe bem claro que acertar nem sempre é o mais importante, e que o erro é apenas uma
oportunidade de investigação, podendo encontrar o seu erro, e assim começar novamente,
propiciando o verdadeiro saber matemático. Falaremos do erro e o seu papel no processo de
ensino aprendizagem logo adiante.
É responsabilidade do professor, transferir para os alunos todos os métodos e
conceitos de desenvolvimento na resolução de problemas. E ainda, deve ajudar os alunos
nesse processo de resolução, o que não é fácil, pois exige tempo, prática, dedicação e foco no
que se pretende alcançar.
Na concepção de POLYA (1995) a técnica de resolução de problemas não se baseia
em oferecer ao aluno vários problemas para resolver, onde o aluno não consegue resolver ou
resolve rapidamente sem nenhuma dificuldade. A melhor forma de se trabalhar é
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apresentando aos discentes situações onde eles tenham que, pensar, argumentar e criar, pois
assim eles acabarão acreditando em seu potencial, desenvolvendo de forma significativa o seu
conhecimento.
Luiz Roberto Dante, mostra que a resolução de problema, tem como objetivo fazer o
aluno pensar produtivamente, para isso é preciso disponibilizar aos alunos situações-problema
que os motivem a resolvê-las. Deve-se dar ao aluno a oportunidade de se envolver
significativamente com a matemática e suas aplicações, pois não é suficiente saber efetuar
cálculos mecanicamente. É necessário saber quando e como fazê-los adequadamente na
resolução de problemas.
Sabe-se que a matemática não é a mais adorada das matérias escolares, assim DANTE
(1999) propõe que os educadores da área, tornem suas aulas mais interessantes e desafiadoras.
Como fazer isso? Segundo o autor, o professor deve deixar um pouco a teoria de lado e partir
para a parte prática suscitando um trabalho ativo por parte dos alunos.
Para resolver problemas é necessário que haja o desenvolvimento de certas estratégias,
por isso o docente precisa dar suporte teórico e prático a seus alunos, ou seja, equipá-los com
estratégias que lhes sirvam posteriormente para aplicar em outras situações, o que
conseqüentemente desencadeará o raciocínio, levando-o a produzir suas próprias estratégias.
“O real prazer de estudar matemática está na satisfação que surge quando o aluno, por si só
resolve um problema. Quanto mais difícil, maior a satisfação em resolvê-lo.” (DANTE, 2000,
p.49).
2.5 Conhecendo melhor os problemas
22
É fundamental que o educador saiba quais as funções que os problemas desempenham
no ensino da matemática, de acordo com RABELO (2002) são: função de ensino, um
caminho para adquirir, exercitar e consolidar os conhecimentos matemáticos e ainda, função
educativa, ou seja, desenvolvimento intelectual, o que leva o docente a ter uma atenção
redobrada ao escolher os problemas que serão trabalhados.
Para a escolha do problema o referido autor apresenta características, foram assim
interpretadas:
a) Dados – Consideram-se dados as informações, as condições expostas no problema
que podem ser detectadas com facilidade;
b) Metas ou questões – São as partes implícitas do problema e as mais difíceis de
serem resolvidas;
c) Obstáculos – Entende-se por obstáculo o fato do resolvedor não saber de imediato o
que deve ser feito, ou seja, como deve ser a seqüência dentro do processo de resolução que ele
deve usar.
Muitos profissionais da educação matemática, apesar de sua experiência na área, não
conseguem diferenciar o que vem a ser realmente um problema matemático e um simples
exercício. Entretanto, o conceito de problema é muito relativo, pois depende do nível de
conhecimento dos alunos. O que para alguns é um problema muito complexo, para outros
pode ser um simples exercício de aplicação de algoritmos.
RABELO (2002) expõe a seguinte maneira de classificar os problemas: Problemas de
um passo, que podem ser resolvidos com a aplicação direta das operações básicas da
aritmética; Problemas de dois ou mais passos, que podem ser resolvidos pela aplicação direta
das operações básicas, mas envolvendo duas ou mais delas; Problemas-processo, que não
podem ser resolvidos utilizando-se processos mecânicos, mas estratégias de resolução:
problemas não rotineiros; Problemas de aplicação, que muitas vezes admitem mais de uma
solução e são resolvidos pela utilização de uma ou mais operações e de uma ou mais
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estratégias de resolução; Problemas tipo puzzle, que podem suscitar o interesse e hábitos de
olhar para eles sob diversos pontos de vista diferentes.
Os Problemas de um passo objetivam treinar a habilidade em efetuar cálculos usando
apenas uma operação matemática, no intuito de reforçar conhecimentos anteriores. Exemplos:
PROBLEMA 01: Em uma biblioteca há 125 livros de matemática em uma prateleira e
190 de língua portuguesa na outra. Quantos livros há nas duas prateleiras?
PROBLEMA 02: Um gato tem 4 patas. Quantas patas têm 8 gatos?
Esses Problemas de um passo também são conhecidos como Problemas-padrão
simples.
Os Problemas de dois ou mais passos, também objetivam treinar a habilidade em
efetuar cálculos, porém usando duas ou mais operações matemáticas. Exemplos:
PROBLEMA 03: Para realizar um trabalho de artesanato são necessários 2400 palitos
de fósforo. Sabendo que cada caixa contém, em média, 40 palitos e que cada pacote contém
10 caixas, quantos pacotes serão usados nesse trabalho?
PROBLEMA 04: Pensei em um número, multipliquei-o por 4 e, do resultado, subtraí
4. Obtive 44. Se tivesse dividido por 4 e ao resultado adicionado 4, quanto encontraria?
Tais problemas também são denominados Problemas padrão compostos. Porém, tanto
os problemas padrão simples quanto os compostos na maioria das vezes não são desafiadores,
pois a sua solução está contida no enunciado do próprio problema.
