Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números primos
Gustavo Felisberto Valente
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Jornada na História da Matemática
Problemas, problemas, problemas...
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Apesar de os números primos serem estudados há milhares
de anos, existem mais problemas em aberto sobre eles hoje
do que antigamente.
Problemas, problemas, problemas...
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Apesar de os números primos serem estudados há milhares
de anos, existem mais problemas em aberto sobre eles hoje
do que antigamente.
Normalmente os problemas que envolvem números primos
e teoria de números em geral são de fácil enunciado e
difı́cil demonstração.
Problemas, problemas, problemas...
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Apesar de os números primos serem estudados há milhares
de anos, existem mais problemas em aberto sobre eles hoje
do que antigamente.
Normalmente os problemas que envolvem números primos
e teoria de números em geral são de fácil enunciado e
difı́cil demonstração.
Todos os números nesta palestra serão elementos do
conjunto dos números inteiros.
Números compostos e primos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Números compostos
A maioria dos inteiros positivos podem ser expressos como um
produtos de inteiros menores. Tais produtos são chamados
números compostos.
Ex: 4 = 2 × 2 , 6 = 2 × 3 , 8 = 2 × 4 , 9 = 3 × 3 , 10 = 2 × 5
Números compostos e primos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números compostos
A maioria dos inteiros positivos podem ser expressos como um
produtos de inteiros menores. Tais produtos são chamados
números compostos.
Ex: 4 = 2 × 2 , 6 = 2 × 3 , 8 = 2 × 4 , 9 = 3 × 3 , 10 = 2 × 5
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Números primos
Os restantes maiores que 1 são chamados números primos:
Ex: 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , · · ·
Problemas, problemas, problemas...
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Definição
Um número primo é um número natural maior que 1 cujos
únicos divisores são 1 e ele próprio.
Problemas, problemas, problemas...
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Definição
Um número primo é um número natural maior que 1 cujos
únicos divisores são 1 e ele próprio.
Se 1 fosse primo, invalidaria o
Infinitude dos
primos
Teorema fundamental da aritmética
Números
curiosos
Todo número composto tem uma única decomposição em
fatores primos, a menos da ordem dos fatores.
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Problemas, problemas, problemas...
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Definição
Um número primo é um número natural maior que 1 cujos
únicos divisores são 1 e ele próprio.
Se 1 fosse primo, invalidaria o
Infinitude dos
primos
Teorema fundamental da aritmética
Números
curiosos
Todo número composto tem uma única decomposição em
fatores primos, a menos da ordem dos fatores.
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Mas antes:
Primeiro teorema de Euclides
Se p é primo e p | ab, então p | a ou p | b.
Teorema fundamental da aritmética
Números
primos
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Valente
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Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
“Todo número composto tem uma única decomposição
em fatores primos, a menos da ordem dos fatores.”
Teorema fundamental da aritmética
Números
primos
Gustavo
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Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
“Todo número composto tem uma única decomposição
em fatores primos, a menos da ordem dos fatores.”
Demonstração: Suponha que
n = p1 p2 · · · pk = q1 q2 · · · qj
Teorema fundamental da aritmética
Números
primos
Gustavo
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Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
“Todo número composto tem uma única decomposição
em fatores primos, a menos da ordem dos fatores.”
Demonstração: Suponha que
n = p1 p2 · · · pk = q1 q2 · · · qj
então p1 | q1 · · · qj . Pelo primeiro teorema de Euclides,
p1 | q1 ou p1 | q2 , ou · · · p1 | qj .
Teorema fundamental da aritmética
Números
primos
Gustavo
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Valente
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Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
“Todo número composto tem uma única decomposição
em fatores primos, a menos da ordem dos fatores.”
Demonstração: Suponha que
n = p1 p2 · · · pk = q1 q2 · · · qj
então p1 | q1 · · · qj . Pelo primeiro teorema de Euclides,
p1 | q1 ou p1 | q2 , ou · · · p1 | qj .
