A TORRE DE HANOI: UM TRABALHO COM INVESTIGAÇÕES
MATEMÁTICAS, RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E A
CALCULADORA
GONÇALVES, Alex Oleandro
[email protected]
GONÇALVES, Claudia Cristine Souza Appel
[email protected]
Eixo Temático: Educação Matemática
Agência Financiadora: Não contou com financiamento
Resumo
Neste estudo apresentamos uma reflexão teórica do relato de experiência resultante de um
trabalho que foi desenvolvido no primeiro semestre do ano letivo de 2007, numa turma de
oitava série do ensino fundamental (atual nono ano) envolvendo o conteúdo de propriedades
de potência. Participaram deste estudo 45 alunos de uma escola pública de Campina Grande
do Sul, região metropolitana de Curitiba. O trabalho objetivou contribuir para o nosso
entendimento de como o jogo pode favorecer a aprendizagem dos alunos. Trata-se de uma
atividade investigativa sobre o jogo chamado Torre de Hanói descrito por Malba Tahan
(1974). A partir da sequência formada pelo número de movimentos necessários para cada
quantidade de discos que compunham o jogo, alunos e professor se envolveram numa
atividade de investigação matemática numa tentativa de generalizar o número mínimo de
movimentos para n discos. As interações práticas entre professor e alunos foram descritas a
partir de embasamentos teóricos referentes a estudos na área da Educação Matemática acerca
da resolução de problemas, jogos, investigações matemáticas propostas por Ponte (2000) e o
uso da calculadora. Neste estudo constatamos que com criatividade podemos trabalhar
conceitos matemáticos sem excesso de formalismo. Vivenciamos as possibilidades do
aprendizado de conteúdos matemáticos através de uma perspectiva lúdica como proposto por
Kammi e Declark (1994) identificando uma maior autonomia na elaboração de operações
relativas ao cálculo de potências. Os alunos participaram ativamente da tomada de decisões na
busca da solução para o problema como sugere Polya (1997), superando a postura passiva
própria do ensino tradicional. Outro aspecto deste estudo indica que o uso da calculadora na
resolução de problemas foi mais do que um instrumento de verificação do resultado,
tornando-se um aliado importante no sentido de potencializar o cálculo e estimular o
desenvolvimento de generalizações matemáticas.
Palavras-chave: Resolução de Problemas. Torre de Hanói. Investigações Matemáticas.
Calculadora. Educação Matemática.
13274
Introdução
A matemática é, sem dúvida, considerada pela maioria dos alunos como a matéria
mais difícil do currículo escolar. O excesso de formalismo com que foi e é encarada até hoje
tem sido responsável em grande parte por essa afirmação. Muitos foram os estudos realizados
para superar a visão de uma matéria formal, na qual poucos gênios teriam sucesso. Neste
estudo, apresentamos uma experiência realizada com uma oitava série (atual nono ano) de
uma escola pública do município de Campina Grande do Sul, Paraná, combinando uma série
de recursos para se trabalhar o conteúdo propriedades de potência. Partindo de um jogo
chamado Torre de Hanói, propomos um problema – descobrir com o auxílio da calculadora
uma generalização que permitisse determinar o número mínimo de movimentos para mudar
os discos que compunham o jogo de uma haste para outra. Na descoberta da generalização,
muitos conceitos matemáticos foram abordados, numa perspectiva investigativa envolvendo
professor e alunos1.
Na sequência, apresentamos embasamentos teóricos na área da Educação Matemática
que nortearam as interações práticas entre professor e alunos, referentes a estudos acerca da
resolução de problemas, jogos matemáticos, investigações matemáticas e o uso da
calculadora.
Sobre o Jogo Torre de Hanói – uma lenda
O processo de valorização dos jogos chegou ao Brasil na década de 80 com o aumento
da produção científica sobre o assunto (JESUS; FINI, 2001, p. 130), o que motivou a crença
de que o jogo resolveria o problema do ensino, tornando-o mais atrativo. Autores como
Kammi e Declark (1994, p. 171) defendem que os jogos devam ser utilizados por todo o
ensino fundamental, pois apresentam vantagens em relação aos exercícios repetitivos
tradicionais. Os Parâmetros Curriculares Nacionais justificam que o uso de jogos favorece a
criatividade na elaboração de estratégias de resolução (BRASIL, 1997, p. 47).