Já os Problemas-processo, aguçam a curiosidade do aluno permitindo assim o
desenvolvimento de sua criatividade. Isto acontece porque, para solucionar tal problema será
necessário usar mais de uma estratégia de resolução, o que de acordo com DANTE (1999) é
mais importante que chegar à resposta certa. Exemplo:
PROBLEMA 05: Certo presidente da República governou o país durante 5 anos
consecutivos. A soma dos números dos anos do seu mandato é 9790. Em que anos o Brasil foi
governado por esse homem? Qual é o nome dele?
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Este tipo de problema também recebe o nome de Problema heurístico.
Problemas de aplicação são aqueles que, segundo DANTE, procura se matematizar
uma situação real usando conceitos, técnicas e métodos matemáticos, como: fazer tabelas,
traçar gráficos, efetuar operações, etc. De maneira geral para solucioná-los é necessária muita
pesquisa e levantamento de dados. Exemplo:
PROBLEMA 06: Para fazer o seu relatório, um diretor de uma escola precisa saber
qual é o gasto mensal, por aluno, que ele tem com a merenda escolar. Vamos ajudá-lo a fazer
esses cálculos?
Podemos levantar as seguintes questões: i) Quantos alunos comem a merenda por dia?
E por mês? ii) Quantos quilos de arroz, macarrão, tomate, cebola, sal, etc. a escola recebe por
mês? iii) Qual o preço atual, por quilo, de cada um desses alimentos? iv) Qual o salário
mensal da merenda? v) Quanto se gasta de gás?
Os Problemas do tipo puzzle, que também podem ser chamados de Problemas de
quebra-cabeça, são aqueles que desafiam a curiosidade dos alunos. Para DANTE são aqueles
que na maioria das vezes constitui a denominada matemática recreativa, em que a sua solução
é obtida a partir da percepção de algo que seja a chave da solução. Para tanto, é preciso olhar
o problema de várias maneiras. Exemplo:
PROBLEMA 07: Com 24 palitos de fósforo, forme 9 quadradinhos. Como fazer para
tirar 4 palitos e deixar 5 quadradinhos?
2.6 Estágios na resolução de problemas
O livro “A arte de resolver problemas” de POLYA (1995) leva o professor a analisar
as etapas que facilitam a resolução de problemas e aceitá-las como válidas e importantes
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etapas do desenvolvimento do pensamento, pois permitem a aprendizagem pela reflexão
possibilitando aos alunos o desenvolvimento da autonomia e da confiança em sua capacidade
de pensar.
As etapas dispostas por POLYA (1995) foram assim interpretadas:
Compreensão do problema - O professor deve levar o aluno a identificar as partes
principais do problema, tornando-o interessante e concretizando o mesmo. Para que o aluno
compreenda o problema, é necessário que saiba retirar do texto: Qual é a incógnita (termo
desconhecido do problema); Quais são os dados; Qual é a condicionante (condições às quais
se devem obedecer na resolução). O problema deve ser bem escolhido, nem muito difícil, nem
muito fácil, natural, interessante e certo tempo deve ser dedicado à sua apresentação.
Estabelecimento de um plano - Nessa etapa o aluno deve tentar, usando experiências
anteriores, um método de resolução. Isso pode ser um caminho tortuoso ou não. Entretanto, o
professor pode fazer questionamentos aos alunos; a fim de facilitar a busca deste caminho.
Alguns questionamentos podem ser: Já viu antes? Já viu o mesmo problema apresentado de
forma diferente? Conhece um problema semelhante? Conhece um problema que lhe poderia
ser útil? É possível reformular o problema? É possível reformulá-lo ainda de outra maneira?
O melhor que o professor pode fazer por seu aluno é propiciar de forma discreta, uma idéia
luminosa. As indagações tendem a gerar tal idéia.
Execução do plano - Aqui, o aluno deve executar o plano elaborado passo-a-passo. O
plano proporciona apenas um roteiro geral. No entanto é necessário estar convicto de que os
detalhes inserem-se nesse roteiro e, para isso, é preciso examiná-lo pacientemente até que
tudo fique perfeitamente claro, não restando nem um recanto obscuro no qual possa ocultar-se
um erro.
Retrospecto - É necessário que o aluno analise se o resultado encontrado está correto e se
pode ser obtido por outros caminhos. Fazer uma revisão detalhada do que foi feito e do
raciocínio utilizado. Com isso, é possível encontrar uma outra resolução melhor e ainda
26
descobrir fatos novos e interessantes. De qualquer maneira se os alunos adquirirem o hábito
de verificar e examinar suas resoluções, certamente obterão conhecimentos que poderão ser
utilizados sempre e, assim, desenvolverão a capacidade de resolver problemas.
Segue agora um exemplo de problemas e alguns questionamentos feitos na sua
resolução.
PROBLEMA 08: Carlos participa de um jogo que é disputado em rodadas. Se uma
rodada não lhe parece favorável, ele não entra; se parece favorável, entra. Quando acerta,
ganha um (01) ponto, mas perde dois (02) se erra. Carlos entrou em vinte (20) rodadas e fez
onze (11) pontos. Quantas rodadas ele acertou e quantas ele errou?
Solução:
Compreendendo o problema - Dados: Carlos entrou em 20 rodadas e fez 11 pontos.
Objetivo: Determinar o número de rodadas que ele acertou e que ele errou.
Estabelecimento de um plano - Supondo que Carlos tivesse acertado todas as rodadas
(20). Ele teria feito 20 pontos. A diferença de 9 (20 – 11= 9) existe porque, ao entrar em uma
rodada e errar, além de não ganhar 1 ponto, perde 2, ou seja em cada erro, ele deixa de ganhar
3 pontos. Dividindo, então, 9 por 3 obtemos o número de rodadas que ele errou. Em seguida,
subtraímos, do total de rodadas erras, obtendo o número de rodadas que acertou.