Suponha, s.p.g., que p1 | q1 . Como q1 é primo, só é
possı́vel:
1 | q1 q1 | q1
Teorema fundamental da aritmética
Números
primos
Gustavo
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Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Então p1 = q1
Teorema fundamental da aritmética
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primos
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Infinitude dos
primos
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curiosos
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interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Então p1 = q1
Analogamente, cada termo q1 , q2 , · · · , qj é igual a um dos
termos p1 , p2 , · · · , pk .
Teorema fundamental da aritmética
Números
primos
Gustavo
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Teorema
fundamental
da aritmética
Então p1 = q1
Infinitude dos
primos
Analogamente, cada termo q1 , q2 , · · · , qj é igual a um dos
termos p1 , p2 , · · · , pk .
Números
curiosos
Ou seja, p1 p2 · · · pk = q1 q2 · · · qj . Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Descobrindo primos
Números
primos
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primos
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curiosos
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interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Existem várias maneiras de encontrar números primos.
Um dos métodos mais antigos para encontrá-los foi dado
por Eratóstenes (276-194 A.C.), antigo bibliotecário da
grandiosa biblioteca de Alexandria.
Eratóstenes
Números
primos
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Teorema
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Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Eratóstenes também ficou conhecido por medir o raio da
Terra usando um mastro e sua sombra em pontos
diferentes da Terra.
Eratóstenes
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primos
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Teorema
fundamental
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primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Eratóstenes também ficou conhecido por medir o raio da
Terra usando um mastro e sua sombra em pontos
diferentes da Terra.
O método de Eratóstenes para achar primos chama-se
Crivo de Eratóstenes.
Eratóstenes
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
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fundamental
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Infinitude dos
primos
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curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Eratóstenes também ficou conhecido por medir o raio da
Terra usando um mastro e sua sombra em pontos
diferentes da Terra.
O método de Eratóstenes para achar primos chama-se
Crivo de Eratóstenes.
O Crivo de Eratóstenes consiste em organizar os números
em ordem crescente uma tabela e remover os múltiplos de
cada primo que encontrar. Os primos são dados pelos
números que não forem removidos.
O Crivo de Eratóstenes
Números
primos
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aberto
O Crivo de Eratóstenes
Números
primos
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primos
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curiosos
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interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Através do Crivo de Eratóstenes, foi publicado um trabalho
por Derrick Norman Lehmer em 1914. Tal trabalho
consiste em uma tabela com os números primos até dez
milhões chamado “Factor Table for the First Ten Million”.
Lehmer considerou o número 1 como sendo primo.
O Crivo de Eratóstenes
Números
primos
Gustavo
Felisberto
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primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Através do Crivo de Eratóstenes, foi publicado um trabalho
por Derrick Norman Lehmer em 1914. Tal trabalho
consiste em uma tabela com os números primos até dez
milhões chamado “Factor Table for the First Ten Million”.
Lehmer considerou o número 1 como sendo primo.
Um matemático austrı́aco chamado J. P. Kulik
(1773-1863) dedicou 20 anos de sua vida preparando uma
tabela a mão com 100 milhões de números. Todavia tal
trabalho nunca foi publicado, e o volume da obra que
continha os números de 12.642.600 até 22.852.800 não foi
encontrado.
n é primo?
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Uma conseqüência dos trabalhos sobre o crivo de
Eratóstenes leva ao resultado sobre identificar a
primaridade de um número qualquer com mais facilidade.
n é primo?
Números
primos
Gustavo
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Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Uma conseqüência dos trabalhos sobre o crivo de
Eratóstenes leva ao resultado sobre identificar a
primaridade de um número qualquer com mais facilidade.
Note que todos os múltiplos de primos no crivo estão
eliminados na verificação do próximo primo. Significa que
um número n não terá mais chances de ser composto se
√
não houver divisores dele menores que n
n é primo?
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
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Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Uma conseqüência dos trabalhos sobre o crivo de
Eratóstenes leva ao resultado sobre identificar a
primaridade de um número qualquer com mais facilidade.
