Processos Estocásticos
Quarta Lista de Exercı́cios
12 de fevereiro de 2014
1 Sejam X e Y duas VAs que só podem assumir os valores 1 ou -1 e seja
p(x, y) = P (X = x, Y = y),
x, y ∈ {−1, 1}
a função de probabilidade conjunta de X e Y . Suponha que E[X] = E[Y ] = 0.
a. Mostre que p(1, 1) = p(−1, −1).
b. Mostre que p(1, −1) = p(−1, 1).
c. Calcule V (X).
d. Calcule V (Y ).
2 Suponha que X é uma VA com média 10 e variância 15. O que podemos dizer sobre P (5 < X < 15)?
3 Sejam X1 , X2 , . . . , X10 VAs independentes de Poisson com média 1.
P10
a. Use a Desigualdade de Markov para obter um limite para P ( i=1 Xi ≥ 15).
P10
b. Use o Teorema do Limite Central para aproximar P ( i=1 Xi ≥ 15).
4 Três bolas brancas e três bolas pretas são distribuı́das em duas urnas, de tal forma que cada urna contém
três bolas. O sistema está no estado i (i = 0, 1, 2, 3) se a primeira urna contém i bolas brancas. A cada
passo, uma bola é retirada de cada urna e as duas bolas retiradas são trocadas de urnas. Seja Xn o estado do
sistema após n passos. Explique porque {Xn , n = 0, 1, 2, . . .} é uma Cadeia de Markov e calcule a matriz
de probabilidades de transição.
5 Suponha que a chance de chover hoje dependa das condições climáticas nos últimos 3 dias. Mostre como
esse sistema pode ser analisado usando-se uma Cadeia de Markov. Quantos estados são necessários?
6 No exercı́cio anterior, suponha que:
– se choveu nos últimos três dias, então vai chover hoje com probabilidade 0.8;
– se não choveu em nenhum dos últimos três dias, então a probabilidade de chuva para hoje é 0.2; e
– em todos os outros casos o clima de hoje é o mesmo que o clima de ontem com probabilidade 0.6.
Determine P para essa Cadeia de Markov.
7 Duas moedas são viciadas e as probabilidades de se obter cara em cada moeda valem 0.7 e 0.6, respectivamente. Se a moeda jogada hoje der cara, nós selecionamos a moeda 1 para jogar amanhã e se der coroa a
moeda 2 é selecionada para o dia seguinte. A seleção da moeda jogada inicialmente é igualmente provável
entre as duas moedas. Pede-se:
a. Qual é a probabilidade de que moeda jogada no terceiro dia depois do lance inicial seja a moeda 1?
b. Suponha que a moeda lançada na 2a. feira deu cara. Qual é a probabilidade da moeda jogada na 6a.
feira da mesma semana também dar cara?
1
8 Especifique as classes das seguintes Cadeias de Markov e determine se cada classe é transiente ou recorrente:




0
0 0 1
0 0.5 0.5
 0
0 0 1 

P1 =  0.5 0 0.5  ,
P2 = 
 0.5 0.5 0 0  ,
0.5 0.5 0
0
0 1 0




0.25 0.75 0
0 0
0.5
0
0.5
0
0
 0.5 0.5
 0.25 0.5 0.25 0
0
0 0 
0 





,
0
0
1
0 0 
0.5
0
0.5
0
0
P
=
P3 = 
4

.


1/3 2/3 0 
 0
 0
0
0
0
0.5 0.5 
1
0
0
0 0
0
0
0
0.5 0.5
9 Numa empresa, cada empregado possui um de três cargos possı́veis e muda de cargo (independentemente
dos demais empregados) de acordo com uma Cadeia de Markov com as probabilidades de transição:


0.7 0.2 0.1
P =  0.2 0.6 0.2  .
0.1 0.4 0.5
Qual percentual de empregados se encontram em cada cargo?
10 Seja A um conjunto de estados e tome Ā como o conjunto complementar.
a. Qual é a interpretação para
XX
πi Pij
?
πi Pij
?
i∈A j∈Ā
b. Qual é a interpretação para
XX
i∈Ā j∈A
c. Explique a identidade
XX
πi Pij =
i∈A j∈Ā
XX
πi Pij
.
i∈Ā j∈A
11 O tempo T necessário para se consertar uma máquina é uma VA exponencialmente distribuı́da com média
de meia hora.
a. Qual é a probabilidade de um conserto demorar mais de meia hora?
b. Qual é a probabilidade de um conserto demorar ao menos 12 horas e meia, dado que ele já levou 12
horas?
12 Ao chegar em um banco, você constata que há apenas um caixa funcionando e que há outros cinco clientes
no banco, com um sendo atendido pelo caixa e outros quatro esperando na fila. Você então entra no fim da
fila. Se os tempos de serviço são todos exponenciais com taxa µ, qual é o tempo esperado que você passará
no banco?
13 Num certo sistema, um cliente deve ser atendido pelos servidores 1 e 2, nessa ordem, deixando o sistema
após ser atendido pelo servidor 2. Os tempos de serviço no servidor i são exponenciais com taxas µi ,
i = 1, 2. Se o servidor 1 estiver ocupado quando um cliente chegar, ele espera na fila para esse servidor.
Depois de ser atendido pelo servidor 1, um cliente segue para o servidor 2 se este estiver livre ou então
permanece no servidor 1 (bloqueando qualquer outro cliente de começar o seu atendimento) até que o
servidor 2 fique liberado. Suponha que ao chegar você constata que há um único cliente no sistema, sendo
atendido pelo servidor 1. Qual é o tempo esperado que você passará no sistema?
2