Executando o plano 20 . 1 = 20 (total de rodadas)
9 : 3 = 3 (rodadas que errou)
20 – 3 = 17 (rodadas que acertou)
Fazendo o retrospecto ou verificação 3 erradas + 17 certas = 20 rodadas
17 certas 17 . 1 = 17 pontos
3 erradas 3 . 2 = 6 pontos
Subtraindo temos:
27
17 pontos – 6 pontos = 11 pontos.
As resoluções de problemas mostram não somente a resposta, como também todo o
procedimento usado para chegar até ela. Como estamos falando de procedimentos, é
fundamental não deixarmos de falar do erro, que é algo constante dentro de qualquer
procedimento, porém quando bem trabalhado o erro pode ser usado como ferramenta no
processo de ensino aprendizagem de matemática. Mas, é necessário ter a convicção que
acertar é sempre o objetivo principal. Segundo Yves de La Taille:
“(...) embora seja óbvio, é preciso lembrar que o erro somente tem valor no
processo de aprendizagem e desenvolvimento. O objetivo é naturalmente o
acerto. Portanto, devemos encorajar as várias e inteligentes tentativas dos
alunos em acharem as respostas certas, as teorias corretas, os procedimentos
eficazes, devemos dar valor a seus erros (aqueles realmente advindos de um
processo legítimo de reflexão). (Yves de La Taille apud. AQUINO, 1997,
P.38).
2.7 Problemas convencionais e não-convencionais
Dentre as bibliografias consultadas há um consenso em classificarem os problemas em
convencionais e não-convencionais. De acordo com Kátia Smole e Maria Diniz em sua obra :
Ler, escrever e resolver problemas, o problema convencional apresenta as seguintes
características: é apresentado por meio de frases ou parágrafos curtos; vem sempre após a
apresentação de determinado conteúdo, todos os dados que o resolvedor precisa aparecem
explícitos no texto, pode ser solucionado através da aplicação direta de um ou mais
algoritmos, a tarefa básica é identificar a operação apropriada e transformar a linguagem do
problema em linguagem matemática, é ponto fundamental a solução numérica correta, a qual
existe e é única.
Nos livros didáticos existem grandes quantidades de problemas convencionais. Veja
um exemplo:
28
PROBLEMA 09: Genilson vende 20 litros de leite por dia. Em um mês, quantos litros
de leite Genilson vendeu?
Se o professor propuser este problema de forma problematizadora, poderá ajudar no
desenvolvimento de várias habilidades que foram citadas. Pode por exemplo, adotar os
seguintes critérios: 1) Alterar os dados do problema: E se Genilson vendesse 10 litros de leite
por dia ao invés de 20, como ficaria a resolução? E se Genilson vendesse o leite apenas
dezenove dias no mês, como ficaria a resposta? 2) Poderá também propor alterações como:
Quem consegue resolver o problema através de um desenho? Quais operações serão usadas?
Vamos elaborar o problema de forma que seja possível encontrar o total de vacas que
Genilson tem?
Para o educador atingir seu objetivo nesses problemas, é fundamental que a cada nova
pergunta ele espere os alunos respondê-las, só assim passar para o próximo questionamento.
Já os problemas não-convencionais exigem bem mais dos alunos, pois eles terão que
refletir e analisar sistematicamente o problema, para elaborar técnicas que os permitirão
chegar à solução desejada, desenvolvendo no aluno a comunicação, posto que ele tenha que
argumentar para chegar à solução, em síntese permitindo a aprendizagem que os problemas
convencionais não propiciam.
A classificação dos problemas não-convencionais, segundo SMOLE e DINIZ (2001)
é: Problemas sem solução, Problemas com mais de uma solução, Problemas com excesso de
dados e Problemas de lógica.
Vejamos estes problemas com mais detalhes: Os Problemas sem solução devem
desenvolver nos alunos habilidades para se posicionar frente a situações inusitadas; este é um
objetivo clássico da matemática. Aqui, os alunos terão que desenvolver a capacidade de
dúvidas e não concordar com tudo que é proposto. Estes tipos de problemas mostram que nem
todos os problemas impostos apresentam soluções. Exemplo:
29
PROBLEMA 10: Adriano corre nove quilômetros em duas horas. Quantos filhos ele
tem?
Como os alunos estão acostumados a resolver problemas convencionais, é comum eles
utilizarem os números 9 e 2 que estão no enunciado para somar, subtrair, multiplicar ou
dividir, na tentativa de encontrar a solução.
Com isso, o educador pode interferir na resolução destes problemas, fazendo com que
os educandos notem que estão faltando dados para a solução. O educador pode então propor
que eles modifiquem-no acrescentando as informações de modo que o problema seja
solucionado, e ainda deve sugerir que eles analisem o problema, seguindo as etapas dispostas
por POLYA, ao analisar todas as etapas, poderão perceber facilmente as falhas cometidas e,
com isso reduzir erros em problemas futuros.
Os Problemas com mais de uma solução mostram aos alunos que muitas vezes os
problemas matemáticos possuem mais de uma solução, em que podem ser utilizadas mais de
uma forma de resolução, cabendo ao aluno investigar, para chegar à resolução. Vejamos um
exemplo:
PROBLEMA 11: Pedrinho tem 9 notas, num total de R$ 93,00. as notas de R$ 1,00,
R$ 5,00, R$ 10,00 e R$ 50,00. Quantas notas de cada valor ele tem? (DANTE, 1999,
p. 102)
Uma das possíveis soluções:
Vamos fazer uma tabela com todas as possibilidades.
Notas de Notas de Notas de Notas de
R$ 50,00 R$ 10,00 R$ 5,00
R$ 1,00
1
4
-
3
1
3
2
3
1
3
1
8
30
1
3
-
13
-
9
-
3
-
8
2
3
-
7
4
3
-
6
6
3
-
5
8
3
-
4
10
3
-
3
12
3
-
2
14
3
-
1
16
3
-
-
18
3
-
-
17
8
-
-
16
13
-
-
15
18
Não há necessidade de continuar a tabela, pois Pedrinho tem apenas 9 notas. Aliás,
poderíamos interrompê-lo bem antes.