Note que todos os múltiplos de primos no crivo estão
eliminados na verificação do próximo primo. Significa que
um número n não terá mais chances de ser composto se
√
não houver divisores dele menores que n
Exemplo:
√
b 41c = 6.
2 - 41, 3 - 41, 5 - 41. Então 41 é primo
Há uma infinidade?
Números
primos
Gustavo
Felisberto
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Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
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interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Há diversas maneiras de demonstrar que o conjunto dos
primos é infinito. Provavelmente a mais antiga é atribuı́da
a Euclides (Elementos IX) e apresentada como:
Há uma infinidade?
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Há diversas maneiras de demonstrar que o conjunto dos
primos é infinito. Provavelmente a mais antiga é atribuı́da
a Euclides (Elementos IX) e apresentada como:
Segundo teorema de Euclides
Há uma infinidade de números primos.
Há uma infinidade?
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
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Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Há diversas maneiras de demonstrar que o conjunto dos
primos é infinito. Provavelmente a mais antiga é atribuı́da
a Euclides (Elementos IX) e apresentada como:
Segundo teorema de Euclides
Há uma infinidade de números primos.
A demonstração que se segue é também uma das mais
antigas a usar o método de redução ao absurdo.
Há uma infinidade?
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
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curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Há diversas maneiras de demonstrar que o conjunto dos
primos é infinito. Provavelmente a mais antiga é atribuı́da
a Euclides (Elementos IX) e apresentada como:
Segundo teorema de Euclides
Há uma infinidade de números primos.
A demonstração que se segue é também uma das mais
antigas a usar o método de redução ao absurdo.
Demonstração: Suponha que o conjunto dos primos seja
finito: P = {2, 3, 5, · · · , p}
Segundo teorema de Euclides
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
P = {2, 3, 5, · · · , p}
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Seja o número:
q = 2 · 3 · 5···p + 1
Segundo teorema de Euclides
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
P = {2, 3, 5, · · · , p}
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Seja o número:
q = 2 · 3 · 5···p + 1
Então q não é divisı́vel por nenhum dos primos
2, 3, 5, · · · , p. Ele é, portanto, primo; ou divisı́vel por um
primo entre p e q. Em ambos os casos há um primo maior
que p, o que prova o teorema. Números de Fermat
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Em 1640, Pierre de Fermat (1601-1665) conjecturou que
os números da seguinte forma são primos
n
Fn = 22 + 1
n
Números de Fermat: Fn = 22 + 1
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
De fato, Fermat sabia que para n = 0, 1, 2, 3 e 4 são todos
primos.
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537
n
Números de Fermat: Fn = 22 + 1
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
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Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
De fato, Fermat sabia que para n = 0, 1, 2, 3 e 4 são todos
primos.
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537
Mas, em 1732 Euler descobriu que o próximo número de
Fermat é composto:
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
Em 1880, F. Landry, com 82 anos, mostrou que
F6 = 264 + 1 = 274177 × 67280421310721
n
Números de Fermat: Fn = 22 + 1
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
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fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Em 1975, Brillhart e Morrison descobriram que
F7 =2128 + 1 = 59649589127497217 ×
×5704689200685129054721
Em 1981 Richard Brent e John Pollard fatoraram F8 .
n
Números de Fermat: Fn = 22 + 1
Números
primos
Gustavo
Felisberto
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fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
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interessantes
Deserto de
primos
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primos
Problemas em
aberto
Em 1975, Brillhart e Morrison descobriram que
F7 =2128 + 1 = 59649589127497217 ×
×5704689200685129054721
Em 1981 Richard Brent e John Pollard fatoraram F8 .
Os 12 primeiros números de Fermat foram fatorados.
n
Números de Fermat: Fn = 22 + 1
Números
primos
Gustavo
Felisberto
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fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
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interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Em 1975, Brillhart e Morrison descobriram que
F7 =2128 + 1 = 59649589127497217 ×
×5704689200685129054721
Em 1981 Richard Brent e John Pollard fatoraram F8 .
Os 12 primeiros números de Fermat foram fatorados.
