ESCOLHA DA ALTURA DE LAJES COM NERVURAS PRÉ-MOLDADAS PARA
PAVIMENTOS DE EDIFICAÇÕES CONSIDERANDO AS VERIFICAÇÕES DO ESTADO
LIMITE ÚLTIMO E DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA
Roberto Chust Carvalho*, Jasson Rodrigues de Figueiredo Filho*, Sydney Furlan Junior*,
Vitor Vanderlei Mesquita**
*
**
- Doutores em Engenharia de Estruturas, Professores adjuntos do Departamento de Engenharia
Civil da Universidade Federal de São Carlos, BRASIL
-
Aluno de Engenharia Civil da Universidade Federal de São Carlos, Bolsista de Iniciação
Científica FAPESP- BRASIL
RESUMO
A necessidade de redução de custos nas edificações vem intensificando a utilização de
sistemas estruturais com pavimentos executados com lajes com nervuras pré-moldadas,
principalmente em edificações de pequeno porte, as características destas lajes permitem sua
utilização com segurança e economia. Entretanto vários aspectos ainda não estão devidamente
solucionados, e entre eles se enquadra a determinação da altura das lajes que atendem às condições
de deformação excessiva, levando em conta o efeito da fluência e fissuração do concreto.
O objetivo principal deste trabalho é determinar um procedimento de cálculo que leve em
conta não só a segurança no estado limite último, mas também a funcionabilidade da estrutura sob
cargas de serviço.
Apresentam-se tabelas que permitem obter a altura da laje com nervuras pré-moldadas sendo
conhecidos o sistema estrutural (simplesmente apoiadas), valor de vão e carregamento atuante. A
tabela fornece também a armação necessária para o atendimento do estado limite último, assim
como o de deformação excessiva.
Esta pesquisa faz parte de um estudo mais amplo que visa melhorar o projeto e execução de
pavimentos que usam lajes com nervuras pré-moldadas que, apesar do intenso uso, são pouco
abordadas na literatura técnica nacional, assim como tratadas de maneira bastante superficial pela
Norma Brasileira de concreto.
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1. INTRODUÇÃO
Este trabalho traz um estudo teórico desenvolvido sobre o assunto apresentando diversas
conclusões. Planeja-se verificar, posteriormente, através de estudos experimentais, os principais
aspectos do cálculo, principalmente as hipóteses empregadas. Estes estudos sobre o comportamento
do sistema servirão também para ajustar as fórmulas e as constantes empregados nos
procedimentos de cálculo.
Atualmente já se encontra em desenvolvimento um estudo experimental do espaçamento de
escoras em lajes com nervuras pré-moldadas que poderá trazer, além da determinação do menor
espaçamento entre as escoras, informações importantes sobre a melhor contra-flecha a ser
empregada. Está pronto, à espera de dotação de recursos, o plano de um projeto que visa estudar o
comportamento da deformação do sistema ao longo do tempo (fluência). Em fase de planejamento
estão os estudos experimentais da influência da fissuração na deformação e comportamento de
sistemas hiperestáticos de laje com nervuras pré-moldadas.
Todos os trabalhos desenvolvidos pelo grupo se baseiam em normas brasileiras e
procedimentos disponíveis na literatura atual, porém acredita-se que após o desenvolvimento destes
estudos experimentais os resultados finais terão um significado maior, pois estarão, dentro dos
limites financeiros existentes para experimentação, devidamente testados.
Apesar dos cálculos utilizados terem sido feitos pela redação da norma NB1-80 o roteiro e
procedimento utilizado podem ser adaptados facilmente para qualquer norma. Basta, em princípio,
modificar os coeficientes empregados (combinações de ações e de segurança) ou alterar os valores
limites indicados para as flechas. Mudando estes parâmetros, os valores de vão máximo para um
tipo de nervura, eventualmente, irão se alterar, principalmente nas situações que o estado de
deformação para combinação freqüente é determinante. Ainda nestas situações a tabela e os
resultados aqui apresentados permitirão aos calculistas terem uma ordem de grandeza da altura de
nervura ou mesmo adotá-la como valor inicial para um cálculo de verificação por processo
tentativo.
2. BREVE DESCRIÇÃO DO SISTEMA DE LAJES COM NERVURAS PRÉ-MOLDADAS
São lajes formadas por nervuras pré-moldados (trilho ou treliça), lajotas (normalmente
cerâmicas) e uma “capa de concreto” moldada no local. A armadura do elemento tipo trilho é
composta de barras retas colocadas na parte inferior do mesmo, e a do elemento tipo treliça é uma
treliça espacial de aço composta por três banzos paralelos e diagonais laterais de forma senoidal,
soldadas por processo eletrônico aos banzos (figura 1).
FIGURA 1. Seções transversais de lajes pré-moldadas tipo trilho, tipo treliça e armadura
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Além dos tipos de lajes pré-moldadas aqui citadas, pode-se acrescentar ainda aquelas em
que as nervuras são protendidas com aderência inicial (que não serão objeto de estudo deste artigo),
com melhor comportamento na fissuração, permitindo-se, em alguns casos, a eliminação de
escoramento. Há também aquelas em que, ao invés de se usar lajotas cerâmicas ou de concreto,
usam-se elementos de isopor que são mais leves que os últimos e possibilitam o uso de uma
distância maior entre as nervuras.
