CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 13 (01): 1402.1-15, 2015
PAR DE BOBINAS DE HELMHOLTZ QUADRADAS - PARTE I
SQUARE HELMHOLTZ COIL PAIR – PART I
Juan A. Leyva-Cruz, M. S. R. Miltão, E. Ferreira Silva, A. V. Andrade-Neto e Á. Santos Alves
Laboratório de Instrumentação em Física, LINFIS, Dpto de Física da UEFS
As bobinas de Helmholtz são sistemas magnéticos muitas vezes usados para a medição e geração de campos magnéticos
controlados, dentre outras aplicações. Os sistemas com geometria quadradas são mais convenientes que os circulares, por
exemplo para experimentos de cancelamento do campo magnético terrestre. Conhecendo estas importancias e o fato de
que estes sistemas são poucos discutidos nos livros textos das escolas de Física, apresentamos um estudo teóricocomputacional do conjunto de pares de bobinas de Helmholtz quadradas. Encontramos a expressão da indução do campo
magnético de um par de bobinas de Helmholtz na condição de máxima homogeneidade. Usando um código
computacional escrito em Matlab, cálculos de várias grandezas físicas do sistema constituído por um par de bobinas de
Helmholtz quadradas, tais como inductância, resitencia, corrente de excitação, e indução de campo magnético, são
apresentados. Foi realizada também uma análise de um circuito RLC de alimentação de um sistema magnético de
excitação para a obtenção de um campo magnético na ordem de 80,6 mT no centro das bobinas. Das análises dos
resultados podemos concluir que obtivemos uma uniformidade do campo magnético que é menor que 1%, até taxas de
distancias (z/L) que chegam a 0.7 com respeito ao valor do campo magnético no ponto central. E quando a distancia se
iguala ao raio das bobinas, isto é z/L=1, temos uma homogeneidade menor que 2.54%.
Palavras Chaves: Campo magnético, par de bobinas Helmholtz quadradas, homogeneidade, matlab.
The Helmholtz coils are magnetic systems frequently used for measuring and generating controlled magnetic fields,
among other applications. Systems with square geometry are more convenient than the circular, e.g. for experiments of
cancellation of the Earth's magnetic field. Knowing these importances and the fact that these systems are few discussed in
textbooks of the schools in Physics, we present a theoretical and computational study of the set of square Helmholtz coil
pairs. We found the expression of induction of the magnetic field of a pair of Helmholtz coils in the condition of
maximum homogeneity. Using a computer code written in Matlab, calculations of various physical quantities of the
system comprising a square Helmholtz coil pair, such as inductance, resistance, excitation current, and magnetic field
induction are presented. We also performed an analysis of a power RLC circuit of an excitation magnetic system for
obtaining a magnetic field on the order of 80.6 mT at the center of the coils. From the analyzes of the results we can
conclude that we obtained an uniformity of the magnetic field that is less than 1% by distances rate (z/L) arriving to 0.7
with respect to the value of the magnetic field at the central point. And when the distance is equal to the radius of the
coils, i.e. z/L = 1, we have a homogeneity less than 2.54%.
Key words: Magnetic field, square Helmholtz coil pair, homogeneity, matlab.
INTRODUÇÃO
As bobinas de Helmholtz foram criadas pelo físico alemão Hermann Von Helmholtz. Elas são
formadas por duas bobinas eletromagnéticas idênticas de raio R, separadas a uma distância igual a
seus raios, alinhandas de tal forma que seus centros coincidem no mesmo eixo, sendo eletricamente
conectadas em série [1]. Quando uma corrente elétrica (DC ou AC) passa através das bobinas na
mesma direção, elas geram um campo magnético altamente uniforme no espaço que as separam.
Existem diferentes tipos de bobinas de Helmholtz as mais comuns são os pares de bobinas de
Helmholtz circulares e de múltiplos eixos que permitiem o controle preciso do campo magnético em
três dimensões e seu desenho depende apenas de sua aplicação.