Mesmo antes dessas fatorações serem feitas, já se sabia
que os seguintes números são compostos:
F9 , F10 , F11 , · · · , F23
Números de Mersenne
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
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fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Antes da popularização dos jornais e revistas cientı́ficos,
muitas pessoas só podiam comunicar os matemáticos suas
descobertas através de cartas enviadas diretamente a eles.
Grande parte dos trabalhos de Fermat ficaram conhecidas
através das cartas do Padre Marin Mersenne (1588-1648).
Números de Mersenne
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
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da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Em uma carta enviada ao matemático Frénicle de Bessy,
Padre Mersenne anunciou a possibilidade de números
primos na forma
Mp = 2p − 1
e fez a surpreendende asserção de que aquele número é
primo para
p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257
e para nenhum outro p menor que 257.
Números de Mersenne
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
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primos
Números
curiosos
Teoremas
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primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Em uma carta enviada ao matemático Frénicle de Bessy,
Padre Mersenne anunciou a possibilidade de números
primos na forma
Mp = 2p − 1
e fez a surpreendende asserção de que aquele número é
primo para
p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257
e para nenhum outro p menor que 257.
Todavia M67 e M257 não são primos e M61 , M89 e M107 o
são.
Números de Mersenne: Mp = 2p − 1
Números
primos
Gustavo
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primos
Problemas em
aberto
A afirmação de Mersenne foi dada como “aceitável” pois
os números são tão grandes que pelos 200 anos seguintes
ninguém foi capaz de confirmá-la ou negá-la.
Números de Mersenne: Mp = 2p − 1
Números
primos
Gustavo
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Problemas em
aberto
A afirmação de Mersenne foi dada como “aceitável” pois
os números são tão grandes que pelos 200 anos seguintes
ninguém foi capaz de confirmá-la ou negá-la.
Em 1876, Édouard Lucas provou que 2127 − 1 era de fato
primo, e este permaneceu por mais de 70 anos o maior
primo conhecido. O número tem 39 dı́gitos.
Números de Mersenne: Mp = 2p − 1
Números
primos
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primos
Números
curiosos
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interessantes
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primos
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primos
Problemas em
aberto
A afirmação de Mersenne foi dada como “aceitável” pois
os números são tão grandes que pelos 200 anos seguintes
ninguém foi capaz de confirmá-la ou negá-la.
Em 1876, Édouard Lucas provou que 2127 − 1 era de fato
primo, e este permaneceu por mais de 70 anos o maior
primo conhecido. O número tem 39 dı́gitos.
Em 1951, Miller e Wheeler quebraram um novo recorde
anunciando o primo 180(2127 − 1)2 + 1.
Números de Mersenne: Mp = 2p − 1
Números
primos
Gustavo
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curiosos
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Problemas em
aberto
A afirmação de Mersenne foi dada como “aceitável” pois
os números são tão grandes que pelos 200 anos seguintes
ninguém foi capaz de confirmá-la ou negá-la.
Em 1876, Édouard Lucas provou que 2127 − 1 era de fato
primo, e este permaneceu por mais de 70 anos o maior
primo conhecido. O número tem 39 dı́gitos.
Em 1951, Miller e Wheeler quebraram um novo recorde
anunciando o primo 180(2127 − 1)2 + 1.
Por volta de 1989-1992, J.Brown entre outros provaram
que 391581 × 2216193 − 1 também é primo.
Números de Mersenne: Mp = 2p − 1
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
O maior número primo de hoje é também o 44o primo de
Mersenne:
232.582.657 − 1
O número tem 9.808.358 algarismos, 650.000 dı́gitos a
mais que o recorde descoberto anteriormente. O número
foi descoberto em 4 de setembro de 2006 pela CMSU
Department of Communication lab.
Números de Mersenne: Mp = 2p − 1
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
O maior número primo de hoje é também o 44o primo de
Mersenne:
232.582.657 − 1
O número tem 9.808.358 algarismos, 650.000 dı́gitos a
mais que o recorde descoberto anteriormente. O número
foi descoberto em 4 de setembro de 2006 pela CMSU
Department of Communication lab.