Entre os jogos matemáticos, destacamos a Torre de Hanói, criada pelo matemático
francês Eduardo Lucas, em 1883 (TAHAN, 1974, p.137) e formado por uma base com três
hastes e discos de tamanhos diferentes. Em uma das hastes encontram-se colocados todos os
discos dispostos do maior para o menor. O objetivo é trocar todos os discos de haste com o
1
Breve relato desta atividade em Gonçalves (2007).
13275
menor número possível de movimentos, de modo que só se pode mover um de cada vez, sem
deixar um disco de diâmetro maior sobre um de diâmetro menor (Figura 1).
Figura 1 - Torre de Hanói
Fonte: Gonçalves (2007, p. 16)
Depois de criar o jogo, seu inventor o associou a uma curiosa lenda – a lenda do fim
do mundo:
Quando Deus criou o mundo, colocou no templo de Benares, o jogo de Hanói com
64 andares de ouro. Por determinação de Brama, os sacerdotes ficaram encarregados
de transportar a Torre de ouro da haste A para a haste B, de acordo com as regras do
jogo. Os movimentos, desde o princípio do mundo, são feitos pelos sacerdotes, noite
e dia, sem parar. Segundo a crença dos hindus, a terminação desse jogo vai assinalar
o fim do mundo [...] (TAHAN; 1974, p. 140).
Será que o fim do mundo está próximo? É o que veremos adiante.
Obviamente, o jogo pelo jogo não dá conta da aprendizagem dos conceitos
matemáticos. É o professor quem deve transformar o jogo como brincadeira em uma atividade
pedagógica, o que caracteriza a intencionalidade com a qual acreditamos que deva ser
encarado, superando uma concepção modista do trabalho com jogos e transformando-o numa
atividade investigativa com intenção pedagógica. Neste estudo, apresentamos o trabalho com
a Torre de Hanói combinando resolução de problemas, investigações matemáticas e o uso
da calculadora envolvendo o aluno numa atividade investigativa.
Sobre a resolução de problemas
É comum ouvirmos que a resolução de problemas é o principal objeto da matemática.
Discurso este que se desenvolveu com a crescente importância dada ao papel dos problemas
no ensino da matemática a partir dos anos 70 como superação ao ensino apoiado na repetição
13276
e a formalização excessiva próprios do Movimento da Matemática Moderna (ONUCHIC;
ALLEVATO, 2005, p. 215). Mas, o que é resolver um problema?
Resolver um problema é encontrar meios desconhecidos para um fim nitidamente
imaginado. Se o fim por si só não sugere de imediato os meios, se por isso temos
que procurá-los refletindo conscientemente sobre como alcançar o fim, temos de
resolver um problema. (POLYA, 1997, p. 1).
Tal autor acrescenta que o aluno aprende a resolver problemas resolvendo-os. Porém,
há divergência tanto sobre o que é um problema quanto sobre o seu papel. Constatamos em
nossa pesquisa (Gonçalves, 2009) que, muitas vezes, os problemas são aplicados com o
intuito de simplesmente treinar o algoritmo de uma dada operação, uma propriedade e outros
fatos da matemática. Isso também é constatado pelos Parâmetros Curriculares Nacionais
quando se afirma que “Para a grande maioria dos alunos, resolver um problema significa fazer
cálculos com os números do enunciado ou aplicar algo que aprenderam nas aulas” (BRASIL,
1997, p. 42).
Porém, acreditamos que no trabalho com problemas é importante estimar um resultado
através de uma série de recursos antes da resolução para intuir se faz ou não sentido o
resultado encontrado ao final. É importante trabalhar não somente com o cálculo exato, mas,
com uma variedade de situações em que seja valorizado o cálculo aproximado em uma série
de estratégias articulando com a atividade com jogos.
Sobre investigações matemáticas
Ponte (2000) considera as investigações matemáticas muito próximas da resolução de
problemas, podendo ser encaradas também como jogo. Há investigações geométricas,
numéricas, em estatística, etc. O autor cita uma atividade desenvolvida com a tabuada em que
os alunos em grupos pequenos desenvolveram-na além da multiplicação por dez para
discutirem suas conjecturas. Para o autor, uma atividade de investigação segue uma sequência
definida que passa pela exploração e formulação de questões, conjecturas, elaboração de
estratégias, testes e reformulações, justificação e avaliação. Ponte (2000, p. 55) afirma que as
investigações matemáticas incentivam a descoberta de fatos que contribuem para estabelecer
relações que constituirão generalizações importantes.