Dentre as aplicações mais conhecidas podemos mencionar seu amplo uso em vários tipos de
instrumentação científica para medição e geração de campos magnéticos controlados. Recentemente
1402.1
Leyva-Cruz et al
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 13 (01): 1402.1-15, 2015
foi publicado um trabalho que utiliza este tipo de sistemas para estabelecer um serviç
serviço de calibração
de medidores de densidade de fluxo magnético disponibilizado pelo Inmetro [2]. Também
encontramos configurações deste tipo para aplicações espaciais [3] e para manter e controlar o
plasma usando campos magnéticos [4].
O uso comum das bobinas
bobinas de Hemlholtz inclui a medida do momento magnético de ímã
ímãs
permanentes,, além de servir como sistema de magnetização ou desmagnetização de diferentes tipos
de materiais. Em algumas aplicações, este tipo de bobinas também são usadas para cancelar o
campo magnético
gnético terreste, produzindo uma região com uma intensidade do campo magnético muito
m
próxima de zero [5]. Na medicina estes sistemas magnéticos são usados como bobinas de gradientes
z para produzir variações lineares na mesma direção que o campo magnético estático ao longo do
eixo z [6].
Os sistemas magnéticos de bobinas de Helmholtz com geometria quadrada são mais
convenientes que os circulares para dimensões próximas, por exemplo, para experimentos de
cancelamento do campo
po magnético terrestre [7]. Conhecendo estas importâncias
ncias e do fato de que
estes sistemas são poucos discutidos nos livros de textos das escolas de Física no Brasil,
apresentamos um estudo teórico-computacional
teórico
do conjunto constituído por um par de bobinas de
Helmholtz quadrada.
DIMENSIONAMENTO DO SISTEMA PAR DE BOBINAS DE HEMHOLTZ QUADRADAS
QUADRADA
Alguns estudos mostram que sistemas magnéticos de bobinas de Helmholtz
mholtz quadradas geram
um campo magnético muito homogêneo [8], numa região que é aproximadamente 50 % do raio das
bobinas, ou metade do comprimento do lado.
lado Nossa proposta é calcular
alcular o vetor da indução
magnética de uma bobina quadrada ao longo do eixo z. As bobinas apresentam lados iguais a 2L,
com L=0,5 m. O campo magnético é originado por uma corrente I, que circula por todos os lados da
bobina quadrada
uadrada como mostra a Figura 1.
Figura 1:: Esquema geometrico de uma bobina quadrada de lados 2L.
1402.2
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Par de Bobinas de Helmholtz...
Pela simetria apresentada no sistema o vetor indução magnética apresenta somente
componente ao longo do eixo z e pode ser calculado a partir da aplicação da lei de Biot-Savart,
obtendo a seguinte expressão.
r
)
2µ Ι 
L2
Β z (z ) = 0 
k
π  z 2 + L2 z 2 + 2 L2 
(
(1)
)
onde µ 0 = 4π 10 −7 TA-1m é a susceptibilidade magnética no vácuo.
No centro z=0, teremos então o valor do módulo do campo magnético dado por,
Β z (z = 0) =
µΙ
2 2 µ0Ι
= 0.9003 0
2L
π 2L
(2)
A análise física para a construção de um sistema magnético a ser usado na exitação ou
magnetização de um volume grande de uma amostra, começa avaliando a indutância da bobina a ser
usada no par de Hemholtz. Foi usada a fórmula básica de calcular indutâncias de acordo com
Grover [9].
 8R
L = µ o N 2 Rcoil (log coil
 Rwire

 − 1.75)

(3)
com Rwire, Rcoil, e N sendo, os raios dos fios a ser usado nas bobinas, o raio das bobinas e o número
de espiras por bobina, respectivamente.
Realizou-se um estudo analítico da indutância e da resistênica, em relação às caraterísticas
geométricas das bobinas. Na Figura 2 ilustramos a dependência linear da indutância com respeito ao
raio da bobina e ao número de espiras. Podemos ver em ambos os casos, e tendo em conta a
geometria de nossa bobina que tem um raio igual a 0.54 m e número de espiras N =100, que o valor
da Indutância é próximo de Lind=40mH.
Figura 2: Análise qualitativo da indutância das bobinas quadradas que formam o Par de Hemholtz, em
relação a suas caraterísticas geometricas.