Os recordes de números primos foram obtidos através do
programa GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).
Números de Mersenne: Mp = 2p − 1
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Existe um prêmio para quem encontrar um número primo
com pelo menos 10 milhões de dı́gitos. O prêmio é
fornecido pela Electronic Frontier Foundation e é de
100.000 dólares.
Números de Mersenne: Mp = 2p − 1
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Existe um prêmio para quem encontrar um número primo
com pelo menos 10 milhões de dı́gitos. O prêmio é
fornecido pela Electronic Frontier Foundation e é de
100.000 dólares.
Posição Número primo
Dı́gitos
Ano
1
232.582.657 − 1 9.808.358 2006
2
230.402.457 − 1 9.152.052 2005
3
225.964.951 − 1 7.816.230 2005
4
224.036.583 − 1 7.235.733 2004
5
220.996.011 − 1 6.320.430 2003
Números perfeitos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Os antigos eram particularmente intrigados com os
números
6=1+2+3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
que mostravam que ambos 6 e 28 são a soma de todos os
seus divisores exceto o próprio número. Estes são os
números perfeitos.
Números perfeitos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Os antigos eram particularmente intrigados com os
números
6=1+2+3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
que mostravam que ambos 6 e 28 são a soma de todos os
seus divisores exceto o próprio número. Estes são os
números perfeitos.
Diziam que Deus fez o mundo em 6 dias porque 6 é um
número perfeito.
Números perfeitos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Dois mil anos antes de Mersenne, Euclides (Livro IX,
Prop. 36) descobriu uma conexão interessante entre os
números perfeitos e os de Mersenne:
Números perfeitos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Dois mil anos antes de Mersenne, Euclides (Livro IX,
Prop. 36) descobriu uma conexão interessante entre os
números perfeitos e os de Mersenne:
Se M é um primo de Mersenne, então o M-ésimo número
triangular
1
4M = M(M + 1)
2
é um número perfeito
Números perfeitos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Por exemplo, 31 é um primo de Mersenne, e o 31o número
triangular é:
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
1
431 = 31(31 + 1) = 496
2
Números perfeitos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Por exemplo, 31 é um primo de Mersenne, e o 31o número
triangular é:
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
1
431 = 31(31 + 1) = 496
2
cujos divisores são:
1 , 2 , 4 , 8 , 16, que somam 31.
31 , 2 × 31 , 4 × 31 , 8 × 31, cuja soma é 15 × 31.
Números perfeitos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Por exemplo, 31 é um primo de Mersenne, e o 31o número
triangular é:
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
1
431 = 31(31 + 1) = 496
2
cujos divisores são:
1 , 2 , 4 , 8 , 16, que somam 31.
31 , 2 × 31 , 4 × 31 , 8 × 31, cuja soma é 15 × 31.
A soma dos divisores é: 16 × 31 = 496. Então é um
número perfeito.
Números perfeitos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Por exemplo, 31 é um primo de Mersenne, e o 31o número
triangular é:
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
1
431 = 31(31 + 1) = 496
2
cujos divisores são:
1 , 2 , 4 , 8 , 16, que somam 31.
31 , 2 × 31 , 4 × 31 , 8 × 31, cuja soma é 15 × 31.
A soma dos divisores é: 16 × 31 = 496. Então é um
número perfeito.
O mesmo acontece com cada primo de Mersenne
Números perfeitos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Existem outros tipos de números perfeitos?
Números perfeitos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Existem outros tipos de números perfeitos?
O grande matemático suı́ço Leonhard Euler (1707-1783)
mostrou que todos os números perfeitos pares são da
forma de Euclides.
Números perfeitos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Existem outros tipos de números perfeitos?
O grande matemático suı́ço Leonhard Euler (1707-1783)
mostrou que todos os números perfeitos pares são da
forma de Euclides.
Tudo o que se sabe sobre os ı́mpares é que eles devem ter
pelo menos 300 dı́gitos.