Os elementos pré-moldados, antes do endurecimento do concreto da capa, são os elementos
resistentes do sistema, e têm capacidade de suportar, além do seu peso próprio, a ação das lajotas, a
do concreto da capa e de uma pequena carga acidental (homem se locomovendo) para um vão de
até 1,7 m SILVA (1999). Desta maneira, o escoramento necessário para executar uma laje deste
tipo não requer um grande número de pontaletes ou escoras. Além disso, para se executar a
concretagem da capa não é necessário o uso de fôrmas, como é o caso das lajes maciças de
concreto, pois o elemento pré-moldado e a lajota fazem este papel. Portanto, as principais vantagens
deste tipo de laje são a eliminação dos gastos para confecção de fôrmas e a redução dos elementos
de escoramento.
3. MODELO DO COMPORTAMENTO DA LAJE PRÉ-MOLDADA
Os elementos estruturais das lajes pré-moldadas (trilhos ou treliças) são dispostos em uma
única direção (geralmente a do menor vão) e simplesmente apoiados nas extremidades. As vigas em
que as nervuras se apoiam receberão a maior parte da carga. Assim, estas lajes são consideradas
armadas em uma direção. Normalmente, admite-se que a ação das lajes pré-moldadas ocorre apenas
nas vigas em que os elementos se apoiam, não considerando qualquer ação das lajes nas vigas
paralelas aos elementos. O estudo da parcela recebida pelas vigas paralelas pela ação da laje e a
quanto se acrescenta na rigidez com a capa de concreto, assim como o comportamento da
continuidade das lajes, também é motivo de estudo do grupo da UFSCar.
Para o cálculo de flecha, assim como para o de momento fletor, será considerado um
comportamento de elementos isolados de viga conforme CARVALHO ET ALLI (1998). As
nervuras estarão solicitadas a flexão normal simples e a determinação da armadura de flexão será
feita no estado limite último, com combinações de ações majoradas de acordo com as hipóteses do
item 4.1.1. da NBR 6118 (Ações e Segurança nas Estruturas). A seção será admitida, por
simplificação, funcionando como um “T” equivalente, da forma mostrada na figura 2.
FIGURA 2. Esquema da seção transversal da laje e o respectivo modelo adotado
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ESCOLHA DA ALTURA DA LAJE: O USO DE TABELAS
O projeto de laje pré-moldada tem início na escolha da altura total da laje. Este valor será
usado para o cálculo das ações permanentes no pavimento (que provocam também o efeito da
fluência). Normalmente, as lajes pré-moldadas apresentam rigidez inferior às lajes maciças e é de se
esperar que as situações de deformação sejam, na maioria das vezes, determinantes na escolha da
altura.
Em geral, a parcela de deformação da fluência é da mesma ordem de grandeza da
deformação imediata, que por sua vez é bastante influenciada pela fissuração do concreto sob
cargas de serviço. Assim, a escolha da altura deve ser criteriosa para que, além da verificação do
estado limite último, as condições prescritas em norma para o estado de deformação excessiva
sejam atendidas. Apesar disto, talvez até pela dificuldade em se executar os cálculos ou por falta de
informações adequadas, não têm sido prática dos projetistas considerar os efeitos da fissuração e
fluência na verificação de flechas.
Fixado o vão, o espaçamento entre nervuras, o sistema estrutural (simplesmente apoiado ou
contínuo) e a sobrecarga (carga acidental e sobrecarga permanente) deve-se determinar qual a
menor altura necessária para o pavimento e sua respectiva armadura. Pode-se ainda, como
alternativa de projeto considerar uma altura maior e determinar a nova armadura que deverá ser
menor que a anterior. Existe uma série de tabelas similares às mostradas no item seguinte e que
fornecem tais indicações (obtidas apenas em função da condição do estado limite último ou
verificações simplistas de deformação) para sistemas isostáticos.
Para o caso de lajes pré-moldadas com continuidade nos apoios internos, há uma grande
dificuldade em se montar tabelas similares às obtidas para sistemas simplesmente apoiados. A
primeira dificuldade reside na pequena resistência a momentos negativos da nervura. É preciso
resolver a estrutura para se determinar os momentos nos apoios e, então, verificar se haverá ou não
plastificação do concreto nesta seção. Segundo MERLIN (1999) a capacidade da seção é
geralmente inferior ao momento que ocorreria considerando a estrutura hiperestática. Existiam
tabelas no mercado que indicavam situações de “semi-engaste” e “engaste” referindo-se aos
esquemas estruturais em que em um apoio extremo do vão, ou em ambos, há o impedimento total
de rotação. Tais situações são difíceis de acontecer e para considerar o que realmente ocorre seria
preciso desenvolver tabelas que considerassem diversas possibilidades entre a relação dos valores
dos vãos dos diversos tramos.
Em virtude destas dificuldades é mais prudente não confeccionar tabelas para sistemas
hiperestáticos mas, tomar os valores das tabelas de lajes simplesmente apoiadas como ponto de
partida para, em seguida, obter uma otimização da armadura usando o roteiro descrito no relatório
de MESQUITA (1999).
A idéia central deste trabalho é confeccionar tabelas semelhantes às existentes atualmente,
considerando também as verificações do estado limite de deformação excessiva com os efeitos da
fissuração e fluência do concreto.
As tabelas existentes permitem, a partir do vão e carga acidental, determinar a altura e uma
classe de resistência (são as diferentes áreas de aço utilizadas pelo fabricante) da laje requerida.
Apresenta-se em seguida um diagrama que explica um modelo destas tabelas. No caso usou-se
como modelo as tabelas da ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DA INDÚSTRIA DAS LAJES et alli
(1998) Sistema Treliçado Global (referida a partir deste ponto apenas como Sistema Treliçado
Global). As classes referidas anteriormente podem ser obtidas através da tabela 2 mostrada logo a
seguir e referem-se a arranjos usuais de armaduras. Uma tabela completa que permite determinar a
altura da laje em função do vão e do carregamento está apresentada na tabela 3.