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Figura 3: Análise qualitativo da indutância e da resitência das bobinas quadradas que formam o Par de
Hemholtz, com respeito a suas caraterísticas geométricas.
Na Figura 3 apresentamos o comportamento da longitude do fio e da resistência ao variar o
seu raio; em nosso caso podemos deduzir que temos um sistema que alcança um cumprimento de
300 m, e a resistência com um valor de 1.4 mΩ, para uma bobina com nossa geometria que inclui
um fio de diâmetro de 5 mm. Como se pode ver, a resistência diminui à medida que aumentamos o
raio da bobina, isto é importante, pois o sentido comum nos diz que trabalhar com bobinas de raios
grandes obtemos alta homogeniedade, mas sem embargo este é um fator que contraresta o valor da
corrente que circula na bobina que é a fonte do campo magnético; para bobinas de raios grandes
tem-se dificuldade de gerar altas correntes.
Estamos interessados em montar um sistema magnético de alta homogeniedade, baseado num
par de bobinas de geometria quadrada, com lados iguais a 2L, e separadas a uma distância 2d.
Agora vamos calcular a que distância devemos colocar as bobinas para dar a máxima
homogeneidade. Bobinas quadradas de Hemlholtz são muitas vezes mais convenientes (no sentido
de lograr altas homogeneidades) em relação às circulares, ainda mais quando estamos interessados
no cancelamento do campo magnético terrestre sobre um volume grande.
Montamos um sistema de bobinas de Helmholtz como aparece na Figura 4. A expressão dada
na equação (1) nos dá a componente z do campo magnético gerado por uma bobina quadrada.
1402.4
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Figura 4: Geoemtria do sistema magnetico constituído por um Par de Bobinas Helmholtz com lados
2L=1m e distância entre elas igual a 2d.
Logo o campo magnético gerado pelo par de Helmholtz é:
Β z (z ) =
2 Nµ 0 ΙL2
π
(ψ 1 + ψ 2 )

com ψ 1 = 
1
(
 ( z + d )2 + L2
)


(z + d )2 + 2L2 

ψ2 = 
1
(
 ( z − d )2 + L2
(4)
)
(5)


(z − d )2 + 2L2 
(6)
Derivando essas expressões, temos:


2
2


dψ 1
− ( z + d ) 3( z + d ) + 5L
=
3
dz
 (z + d )2 + L2 2  ( z + d )2 + 2 L2  


 
(
)
(
)
(7)


2
2


dψ 2
− ( z − d ) 3( z − d ) + 5 L
=
3
dz
 ( z − d )2 + L2 2  ( z − d )2 + 2 L2  


 
(
)
(
Para z=0
)
(8)
d
(ψ 1 + ψ 2 ) = 0 i.e., o gradiente sobre z, é zero; logo temos que calcular
dz
d 2ψ 1 N umerador
=
D
dz 2
(9)
onde:
(
)(
)(
+ (12( z + d ) + 20 L ( z + d ) )(( z + d ) + 2 L )
+ (9( z + d ) + 15 L ( z + d ) )(( z + d ) + L )
D = (( z + d ) + L ) (( z + d ) + 2 L )
1402.5
2
2
2
N umerador = − 9( z + d ) + 5 L2 ( z + d ) + L2 ( z + d ) + 2 L2
4
4
2
2
2
2
2 3
2
2
2
2
5
2 2
2
2
)
(10)
Leyva-Cruz et al
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(11)
Para z = 0 temos
d 2ψ 1 d 2ψ 2
pelo que, para lograr uma ótima uniformidade do campo,
=
dz 2
dz 2
temos que requerer que o numerador da segunda derivada dada por (10) seja zero para z=0; fazendo
alguns passos algébricos simples obtemos a seguinte equação:
 11  2  5 
η −   = 0
6
6
η 6 + 3η 4 + 
(12)
d 
 L .
η = 
onde
A solução de (12) é
d
= 0,5445057 . Fica mais fácil sua visualização gráfica, como ilustra a
L
Figura 5, ou seja, d = 0,5445057 L . Logo as bobinas têm que ter uma separação de 2d = 1,0890 L
Figura 5: Análise da distância ótima que debem situarse as duas bobinas do Par de Hemholtz
quadradas, como nos disse ela é 2d = 1,0890 L .