13277
Lins e Gimenez (2005, p. 53) ao proporem o trabalho com investigações matemáticas
em sala de aula afirmam que este tipo de atividade é muito próximo do que realmente é uma
atividade matemática (Ciência) e que os cálculos neste tipo de atividade apresentam um papel
predominantemente instrumental. Todas as conjecturas levantadas pelos alunos durante o
trabalho com investigações matemáticas devem ser testadas. Daí, a importância de se
trabalhar com instrumentos que potencializem o trabalho de resolução de problemas, como a
calculadora.
Sobre a calculadora
O uso da calculadora nas aulas de matemática é outro aspecto importante que
gostaríamos de abordar. Em nossa pesquisa realizada no mestrado (Gonçalves, 2010) com
professores de 4ª e 5ª séries (atuais 5º e 6º anos) seu uso causou polêmica. Os professores da
pesquisa defenderam seu uso apenas após o aluno já ter o domínio das operações básicas,
afirmando depender do conteúdo a ser trabalhado e do objetivo que se pretende alcançar. O
que concordamos em parte, pois acreditamos que a calculadora pode auxiliar também com
instrumento de aprendizado. Poderíamos justificar o uso da calculadora no ensino da
matemática pela modernidade e inegável avanço da tecnologia à qual a maioria dos alunos
tem acesso. Porém, a questão não parece tão simples, pois, não se trata apenas de decidir usar
ou não, mas, como usar.
O uso da calculadora na resolução de problemas permite que a atenção seja voltada
para as etapas da resolução de um problema ao invés de simplesmente a resolução do
exercício algorítmico, testando hipóteses de maneira muito mais rápida. Além disso “o
National Council of Teachers of Mathematics, em sua Agenda de Ação para a década de 80
(NCTM, 1980), já propunha que os programas de Matemática devem beneficiar-se do poder
das calculadoras e computadores em todos os níveis.” (OLIVEIRA, 1999, p. 2).
Acreditamos que com a calculadora o aluno pode aprender a reconhecer que um
instrumento ou um suporte de representação é mais útil ou apropriado que outro para cada
problema. Assim, a calculadora é mais do que um simples instrumento de verificação do
cálculo. É um importante recurso de investigação matemática que auxilia na compreensão de
conceitos matemáticos. Neste sentido, em nosso trabalho investigativo com a Torre de Hanói,
o uso da calculadora se tornou um aliado.
13278
O estudo realizado
O conteúdo a ser trabalhado no primeiro semestre letivo na 8a série (atual 9º ano) de
uma escola estadual onde atuamos como professor e pedagoga, respectivamente, incluía
propriedades de potência. Diante do desinteresse que observamos, decidimos propor uma
atividade como motivação em que cada aluno traria confeccionado um jogo que só seria
explicado no dia da aplicação. Este jogo seria composto de cinco peças em tamanhos
diferentes, quadradas ou redondas, e uma base, com três hastes ou, simplesmente, o desenho
das “casas” de cada peça (uma variação da Torre de Hanói). Desenhamos na lousa como o
jogo poderia ser confeccionado (Figura 2).
Figura 2 - adaptação da Torre de Hanói
Fonte: Gonçalves (2007, p. 16)
Ficamos surpresos quando na realização da atividade, constatamos que, de 45 alunos
da turma, apenas 10 haviam confeccionado o jogo. Pensamos em desistir, mas isso não seria
justo com os 10 alunos que haviam cumprido a tarefa. Iniciamos a atividade um tanto
desmotivados por se tratar de um número tão pequeno de alunos. Inicialmente fizemos a
leitura da lenda da Torre de Hanói (TAHAN; 1974, p. 140) a qual tratava da transposição de
64 discos, acompanhada da explicação de como funciona o jogo e demos início à prática.
Para um disco ficou óbvio que é necessário apenas um movimento. Então, começamos
solicitando que os alunos tentassem transpor dois discos (Figura 3), seguindo a regra. Houve
dificuldade em entender o que fora pedido. Foram necessárias explicações individuais. Neste
momento, um aluno perguntou se podia sentar-se ao lado de um colega que fizera o jogo.
Percebemos que outros tentavam ajudar quem tinha o jogo, mas não o tinha entendido.
Anotamos o menor número de movimentos que um aluno conseguiu em uma tabela
desenhada na lousa.