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Tabela 1 – Explicação da determinação de altura de lajes
Cargas
Acidentais
Tipo de
Produto
β10
LAJE TRELIÇADA
CLASSE
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
FORRO
50
100
CARGAS
150
200
350
Carga em
kgf/m2
500
Altura Total da
Laje Acabada
Classe de
Resistência
Vãos Livres para
Lajes
Unidirecionais
Tabela 2 – Tabela: Classes de resistência e áreas de aço
Classe
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
Tabela de Correspondência Classe X Área de aço
Área (cm2)
Classe
Área (cm2)
Classe
0,367
16
1,267
29
0,404
17
1,394
30
0,444
18
1,533
31
0,488
19
1,686
32
0,537
20
1,855
33
0,591
21
2,040
34
0,650
22
2,244
35
0,715
23
2,469
36
0,787
24
2,716
37
0,865
25
2,987
38
0,952
26
3,266
39
1,047
27
3,615
40
1,152
28
3,976
-
Área (cm2)
4,374
4,811
5,029
5,247
5,465
5,683
5,900
6,118
6,336
6,554
6,772
7,080
-
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Tabela 3 – Determinação do vão máximo – Fornecida pelo Manual Técnico para laje de 10 cm
de altura (nervura + capa) e distância entre elementos de 50 cm
β10
LAJE TRELIÇADA
CLASSE
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
FORRO
3,60
3,80
4,00
4,15
4,35
4,55
4,75
50
3,45
3,60
3,80
3,95
4,15
4,35
4,55
4,75
7,95
100
3,10
3,25
3,40
3,55
3,70
3,90
4,10
4,25
4,45
4,65
4,85
5,10
5,30
5,45
CARGAS
150
2,85
2,95
3,10
3,25
3,40
3,55
3,75
3,90
4,10
4,25
4,45
4,65
4,85
5,05
5,30
5,50
5,70
200
2,65
2,75
2,90
3,00
3,15
3,30
3,45
3,60
3,80
3,95
4,15
4,30
4,50
4,70
4,90
5,10
5,30
5,55
5,70
350
2,20
2,30
2,40
2,55
2,65
2,80
2,95
3,05
3,20
3,30
3,45
3,65
3,80
3,95
4,10
4,30
4,45
4,65
4,70
500
1,95
2,05
2,10
2,20
2,35
2,45
2,55
2,65
2,80
2,90
3,05
3,20
3,35
3,45
3,60
3,75
3,95
4,10
4,20
Nas tabelas anteriores P é a carga atuante (q+g2), não sendo somado o peso próprio da laje,
que já foi computado no cálculo. A indicação de β10 quer dizer que a laje tem altura total de 10 cm.
Embora existam inúmeras tabelas como as mostradas anteriormente (Manual Técnico
Sistema Treliçado Global), pode-se notar que seus valores muitas vezes são conflitantes e, o que é
mais grave, induzem o projetista, fabricante ou cliente, imaginar que é possível obter sistemas prémoldados funcionando bem com vão de até 12,60 m sem que sejam tomados cuidados especiais,
inclusive com o emprego de contra-flechas adequadas, pois não indicam as flechas de ação
permanente ou de carga acidental.
Um procedimento para determinação da altura da laje que leve em conta a fissuração e
fluência do concreto poderá não resultar em uma tabela que possa ser empregada em uma situação
genérica pois, ao valor de flecha encontrada, deve ser somado o deslocamento proveniente da
deformação das vigas de apoio. Desta forma, seria preciso, principalmente para os casos mais
complexos, resolver o pavimento como um todo. Porém, ainda assim, o procedimento buscado
neste trabalho pode ser aplicado como orientação ao projetista ou como um valor de referência para
pré-dimensionamento sujeito a uma verificação final.
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5. CONSIDERAÇÕES E HIPÓTESES DE CÁLCULO PARA VERIFICAÇÃO DOS
ESTADOS LIMITES
Todo elemento estrutural deve atender às verificações dos estados limites últimos e de
serviço. No caso das lajes com nervuras pré-moldadas são determinantes no dimensionamento: o
estado limite último de capacidade resistente das seções sob flexão, e o estado limite de utilização
de deformação excessiva.
A verificação de colapso na flexão é feita de acordo com as hipóteses básicas da flexão
contidas nas diversas normas e de ampla divulgação no meio técnico. Considera-se, neste caso, que
a seção transversal tenha a forma de um tê, como mostrado no item 4 (fig.2).
Para a verificação do estado limite de deformação excessiva pode-se seguir o roteiro de
CARVALHO R. C. et alli (1997), baseado nos preceitos da NB1-80, ainda em vigor (deverá ser
substituída pela NB1-2000 proximamente), que prevê como flechas limites ! /300 para para
combinação freqüente de ações e l/500 para ação da carga acidental. As flechas devem ser
calculadas para as combinações de ação permanente, quase permanente, freqüente e rara cujas ações
podem ser dadas por:
Fd = Fgk + χFqk
com χ=0,0 para combinação permanente, 0,2 para quase permanente, 0,7 para freqüente (deverá
diminuir para 0,4 no texto da nova norma) e 1,0 para a rara. A ação Sg corresponde à ação
permanente e Sq à ação acidental.
