GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Métodos Geométricos Auxiliares II
Rebatimentos
© antónio de campos, 2009
REBATIMENTOS
O processo de rebatimento consiste numa rotação de um plano em torno de
um eixo, que é uma recta do plano. Essa característica (do eixo pertencer ao
plano) é a diferença entre uma simples rotação e um rebatimento.
Um rebatimento é só para planos e não para pontos, rectas ou figuras
planas.
Rebatimento de um plano vertical para o Plano Frontal de Projecção, sendo a
charneira do rebatimento o fα.
xz
fα ≡ e ≡ fαr
α
A2
O
Ar
A
k ≡ k1 ≡ k2
x≡ hαr
A1
hα
xy
Rebatimento de um plano vertical para o Plano Horizontal de Projecção,
sendo a charneira do rebatimento o hα.
xz
fα
α
A2
A
k ≡ k1 ≡ k2
A1 ≡ O
x
hα ≡ e ≡ hαr
xy
fαr
Ar
Rebatimento de Planos Oblíquos pelo
Rebatimento dos seus Traços
Um plano oblíquo α é definido pelos seus traços e contém o triângulo [ABC]. Os
traços do plano α são concorrentes num ponto K. Pretende-se a V.G. do
triângulo [ABC], via o rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de
Projecção.
fθ
Em primeiro lugar a
charneira é hα, para
se rebater o fα,
rebatendo o ponto A
(por exemplo), via o
traço frontal da
recta a, que contem
o ponto A.
O plano θ é o plano
vertical que contém
o arco do
rebatimento do
ponto F.
x ≡ e2
fα
F2
F’’1
b2
C2
F’’2
K1 ≡ K2 ≡ Kr
O2
F’1
C1
O1≡ Or
O ponto O é o
centro do arco do
rebatimento do
ponto F.
O ponto K é um
ponto da charneira,
utilizado para
rebater o ponto F.
B2
F’2
fαr
a2
A2
c2
F1
A1
B1
c1
Fr
hθ
hα≡ e1 ≡ hαr
b1
a1
A seguir serão
rebatidos os pontos
A, B e C do
triângulo, rebatendo
as rectas aonde os
pontos estão
localizados (a, b e c).
fθ
fα
B2
F’2
fαr
x ≡ e2
F’’1
F’’r
O resultado é a
verdadeira grandeza
do triângulo [ABC]
presente no
triângulo [ArBrCr].
O2
c2
F1
F’1
A1
C1
O1≡ Or
Cr
F’r
b2
C2
F’’2
K1 ≡ K2 ≡ Kr
a2
A2
F2
B1
c1
(hθ4)
hα≡ e1 ≡ hαr
Fr
(hθ2)
(hθ5)
hθ
Ar
cr
Br
br
(hθ1)
(hθ3)
ar
b1
a1
Um plano oblíquo α contém o triângulo [ABC], sendo A (2; 4), B (1; 2) e C (3;
0). O traço frontal do plano α faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. O
traço horizontal do plano α faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x.
Determina a V.G. do triângulo, rebatendo o plano α pelo rebatimento dos seus
traços.
Primeiro, há que desenhar o plano
e o triângulo, pertencente ao
plano, via os traços frontais.
A seguir, a
charneira é hα,
para se rebater o
fα, rebatendo o
ponto A (por
exemplo), via o
traço frontal da
recta h, que
contem o ponto A.
O plano θ é o plano
vertical que
contém o arco do
rebatimento do
ponto A.
O ponto O é o
centro do arco do
rebatimento do
ponto F.
O ponto M é um
ponto da
charneira,
utilizado para
rebater o ponto F.
fα
A2
F2
F’2
fαr
h2
h’2
B2
A seguir serão
rebatidos os
pontos B e C do
triângulo,
rebatendo as
rectas aonde os
pontos estão
localizados ( h e
h’).
M1 ≡ M2 ≡ Mr
x ≡ e2
F’1
F1
B1
C2
A1
F’r
C1 ≡ Cr
Br
hα≡ e1 ≡ hαr
h’1
h1
h’r
Fr
Ar
hr
O resultado é a verdadeira
grandeza do triângulo [ABC]
presente no triângulo
[ArBrCr].
Rebatimento de Planos Oblíquos Através do
Triângulo do Rebatimento
Um plano oblíquo α é definido pelos seus traços e contém o triângulo [ABC].
Pretende-se a V.G. do triângulo [ABC], via o rebatimento do plano α para o Plano
Horizontal de Projecção.
fα
Desta vez será obtida a V.G.
através do triângulo do
rebatimento.
A charneira é hα, para se
rebater o fα, rebatendo o
ponto B (por exemplo), via a
V.G. do triângulo de
rebatimento do ponto B.
F2
F’’1
O resultado é a
verdadeira grandeza
do triângulo [ABC]
presente no
triângulo [ArBrCr].
c2
F1
F’1
C1
O ponto O é o centro do arco
do rebatimento do ponto B.
b2
C2
F’’2
O plano θ é o plano vertical
que contém o arco do
rebatimento do ponto B.