Então Pedrinho tem:
1 nota de R$ 50,00;
3 notas de R$ 10,00;
2 notas de R$ 5,00;
3 notas de R$ 1,00;
totalizando R$ 93,00.
As outras possíveis maneiras de soluções são deixadas aos leitores interessados em
resolvê-las.
31
Dos Problemas com excesso de dados podemos citar o problema extraído do
PROJETO ARARIBÁ (2006) . Veja a seguir.
PROBLEMA 12: Todos os dias a abelha Quica acorda cedo e a primeira coisa que faz
é olhar o calendário para saber o dia da semana. Às segundas-feiras, ela limpa a colméia e
lustra suas asas; aos sábados, faz tricô e assisti à TV; em outro dia, visita sua avó e lava a
roupa da semana toda. Assim como nesses dias, nos outros dias da semana ela realiza apenas
duas atividades fixas, saindo raramente da rotina. Todas as terças seu primo Teço a visita.
Numa sexta-feira Quica saiu da rotina: não produziu mel nem estudou inglês, porque ficou no
salão de beleza o dia todo. Ela mudou os hábitos nesse dia porque na véspera, em vez de
produzir mel por apenas meio período, produziu o dia todo e não assistiu o seriado de TV
preferido. Quando não sai da rotina, Quica produz mel em três meio períodos por semana. Na
quarta-feira passada, Quica não passou as roupas que foram lavadas na véspera, porque não
estavam secas. Em compensação depois que produziu mel, leu um livro. No domingo
seguinte, como de costume, Quica cozinhou e assistiu a TV. Todas as quintas e sábados, sua
prima Tuti lhe telefona.
a) Em que dia da semana Quica costuma visitar sua avó?
b) Quando não sai da rotina, Quica produz mel em quais dias da semana?
c) Que dia da semana Quica reservou para escrever um livro?
Este é um problema com excesso de dados, o qual desenvolve nos alunos a habilidade
de interpretação e a capacidade de selecionar os dados necessários para a solução e para isso
vir a acontecer o professor deve ser um bom mediador, para conduzir os alunos em sua
solução os questionado em relação aos dados que devem ser aproveitados e quais não devem
ser aproveitados, mostrando as diferentes possibilidades de solução.
No PROBLEMA 12 é possível notar que existem várias possibilidades de solução,
veja: No item a, em que dias da semana Quica costuma visitar a sua avó? Há cinco
possibilidades de respostas: terças, quartas, quintas, sextas e domingos; No item b, quando
32
não sai da rotina, Quica produz mel em quais dias da semana? Neste item a três
possibilidades: terças, quintas e sextas ou quartas, quintas e sextas, ou ainda quintas, sextas e
domingos. No item c, que dia da semana Quica reservou para escrever um livro? A resposta
será nenhum dia, pois sua semana está toda ocupada.
A solução deste problema confirma o que foi dito, há mais de uma possibilidade, só
depende da interpretação de quem o ler.
Os Problemas de lógica são problemas que exigem raciocínio dedutivo,
desenvolvendo as operações de pensamento como previsão e comparação, levantamento de
hipótese, busca de suposições, análise e classificação.
Para a solução destes Problemas de lógica exige-se tentativa, erros, organização de
dados e tabelas, diagramas, estratégias que favorecem o desenvolvimento das habilidades de
leitura e interpretação.
Eis aqui dois problemas de lógica:
PROBLEMA 13: Adaptado de DANTE (1999).
O gavião chega ao pombal e diz:
- Adeus, minhas cem pombas.
As pombas respondem, em coro:
- Cem pombas não somos nós; com mais dois tantos de nós e com você, meu gavião,
cem pássaros seremos nós.
Quantas pombas estavam no pombal?
Esta é uma maneira curiosa de propor um problema. É um jogo de palavras que as
crianças gostam de desvendar e interpretar.
Vejamos a solução:
(Número de pombas) + 2x (números de pombas) + 1 = 100
Assim:
3x (número de pombas) + 1 = 100
33
3x (número de pombas) = 100 - 1 = 99
3x (número de pombas) = 99
número de pombas = 99 : 3
número de pombas = 33
Verificação:
33 + 2. (33) + 1 = 33 + 66 + 1 = 100
Resposta: Estavam no pombal 33 pombas.
PROBLEMA 14: Complete o quadro mágico onde a soma seja 15 nas linhas e colunas
e nas diagonais, usando os números naturais de 1 a 9.
Veja uma das possíveis soluções:
6
1
8
7
5
3
2
9
4
As outras possíveis soluções deixo aos leitores interessados a solucioná-los.
Compete ao professor problematizar essas atividades de forma que os alunos possam
adquirir confiança e autonomia, deixando o conformismo de lado. Para tanto, no próximo
capítulo serão exploradas estratégias, como sugestão para os professores trabalharem de
forma mais eficaz a resolução de problemas. Tais estratégias são abordadas tendo como fonte
de fundamentação as obras de DANTE, SMOLE e DINIZ.
34
2.8 A importância do erro no processo de ensino aprendizagem
O erro sempre foi considerado como elemento negativo, sendo visto como algo que
precisa ser extinto do contexto escolar. Muitos professores apontam o erro como produto da
insuficiência dos alunos em relação aos conhecimentos necessários.
Aqui, procura-se mostrar através da teoria construtivista de Jean Piaget explorada por
Yves de La Taille e Júlio Groppa Aquino, a importância do erro no processo de ensino
aprendizagem.
Numa concepção construtivista, o erro assume um significado completamente
diferente, deixa de ser sinônimo de fracasso e passa a fazer parte do processo de construção
do conhecimento, sendo necessário e fundamental, por ajudar a detectar o quê o aluno sabe, e
ainda, o quê ele pode vir a aprender. Deve-se ver o erro, como ponto de partida para
recomeçar e nortear o processo de construção do conhecimento. No entanto, é necessário
mostrar aos alunos que quem erra na verdade está querendo aprender, tentando acertar.