O efeito da fissuração pode ser considerado usando-se no cálculo da flecha o valor da
inércia média Im dada por BRANSON (1966) (constante no novo texto da norma); as expressões
da flecha e inércia média são dadas por:
ap =
5 ⋅ p ⋅ !4
384 ⋅ E ⋅ I m
M
I m =  R
 M at
onde
3
 M

 ⋅ I I + 1 −  R
  M at




3

 ⋅ I II

ap – é a flecha relativa a uma intensidade de ação distribuída p;
p- é a taxa de carga definida para uma certa combinação (por exemplo freqüente);
! - vão da nervura;
E - módulo de deformabilidade do concreto,
MR – momento de fissuração da seção mais solicitada;
Mat- momento fletor relativo a intensidade p, na seção mais solicitada; II e III inércias no
estádio I e II, respectivamente, da seção mais solicitada.
O efeito da fluência pode ser obtido multiplicando-se a flecha devida às ações das cargas
permanentes (na verdade a ação quase permanente), pela razão entre as curvaturas no tempo infinito
e zero. Esta razão, segundo a NB1-80, é dada por:
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R=
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(1 + φ ). ε c + ε s
Rt =∞
=
.ε c + ε s
Rt =0
Onde Rt=∞ é a curvatura no tempo infinito
Rt=0 é a curvatura inicial (no tempo “zero”)
φ é o coeficiente de fluência;
εc é a deformação específica do concreto;
εs é a deformação específica do aço;
d é a altura útil da peça.
Assim, a flecha em um tempo qualquer é dada por:
a(t) = a(t0).+ a(t0).Rt,∞/Rt0
onde, a(t) é o deslocamento no tempo t;
a(t0) é o deslocamento inicial no instante t0.
Salienta-se que devido ao comportamento não linear a flecha devida a carga acidental não pode ser
calculada diretamente e sim pela expressão
aq = ag1+g2+q- ag1+g2.
Onde aq – flecha devida à carga acidental
ag1+g2+q - flecha devida à carga permanente estrutural, sobrecarga permanente e carga
acidental
ag1+g2.- flecha devida à carga permanente estrutural, sobrecarga permanente flecha devida
6. CONFECÇÃO DE TABELA DE ALTURA E
DEFORMAÇÃO, USANDO PLANILHA DE CÁLCULO
VÃO,
CONSIDERANDO
Para confeccionar uma tabela similar à tabela 3, mostrada anteriormente, e que leve em
conta a verificação da deformação excessiva, montou-se uma planilha de cálculo (usando o
programa EXCEL da Microsoft) que, mediante a entrada de certos dados calcula, apresenta e
verifica as deformações para as diversas combinações de ações, indicando inclusive se as duas
condições descritas no item anterior estão atendidas.
Um esquema da mesma é mostrado na tabela 4 em que se apresenta as células da planilha
com valores numéricos preenchidos e a indicação de quadros (ao lado) com números para as
passagens mais importantes.
Descreve-se resumidamente, através de quadros o que é calculado na planilha, lembrando
que algumas passagens intermediárias foram propositalmente deixadas para serem conferidas a
qualquer momento.
QUADRO 1 – é onde que se dá a entrada do valor do vão (l) e da distância (e) entre as
nervuras. Ao lado desta entrada mostra-se, já, o resultado final, da flecha atuante a final (sem contraflechas) e na célula de baixo o resultado da comparação com o valor da flecha limite estabelecida
por norma (l/300). Na coluna ao lado aparece a flecha, a cf g1, devida ao peso próprio (g1) já
considerada com a contra-flecha e, finalmente, na última coluna, a flecha devido a carga acidental
(q) comparado ao limite (l /500). Aparecendo a palavra “Não” quando a flecha não é atendida e OK
ao contrário.
.
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Tabela 4 – Esquema da planilha de cálculo para a verificação de deformação excessiva
Resultado Final
Dados
Quadro 1
e
l
a final
a cf g1
aq
Quadro 2
3,75
0,5
Não
OK
OK
Geometria
Concreto
Aço
M
bw
bf
d
hf
h
fck
Ec
fyk
As
α
2,7334 10
50
9
3
10
20
28795
60 7,2929 1,855
Ações
Sit.
g
q
g+0,2q g+0,7q
g+q
g1 g2
Quadro 3
Ação 1,61
1,5
1,91
2,66
3,11
1,11
0,5
Mom. 1,415 1,3184 1,6787 2,3378 2,7334
Estádio I
Ac1
Ac2 As.α Atotal
Ms1
Ms2
Ms3
X
Quadro 4
120
100 11,673 231,67
180
500 105,06 3,3886
I1
I2
AT1 AT2
If
Ih
Quadro 5
90 833,33 428,04 259,65 367,56 1978,6
Estádio II
a1
a2
a3
x
25 13,528 -121,8 1,9528
Fluência
φ
εc
σc
σc
3 4,1185 108,39 0,0001
4
Inércias
Sit.
g
q
g+0,2q
Ação 1,61
1,5
1,91
Mom. 1,415 1,3184 1,6787
R 0,4822 0,5176 0,4065
Inerc 928,57 959,93 875,39
Flechas
Básica
g
Q g+0,2q
0,006 1,61
1,5
1,91
0,006 0,0078 0,0093 0,014
Flecha
final
Ic
Ias
Iiio
124,12 671,85 795,97
εs
0,00052
(1/r)o (1/r) Relac
7E-05 0,0001 1,434
g+0,7q
2,66
2,33789
0,29186
825,371
g+q
3,11
2,7334
0,2496
814,37
g+0,7q
2,66
0,01441
g+q
3,11
0,0171
Result
OK
Quadro 6
Quadro 7
Quadro 8
0,028
Com Contra-flecha
Peso Próprio
g1
l/300 Max. a total
1,11 0,0125
0,0041 0,0125 0,0166 0,0118
Resultado
OK
Contra-flecha Carga Acidental
aq
l/500
0,0093 0,0075
g1
1,11
0,9756
0,6994
1200,6
Fissuração
ftk
MR
1,9
0,6823
Quadro 9
Quadro 10
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QUADRO 2 - Onde devem ser fornecidos todos os valores geométricos (os valores a ser
fornecidos estão escritos em azul) e das características dos materiais.
