AULA DE ALCV
Profª Drª Ana Paula Marins Chiaradia
• Uma seção cônica ou, simplesmente,
cônica é uma curva obtida cortando-se
qualquer cone de duas folhas por um
plano que não passa pelo vértice,
chamado de plano secante.
• Se o plano secante for paralelo a uma
geratriz do cone, a cônica é uma
parábola.
• Se o plano secante não for paralelo a
uma geratriz do cone e corta só uma
das duas folhas do cone, a cônica é
uma elipse.
Geratriz
degeneradas
• Se o plano secante não for paralelo a
uma geratriz do cone e corta ambas as
folhas do cone, a cônica é uma
hipérbole.
• Se o plano secante for paralelo a base
do
cone,
a
cônica
é
uma
circunferência.
Geratriz
degeneradas
• No caso de um plano que passa pelo
vértice do cone obtém-se as cônicas
degeneradas:
– ponto;
– uma reta; ou
– par de retas concorrentes.
Geratriz
degeneradas
• Parábola é o lugar
geométrico dos
pontos de um plano
eqüidistantes de um
ponto fixo e de uma
reta fixa,
pertencentes a este
mesmo plano.
• Parábola é o conjunto
de todos os pontos P
do plano π tais que:
d (P,F) = d (P,P’)
ou
PF = PP'
• Elementos da
parábola:
–
–
–
–
Foco (F)
Vértice (A)
Diretriz (d)
Parâmetro (p)
eixo
P’
A
V
foco
Vértice
d(V,F) = d(V,A) = p/2
diretriz
Equação reduzida da parábola de centro na origem
p
y
=
−
diretriz:
2
Vértice: V(0,0)
x2 = 2py
p>0 e y>0
côncava para cima
p<0 e y<0
côncava para baixo
Equação reduzida da parábola de centro na origem
p
x
=
−
diretriz:
2
Vértice:V(0,0)
y2 = 2px
p>0 e x>0
côncava para direita
p<0 e x<0
côncava para esquerda
Translação:
p
diretriz: y = k −
2
Vértice: V(h,k)
p
Foco: F (h, + k )
2
(x − h )
2
= 2 p( y − k )
Translação:
p
diretriz: x = h −
2
Vértice: V(h,k)
p
Foco: F (h + , k )
2
(y − k )
2
= 2 p(x − h )
• Uma seção transversal
de um refletor
parabólico é mostrada
na figura. A lâmpada é
colocada em um foco, e
a abertura no foco é de
10cm.
• a)
Encontre uma
equação da parábola.
y 2 = 10 x
b) Encontre o diâmetro
da abertura , 11 cm a
partir do vértice.
2 110
• Uma criança joga uma bola
a um ângulo de 45°, da beira
de um platô acima de uma
colina de coeficiente
angular, conforme a figura.
• a)
Se a bola toca o solo a
50 metros da colina abaixo,
ache a equação de sua
trajetória parabólica (Ignore
a altura da criança).
y=−
7 2
x +x
160
• b)
Qual a altura máxima
da bola em relação ao solo?
5,3 m
• O arco de uma ponte é
semi-elíptico, com eixo
maior horizontal. A
base do arco tem 10
metros e a parte mais
alta está a 3 metros
acima da rodovia,
conforme a figura.
Determine a altura do
arco a 2 metros do
centro da base.
– 2,75m
Geratriz
degeneradas
• A elipse é o lugar
geométrico dos pontos
de um plano cuja soma
das distâncias a dois
pontos fixos deste
plano é constante.
• A circunferência é um
caso particular da uma
elipse, onde os dois
pontos fixos são
coincidentes.
• A elipse é o
conjunto de todos
os pontos P do
plano π tais que:
d(P,F1) +d(P,F2)=2a
• Elementos da
elipse:
c<a eb<a
Vale a relação: a2= b2 + c2
–
–
–
–
–
–
–
Focos (F1 e F2)
Centro (C)
Vértices (A1 e A2)
Distância focal (2c)
Eixo maior (2a)
Eixo menor (2b)
Excentricidade
c
0 < e = <1
a
Equação reduzida da elipse de centro na origem
• Eixo maior está
sobre o eixo dos x:
2
2
x
y
+
=
1
2
2
a
b
Se na equação da elipse o número a2 é denominador de x2, a elipse
tem seu eixo maior sobre o eixo dos x.
Equação reduzida da elipse de centro na origem
• Eixo maior está
sobre o eixo dos y:
2
2
y
x
+
=
1
2
2
a
b
Se na equação da elipse o número a2 é denominador de y2, a elipse
tem seu eixo maior sobre o eixo dos y.