B1Br1 é a cota de B
em V.G., em
rebatimento.
B2
F’2
x ≡ e2
a2
A2
O2
A1
Cr1
Cr
Ar1
B1
O1 ≡ Or
c1
Br1
hα≡ e1 ≡ hαr
Ar
(hθ1)
Br
(hθ)
b1
a1
Um plano oblíquo α contém o triângulo [ABC], sendo A (2; 4), B (1; 2) e C (3;
0). O traço frontal do plano α faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. O
traço horizontal do plano α faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x.
Determina a V.G. do triângulo, rebatendo o plano α através do triângulo do
rebatimento.
Primeiro, há que desenhar o plano
e o triângulo, pertencente ao
plano, via os traços frontais.
A seguir, a
charneira é hα,
para se rebater o
fα, rebatendo o
ponto A (por
exemplo), via a
V.G. do triângulo
de rebatimento do
ponto A.
fα
A2
F2
F’2
h2
h’2
B2
O resultado é a
verdadeira
grandeza do
triângulo [ABC]
presente no
triângulo
[ArBrCr].
O2
x ≡ e2
O plano θ é o plano
vertical que
contém o arco do
rebatimento do
ponto A.
O ponto O é o
centro do arco do
rebatimento do
ponto A.
F’1
F1
B1
C2
C1 ≡ Cr
Br
Ar1
O1≡ Or
hα≡ e1 ≡ hαr
(hθ1)
(hθ)
A1Ar1 é a cota em V.G.
de A, em rebatimento.
A1
Br1
Ar
h’1
h1
Rebatimento de Planos de Rampa pelo
Rebatimento dos seus Traços
Um plano de rampa ρ é definido pelos seus traços e contém o triângulo [ABC].
Pretende-se a V.G. do triângulo [ABC], via o rebatimento do plano ρ para o Plano
Horizontal de Projecção, pelo rebatimento dos seus traços.
Em primeiro lugar a
charneira é hρ, para
se rebater o fρ,
rebatendo o ponto A
(por exemplo), via o
traço frontal da
recta a, que contem
o ponto A.
O plano π é o plano
que contém o arco
do rebatimento do
ponto F.
O ponto O é o
centro do arco do
rebatimento do
ponto F.
s2
fρ
F’2
F2
B2
C2
H’2
Por se tratar de uma recta de
perfil, (hπ), é necessário um prérebatimento do ponto F.
A seguir serão rebatidos os pontos
A, B e C do triângulo.
A2
F’1
x ≡ e2
O1 ≡ Or
H1 ≡ Hr
Br
fρr
Ar
r1
F’r
(hπ4)
Fr1
A1
C1
H’1
Cr
s1
F1 ≡ O2
H2
B1
hρ≡ e1 ≡
hρr
r2
Fr
rr
sr
(hπ3)
(hπ2)
(hπ1)
(hπ)
O resultado é a
verdadeira grandeza
do triângulo [ABC]
presente no
triângulo [ArBrCr].
É dado um triângulo [ABC] contido num plano
de rampa ρ, sendo A (2; 3; 1) e B (-1; 1; 4). O
ponto C tem 4 cm de abcissa e afastamento
nulo. Determina a V.G. do triângulo,
recorrendo ao rebatimento do plano ρ,
através do rebatimento dos seus traços.
hρ
Hr
r
Ar
fπ ≡ hπ
Primeiro, há que desenhar o plano
e o triângulo, pertencente ao
plano, via as projecções de rectas
pertencentes ao plano e contendo
os pontos.
Em primeiro lugar a charneira é fρ,
para se rebater o hρ.
y≡ z
Br
rr
fρ ≡ e2 ≡ fρr
C2
≡ Cr
O
r2
F2 ≡ Fr
O plano π é o plano que contém o
arco do rebatimento do ponto H.
B2
O ponto O é o centro do arco do
rebatimento do ponto H.
Por se tratar de uma recta de perfil, π, é
necessário um pré-rebatimento do ponto H.
A seguir serão rebatidos os pontos A, B e
C do triângulo.
O resultado é a
verdadeira grandeza do
triângulo [ABC]
presente no triângulo
[ArBrCr].
x ≡ e1
Hr1
C1 H2
F1
B1
H1
hρ
A2
r1
A1
Rebatimento de Planos de Rampa Através do
Triângulo do Rebatimento
Um plano de rampa ρ é definido pelos seus traços e contém o triângulo [ABC].
Pretende-se a V.G. do triângulo [ABC], via o rebatimento do plano ρ para o Plano
Horizontal de Projecção, pelo triângulo do rebatimento.
Desta vez será obtida a V.G.
através do triângulo do
rebatimento.
s2
fρ
A charneira é hρ, para se
rebater o fρ, rebatendo o
ponto A (por exemplo), via a
V.G. do triângulo de
rebatimento do ponto A.
O plano π é o plano que
contém o arco do
rebatimento do ponto A.