QUADRO 3 -Onde devem ser fornecidos os valores das intensidades dos carregamentos g (g
engloba g1 -peso próprio e g2- sobrecarga permanente de revestimento/piso) e q (carga acidental). A
planilha calcula automaticamente o valor do momento referente a cada combinação de ação e os
seus valores serão utilizados para o cálculo da inércia equivalente. O valor de g1 poderá ser
considerado fixo para cada tipo de laje e retirado das tabelas dos fabricantes
QUADROS 4 e 5 – Nestas células é determinada a inércia no Estádio I considerando a seção
homogeneizada e, usando-se o mesmo procedimento no quinto quadro, considerando porém que a
seção funcionar no estádio II0 ( 2 puro), calcula-se a inércia e posição da linha neutra. Determina-se
também o momento de fissuração (Mr). Na figura estão indicados as dimensões que são
consideradas no cálculo. Nas tabelas 5 e 6 o formulário usado para determinação das características
geométricas
Figura 3. a) Seção transversal, b) Seção transversal em forma de “Tê”
Tabela 5- Características geométricas de seções transversais em “tê”- Estádio I
Expressão
Área
Ag= (bf - bw) hf + bw.h
Centro de gravidade
 h 2f 
h2
(b f − b w ) ⋅   + b w ⋅
2
 2
yg =
Ag
Momento de inércia
à flexão
( b f − b w ) ⋅ h 3f b w ⋅ h 3
hf 
h


+
+ (b f − b w ) ⋅  yg −  + b w h ⋅  yg − 


12
12
2
2
2
Ig =
2
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Tabela 6- Características geométricas de seções transversais em “tê” com armadura
longitudinal As - Estádio I
Expressão
Área
Ah= (bf - bw) hf + bw.h + As (α-1)
Centro de gravidade
 h 2f 
h2
(b f − b w ) ⋅   + b w ⋅
+ A s (α − 1) ⋅ d
2
 2
yh =
Ah
Momento de inércia à
( b f − b w ) ⋅ h 3f b w ⋅ h 3
hf 
h


Ig =
+
+ (b f − b w ) ⋅  y h −  + b w h ⋅  y h − 


12
12
2
2
+ As (α-1) (yh-d)2
flexão
2
2
As fórmulas relacionadas nas tabelas anteriores valem também para as seções retangulares
bastando igualar os valores de bf e hf a zero.
- não ocorre escoamento do aço nem do concreto.
Figura 4 - Seção transversal em forma de “Tê” no estádio II puro
No cálculo do momento de inércia no estádio ΙΙ puro é necessário que se conheça a posição
da linha neutra. Para tanto, pode-se utilizar a expressão proposta por GHALI (1986), que em
casos de vigas com seção em forma de T é dada por:
a1 x2 + a2 x + a3 = 0
onde: a1 = bw/2
a2 = hf(bf - bw)α + (αe - 1).As’ + αe.As
hf
a3 = - d’(αe - 1).As’ -d.αe.As (bf - bw)
2
Assim, o valor de x resulta em:
x=
− a 2. ± a 2 2 − 4. a 1 . a 3
2. a 1
QUADRO 6 – É adotado um valor de coeficiente de fluência (ϕ) (neste caso já se considera
na verdade o valor de 1+ φ ,) Neste adota-se um valor representado pela coluna φ , e calcula-se a
relação entre curvatura no tempo infinito (coluna (1/r)) e tempo zero (coluna (1/r)0). As expressões
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da curvatura já foram apresentadas no item anterior os valores das deformações específicas podem
ser calculadas pelas expressões que se seguem:
Fc =
M
d−
onde
x
3
σc =
2 ⋅ Fc
bf ⋅ x
εc =
σc
Ec
εs =
Ft
Es. As
M é o momento atuante
x é a altura da linha neutra
Es – módulo de elasticidade do concreo
QUADRO 7 são apresentados, através de cálculo automático, os valores das inércias médias
(usando Branson (1996)), cuja expressão da inércia está explicitada no item anterior, para as
combinações de carregamento.
QUADRO 8 - É apresentado o valor da flecha atuante (total) em cm para a seção
considerada.
QUADRO 9 - É apresenta-se o valor referente à flecha devida ao peso próprio
considerando-se a utilização de contra-flechas.
QUADRO 10 - É calculada a flecha devida a carga acidental. Os dois últimos quadros
informam se as flechas calculadas atendem às recomendações normativas descritas anteriormente.
Assim, para montar uma tabela do tipo da tabela 3, usando a planilha descrita anteriormente,
pode-se proceder da forma descrita a seguir. Escolhe-se um tipo de laje (β12 por exemplo) e
entrando na planilha anterior com suas características geométricas, um valor para armadura, e um
certo carregamento, pode-se verificar para um certo valor de vão l, se o estado de deformação
excessiva é atendido. Inicia-se com o vão proposto pela tabela do Manual do Sistema Treliçado
Global, que atende ao estado limite último (colapso). A planilha fornecerá automaticamente os
resultados dos deslocamentos e verificará se com o valor do vão adotado, considerando a fluência
do concreto, o estado limite de deformação excessiva é atendido. Caso a deformação seja superior
aos limites de Norma, deve-se adotar um novo vão (inferior ao anterior) até que o resultado final
encontrado na coluna “RESULTADO “ apresente a sigla “OK” (caso contrário é apresentado a
legenda “NÃO ”).