Soma de dois Quadrados
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Existem números primos que podem ser escrito como
soma de 2 ou 4 quadrados, por exemplo:
5 = 12 +22 ,
13 = 22 +32 ,
17 = 12 +42 ,
29 = 22 +52 .
Soma de dois Quadrados
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Existem números primos que podem ser escrito como
soma de 2 ou 4 quadrados, por exemplo:
5 = 12 +22 ,
13 = 22 +32 ,
17 = 12 +42 ,
29 = 22 +52 .
Fermat conjeturou que todo primo p ≡ 1 (mod 4) pode
ser escrito unicamente como soma de dois quadrados.
Anos mais tarde, Euler provou este teorema.
Soma de quatro Quadrados
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Lagrange provou que todos os números inteiros podem ser
representados como soma de quatro quadrados:
3 = 12 + 12 + 12 + 02
31 = 52 + 22 + 12 + 12
310 = 172 + 42 + 22 + 12 .
Soma de quatro Quadrados
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Identidade de Euler:
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
(x12 + x22 + x32 + x42 )(y12 + y22 + y32 + y42 ) =
(x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4 )2 +
+(x1 y2 − x2 y1 + x3 y4 − x4 y3 )2 +
+(x1 y3 − x3 y1 + x4 y2 − x2 y4 )2 +
+(x1 y4 − x4 y1 + x2 y3 − x3 y2 )2 .
Soma de quatro Quadrados
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Identidade de Euler:
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
(x12 + x22 + x32 + x42 )(y12 + y22 + y32 + y42 ) =
(x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4 )2 +
+(x1 y2 − x2 y1 + x3 y4 − x4 y3 )2 +
+(x1 y3 − x3 y1 + x4 y2 − x2 y4 )2 +
+(x1 y4 − x4 y1 + x2 y3 − x3 y2 )2 .
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Basta provar para os números primos!
Teorema de Dirichlet
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Dada a seguinte progressão aritmética:
PA(a, a + r , a + 2r , · · · )
Se mdc(a, r ) = 1, então esta PA tem uma infinidade de
números primos. Em outras palavras:
Teorema de Dirichlet
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Dada a seguinte progressão aritmética:
PA(a, a + r , a + 2r , · · · )
Se mdc(a, r ) = 1, então esta PA tem uma infinidade de
números primos. Em outras palavras:
Há uma infinidade de primos na forma an + b se
mdc(a, b) = 1
“A prova deste teorema é muito difı́cil para
inserção neste livro.”
( An Introduction to the Theory of Numbers.
G. H. Hardy e E. M. Wright)
Teorema de Dirichlet
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Segue a demonstração de um caso particular.
Teorema de Dirichlet
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Segue a demonstração de um caso particular.
Há uma infinidade de primos na forma 4n + 3
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Teorema de Dirichlet
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Segue a demonstração de um caso particular.
Há uma infinidade de primos na forma 4n + 3
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Demonstração: Seja
P4n+3 = {3, 7, 11, · · · , pk }
o conjunto de todos os primos da forma 4n + 3.
Teorema de Dirichlet
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Segue a demonstração de um caso particular.
Há uma infinidade de primos na forma 4n + 3
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Demonstração: Seja
P4n+3 = {3, 7, 11, · · · , pk }
o conjunto de todos os primos da forma 4n + 3.
Considere o número:
q = 2 · 2 · (3 · 7 · · · pk ) + 3
Teorema de Dirichlet
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
q = 2 · 2 · (3 · 7 · · · pk ) + 3
Então q é da forma 4n + 3, e não é divisı́vel por nenhum
dos primos do conjunto P4n+3 . E mais, não existem
primos na forma 4n e 4n + 2, então...
Teorema de Dirichlet
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
q = 2 · 2 · (3 · 7 · · · pk ) + 3
Então q é da forma 4n + 3, e não é divisı́vel por nenhum
dos primos do conjunto P4n+3 . E mais, não existem
primos na forma 4n e 4n + 2, então...