Em nosso projeto temos duas bobinas de lados 2L=1m, isto implica que L= 0.5m; portanto, a
distância ótima real entre as bobinas para obter a máxima uniformidade é 2d=0.544 m.
O circuito que produz a corrente eletrica I na bobina é um circuito RLC em série, com
controle dos processos de carga e descarga usando interruptores semicondutores tipo Tiristores
(família de dispositivos semicondutores multicamadas operando em regime de chaveamento) –
SCR1 e SCR2, como ilustra a Figura 6 abaixo.
O funcionamento do circuito é dividido em duas etapas. A primeira a etapa de carregamento
do banco de capacitores-C, começa quando a chave SCR2 é aberta e a chave semicondutora SCR1
fechada. Estes tipos de interruptores semicondutores precisam de um pulso de corrente na porta
1402.6
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 13 (01): 1402.1-15, 2015
Par de Bobinas de Helmholtz...
(gate) para permitir a condução do ânodo para o cátodo. A segunda etapa é o processo de
descarregamento da tensão do banco de capacitores sobre as bobinas de Helmholtz, para isso se
abre a chave SCR1 e se fecha a chave CSR2.
Figura 6: Circuito RLC em série, gerador da corrente I que circula pelo par de bobinas de Helmholtz e
produz o campo magnético B de excitação.
Na segunda etapa o arranjo de capacitores, com capacitância de 80mF fica em paralelo com
as bobinas de Helmholtz. Estas últimas podem ser modeladas por um indutor com indutância igual a
40mH, em serie com um resistor de valor na ordem de 1.4 mΩ. Podemos obter a corrente desejada
que circula pelas bobinas, utilizando os valores citados anteriormente dos componentes eletrônicos
involucrados nele, e aplicando as leis de Kirchhoff. A análise computacional foi implementada
através de um programa escrito em MATLAB (ver anexo I) que decide o tipo de comportamento da
corrente na bobina, a qual vai depender dos valores dados pelos componentes. Então se calcula o
campo magnético dado pela equação (4). Em nosso caso, a corrente vai ser dominada pelos efeitos
harmânicos do circuito ressonante, e tem a seguinte expressão:
U 
I bobina =  o e (−αt ) sin (wt )
 wL 
 R 
; w =
 2L 
com α = 
(LC )−1 − α 2 ,
(13)
sendo o fator de amortecimento e a frequência angular,
respectivamente.
A dependência da corrente na bobina com respeito ao tempo aparece na Figura 7, onde
claramente vemos que o circuito produz uma oscilação subamortecida de período T=0.0566 s; e
frequência w=17.7 Hz. A corrente e campo magnético máximos são 495 A e 806 G, respectivamnte.
A Tabela 1 e a Figura 7 a seguir apresentam uma análise da homogeneidade do campo
magnético produzido pelo par de bobinas de Helmholtz, com bobinas de geometria quadradas,
separadas a uma distancia 2d=0.544 m. Apresentam-se só os resultados na parte possitiva do eixo
das abcisas z/L, no caso da Tabela 1.
1402.7
Leyva-Cruz et al
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Tabela 1: Dados do analeses da homogeneidade do campo magnético produz pelo sistema de
magentização.
z/L
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
B(T)
0.0806
0.0806
0.0805
0.0801
0.0792
0.0774
0.0746
0.0708
0.0662
0.0609
0.0553
∆=[Bmax-B](T)
∆*100(%T)
0.0000
0.0000
0.0001
0.0005
0.0014
0.0032
0.0060
0.0098
0.0144
0.0197
0.0253
0.0000
0.0006
0.0100
0.0485
0.1435
0.3214
0.5988
0.9773
1.4432
1.9708
2.5303
Homogeneidade
< 1%
1.44 %
1.97 %
2.54 %
A análise da homogeniedade magnética revela que temos uma uniformidade do campo
magnético que é menor que 1%, até taxas de distâncias (z/L) e que chegam a 0.7 com respeito ao
valor do campo magnético no ponto central (ver Figura 7). E quando a distância se iguala ao raio
das bobinas, isto é z/L=1, temos uma homogeniedade menor que 2.54%.