Para a confecção das tabelas foram utilizados os dados das lajes do tipo β10, β12, β16
fornecidos pelo Manual do Sistema Treliçado Global. Em todas as situações considerou-se para o
coeficiente de fluência ϕ o valor 2,0 recomendado pela NB1- 80 e para o concreto considerou-se
também em todos os casos o valor de fck=20 MPa. O procedimento deve ser feito para cada uma das
intensidades de carga acidental constantes na tabela (que correspondem às situações mais
freqüentes) e para as diversas categorias de resistência. A verificação é sempre iniciada com o valor
do vão fornecido pela tabela do fabricante, reduzindo-o gradualmente em valores de 5 cm, até
encontrar o novo vão que será anotado para confecção da nova tabela.
Observa-se que a tabela inicial (β10) (tabela 3) é constituída por 104 valores de vão limites.
Assim, será necessário no mínimo 104 tentativas para montar uma nova tabela. Como quase sempre
não se obtêm resultado na primeira tentativa o número de operações é bem maior que o indicado e
para esta tabela foram usadas em torno de 416 tentativas de cálculo.
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Para cada tipo de laje (altura) pode ser montada uma planilha que ficará com os dados
armazenados. Em algumas situações o vão da tabela do Sistema Treliçado Global já atende às
deformações limites como mostra a situação do exemplo seguinte.
Para se usar a laje com nervura pré-moldada utilizando todo seu potencial torna-se
importante o emprego da contra-flecha, que consiste na introdução de deformações contrárias
(através do calçamento dos pontaletes) àquelas que a estrutura terá ao se deformar sob as cargas de
utilização
Tabela 4. Valores máximos (m) de vãos para lajes simplesmente apoiadas com
altura de 10 cm (capa de 3 cm); ruptura e deformação excessiva atendidas
β10
LAJE TRELIÇADA
Classe e
armadura
(cm2)
FORRO
50
100
150
200
350
500
6 - 0,488
3,15
2,95
2,85
2,80
2,65
2,20
1,95
7 - 0,537
3,20
3,00
2,90
2,90
2,75
2,30
2,05
8 - 0,591
3,20
3,05
3,00
2,95
2,85
2,40
2,10
9 - 0,650
3,25
3,10
3,05
3,00
2,85
2,55
2,20
10 - 0,715
3,30
3,20
3,15
3,05
2,90
2,65
2,35
11 - 0,787
3,35
3,25
3,25
3,10
2,95
2,70
2,45
12 - 0,865
3,40
3,35
3,35
3,15
3,05
2,75
2,55
13 - 0,952
3,40
3,40
3,20
3,10
2,80
2,60
14 - 1,047
3,50
3,45
3,30
3,15
2,85
2,65
15 - 1,152
3,50
3,35
3,25
2,95
2,75
16 - 1,394
3,60
3,45
3,30
3,00
2,80
17 - 1,533
3,65
3,50
3,40
3,10
2,85
18 - 1,686
3,75
3,60
3,45
3,15
2,95
19 - 1,855
3,85
3,65
3,55
3,25
3,00
20 - 2,040
3,75
3,65
3,30
3,10
21 - 2,244
3,85
3,70
3,40
3,15
22 - 2,469
3,95
3,80
3,50
3,25
3,90
3,55
3,35
4,00
3,65
3,40
CARGAS (kgf/m2)
23 - 2,716
24 - 2,987
Intereixo = 50 cm; peso próprio = 111 kgf/m ; fck = 20 MPa; coeficiente de fluência ϕ = 2.
2
A contra flecha a ser adotada deve ser tal que a laje apresente deformações que atendam os
limites prescritos. Assim a expressão da contra-flecha (ac) aplicada é:
-ac+ ag1+g2+0,7q +R • ag1+g2+0,2q ≤ alimite e -ac+ ag1+g2 ≤ alimite
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onde
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ac
- valor da contra-flecha
ag1+g2+0,7q – flecha para a combinação freqüente (no tempo “infinito)
ag1+g2+0,2q – flecha para a combinação quase permanente
ag1+g2
- flecha para a ação de cargas permanentes
alimite - flecha limite
A partir do procedimento descrito anteriormente pode-se construir tabelas do tipo das
tabelas 4 e 5 apresentadas logo em seguidas. Apresenta-se também a tabela 6 que mostra, a título
de exemplo como podem ser resumidas as contra-flechas para a laje de 10 cm de altura.
Tabela 5. Valores máximos (m) de vãos para lajes simplesmente apoiadas com
altura de 12 cm (capa de 4 cm); ruptura e deformação excessiva atendidas
β12
LAJE TRELIÇADA
Classe e
armadura
(cm2)
FORRO
50
100
150
200
350
500
6 - 0,367
3,75
3,55
3,25
3,00
2,80
2,40
2,10
7 - 0,404
3,80
3,60
3,40
3,15
2,95
2,50
2,20
8 - 0,444
3,85
3,65
3,50
3,30
3,10
2,60
2,30
9 - 0,488
3,90
3,70
3,55
3,40
3,20
2,70
2,40
10 - 0,537
3,95
3,75
3,60
3,45
3,30
2,80
2,50
11 - 0,591
4,05
3,80
3,65
3,50
3,40
2,85
2,55
12 - 0,650
4,10
3,90
3,70
3,55
3,45
2,95
2,65
13 - 0,715
4,15
3,95
3,75
3,65
3,50
3,00
2,70
14 - 0,787
4,25
4,05
3,85
3,70
3,55
3,10
2,80
15 - 0,865
4,35
4,10
3,90
3,75
3,65
3,20
2,85
4,20
4,00
3,85
3,70
3,30
2,95
17 - 1,047
4,10
3,95
3,80
3,45
3,05
18 - 1,152
4,20
4,05
3,90
3,55
3,15
19 - 1,686
4,30
4,10
4,00
3,65
3,25
20 - 1,855
4,40
4,20
4,05
3,75
3,35
21 - 2,040
4,30
4,15
3,80
3,45
22 - 2,244
4,45
4,30
4,00
3,55
23 - 2,469
4,55
4,40
4,00
3,65
24 - 2,716
4,65
4,50
4,10
3,80
25 - 2,987
4,75
4,60
4,20
3,90
26 - 3,266
4,85
4,70
4,30
4,00
27 - 3,615
5,00
4,80
4,45
4,15
16 - 0,952
CARGAS (kgf/m2)
Elementos espaçados de 50 cm; peso próprio = 141 kgf/m2; fck = 20 MPa; coeficiente de
fluência ϕ = 2.