Não pode ser um produto de primos só na forma 4n + 1,
pois
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
(4k1 + 1)(4k2 + 1) =
= 4(k1 k2 ) + 4 + 4k2 + 1 = 4(k) + 5 =
= 4k + (4 + 1) = 4x + 1
Teorema de Dirichlet
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
q = 2 · 2 · (3 · 7 · · · pk ) + 3
Então q é da forma 4n + 3, e não é divisı́vel por nenhum
dos primos do conjunto P4n+3 . E mais, não existem
primos na forma 4n e 4n + 2, então...
Não pode ser um produto de primos só na forma 4n + 1,
pois
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
(4k1 + 1)(4k2 + 1) =
= 4(k1 k2 ) + 4 + 4k2 + 1 = 4(k) + 5 =
= 4k + (4 + 1) = 4x + 1
Portanto q é divisı́vel por um primo 4n + 3, maior do que
p. Distribuição dos primos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
A função π é a função que conta os números primos até
um certo número.
Distribuição dos primos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
A função π é a função que conta os números primos até
um certo número.
Exemplo:
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
π(1) = 0, π(2) = 1, π(17) = 7, π(20) = 8, π(29) = 10
Distribuição dos primos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
A função π é a função que conta os números primos até
um certo número.
Exemplo:
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
π(1) = 0, π(2) = 1, π(17) = 7, π(20) = 8, π(29) = 10
A medida que os números aumentam, o “deserto de
primos” aumenta cada vez mais.
Distribuição dos primos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
A função π é a função que conta os números primos até
um certo número.
Exemplo:
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
π(1) = 0, π(2) = 1, π(17) = 7, π(20) = 8, π(29) = 10
A medida que os números aumentam, o “deserto de
primos” aumenta cada vez mais.
Teorema dos números primos
A quantidade de números primos até x é assintótico à
isto é,
x
π(x) ∼
log x
x
log x ,
Distribuição dos primos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
π(x) para x = 103 , 106 , 109 :
π(103 ) = 168, π(106 ) = 78.498, π(109 ) = 50.847.478
Distribuição dos primos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
π(x) para x = 103 , 106 , 109 :
π(103 ) = 168, π(106 ) = 78.498, π(109 ) = 50.847.478
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Valores de
x
log x :
103
106
109
=
145,
=
72.382,
= 48.254.942
log 103
log 106
log 109
Distribuição dos primos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
π(x) para x = 103 , 106 , 109 :
π(103 ) = 168, π(106 ) = 78.498, π(109 ) = 50.847.478
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Valores de
103
106
109
=
145,
=
72.382,
= 48.254.942
log 103
log 106
log 109
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
x
log x :
Razão
π(x)
x
log x
168
78.498
50.847.478
= 1, 159;
= 1, 084;
= 1, 053
145
72.382
48.254.942
Fórmula para primos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
A grande questão que aborda os números primos é:
Existem funções que geram os números primos?
Fórmula para primos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
A grande questão que aborda os números primos é:
Existem funções que geram os números primos?
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
1. Encontrar uma função f tal que:
∀n f (n) = pn
onde pn é o n-ésimo número primo.
Fórmula para primos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
A grande questão que aborda os números primos é:
Existem funções que geram os números primos?
Introdução
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fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
1. Encontrar uma função f tal que:
∀n f (n) = pn
onde pn é o n-ésimo número primo.
2. Encontrar uma função f tal que:
∀n f (n) é primo e se n 6= m então f (n) 6= f (m).
Fórmula para primos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
A grande questão que aborda os números primos é:
Existem funções que geram os números primos?
Introdução
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fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
1. Encontrar uma função f tal que:
∀n f (n) = pn
onde pn é o n-ésimo número primo.
2. Encontrar uma função f tal que:
∀n f (n) é primo e se n 6= m então f (n) 6= f (m).
3. Descrever o conjunto dos números primos por meio de
polinômios.