Acertar é o objetivo, porém errar é natural. Muitos educadores já possuem essa visão
construtivista sobre o erro, mesmo que às vezes não consigam aproveitá-lo com eficácia.
Infelizmente, mesmo que os educadores tenham e usem essa visão construtivista sobre
o erro, existe uma incoerência nas instituições escolares, o sistema de avaliação por notas. Tal
sistema repreende o erro e o exclui como fator que influência de modo positivo ao processo
de aprendizagem.
Jean Piaget foi o responsável por redimensionar a questão do erro, onde errar deixa de
ser um sinônimo de incapacidade e passa a ser um fator importante no processo de ensinoaprendizagem.
PIAGET apresenta conceitos importantes e as relações existentes entre eles, ambos
relacionados ao erro. Ele acredita que o conhecimento é construído pelo indivíduo em sua
35
interação com o meio. A partir daí, ele desenvolveu os conceitos de assimilação, acomodação,
equilibração e regulação para explicar o desenvolvimento da inteligência.
Agora, veremos a interpretação do que vem a ser cada um desses conceitos:
Assimilação – Consiste em assimilar novos conhecimentos, ou seja, integrar elementos
do meio a sua parte cognitiva.
Acomodação – Consiste em acomodar os novos conhecimentos, isto é, modificar-se
em função deles, sem deixar os seus poderes anteriores de assimilação.
Equilibração – Consiste em equilibrar a assimilação e acomodação, pois nesse processo
ocorrem situações de conflitos cognitivos, esse desequilíbrio mostra o progresso no
desenvolvimento do conhecimento. Através da busca pelo equilíbrio é que se pode explicar a
evolução da inteligência e dos conhecimentos.
Regulação – Consiste no indivíduo retornar suas ações modificando-as ou conservando-as
conscientemente, baseando-se nos três conceitos citados acima. Tendo em vista a concepção
de PIAGET, a evolução dos conhecimentos tem como fonte fundamental as regulações
obtidas através de situações de conflitos, pois é aí que entra a importância do erro na
aprendizagem, que passa a ser o ponto de partida para o desenvolvimento.
Na resolução de problemas o erro é algo constante e, praticamente, inevitável por ser
um método que, de certa forma, exige muito do aluno, pois é necessário usar competências e
habilidades que na maioria das vezes ainda não foram desenvolvidas. Ainda mais, quando se
tem como clientela alunos do ensino fundamental, pois, esses alunos se encontram em um
período de desenvolvimento cognitivo e em plena construção do conhecimento.
Quando se tem um contato direto com eles, vê-se que estão sempre vivenciando
situações de conflitos. Estas situações surgem porque os educandos estão em um período de
formação de suas concepções, assim, os erros acontecem com freqüência, porém através
desses erros surgem caminhos para se chegar ao êxito, que é na verdade o objetivo primordial
de qualquer método de ensino.
36
Em suma, toda a teoria apresentada neste capítulo é de inquestionável importância
para se compreender a dimensão do método de resolução de problemas dentro do ensino de
matemática. Para usar a resolução de problemas como uma ferramenta de trabalho é
necessário que o educador saiba em sua totalidade o que é realmente a resolução de
problemas, e ainda, qual seu papel dentro do processo de ensino-aprendizagem, e mais ainda,
como usar a teoria de forma prática tornando o aprendizado significativo e concreto.
No próximo capítulo, serão apresentadas várias estratégias para se trabalhar a
resolução de problemas em sala de aula, a fim de oferecer aos leitores, que se interessam pela
temática, sugestões de metodologias que podem ser muito úteis no ensino através da
resolução de problemas desde que bem trabalhadas.
37
CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS PARA O TRABALHO COM RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS
O presente capítulo apresenta algumas estratégias para o trabalho com resolução de
problemas, a fim de direcionar o leitor para a prática de resolução de problemas, como
método facilitador da matemática. Baseando-se nas obras de SMOLE e DINIZ (2001), de
POLYA (1995) e de DANTE (1999), observou-se as seguintes estratégias:
A primeira delas chama-se Lendo e Comentando. Na resolução de um problema o
professor deve incentivar seus alunos a ler o problema quantas vezes forem necessárias até
que compreenda o real sentido do que foi proposto.
Quando os alunos fazem uma leitura detalhada do problema, conseguem descobrir as
partes ocultas dos problemas e acabam socializando-o. Depois de realizar uma boa leitura, o
professor deverá discutir com os alunos o problema, no intuito de sanar as dúvidas e ampliar
as compreensões para garantir uma boa elaboração da estratégia e do plano de resolução.
A segunda estratégia é o Dicionário matemático. SMOLE e DINIZ (2001) em sua
obra Ler, escrever e resolver problemas sugerem que seja elaborado um dicionário
matemático onde aparecem palavras com o seu significado no cotidiano matemático, já que
por várias vezes surgem dúvidas sobre significados de palavras ou símbolos, que dificultam
para os alunos a resolução de problemas. Por exemplo: “...Quero que me pague em dinheiro
vivo...” . Numa situação como essa, os alunos com menos esclarecimento confundem,
podendo perguntar, ora, existe dinheiro morto?
Daí a importância de ter um dicionário matemático para estar solucionando estes
problemas freqüentemente apresentados no contexto matemático.
38
O próximo passo é a estratégia Problemas em tiras. É uma proposta de grande
importância para ajudar os alunos a fortalecer e consolidar suas idéias em relação a um
enunciado, pois ao receber as tiras do problema os alunos terão que organizar as frases de
maneira que fique coerente com o que se pede, tendo em vista montar um plano para
solucionar o problema, levando os alunos a refletir sobre a importância e a utilidade de cada
tira, onde eles serão beneficiados até mesmo em outras disciplinas como a interpretação de
textos matemáticos.
É necessária muita atenção por parte dos alunos nestes tipos de problemas, pois cada
frase e dado numérico terão a sua utilidade para a resolução do problema.