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Tabela 6 – Contra-flecha (mm) utilizada para atendimento dos estados de deformação
excessiva e limite último – laje β 10
CLASSE
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
CONTRA-FLECHA UTILIZADA (mm)
CARGAS
FORRO
50
100
150
0
0
3
6
0
0
3
8
0
1
5
9
0
2
6
9
0
3
8
9
0
4
10
10
0
5
11
10
6
11
10
7
11
11
11
10
12
11
11
11
12
12
13
11
12
12
13
β10
200
8
9
9
8
9
9
10
10
10
11
11
11
11
12
12
12
12
13
13
350
8
8
9
9
9
9
9
9
9
10
9
10
10
11
10
11
11
11
12
500
7
8
8
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
10
10
10
11
11
7. EXEMPLO NUMÉRICO
Seja determinar a altura de laje pré-moldada, simplesmente apoiada com os seguintes
dados:
vão de 3,55 m,
carga acidental q = 150 kgf/m2;
sobrecarga permanente g2 = 50 kgf/m2;
concreto com fck=20 MPa;
coeficiente de fluência de ϕ=2,
Aço tipo CA60 .
SOLUÇÃO -Usando a tabela 4 com entrada de p= 150 (q) + 50 (g2) = 200 kfg/m2 concluíse que a laje β10, classe 19 (As=1,885 cm2) atende as condições. Consultando a tabela 5 verifica-se
que para a laje β12, classe 14 (área de aço de As=0,785 cm2) o vão que atende a todas condições é o
de 3,55 m.
Caso se deseje o menor consumo de concreto opta-se pela primeira solução (β10, classe 19).
Caso contrário adotaria-se a segunda (β12, classe 14). Para efeito de exemplo opta-se pela primeira
solução - β10, classe 19 - Verificando, em seguida, os resultados e apresentando-se os cálculos de
armadura e os valores das flechas para diversas situações. A seção transversal é apresentada na
Figura 3.
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Figura 3 – Seção transversal de cálculo do exemplo
-Cálculo da armadura
Com o valor de Md=3,41 kN.m; d=9 cm; fck=20 MPa; ϕ=2, aço CA-60 chega-se em uma
armadura de As=0,75 cm2, bem inferior a utilizada na solução que é de 1,885 cm2. É bom salientar
que se fosse considerada apenas a condição de estado limite último este valor de armadura
permitiria, com o carregamento em questão, o uso de um vão de 5,45 m. Segundo a tabela do
Manual do Sistema Treliçado Global (tabela 3) o vão neste caso seria de 4,7 m que, como será
visto adiante, é o vão obtido considerando a condição de flecha limite com a inércia no estádio I.
Notar que se fosse adotada a segunda solução, o valor da armadura necessária estaria bem mais
próximo do exigido pela verificação de deformação excessiva.
-Verificação das flechas
Inicialmente é preciso determinar as propriedades da seção no estádio I e II. Usando os
programas desenvolvidos por Molina (1999) obtêm-se:
II = 1885 cm4 (inércia no estádio I), MR = 0,68 kN.m (momento de fissuração), III=809 cm4(inércia
no estádio II puro), yII =2,1 cm (linha neutra no estádio II)
Com estes valores e usando a expressão de Branson pode-se obter as flechas imediatas para
as diversas combinações da tabela 6.
Tabela 6 – Flechas imediatas considerando o efeito da fissuração
Im (cm4)
a (cm)
ação
M (kN.m)
MR/M
.g1+g2
1,26
0,539
978
0,59
g1+g2+0,2q
1,496
0,454
909
0,75
g1+g2+0,7q
2,087
0,326
846
1,12
g1+g2+q
2,441
0,278
832
1,33
O valor do módulo de deformação do concreto vale Ec= 5940 f ck + 3,5 = 2,88x104 MPa . Com
o valor do momento para a combinação quase permanente (M=1,496 kN.m) e considerando a linha
neutra do estádio II (yII =2,1 cm) chega-se a : εc = 1,19x10-4 e εs = 4,55x10-4. Usando ϕ=2 obtêm-se
para a relação entre as curvaturas R=1,414
Valores das flechas
afinal = ag1+g2+0,7q +R • ag1+g2+0,2q = 1,12+1,41x0,75= 2,17 cm
aq = ag1+g2+q + ag1+g2 = 1,33-0,59= 0,74 cm
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Valores limites
Combinação freqüente alimite =355/300=1,18 cm (em princípio menor que a flecha final)
Carga acidental alimite =355/500=0,71 cm (valor praticamente igual ao da flecha atuante)
Valor máximo e mínimo da contra flecha
Máximo ac = (0,59+1,18)= 1,77 cm mínimo ac =2,17-1,18 = 0,99
Valor final da flecha após a contra-flecha
afinal = ag1+g2+0,7q +R • ag1+g2+0,2q - ac = 1,12+1,41x0,75 –0,99 = 1,18 cm ≈ alimite
Caso fosse considerada a seção trabalhando no estádio I e sem considerar o efeito da
fluência, o valor do vão máximo poderia ser obtido igualando-se a flecha atuante com o valor limite
chegando-se a:
a=
5 ⋅ 0,1325 ⋅ ! 4
!