Fórmula para primos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Polinômio de Euler
p(x) = x 2 + x + 41
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Fórmula para primos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Polinômio de Euler
p(x) = x 2 + x + 41
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Este polinômio é tal que para x = 0 , 1 , 2 , 3 , · · · , 39,
p(x) é primo, mas para n = 40:
p(40) = 40(40 + 1) + 1 = 41 × 41
Fórmula para primos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Polinômio de Euler
p(x) = x 2 + x + 41
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Este polinômio é tal que para x = 0 , 1 , 2 , 3 , · · · , 39,
p(x) é primo, mas para n = 40:
p(40) = 40(40 + 1) + 1 = 41 × 41
Teorema de Wilson
(n − 1)! ≡ −1 (mod n)
se e somente se n é primo.
Fórmula para primos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Fórmula de Willans (1964)
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
n
pn = 1 +
2 r
X
n
m=1
n
1 + π(m)
Fórmula para primos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Fórmula de Willans (1964)
Introdução
n
Teorema
fundamental
da aritmética
pn = 1 +
n
m=1
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
2 r
X
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Exemplo:
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
n
1 + π(m)
10
p10 = 1 +
2
X
m=1
$s
10
10
1 + π(m)
%
Fórmula para primos
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
Introdução
Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
p10 = 1 +
1024
X
m=1
$s
n
10
1 + π(m)
%
= 29
“A fórmula é inútil mas é bonita! Observe como
ela é engraçada: Se desejarmos saber qual é o
décimo primo, devemos contar quantos primos
existem até 1024 (!!). Certamente existem muito
mais que até 29 (!).”
( Paulo Ribenboim)
Problemas em aberto
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
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Teorema
fundamental
da aritmética
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Primos gêmeos. Números primos da forma (p, p + 2).
Problemas em aberto
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
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Teorema
fundamental
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Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Primos gêmeos. Números primos da forma (p, p + 2).
Exemplo: 3 e 5, 101 e 103, 10.016.957 e 10.016.959
Problemas em aberto
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
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primos
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curiosos
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Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Primos gêmeos. Números primos da forma (p, p + 2).
Exemplo: 3 e 5, 101 e 103, 10.016.957 e 10.016.959
Primos trigêmeos. Números primos da forma
(p, p + 2, p + 6) e (p, p + 4, p + 6).
Problemas em aberto
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
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Teorema
fundamental
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curiosos
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primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
Primos gêmeos. Números primos da forma (p, p + 2).
Exemplo: 3 e 5, 101 e 103, 10.016.957 e 10.016.959
Primos trigêmeos. Números primos da forma
(p, p + 2, p + 6) e (p, p + 4, p + 6).
Exemplo: 10.014.491, 10.014.493 e 10.014.497
Problemas em aberto
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Primos gêmeos. Números primos da forma (p, p + 2).
Exemplo: 3 e 5, 101 e 103, 10.016.957 e 10.016.959
Primos trigêmeos. Números primos da forma
(p, p + 2, p + 6) e (p, p + 4, p + 6).
Exemplo: 10.014.491, 10.014.493 e 10.014.497
Conjetura de Goldbach (1742)
Todo número par ≥ 6 pode ser representado como a soma de
dois primos e todo número ı́mpar ≥ 9, como uma soma de três
primos ı́mpares.
.
Paulo Ribenboim
Números
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Fotografia: Soyara Carolina Biazotto
Números
primos
Gustavo
Felisberto
Valente
HARDY, G. H.; WRIGHT, E. M.; An Introduction to the
Theory of Numbers. 1945.
Introdução
CONWAY, J. H.; GUY, R. K.; The Book of Numbers.
1996.
Teorema
fundamental
da aritmética
SANTOS, J. P. de O.; Introdução à Teoria dos
Números. 2000.
Infinitude dos
primos
Números
curiosos
Teoremas
interessantes
Deserto de
primos
Fórmula para
primos
Problemas em
aberto
GUNDLACH, B. H.; História dos Números e Numerais.
2001.
RIBENBOIM, P.; Existem funções que geram os
números primos?. Revista Matemática Universitária,
Dezembro de 1993.
BATISTA, E.; Notas dos seminários em Teoria de
números. 2008