O ponto O é o centro do arco
do rebatimento do ponto A.
F’2
F2
B2
C2
H’2
A2
F’1
x ≡ e2
H2
B1
Br1
Cr1
C1
H’1
Cr
hρ≡ e1 ≡
hρr
Br
(hπ2)
r1
(hπ1)
O2
F1
A1Ar1
H1
s1
A1Ar1 é a cota de A
em V.G., em
rebatimento.
O resultado é a
verdadeira grandeza
do triângulo [ABC]
presente no
triângulo [ArBrCr].
r2
O1≡ Or
Ar
(hπ)
É dado um triângulo [RST] contido num plano de rampa ρ, sendo R (1; 4; 1) e S
(-2; 2; 3). O ponto T tem –3 cm de abcissa e cota nula. Determina a V.G. do
triângulo, recorrendo ao rebatimento do plano ρ, através do triângulo do
rebatimento.
F2
fρ
y≡ z
Primeiro, há que desenhar o plano
e o triângulo, pertencente ao
plano, via as projecções de rectas
pertencentes ao plano e contendo
os pontos.
S2
fπ ≡ hπ
A charneira é hρ, para se rebater
o fρ, rebatendo o ponto R (por
exemplo), via a V.G. do triângulo
de rebatimento do ponto R.
O plano π é o plano que contém o
arco do rebatimento do ponto R.
R2
H2
T2
x ≡ e2
O ponto T é um ponto de hρ, sendo
T1 ≡Tr.
O resultado é a
verdadeira grandeza do
triângulo [RST]
presente no triângulo
[RrSrTr].
F1
S1
O ponto M é o centro do arco do
rebatimento do ponto R.
R1Rr1 é a cota de E em
V.G., em rebatimento.
r2
fπ1 ≡ hπ1
R1
H1
hρ ≡ e1 ≡
hρr
r1
M
Sr1
Rr1
T1 ≡ Tr
N
Rr
Sr
Rebatimento de Planos Passantes Através do
Triângulo do Rebatimento ou Através dos Seus Traços
Um plano passante ρ é definido pelos seus traços e contém o ponto A. Pretendese o rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção, pelo recurso
aos dois processos, triângulo de rebatimento e rebatimento dos seus traços.
Primeiro será rebatido o
ponto A, via do triângulo do
rebatimento.
A charneira é hρ, que é o
próprio eixo x.
s2
O plano π é o plano de perfil
que contém o arco do
rebatimento do ponto A.
r2
B2
O ponto O é o centro do arco
do rebatimento do ponto A.
A2
O 1 ≡ O 2≡ O r
x ≡ fρ ≡ hρ ≡ e1 ≡ e2 ≡ fρr ≡ hρr
Ar1
Por se tratar de uma recta de
perfil, (hπ), é necessário um prérebatimento do ponto A, rebatendo
o triângulo [OAA1] no triângulo
[OA1Ar1]. A1Ar1 é a cota de A em
V.G., em rebatimento.
A seguir será obtido um outro ponto
B do plano ρ, para depois ser
rebatido via o rebatimento dos seus
traços (como opção).
A1
Ar
B1
Br
O resultado é o
plano ρ rebatido nos
seus traços, fρr hρr,
e os pontos Ar e Br
(bastava um ponto).
rr
sr
(hπ1)
s1
(hπ)
r1
Um plano passante ρ é definido pelo eixo x e o ponto A (2; 3; 4). Um triângulo [ABC]
pertence ao plano, sabendo que o ponto B tem 1 cm de afastamento e –3 de abcissa e o
ponto C tem 5 cm de afastamento e –1 cm de abcissa. Determina a V.G. do triângulo,
recorrendo ao rebatimento do plano ρ.
C2
f ≡h
π
π
y≡ z
Primeiro, há que desenhar o plano
e o triângulo, pertencente ao
plano, via as projecções de rectas
pertencentes ao plano e contendo
os pontos.
r2
fπ1 ≡ hπ1
fπ2 ≡ hπ2
A2
Primeiro será rebatido o
ponto A, via do triângulo
do rebatimento.
B2
A charneira é hρ, que é o
próprio eixo x.
O plano π é o plano de
perfil que contém o arco
do rebatimento do ponto
A.
O 1 ≡ O 2≡ O r
x ≡ fρ ≡ hρ ≡ e1 ≡ e2 ≡ fρr ≡ hρr
O ponto O é o centro do
arco do rebatimento do
ponto A.
Por se tratar de uma recta de
perfil, (hπ), é necessário um
pré-rebatimento do ponto A,
rebatendo o triângulo [OAA1]
no triângulo [OA1Ar1]. A1Ar1 é
a cota de A em V.G., em
rebatimento.
A seguir serão rebatidos os pontos B e C
do triângulo, pelo mesmo processo do
triângulo do rebatimento.
Br1
B1
Br
Ar1
A1
Cr1
r1
C1
Ar
s1
Cr
O resultado é a
verdadeira grandeza do
triângulo [ABC]
presente no triângulo
[ArBrCr].