Figura 7: Corrente na bobina e campo magnético que produz o Par de Bobinas quadradas em
configuração de Helmholtz, com a homogeneidade com respeito ao campo máximo no centro do
sistema(806 G); esta é menor que 1% para um cubo de lados 0.7 m.
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z
= 0.7
Ou seja, para L
, e isolando temos z = (0.7 )L ; logo 2 z = 0.7 m.
Isto quer dizer que nas condições geométricas e com as características físicas do sistema
magnético citadas anteriormente, vamos ter uma uniformidade do campo magnético menor do que o
1% de erro, relativo ao valor da diferença dos valores do campo magnético nos pontos compostos
por uma região que comprende um cubo, com centro no próprio centro do par de bobinas de
Helmholtz, com lados iguais a 0.7 m com respeito ao campo máximo no centro do sistema.
CONCLUSSÕES
Foi realizado um estudo teórico–computacional de um sistema formado por um par de
bobinas de Helmholtz quadradas. Encontramos a expressão da indução do campo magnético de um
par de bobinas de Helmholtz na condição de máxima homogeneidade. Usando um código
computacional escrito em Matlab. Além disso, cálculos de várias grandezas físicas do sistema
constituído pelo par de bobinas de Helmholtz quadradas, tais como inductância, resitencia, corrente
de excitação, e indução de campo magnético, são apresentados. Foi realizado também uma análise
de um circuito RLC de alimentação do sistema magnético de excitação para a obtenção de um
campo magnético na ordem de 80,6 mT no centro das bobinas. Das análises dos resultados podemos
concluir que obtivemos uma uniformidade do campo magnético que é menor que 1%, até taxas de
distancias (z/L) que chegam a 0.7 com respeito ao valor do campo magnético no ponto central.
Quando a distância se iguala ao raio das bobinas, isto é z/L=1, temos uma homogeniedade menor
que 2.54%. O dimensionamento realizado serve para a contrução de sistemas magnéticos para
aplicações diversas que exigam a geração de campos magnéticos de alta homogeneidade. No futuro
estudos experimentais serão realziados para comprovação de nossos resultados.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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1998.
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de
fluxo
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Anais
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Encontro
Metrologia
http://limcserver.dee.ufcg.edu.br/metrologia_2011/imekotc4/83554.pdf.
1402.9
2011,
RN-Natal-2011.
Leyva-Cruz et al
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 13 (01): 1402.1-15, 2015
[3] Danilo Anderson de Oliveira. Calibração e controle de bobinas de Helmholtz para aplicação
espacial. Dissertação de Mestrado do Curso de Pós-Graduação em Engenharia e Tecnologia
Espaciais/Mecânica Espacial e Controle. INPE, 2014.
[4] David Owen Johnson. Characterization of a Helmholtz Coil for Maintaining a Flat Magnetic
Field in a Plasma Chamber. Department of Physics and Astronomy, Brigham Young University. A senior
thesis submitted to the faculty of Brigham Young University in partial fulfillment of the degree of Bachelor of
Science. 2012. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.259.7126&rep=rep1&type=pdf.
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AN-108
Application
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Macintyre
Electronic
Design
Associates,
Inc.
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http://www.meda.com/Application%20Notes/an108.pdf.
[6] SoftWays. Maxwell Coil. Magnetic Resonance - Technology Information Portal. http://www.mrtip.com/serv1.php?type=db1&dbs=Maxwell%20Coil.
[7] W. M. Frix, G. G. Karady, and B. A. Venetz. Comparison of Calibration Systems for
Magnetic Field Measurement Equipment. IEEE Trans. Power Delivery, Vol. 9, 100-109, 1994.
[8] Misakian, M. Equations for the Magnetic Field produced by One or More Rectangular
Loops of Wire in the Same Plane. J. Res. Natl. Inst. Stand. Technol., Vol. 105, 557, 2000.