Equação da elipse de centro fora da origem do sistema
• Eixo maior é paralelo
ao eixo dos x
(x − h )
2
a
Translação
2
(
y − k)
+
2
b
C(h,k)
F1(h-c,k)
F2(h+c,k)
A1(h-a,k)
A2(h+a,k)
2
=1
Equação da elipse de centro fora da origem do sistema
• Eixo maior é paralelo
ao eixo dos y
(y − k )
a
Translação
2
2
(
x − h)
+
b
2
C(h,k)
F1(h,k-c)
F2(h,k+c)
A1(h,k-a)
A2(h,k+a)
2
=1
Primeira Lei de Kepler
(Lei das órbitas elípticas)
As órbitas
dos
planetas
são
elipses
com o Sol
como foco.
Um corpo ligado a outro gravitacionalmente
gira em torno dele numa órbita elíptica,
sendo que um deles ocupa o foco da elipse.
Em uma órbita lunar o ponto mais próximo da
superfície da Lua é chamado de perilúnio, e o ponto
mais distante da superfície da Lua é chamado de
apolúnio. A nave espacial Apollo 11 foi colocada em
uma órbita lunar elíptica com altitude de perilúnio de
110km e altitude de apolúnio de 314 km (acima da
Lua). Encontre uma equação dessa elipse se o raio
da Lua for 1728km e o centro da Lua estiver em um
dos focos.
y2
x2
+
=1
3763600 3753196
Geratriz
degeneradas
• A hipérbole é o
lugar geométrico
dos pontos de um
plano cuja diferença
das distâncias a
dois pontos fixos
deste plano é, em
valor absoluto,
constante.
• A hipérbole é o
conjunto de todos
os pontos P do
plano π tais que:
d(P,F1 ) − d(P,F2 ) = ±2 a
d(P,F1 ) − d(P,F2 ) = 2a
Quando o ponto P estiver no ramo da direita, a diferença é +2a e,
caso contrário, será –2a.
• Elementos da
hipérbole:
–
–
–
–
–
–
–
–
c>a
Vale a relação:
c2=
a2
+
b2
Focos (F1 e F2)
Centro (C)
Vértices (A1 e A2)
Distância focal (2c)
Eixo real (2a)
Eixo imaginário (2b)
Assíntota
Excentricidade
c
e = >1
a
Assíntota
Assíntota
θ é ângulo de abertura da hipérbole
Eixo imaginário
Eixo real
Quanto maior e, maior será θ. Se a=b, então θ =90°
Equação reduzida da hipérbole de centro na origem
• Eixo real está sobre
o eixo dos x:
2
2
x
y
−
=
1
2
2
a
b
Equação da assíntota:
b
y=± x
a
Equação reduzida da hipérbole de centro na origem
• Eixo real está sobre
o eixo dos y:
2
2
y
x
−
=
1
2
2
a
b
Equação da assíntota:
a
y=± x
b
Equação da hipérbole de centro fora da origem do sistema
• Eixo real é paralelo ao
eixo dos x
(x − h )
a
Translação
Equação da assíntota:
( y − k ) = ± b (x − h )
a
2
2
(
y − k)
−
b
C(h,k)
F1(h-c,k)
F2(h+c,k)
A1(h-a,k)
A2(h+a,k)
2
2
=1
Equação da hipérbole de centro fora da origem do sistema
• Eixo real é paralelo
ao eixo dos y
(y − k )
a
Translação
Equação da assíntota: ( y − k ) = ±
a
(x − h )
b
2
2
(
x − h)
−
b
2
C(h,k)
F1(h,k-c)
F2(h,k+c)
A1(h,k-a)
A2(h,k+a)
2
=1
•
No sistema de navegação
LORAN (Long Range
Navigation), duas estações de
rádio localizadas em A e B
transmitem simultaneamente
sinais para um barco ou um
avião localizado em P. O
computador de bordo converte
a diferença de tempo na
recepção desses sinais em
diferença de distância , e isso,
de acordo com a definição de
uma hipérbole, localiza o navio
ou avião em um ramo de
hipérbole (veja s figura).
Suponha que a estação B
esteja localizada 400 milhas a
leste da estação A na costa.
Um navio recebe o sinal de B
1200 microssegundos (µs)
antes de receber o sinal de A.
a) Assumindo que o sinal de
rádio viaja a uma velocidade
de 980 pés/µs, encontre
uma equação da hipérbole
na qual o navio esteja.
121y 2
121x 2
−
=1
1500625 3339375
b) Se o navio for esperado ao
norte de B, a que distância
da costa estará o navio?
≈ 248milhas
• Em 1911, o físico Ernest
Rutherford (1871-1937)
descobriu que quando
partículas alfa são
atiradas para o núcleo de
um átomo, elas são
eventualmente repelidas
do núcleo segundo uma
trajetória hiperbólica. A
figura ilustra a trajetória
de uma partícula que se
encaminha para a origem
ao longo da reta e chega
a 3 unidades do núcleo.
Determine a equação da
trajetória.