Citemos agora um problema em tiras:
PROBLEMA 15:
1. Ganhou 22 jogando “bofinho”.
2. Sandro tem quantas figurinhas?
3. Sandro tinha 15 figurinhas.
4. Sandro deu 10 figurinhas para o seu irmãozinho.
Para este problema, a ordenação mais adequada é 3, 1, 4, 2.
A exploração dos problemas em tiras não se encerra no que foi apresentado, mas abre
novos caminhos para trabalhar diferentes contextos, além de sistematização das soluções e
problematizações acerca das seqüências encontradas.
É de grande valia que o educador leve seus educandos a analisarem as seqüências e as
soluções do problema, para não haver dúvidas o educador deve verificar se a organização de
dados ficou correta, ou ainda, se agrupou da melhor maneira possível para chegar à solução
desejada.
Em um estágio mais avançado, pode-se explorar a Escolha da Operação Adequada.
Segundo SMOLE e DINIZ (2001), esta estratégia é de grande importância na matemática,
pois permite aos alunos ler o enunciado e perceber quais erros podem cometer quando se lê
39
um problema rapidamente, sem a atenção necessária. Se não houver uma boa interpretação os
erros serão inevitáveis e, conforme descrito no capítulo 2, o acerto é o objetivo da resolução
do problema, isto então deve ser focalizado pelo professor durante a resolução.
O professor deverá saber quando é necessário usar essa estratégia, e quando for,
segundo as autoras, é aconselhável fornecer poucos problemas, no máximo quatro.
Ao aluno compete a tarefa de descobrir qual a operação que será utilizada para
solucionar o problema e, muitas vezes, aconselham-se utilizar mais de uma operação no
problema.
Veja um problema convencional que pode ser explorado pelos educadores segundo a
referida estratégia.
PROBLEMA 16: “Na classe de Ricardo há 17 meninos e 22 meninas. Quantas
crianças há na classe?” (DANTE, 1999, p. 81).
Qual das contas abaixo leva à solução deste problema?
17 × 22
17 + 22
22 – 17
22 ÷ 17
Cabe ao leitor descobrir qual a operação a ser utilizada.
Uma outra forma de se trabalhar é oferecendo os cálculos, ao invés do problema
pronto, para que os alunos criem o seu critério, pois assim eles estarão desenvolvendo a
habilidade de criar problemas de maneira que satisfaçam os dados propostos.
Comparar problemas é uma estratégia abordada por SMOLE e DINIZ (2001),
objetivando desenvolver a capacidade dos alunos em compreender o papel dos dados
dispostos nos problemas e das perguntas na resolução de problemas.
Compete ao professor apresentar aos alunos dois problemas que tenham algumas
semelhanças, no enunciado (texto matemático) ou na operação a ser resolvida, assim os
40
alunos farão a compreensão e comparação dos dois problemas, as autoras esclarecem que é
conveniente que a atividade seja resolvida coletivamente, em pequenos grupos, para propiciar
a troca de idéias na hora de realizar a comparação, ao ser feito isto, os alunos deverão registrar
o que foi discutido na comparação.
Observe os dois problemas em que será proposta a comparação entre eles .
PROBLEMA 17: Um ano tem 365 dias. O ano bissexto tem 366 dias. Quantos dias já
viveu Fábio que completou 9 anos, sendo que 2 deles foram bissextos?
PROBLEMA 18: Fábio já viveu 3.287 dias. Quantos anos Fábio já viveu sendo que
um ano tem 365 dias, e o ano bissexto 366 dias, e 2 desses anos foram bissextos?
A partir da comparação têm-se as semelhanças e as diferenças. Dentre as semelhanças
tem-se: Nos dois problemas aparece o nome de Fábio; Os dois problemas falam de idades; Os
dois problemas falam de anos e dias; Os dois problemas falam de anos bissextos.
As diferenças entre os dois problemas acima citados são: No primeiro problema
aparecem quantos anos Fábio já viveu; No segundo problema aparecem quantos dias Fábio já
viveu; No primeiro problema a pergunta é quantos dias já viveu Fábio, no segundo é,
encontrar quantos anos Fábio já viveu; A forma de resolver os problemas é diferente porque,
no primeiro têm-se que achar quantos dias viveu Fábio, já no segundo problema pede, quantos
anos já viveu Fábio.
Com várias leituras, análises e questionamentos sucessivos dos dois problemas, as
semelhanças e diferenças se tornam cada vez mais claras, principalmente quando isto é feito
em grupo, pois proporciona aos alunos a oportunidade para discutir estratégias, conclusões e
procedimentos obtendo assim, conhecimento amplo e aprofundado.
Outra estratégia é chamada pelos referidos autores por Qual é a pergunta?. Nesta
estratégia, o educando recebe um problema juntamente com algumas perguntas que poderão
ser respondidas a partir do problema disposto. É de responsabilidade do aluno ter a
capacidade de interpretar quais são essas perguntas e como resolvê-las.
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Fazendo isso, os alunos perceberão a relação entre as perguntas e os dados podendo
utilizá-los de maneira útil para suas soluções, essa é uma das principais etapas de resolução de
problemas elaboradas por POLYA (1995).
O problema a seguir proporcionará a visualização deste tipo de problema
PROBLEMA 19: A classe de Thiago tem 34 alunos. Ele fará uma apresentação na
véspera do dia das crianças. Para isso foram formadas equipes de 5 crianças. Quais das
perguntas a seguir podem ser respondidas a partir do problema?
1 – Quantos alunos há na classe de Thiago?
2 – Qual a idade de Thiago?
3 – Por que eles formaram equipes?
4 – Em que série Thiago estuda?
5 – Quantos alunos possui cada equipe?
6 – Quantas equipes de 5 alunos foram formadas?
7 – Houve alguma equipe com menos alunos? Por quê?
8 – Qual equipe venceu?
9 – Qual equipe perdeu?
As respostas dessas perguntas ficam para os leitores.