[9] F W Grover. Inductance Calculations: Working Formulas and Tables. Dover Phoenix Edition
2004. ISBN: 0 486 49577 9.2009 reprint ISBN13: 9780486474403.
ANEXO: ROTINAS USADAS NA ANÁLISE DO SISTEMA MAGNÉTICO
%Calculo do sistema magnético de excitação
% Cálculo da indutância de uma bobina formula básica
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%cl
ear all;clc
N1=100;%# numero de espiras da bobina
miu=4*pi*10^-7; %permeabilidade no vacuo H/m
Rcoil=(0.3:0.1:1);% 0.5;%R=50 cm
Rwire=0.0025;% Rwire=Diametro/2; Onde Diametro=1m=100cm
LcoilPlot=((N1^2).*miu.*Rcoil.*(log((8*Rcoil)./(Rwire))-1.75));
subplot(2,1,1)
1402.10
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 13 (01): 1402.1-15, 2015
Par de Bobinas de Helmholtz...
plot(Rcoil,LcoilPlot,'o:r')
title(‘Indutância da Bobina versus raio da bobina’)
xlabel(‘Rcoil – m’)
ylabel(‘Lcoil – Henrys’)
grid on
N=20:10:100;%# numero de espiras da bobina
miu=4*pi*10^-7; %permeabilidade no vácuo H/m
Rcoilotimo=0.544;% 0.5;%R=50 cm
Rwire=0.0025;% Rwire=Diametro/2; Onde Diametro=1m=100cm
LcoilPlotN=((N.^2).*miu.*Rcoilotimo.*(log( (8.*Rcoilotimo)./ (Rwire) )-1.75));
subplot(2,1,2)
plot(N,LcoilPlotN,‘o:b’)
title(‘Indutância da Bobina versus Número de espiras’)
xlabel(‘Número de espiras’)
ylabel(‘Lcoil – Henrys’)
grid on
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Calculo do cumprimento do fio, Massa e da resistencia R da bobina,
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
RR=0.5; % Rcoil = 0.5 m
NN=100;% Número de espiras de uma bobina
LLcoil=6.28*NN*Rcoil;
figure
subplot(2,1,1)
plot(Rcoil,LLcoil,'o:r')
title(‘Cumprimento da bobina em função de seu raio’)
xlabel(‘Raio da bobina – m’)
ylabel('L - m')
grid on
% CALCULO DA MASSA
Area=(pi*RR*RR)./2;
roo=4000; % densidade chutada do cobre 5 g/cm3= 5 1000 Kg/m3
Massacoil=NN*300.*Area.*roo;% massa em Kg
%Calculo da resistência de uma bobina
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Leyva-Cruz et al
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 13 (01): 1402.1-15, 2015
Ro=1.7*10.^-8;% Ro es la Resistividade do cobre em ohms*m
R=(4*(NN*NN)*(Ro./Rcoil));% Resistencia de
subplot(2,1,2)
plot(Rcoil,R,'*:b')
title(‘Resistência da bobina em função de seu radio’)
xlabel(‘Raio da bobina – m’)
ylabel(‘R – ohms’)
grid on
%%%%
Calculo
da
intensidade
da
corrente
e
do
campo
magnetico%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
RR=0.5; % Raio da bobina
N=100;
n=0.544505;% n=d/L onde 2d es a distancia entre as duas bobinas e L es o radio da espira
osea el lado es de 2L.
z=-1:0.002:1;
e=((-1:0.002:1)./0.5);%(z/RR);% minha nova variavel
miu=4*pi*10^-7;%permeabilidade no vacuo H/m
L=0.04;% Linductancia=40 mH
C=80*10^-3;% C=40 mF / mili-Faradios = 2 capacitores de 40 mF e de V=350 V em paralelo
Resis=0.0014;% Resistencia=1.4 mOhms
alfa=(Resis/(2*L))^2% alfa=fa=R/2L factor de amortecimiento
F=((L*C)^-1)%factor de comparaçao
t=(0:900)*10^-3;%f=1./t;
Uo=350;Ro=1.7*10.^-8;% Ro es la Resistividade do cobre em ohms*m
ce=0.093;% calor especifico dom cobre ce=0.093 (cal/g )0C
if F > alfa;
ww=sqrt(F-alfa);ts=(1./ww).*atan(ww./alfa)
IcoilUD=(((Uo./(ww.*L)).*exp(-alfa.*t).*sin(ww.*t)));
P=(4.*N.*N.*((((Uo./(ww.*L)).*exp(-alfa.*t).*sin(ww.*t)))).*((((Uo./(ww.*L)).*exp(alfa.*t).*sin(ww.*t))))).*(Ro./RR);
1402.12
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Par de Bobinas de Helmholtz...
