Série de Fourier
As séries trigonométricas infinitas formadas por seno e/ou coseno são chamadas séries de Fourier.
Seja a série na forma
a0
n x
n x

 n 1[an cos(
)  bn sen (
)].
2
L
L
No conjunto de pontos onde ela converge, ela define uma
função f, cujos valores em cada ponto x é a soma da série para
aquele valor de x. Dizemos então que esta série é a série de
Fourier de f.
Periodicidade das funções seno e cosseno.
Uma função é dita periódica com período T > 0 se o domínio
de f contém (x+T) sempre que contiver x e se f(x+T) = f (x)
para todo x.
Nota-se claramente que, se T (período fundamental) é um
período de f, então 2T também o é como qualquer múltiplo
inteiro de T. Em particular, as funções
sen [(nx)/L] e cos [(nx)/L], n = 1, 2, ..., são periódicas
com período fundamental T = (2L / n).
Ortogonalidade das funções seno e cosseno
Duas funções u e v são ditas ortogonais em   x   se seu
produto interno é nulo, isto é, se

 u( x)v( x)dx  0
As funções sen [(nx)/T] e cos [(nx)/T], n = 1, 2, ...
formam um conjunto ortogonal de funções no intervalo
-L  x  L. Senão vejamos
m x
n x

L cos( L ).cos( L )dx  L0 se sem m n  n
L

m x
n x
L sen( L ).sen( L )dx  

L
0 se m  n
L se m n
m x
n x
L cos( L ).sen( L )dx  0, para todo m, n.
L
Supondo que uma série da forma
a0
n x
n x

f ( x)   n 1  an cos(
)  bn sen(
) .
2
L
L
converge. E considerando as propriedades de ortogonalidade
vistas, temos que os coeficientes an e bn são dados por
1 L
n x
an   f ( x) cos(
)dx, n  0,1, 2...
L L
L
1 L
n x
bn   f ( x) sen(
)dx , n 1, 2...
L L
L
Exemplo: Seja


f ( x)  


0,  3  x  1
1,  1  x  1
0,
1 x  3
e suponha que f (x+6) = f (x). Encontre os coeficientes da
série de Fourier de f.
Como f tem período 6, segue que L = 3. Então a série de
Fourier de f tem a forma
a0
n x
n x

f ( x)   n 1  an cos(
)  bn sen(
) ,
2
3
3
onde os coeficientes an e bn são dados por
1 3
1 1
2
a0   f ( x)dx   dx 
3 3
3 1
3
Similarmente,
1 1
n x
2
n
an   cos(
)dx  sen( ), n  1, 2,
3 1
3
3
3
1 1
n x
bn   sen(
)dx  0, n  1, 2,
3 1
3
Logo a série de Fourier de f é
1
n x 2
n

f ( x)   n 1 ( cos(
)( ) sen (
)),
3
3 n
3
1 2
x
x
f ( x)   [cos(
) sen(
)] 
3 
3
3
Funções pares e ímpares:
Analiticamente, f é uma função par se seu domínio contém o
ponto -x sempre que contiver o ponto x e se f (x) = f (-x)
para cada x do domínio de f.
Analogamente, f é uma função ímpar se seu domínio contém
–x sempre que contiver x e se f (-x) = - f (x) para cada x
no domínio de f.
Exemplos:
Funções pares : 1, x2, cos(nx), |x| e x2n.
Funções ímpares: x, x3, sen(nx) e x2n+1.
A maioria das funções não é par nem ímpar. Por exemplo ex.
A função identicamente nula é ímpar e par ao mesmo tempo.
Propriedades elementares:
a) A soma (diferença) e o produto (quociente) de duas funções
pares é par.
b) A soma (diferença) de duas funções ímpares é ímpar; o
produto (quociente) de duas funções ímpares é par.
c) A soma (diferença) de uma função par e uma função ímpar
não é par nem ímpar; o produto (quociente) é ímpar.
d) Se f é uma função par, então

L
L
e) Se f é uma função ímpar, então
L
f ( x)dx  2 f ( x)dx
0

L
L
f ( x)dx  0
Como consequência das propriedades d e e, os
coeficientes de Fourier de f são dados por (caso em
cosseno, par)
2 L
n x
an   f ( x) cos(
)dx, n  0,1, 2...
L 0
L
bn = 0, n = 1, 2, . . .
Logo
a0
n x

f ( x) 
 n 1 an cos(
).
2
L
e no caso em senos, ímpar, temos:
an = 0, n = 0, 1, 2, . . .
2 L
n x
bn   f ( x) sen(
)dx , n 1, 2...
L 0
L
E a série é dada por
n x
f ( x)  n 1 bn sen(
).
L