=
6
−5
300
384 ⋅ 2,88 ⋅ 10 ⋅ 1,885 ⋅ 10
→ ! = 4,70 m exatamente o valor proposto pela tabela do Manual Sistema Treliçado Global.
7. CONCLUSÕES, COMENTÁRIOS E SUGESTÕES
A principal conclusão que pode ser obtida deste estudo é que a escolha da altura da laje, na
maioria dos casos, fica determinada pela verificação da deformação excessiva. Apenas para
pequenos vãos e grandes sobrecargas de uso é que condição do estado limite último de ruína passa a
ser determinante. Desta maneira, as tabelas encontradas no mercado são inadequadas para serem
usadas, pois não consideram o efeito da fissuração e fluência do concreto.
Os resultados obtidos no trabalho mostram como é importante usar a contra-flecha, pois sem
a sua consideração haveria uma limitação muito grande no valor do vão a ser vencido. Porém, neste
caso é bastante importante avaliar com precisão a flecha imediata para indicar a contra-flecha
adequada evitando-se provocar um arqueamento excessivo da laje.
O grupo de autores continuará a desenvolver a segunda parte deste estudo que consiste em
analisar, experimentalmente, o efeito da fissuração do concreto na flexão, o efeito da fluência, da
continuidade e espaçamento das escoras durante a concretagem. Procurará usar os resultados
obtidos no estudo experimental da determinação do espaçamento entre escoras durante a
concretagem SILVA [2000], que poderão trazer outras limitações ao uso de contraflechas. Após a
realização destas pesquisas experimentais poder-se-á contar com um procedimento de cálculo e
tabelas para a determinação da altura e armadura bem mais precisas que as atuais.
Embora os procedimentos aqui descritos estejam baseados no texto da NB1-80, não é difícil,
adaptá-los ao texto da nova norma que deverá entrar em vigor em um futuro próximo.O estudo de
JUSTE [1997] que já considerava os textos de diversas normas conclui que o texto da NB1-80,
entre as normas analisadas, era o mais conservador. Assim, acredita-se que refazendo-se as tabelas
aqui apresentadas, levando em conta os limites e combinações de ações previstos pela nova norma,
obter-se-á maiores vãos para a maioria das situações.
Apesar da crítica feita às tabelas usuais de determinação de vão máximo (ou altura mínima),
elas apresentam um modelo bastante interessante e mostra-se que basta considerar a verificação do
estado de deformação excessiva, levando em conta a fluência e fissuração do concreto, para tornálas completas. As duas restrições que podem ainda ser feitas são quanto ao coeficiente de fluência e
a resistência à compressão do concreto (que influencia diretamente o módulo de deformabilidade),
que devem ser fixados previamente para se obter as referidas tabelas. Ainda assim, esta sistemática
passa a ser bem mais apropriada que a seguida até então, pois além da nova tabela, devidamente
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corrigida e apresentada no formato convencional, indicam-se, em tabelas complementares, os
valores de contra-flecha que devem ser usados em cada situação.
As tabelas apresentadas neste trabalho servem para sistemas simplesmente apoiados. Não se
justifica porém tentar confeccionar tabelas similares para sistemas contínuos, devido à dificuldade
em se determinar com exatidão os momentos fletores nos apoios internos (devido à plastificação do
concreto) e a possibilidade de ocorrência de diferentes relações entre vãos. Recomenda-se, nestes
casos, usar os valores das tabela das lajes simplesmente apoiadas como ponto de partida para obterse através de verificações a otimização da quantidade da armadura da mesma.
Como já foi amplamente citado neste trabalho e nos de JUSTE [1997] e MORAES [1997] o
cálculo do estado de deformação de uma estrutura de concreto armado apresenta um grande grau de
dificuldade, devido ao grande número de variáveis que nele influem. Os resultados obtidos pelo
procedimento escolhido podem não representar exatamente a realidade, mas permitem que os
projetistas usando-os com critério nas análises, criem com uma probabilidade razoável de sucesso,
as condições propícias de funcionamento da estrutura fazendo com que as deformações excessivas
sejam evitadas. Estes cuidados fazem com que usuários destas estruturas fiquem livres dos
transtornos que podem ocorrer quando estas condições não são atendidas, tais como consertos,
reforços etc.
Na prática ocorrem várias situações que não puderam ser considerados no estudos, e que
podem influenciar significativamente nos valores dos deslocamentos, tais como: condições da cura
do concreto (especialmente a capa), variações no valor do módulo de deformabilidade do concreto,
condições de apoio que impedem o livre giro das nervuras, condições climáticas variáveis e
diferentes das adotadas (temperatura, umidade relativa etc), coeficiente de fluência diferente do
valor adotado e outros mais. Algumas destas condições podem influenciar aumentando ou
diminuindo as deformações, e assim recomenda-se, sempre que possível, adotar providências que
melhorem a cura do concreto, retardem a retirado do escoramento (permitindo um valor maior para
a resistência à compressão, do coeficiente de deformabilidade e diminuição do coeficiente de
fluência do concreto), e incluir armaduras que ajudem o funcionamento da continuidade.
Os autores agradecem o auxílio recebido da FAPESP para o desenvolvimento deste trabalho.
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