Um método para a determinação de variedades invariantes e
aplicações
Artur César Fassoni
Depto de Matemática, UFV
[email protected]
Lucy Tiemi Takahashi
Depto de Matemática, UFV
[email protected]
RESUMO
A determinação das variedades estáveis e instáveis dos equilíbrios de um sistema autônomo de
EDO´s é de suma importância para o estudo qualitativo do retrato de fase do mesmo. Uma tal
variedade constitui, em certas ocasiões, a fronteira da bacia de atração de um equilíbrio
assintoticamente estável [1] ou uma possível órbita heteroclínica ou homoclínica que o sistema
possua [2]. De posse da descrição destas bacias e órbitas, pode-se tirar várias conclusões sobre a
dinâmica do sistema e suas aplicações ao fenômeno que descreve [3].
Neste trabalho, propomos um método para a determinação das variedades estável e instável de
pontos de equilíbrio hiperbólicos. O método consiste da junção de dois já existentes. O primeiro
deles [4] trata da resolução, utilizando aproximações sucessivas, de uma equação integral cuja
solução é uma parametrização local da variedade estável. Tendo esta expressão local, utiliza-se o
método da trajetória reversa [5] para determinar globalmente a variedade estável daquele
equilíbrio.
Aplicamos o método a um modelo clássico de dinâmica populacional [6] que descreve duas
espécies competindo por uma mesma fonte limitada de recursos. Sob competição forte, o sistema
possui dois atratores, que correspondem cada um à extinção de uma das espécies, e também um
ponto de sela e um repulsor.
Obtivemos, utilizando o método, uma expressão local para a variedade estável do ponto de sela,
que sabíamos ser a separatriz das bacias de atração de cada um dos atratores. Mostramos que esta
expressão local vale globalmente, fornecendo assim uma expressão da separatriz das bacias em
função dos parâmetros do sistema. Mostrou-se ainda que esta variedade estável é também uma
órbita heteroclínica que liga o ponto repulsor ao ponto de sela. Finalmente, verificada a eficácia
do método, foi feito um estudo das implicações biológicas da relação entre os parâmetros e a
separatriz, examinando-se os limiares de condições iniciais que levam à extinção de uma ou de
outra espécie.
Referências
[1] H.-D. Chiang, M. W. Hirsch, and F. F. Wu. Stability region of nonlinear autonomous
dynamical systems. IEEE Trans. on Automatic Control, 33(1):16–27, January 1988.
[2] J. Guckenheimer and P. Holmes. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and
Bifurcations of Vector Fields. Springer, New York, 2002.
[3] R. M. May. Stability and Complexity in Model Ecosystems. Princeton University Press,
1973.
[4] L. Perko. Differential Equations and Dynamical Systems 3rd ed.Springer-Verlag, New York,
2001.
[5] R. Genesio, M. Tartaglia, and A. Vicino. On the estimation of asymptotic stability
regions: State of the art and new proposals. IEEE Trans. Automatic Control, 30:747-755,
August 1985.
[6] J. D. Murray. Mathematical Biology I: An Introduction. Springer, New York, 2002.