Conforme já foi falado anteriormente, o erro numa concepção construtivista possui um
papel muito importante no processo de construção do conhecimento, mas infelizmente muitos
de nós educadores acreditamos que nossos alunos não são capazes de criar suas próprias
estratégias para solucionar os problemas que lhes são apresentados, com isso oferecemos
modelos para serem seguidos em exercícios posteriores.Desta forma, estaremos formando
alunos para serem meros repetidores de conhecimento, bem como estaremos fugindo do real
sentido da Resolução de Problemas.
DANTE (1999) propôs a estratégia Tentativa e erros organizados, com o objetivo de
desenvolver neles a técnica de dividir, criar suas próprias estratégias e conclusões, levantando
42
hipóteses, em que os educandos para conseguir encontrar uma solução adequada não terão um
modelo a seguir, serão necessários testes acompanhados pelo professor, que auxiliará os
alunos, exercendo o papel de orientador na organização do conhecimento. Então, através de
tentativas eles devem chegar à solução do problema e assim, alcançar o verdadeiro objetivo
que é desenvolver as habilidades, já comentadas anteriormente.
Seguindo as estratégias, têm-se então as Propostas de Formulação de Problemas.
Quando o educando cria de forma autônoma os textos de problemas, é necessário que ele
organize tudo que sabe para elaborar o texto, dando-lhe sentido e estrutura adequada para que
possa comunicar o que pretende.
Nesse processo, o aluno deixa, então, de ser um resolvedor para ser um propositor de
problemas, tendo controle sobre o texto e as idéias matemáticas.
Dar oportunidade aos alunos de formular problemas é uma forma de levá-los a
escrever e perceber o que é importante na elaboração e na resolução de certa situação.
As primeiras propostas de formulação de problemas devem ser planejadas com muito
cuidado, uma vez que, os alunos demonstram dificuldades para realizar tal tarefa por estarem
acostumados a apenas resolver problemas.
Vejamos algumas propostas de formulação de problemas sugeridas por DANTE,
SMOLE e DINIZ.
A partir de um problema dado, criam perguntas que possam ser respondidas através
dele. Nesta atividade o aluno deve reconhecer no problema os dados que estão à sua
disposição, a situação criada e evidenciar a existência de um problema através da pergunta
inventada. Deve ainda, discutir as diferentes perguntas que surgirem no grupo, bem como
resolver o problema a partir da pergunta formulada pelo colega, o que exige maior empenho e
favorece a melhoria da qualidade dos textos produzidos.
43
A partir de uma figura dada, criam-se perguntas. Esta proposta faz com que os alunos
tenham uma interpretação de uma imagem, retirando dela uma idéia que possa gerar diversas
perguntas.
A partir de um início dado, continuar os problemas. Esta atividade exige muito do
aluno, especialmente no que diz respeito ao sentido de dominar as características do texto de
um problema e os conhecimentos matemáticos que ele possui para aplicá-los numa situação
nova.
A partir de um problema dado criam um parecido. Esta proposta, objetiva observar se
os alunos já estão apropriando-se da estrutura de um problema e se já percebem o que é
essencial em sua formulação. Nessa atividade o aluno produzirá, pela primeira vez, um
problema em sua totalidade. Compete ao professor encorajar os alunos para que essa primeira
produção sirva como suporte para escritas posteriores, valorizando o que foi feito e, ao
mesmo tempo, fazer uma reflexão do que foi realizado. É fundamental utilizar diferentes tipos
de problemas modelo, para que os alunos desenvolvam inúmeras formas de pensar.
E por fim, a última estratégia é a Resolução de Problemas e Comunicação. Por meio
dos exemplos descritos na tentativa de esclarecer a concepção que se tem sobre resolução de
problemas, é perceptível que os recursos de comunicação oral, escrita e pictórica aparecem
naturalmente.
A Oralidade é utilizada como recurso na resolução de problemas e pode ampliar a
compreensão do problema. Falar e ouvir nas aulas de matemática permite uma maior troca de
experiências entre aluno-aluno, professor-aluno, amplia a linguagem matemática e faz com
que as idéias e procedimentos sejam compartilhados.
Por meio da oralidade os educandos que não gostam de se expor nos momentos de
discussão na classe têm um espaço garantido de discussão nos grupos e duplas. Essa é uma
forma de assegurar que falem e sejam ouvidos, opinem e recebam sugestões.
44
Tais observações podem parecer óbvias, mas, muitas vezes os educadores esquecem
de abrir esse espaço para que os alunos possam falar sobre um problema qualquer que já
esteja colocado para toda a classe, em seu formato correto e final.
Dentre as Representações Pictóricas, o desenho é um importante recurso de
interpretação de problemas e também de registro da estratégia de solução.
De acordo com Smole e Diniz o desenho pode ser utilizado de três maneiras na
resolução de problemas. Na primeira, o desenho é usado para representar a situação
apresentada no texto. Na segunda etapa, o resolvedor consegue representar a resolução
completa do problema usando apenas o desenho.
E por fim, na terceira etapa o resolvedor começa a misturar desenhos e sinais
matemáticos, em que dois fatos podem decorrer dessa representação: ou o aluno está
utilizando o desenho para interpretar o texto, e expressa a resolução através de uma escrita
matemática, como se fizesse uma relação entre as duas linguagens, ou faz a resolução
numérica, e utiliza o desenho para comprovar se sua resposta está correta.
Desenhar por desenhar não constitui numa forma de comunicação, é preciso organizar
atividades em que o desenho seja realmente um meio de transmissão de idéias.
Em síntese, o objetivo deste capítulo é apontar caminhos que o professor possa seguir
em sala de aula, ou seja, estratégias para o educador exercer seu trabalho de forma dinâmica,
coerente, significativa, concreta e eficaz. Mas para isso é fundamental que o educador saiba
conciliar a teoria (apresentada no segundo capítulo) e a prática (apontada no terceiro
capítulo), porque teoria sem prática nem sempre funciona.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Observando a resolução de problemas de modo novo, ela passa a ser vista como um
objetivo do ensino de matemática que proporciona um posicionamento diferenciado diante de
situações desafiadoras. Neste momento é possível refletir sobre a prática. Na realidade a
minha prática enquanto docente.
