UFPE, 1-o semestre de 2006. Disciplina ET-589, “Introdução à Otimização”
Professor André Toom
Prova 2
Problema 1. Escrever uma definição de dependência linear de vários vetores,
i.e. completar a frase: “Vetores v1 , . . . , vn são chamados linearmente dependentes
se...” sem usar a palavra “não”. (10 pontos)
Problema 2. Escrever uma definição de independência linear de vários vetores,
i.e. completar a frase: “Vetores v1 , . . . , vn são chamados linearmente independentes
se...” sem usar a palavra “não”. (10 pontos)
Problema 3. Num espaço linear há vetores v1 , v2 , v3 , v4 . Sabemos que os
vetores v1 , v2 , v3 são linearmente independentes. Podemos concluir que os vetores
v1 , v2 , v3 , v4 também são linearmente independentes? (10 pontos)
Problema 4. Vetores (p, p − 2), (1, p + 4) ∈ IR2 dependem do parametro p ∈ IR .
a) Para quais valores de p estes vetores são linearmente dependentes? (10 pontos)
b) Para quais valores de p estes vetores são linearmente independentes? (10 pontos)
c) Para quais valores de p o vetor (−1, −2) pode ser apresentado como combinação
linear destes vetores? (10 pontos)
Problema 5. Para quais valores do parámentro a ∈ IR o sistema
(
ax + ay
x + ay
=a−1
=a−1
a) tem solução única? (10 pontos)
b) não tem nenhuma solução? (10 pontos)
c) tem mais que uma solução? (10 pontos)
Problema 6. Uma empresa produz carros e motos em duas linhas de montagem.
A primeira linha tem 100 horas semanais disponı́veis para a fabricação dos produtos,
e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer
10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o moto requer 3 horas
e a carro requer 7 horas. Devido a restrições do mercado, o volume de venda semanal
de motos não deve ultrapassar 8 unidades, enquanto o volume de venda de carros
não tem restrições. O lucro pela venda de cada carro é de R$ 20,00 e para cada moto
é de R$ 10,00. A empresa pretende determinar o plano de produção que maximiza
o lucro total. Denote x o número de carros e y o número de motos produzidos
na semana. Usando estas notações, escreva todas desigualdades e desenha no plano
Oxy a região definida por lós. O desenho deve ser grande, ocupando toda folha.
Denota de f o lucro e desenha curvas de nı́vel de valores f = 100 , f = 120 e
f = 140 com cor diferente. Qual é o lucro maximal possı́vel e para quais (x, y) ele
pode ser obtido? (30 pontos)
GABARITOS
Problema 1.
Escrever uma definição de dependência linear de vários vetores, i.e. completar a frase:
“Vetores v1 , . . . , vn são chamados linearmente dependentes se...” sem usar a palavra “não”.
Resposta: Vetores v1 , . . . , vn são chamados linearmente dependentes se
existem números k1 , . . . , kn , daqueles pelo menos um é diferente de zero,
tais que k1 v1 + · · · + kn vn = 0 .
Problema 2.
Escrever uma definição de independência linear de vários vetores, i.e. completar a
frase: “Vetores v1 , . . . , vn são chamados linearmente independentes se...” sem usar a palavra “não”.
Resposta: Vetores v1 , . . . , vn são chamados linearmente independentes se
para todos números k1 , . . . , kn , daqueles pelo menos um é diferente de
zero, a soma k1 v1 + · · · + kn vn é diferente de zero.
Problema 3.
Num espaço linear há vetores v1 , v2 , v3 , v4 . Sabemos que os vetores v1 , v2 , v3
são linearmente independentes. Podemos concluir que os vetores v1 , v2 , v3 , v4 também são linearmente
Não, não podemos. Para qualqueres v1 , v2 , v3 podemos tomar
v4 = v1 + v2 + v3 para fazer v1 , v2 , v3 , v4 dependentes.
independentes?
Problema 4.
Vetores (p, p − 2), (1, p + 4) ∈ IR2 dependem do parametro p ∈ IR .
a) Para quais valores de p estes vetores são linearmente dependentes?
Resposta: para p ∈ {−1, −2}
b) Para quais valores de p estes vetores são linearmente independentes?
Resposta: para todos valores de p salvo −1 e −2 .
c) Para quais valores de p o vetor (−1, −2) pode ser apresentado como combinação linear destes vetores?
Resposta: para todos valores de p salvo −1 .
Problema 5.
ax + ay
x + ay
Para quais valores do parámentro a ∈ IR o sistema
=a−1
=a−1
Problema 6.
a) tem solução única? Para todos valores
b) não tem nenhuma solução? Para a = 0 .
c) tem mais que uma solução? Par a = 1 .
de a salvo 0 e 1 .
Uma empresa produz carros e motos em duas linhas de montagem. A primeira linha
tem 100 horas semanais disponı́veis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de
42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que
na linha 2 o moto requer 3 horas e a carro requer 7 horas. Devido a restrições do mercado, o volume de
venda semanal de motos não deve ultrapassar 8 unidades, enquanto o volume de venda de carros não tem
restrições. O lucro pela venda de cada carro é de R$ 20,00 e para cada moto é de R$ 10,00. A empresa
pretende determinar o plano de produção que maximiza o lucro total. Denote x o número de carros e y
o número de motos produzidos na semana. Usando estas notações, escreva todas desigualdades e desenha
no plano Oxy a região definida por lós. O desenho deve ser grande, ocupando toda folha. Denota de f o
lucro e desenha curvas de nı́vel de valores f = 100 , f = 120 e f = 140 com cor diferente. Qual é o lucro
O lucro maximal é 130 reais por
semana, pode ser obtido se produzir 3 carros e 7 motos por semana.
maximal possı́vel e para quais (x, y) ele pode ser obtido?