Equação do calor
A equação do calor tem a forma
2uxx = ut, 0 < x < L,
t>0
Onde 2 é uma constante conhecida como difusividade
térmica. O parâmetro 2 depende, apenas, do material do qual
é feita a peça e é definida por 2 = k / s, onde k é a
condutibilidade térmica,  é a densidade e s é o calor
específico do material utilizado. As unidades de 2
(comprimento)2 / tempo.
Alguns valores de difusividade térmica.
Material
2 (cm2 / s)
Prata
1,71
Cobre
1,14
Alumínio
0,86
Água
0,00144
O problema fundamental de condução de calor é encontrar
u(x, t) que satisfaz a equação diferencial
2uxx = ut, 0 < x < t,
t > 0, a condição inicial
u(x,0) = f(x), 0  x  L quando t = 0 e as condições de
contorno u(0,t) = 0, u(L,t) = 0, t > 0.
Com estas condições, temos que a função será dada por
u ( x, t )  m1 cm e

onde
cm 
L
2
L 0

(  m 2 2 2t / L2 )
sen ( mx / L )
f ( x) sen ( mx / L )dx
A serem determinados. (Demonstração veja o Boyce ou Djairo em
análise de Fourier e equações diferenciais parciais .
Exemplo: Encontre a temperatura u(x,t) em qualquer instante em uma
barra de metal com 50cm de comprimento, a uma temperatura uniforme,
inicialmente, de 20o C em toda a barra, e cujas extremidades são
mantidas a 0o C para todo t > 0.
Solução: Temos L = 50 cm., f(x) = 20 para 0 < x < 50,
u(0,t) = u(L, t) = 0, t > 0,
u(x,0) = f(x), 0  x  L .
Então
u ( x, t )  m 1 cm e

(  m 2 2 2t / 2500 )
sen ( mx / 50 )
cm 
50
4
5 0

(1  cos(m ))  m80
40
m

sen ( mx / 50)dx 
para m ímpar e 0
para m par.
Logo
u ( x, t ) 
80



2 2 2
1 (  m   t / 2500 )
m 1, 3, 5 m
e
sen ( mx / 50 )
A equação de onda
A equação da onda é dada por 2uxx = utt, 0 < x < L, t > 0.
O coeficiente constate 2 é dado por 2 = T /  onde T é a
tensão na corda e  é a massa por unidade de comprimento do
material da corda. Assim, a unidade de  é comprimento /
tempo.
Supondo-se que as extremidades permanecem fixas, logo as
condições de contorno são u(0,t) = 0, u(L,t) = 0, t  0.
Como a equação é de segunda ordem em t, é razoável ter 2
condições iniciais.
u(x, 0) = f(x), 0  x  L e a velocidade inicial
ut(x, 0) = g(x), 0  x  L, onde f e g são funções dadas.
Para a consistência da equação, faz necessário supor que
f(0) = f(L) = 0 e g(0) = g(L) = 0. Com estas condições, temos que a
solução é dada por:
u ( x, t )  m1 cm sen ( mx / L ). cos( mt / L )

onde cm dever ser escolhidos por
cm 
L
2
L 0

f ( x) sen ( mx / L )dx
Exemplo: Considere uma corda vibrante de comprimento L = 30cm que
satisfaz a equação de onda 4uxx = utt com 0 < x < 30 e t > 0,
e que a velocidade é dada por
x / 10, 0  x  10
u( x,0)  f ( x)  
(30  x) / 20, 10  x  30
encontre o deslocamento
u ( x, t )  m1 cm sen ( mx / 30 ). cos( m 2t / 30)

com cm = (9/(m2 2))sen(m /3).
Equação de Laplace
Em duas dimensões, a equação de Laplace, que tem inúmeras
aplicações, é uxx + uyy = 0, e tem três dimensões
uxx + uyy + uzz = 0.
Por exemplo, em um problema de calor a duas dimensões
espaciais, a temperatura
u(x, y, t) tem que satisfazer a
equação 2 (uxx+ yxx) = ut, onde 2 é a difusividade térmica. O
problema de encontrar uma solução da equação de Laplace
com valores dados na fronteira é conhecido como um
problema de Dirichilet.
Problema de Dirichlet em um retângulo
Consiste em encontrar a função u que satisfaça a equação
uxx + uyy = 0,
0 < x < a, 0 < y < b.
e as condições de contorno:
u(x,0) = 0,
u (x, b) = 0,
u(0,y) = 0,
u (a, y) = f(y),
0<x<a
0  y  b.
Donde a função f é dada em 0  y  b.
Para solucionar tal problema, temos
u ( x, t )  m 1 c m senh ( mx / b). sen( my / b)

com
cm senh ( ma / b ) 

b
2
L 0
f ( y) sen ( my / b )dy
Exemplo: Calcule cm no seguinte problema com a= 3 e b = 2.
 y, 0  y  1
f ( y)  
(2  y), 1  x  2
Solução: O valor de cm é dado por
8 sen(m / 2)
cm  2 2
m  senh(3m / 2)