Aproximando os benefícios da resolução de problemas com a experiência vivenciada
por mim, relatada no primeiro capítulo deste trabalho, percebe-se que esta foi fundamental
para a escolha do tema e após um estudo detalhado compreende-se que a busca da solução do
problema, enquanto professora fez-me percorrer pelas etapas descritas por POLYA (1995) e
fez-me também compactuar com as diversas concepções de resoluções de problemas e os
aspectos que a envolvem, como por exemplo, o papel do professor, a importância do erro e os
tipos de problemas, bem como aprender a trabalhá-los.
Para ajudar os alunos a superarem o problema de compreender a matemática de forma
significativa para a vida deles, ao mesmo tempo em que buscava usar a resolução de
problemas como método de ensino, tentava solucionar uma situação perturbadora de que a
realidade da prática pedagógica me proporcionou.
A primeira etapa descrita por POLYA é a compreensão do problema, isto ocorreu com
o meu problema quando procurei entender o que havia acontecido, para que os alunos se
encontrassem em tal estado, de notável dificuldade em matemática. Então percebi, que a
resolução de problemas era vista e usada como mera atividade, o que acabou provocando o
desinteresse dos alunos e conseqüentemente a não aprendizagem. Observei que, ao utilizar a
resolução de problemas como simples atividade, os professores que me antecederam não
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deram oportunidade aos alunos de desenvolverem o seu potencial, a autonomia, a
autoconfiança e a criatividade, que são fatores relevantes na conduta do professor, destacados
no capítulo 2. Não era possível para os alunos a transferência de conteúdos da sala de aula
para inúmeras situações do nosso cotidiano, ou seja, eram conteúdos descontextualizados da
realidade.
Após compreender isto que havia acontecido, houve o estabelecimento de um plano de
resolução, que é outro passo de POLYA, foi quando procurei novas estratégias para trabalhar
com esses alunos. Comecei então a trabalhar a resolução de problemas como método de
ensino, os obstáculos encontrados foram muitos, pois os alunos não se interessavam,
reclamavam muito, dizendo que não conseguiam fazer o que se pedia, e ainda, que estavam
perdendo tempo, insistindo em algo que não daria resultado positivo, ou seja, os alunos
estavam totalmente desmotivados, o que exigia muito mais de dedicação da minha pessoa.
Executei um plano de resolução, que é outro passo de POLYA, através do trabalho
com problemas diversificados, focalizando a interpretação de textos matemáticos, pensei que,
se eles conseguissem desenvolver a habilidade de interpretação, facilitaria bastante a
resolução dos problemas propostos, também organizei um torneio de matemática entre as
séries, no intuito de promover o estudo das operações elementares da matemática. Os alunos
conseguiram obter algum sucesso, mas não foi satisfatório, pois a maioria não conseguiu
desenvolver suas habilidades em relação à resolução de problemas.
O retrospecto, segundo POLYA, ocorreu quando comecei a refletir sobre tudo o que
eu, enquanto professora juntamente com os alunos, havíamos feito e os resultados que
alcançamos. Percebi que os alunos progrediram, porém não o suficiente. Cheguei à conclusão
que, este era um trabalho que seria realizado em longo prazo e necessitaria de muita
dedicação por ambas às partes, professor e aluno, e de muita pesquisa.
Pesquisa esta que primeiramente situou a matemática no mundo moderno destacando a
resolução de problemas neste cenário amplo e a sua adequação em todas as disciplinas,
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conforme prevê os PCN’s, não apenas na matemática. Para isto, o professor assume relevante
papel, pois além de incentivador, facilitador é mediador e tem que compreender que a
resolução de problemas faz o aluno pensar, e tem que ser explorada de forma motivada e
dinâmica, através de muita prática, o que foi argumentado por DANTE no capítulo 2.
Mas para isto, o professor deverá conhecer bem os problemas, que foram de forma
resumida tratados neste trabalho, em que disponibilizamos dezenove tipos de problemas, de
diferentes abordagens, sendo convencionais e não-convencionais. Deverá também dominar
bem os passos a serem seguidos, respeitando a sua hierarquia, para desenvolver o pensamento
de seus alunos.
O erro que é também destaque deste trabalho deixa o leitor ciente de uma concepção
de ensino construtivista, que o reconhece como parte do processo ensino-aprendizagem, pois
o aluno erra na tentativa de acertar. E, também se explora, mesmo que de forma implícita
uma abordagem interacionista, preocupando-se com as relações de professor-aluno e alunoaluno durante a resolução de problemas.
Para os alunos, a resolução de cada problema é uma situação em que terão a
possibilidade de tentar encontrar um caminho próprio, desenvolver relações aritméticas de
forma contextualizada e refletir sobre as operações matemáticas. Por outro lado, é preciso
assegurar que eles tenham acesso à linguagem matemática por meio de aproximações
sucessivas ao longo da sua vida estudantil, garantindo uma aquisição equilibrada, gradual e
coerente.
Para tanto, é preciso encorajá-los a encarar ativamente situações novas. Nesse sentido
acredito que trabalhando com diferentes formas de explorações e reformulações, buscando
desenvolver o interesse pelo problema, explorando sua linguagem, incentivando e desafiando
os discentes, contribui-se significativamente para a formação de indivíduos autônomos e com
a capacidade de enfrentar os problemas propostos sem receio ao mesmo tempo em que estará
preparando-os para a vida.
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BIBLIOGRAFIA
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Pesquisa Aplicada à Educação. São Paulo. 2001.
CARVALHO, M.M.; CARVALHO, D. D. M.; Para Compreender o Erro no Processo Ensino
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D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre a educação matemática. 4
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SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares Nacionais.
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SMOLE, Kátia Stocco & DINIZ, Maria Ignez. Ler, escrever e resolver problemas:
habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001.