EQalorJoul=P.*t; DeltaQalorCal=(1/4.2).*EQalorJoul;% converçao da energia cedida em
Cal/ 1cal=4.2J
DeltaT=(DeltaQalorCal./(ce.*Massacoil));
figure
subplot(2,1,1)
plot(t,IcoilUD,'r')
title(‘Corrente na bobina do “Par de Hemholtz” comportamento subamortecido’)
xlabel(‘t - (s)’)
ylabel(‘Icoil (Under Damped) - (A)’)
grid on
II=max(IcoilUD)
%text(0.005,II,‘comportamento subamortecido ts=1.0890s’, ‘FontSize’,13)
% par de hemlholtz quadrada
BUD=N*((2*miu*II)./(pi.*RR)).*((1./(((e+n).^2 +1).*sqrt((e+n).^2 +2))) + (1./(((e-n).^2
+1).*sqrt((e-n).^2 +2))) );
subplot(2,1,2)
plot(e,BUD,‘-b’)
xlabel(‘z/L – m’)
ylabel(‘B – T’)
title(‘Par de Hemholtz: Campo magnetico ao longo de – z’)
grid on
bmax=max(BUD)
figure
subplot(2,1,1)
plot(IcoilUD,P,'b')
title(‘Variaçao da Potencia’)
xlabel(‘Corrente na bobina I - (A)’)
ylabel(‘P - (Joules)’)
grid on
subplot(2,1,2)
plot(IcoilUD,DeltaT,‘r’)
title(‘Variaçao da temperatura’)
xlabel(‘Corrente na bobina I - (A)’)
ylabel(‘Variaçao da temperatura T - ( ^oC)’)
1402.13
Leyva-Cruz et al
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 13 (01): 1402.1-15, 2015
grid on
else
w1=sqrt(alfa-F);
IcoilOD=((Uo./w1*L).*exp(-alfa.*t).*sinh(w1.*t));trise=(1./w1).*atan(w1./alfa)
figure
subplot(2,1,1)
plot(t,IcoilOD,‘*:r’)
title(‘Corrente na bobina do “Par de Hemholtz” comportamento subamortecido’)
xlabel(‘t - (s)’)
ylabel(‘Icoil (Over Damped)- (A)’)
grid on
III=max(IcoilOD);
% par de hemlholtz quadrada
BOD=N*((2*miu*III)./(pi.*RR)).* ((1./(((e+n).^2 +1).*sqrt((e+n).^2 +2)))
+
(1./(((e-
n).^2 +1).*sqrt((e-n).^2 +2))) );
subplot(2,1,2)
plot(e,B,‘-b’)
xlabel(‘z – m’)
ylabel(‘B – T’)
title(‘Par de Hemholtz: Campo magnetico ao longo de – z’)
grid on
bmax=max(BOD)
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Cálculo da distancia otima entre as duas bobinas quadradas no sistema magnético
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
nn=0:0.1:1;% nn=d/L
ffPlot=nn.^6+3*nn.^4+(11/6)*nn.^2-5/6;
figure
plot(nn,ffPlot./max(ffPlot),'*:b')
xlabel(‘d/L’)
ylabel(‘Numerador’)
1402.14
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 13 (01): 1402.1-15, 2015
Par de Bobinas de Helmholtz...
title(‘Par de Hemholtz: Numerador da segunda derivada vs d/L’)
text(0.05,0.5,‘A distancia entre as bobinas é 2d=1.0890’,‘FontSize’,13)
text(0.54,0,‘\leftarrow d/L = 0.5445057’,‘FontSize’,16)
grid on
1402.15