Engenharia Civil
Matemática
01)
a) Sabendo que sen(2x) = 2 . sen x . cos x, então:
sen (2x)
sen x . cos x =
2
Portanto, y = 3 + sen x . cos x ⇒ y = 3 +
sen(2x)
6 + sen(2x)
⇒ y=
2
2
Para 0 ≤ x ≤ π/2, o maior valor assumido por sen(2x) é 1.
Concluímos então que o maior valor de y será:
y=
6 + sen(2x)
6+1
7
⇒y=
⇒y=
2
2
2
b) De acordo com o texto, temos:
H=6
3
l
l
l=6
SB = 9 . 3
l2 . 3
=9. 3
4
l =6
O raio da circunferência inscrita no triângulo eqüilátero é:
1
r=
. h∆
3
1 l. 3
.
3
2
1 6. 3
r=
.
3
2
r = 3 ≅ 1,73
r=
O raio da esfera é:
R=
3
21 . 3
≅
π
3
21 . (1,73)
3,14
R ≅ 2,26
Sendo R > r, então a esfera não toca na água, portanto o nível da água sobe 0 cm, ou não se
altera.
02)
a) Com os pontos A(0,4) e B(3,0), podemos formar os quadrados ABCD e ABC’D’. Observe
o gráfico abaixo:
D
y
A
D’
O
C
l
4
3
B
C’
Considere :
r a reta que passa pelos pontos A e B;
s a reta que passa pelos pontos C e D;
t a reta que passa pelos pontos C’ e D’;
u a reta que passa pelos pontos C’ , B e C;
v a reta que passa pelos pontos D’ , A e D.
x
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AOB, encontramos o lado do quadrado:
l2 = (3)2 + (4)2 ⇒ l2 = 9 + 16 ⇒ l2 = 25 ⇒ l = 5
Assim a determinação da equação da reta r:
x y 1
0 4 1 = 0 ⇒ 4x + 3y – 12 = 0
3 0 1
Como r//s, então a equação de s é do tipo 4x + 3y + c = 0, com c ∈ R.
Calculando a distância entre o ponto B(3,0) e a reta s e igualando ao lado do quadrado,
obtemos dois valores para c, que determinarão as equações das retas s e t:
dBs =
a . x0 +b . y0 + c
a2 + b2
= lado ⇒
4 . (3)+3 . (0)+c
(4)2 +(3)2
=5⇒
12+c
= 5 ⇒ 1 2 + c = 25 ⇒ c = 1 3 o u c = – 3 7
5
As equações das retas s e t são: (s) 4x + 3y – 37 = 0 e (t) 4x + 3y + 13 = 0.
Como r ⊥ u e mr = –
4
3
(coeficiente angular de r ) então mu = .
3
4
A equação da reta u passa pelo ponto B(3,0) e tem coeficiente angular 3/4, portanto sua
equação é:
3
y – y 0 = m . (x – x 0 ) ⇒ y – 0 = . (x – 3) ⇒ (u) 3x – 4y – 9=0
4
4
3
Como r ⊥ v e mr = – (coeficiente angular de r), m v = .
3
4
A equação da reta v passa pelo ponto B(0,4) e tem coeficiente angular 3/4, portanto sua
equação é:
3
y – y 0 = m . (x – x 0 ) ⇒ y – 4 = . (x – 0) ⇒ (v) 3x – 4y + 16 = 0
4
Os pontos C , C’ , D e D’ podem ser determinados pela realização de sistemas lineares com
as equações obtidas:
3x – 4y – 9 = 0
 3x – 4y + 16=0
⇒ C(7,3) e v ∩ s = D ⇒ 
⇒ D(4,7)
u∩s=C⇒
 4x + 3y – 37 = 0
 4x + 3y – 37=0
Como, em relação à reta r, o ponto C’ é simétrico a C e D’ é simétrico a D, suas
coordenadas são C’(–1,–3) e D’(–4,1).
Observe as equações das retas suportes das diagonais dos quadrados.
Determinação da equação da reta suporte da diagonal AC:
x y 1
0 4 1 = 0 ⇒ x + 7y – 28=0
7 3 1
Determinação da equação da reta suporte da diagonal AC’:
x
y 1
0
4
1 = 0 ⇒ 7x – y+ 4=0
–1 –3 1
Determinação da equação da reta suporte da diagonal BD:
x y 1
3 0 1 = 0 ⇒ 7x – y – 21=0
4 7 1
Determinação da equação da reta suporte da diagonal BD’:
x y 1
3
0 1 = 0 ⇒ x + 7y – 3=0
–4 1 1
b) O raio das circunferências circunscritas aos quadrados é igual à m etade da diagonal:
d
5 2
R = ⇒ R=
2
2
O centro da circunferência circunscrita ao quadrado ABCD é o ponto médio do segmento
AC, ou seja, M(7/2, 7/2); e o centro da circunferência circunscrita ao quadrado ABC’D’ é o
ponto médio do segmento AC’, logo M’(-1/2, 1/2).
As equações reduzidas das duas circunferências são:
2
2
2
2
7 
7
25

(x – x 0 )2 +(y – y 0 )2 = R2 ⇒  x –  +  y –  =
2 
2
2

1 
1
25

(x – x 0 )2 +(y – y 0 )2 = R2 ⇒  x +  +  y –  =
2 
2
2

Física
03)
a) ΣM = 0
60 . (2 – x) – 90 . x = 0
2 . (2 – x) = 3x
4 – 2x = 3x
5x = 4
x = 0,8 m
b) Fr = 0
N = F1 + F2
N = 60 + 90
N = 150 N
04)
a)
Epe =
K . x2
2
600 . 0,22
2
Epe = 300 . 0,04
Epe = 12 J
Epe =
b) Ec = Epe
Ec = Epe
m . v2
=12
2
0,2 . v 2 =24
v 2 =120
v = 120 m/s
c) Ema = Emb
Epe = Epb + Ecb
m . v2
2
0,2 . 102
12=0,2 . 10 . h +
2
12=2h+10
12=m . g . h +
2h = 2
h=1m
d) Epb = m . g . h
Epb = 0,2 . 10 . 1
Epb = 2 J