13279
Figura 3: sequência de movimentos para transpor dois discos
Fonte: Watanabe (1996, p. 34)
Antes de passar para três discos, um aluno perguntou:
A: Professor, posso fazer o jogo, agora?2
P: Como?
Ficamos surpresos com o interesse repentino do aluno e perguntamos como
poderíamos construir rapidamente a Torre de Hanói.
A: Ora, rasga uma folha de caderno!
P: Como?
A: Faz cinco quadradinhos de papel!
P: Pode fazer, então!
Paramos a atividade e os que não tinham feito o jogo fizeram-no com uma folha de
caderno da mesma forma como era para ser feito em cartolina. Prosseguimos com a atividade
e as primeiras conjecturas foram aparecendo.
O melhor desempenho para três discos foi anotado na tabela da lousa.
A: Eu consegui com 5 movimentos!
P: Alguém mais?
A: Eu consegui com 10!
Houve tumulto, pois alguns alunos disseram que só era possível com sete movimentos.
Fizemos verificações com a calculadora e constatamos que eram mesmo sete movimentos, no
mínimo para três discos. O aluno que disse ter conseguido com 10, se convenceu que errou
em alguma passagem ou na contagem de movimentos.
Para 4 discos a dificuldade foi grande. Procuramos ajudar em pequenos grupos que
foram se formando pela sala, pois os alunos se perdiam na contagem de movimentos. Pedimos
que os alunos anotassem os movimentos com traços no papel. Somente foi possível concluir
que seriam 15 movimentos com a nossa interferência.
P: Acrescentando uma peça à torre, em quanto aumenta o número de movimentos?
2
P: Pesquisador; A: Aluno (nem sempre corresponde ao mesmo aluno)
13280
A: Quatro!
O aluno se referiu à passagem de 3 para 7 movimentos. Esperávamos que com o
questionamento, os alunos conseguissem perceber o aumento que acontecia na sequência:
1; 1 + 21; 3 + 22; 7 + 23, ... (o anterior mais uma potência de 2)
Voltamos à tabela de movimentos necessários para cada número de discos (Tabela 1).
Tabela 1 - Melhores resultados obtidos durante a partida
Quantidade Mínima de
Número de Discos
Movimentos
0
0
1
1
2
3
3
7
4
15
5
?
Fonte: Dados organizados pelo autor, com base nos resultados do jogo.
Com o intuito de estimular a investigação e promover a percepção de alguma
regularidade na tabela, perguntamos se alguém já estava percebendo o que acontecia com os
valores:
P: Notam alguma coisa nessa sequência? Cada número da tabela tem algo em comum
com o anterior?
Depois de alguns palpites testados, um aluno questionou:
A: Não é o dobro do que vem antes e mais um, professor?
P: Vamos verificar!
Para que pudéssemos chegar a uma conclusão empírica para qualquer número de
discos, observamos que devemos resolver o problema para 5 discos, ignorando o disco
inferior, pois como ele é o maior de todos, podem-se mover todos os demais discos sobre este.
Quando estiverem todos em uma outra haste, exceto o maior (o de baixo), o movemos para
outra casa e repetimos o caso anterior movendo todos os discos sobre o maior. Com isso ficou
evidenciado que devíamos realizar o dobro do número de movimentos anteriores e mais um
movimento.
Com a ideia de que a solução é “o dobro do anterior mais um” não poderíamos saber o
número mínimo de movimentos para 64 discos, exceto se soubéssemos para 63 discos, o qual
necessitaria da solução para 62 discos e, assim, sucessivamente.
Escrevemos na lousa as potências de base dois na ordem para estimular as conjecturas.
Indagamos novamente:
13281
P: Qual a diferença entre a quantidade de movimentos para cada número de discos e
as potências de base 2 escritas na tabela?
A: É menos um, professor!
Partindo do princípio que, ao somar 1, obteríamos uma potência de base 2, damos um
passo a mais na busca de uma generalização:
0 + 1 = 20
1 + 1 = 21
3 + 1 = 22
7 + 1 = 23
15 + 1 = 24
31 + 1 = 25
P: E o que mais percebem na sequência?
A: O expoente é igual ao número de discos!
Anotamos a observação na lousa e chegamos a uma generalização. Solicitamos que
usassem a fórmula3 encontrada para n discos para verificar se ela funcionaria para 0 e 1
discos, respectivamente (este é o primeiro passo numa demonstração por indução).
Tabela 2 – Generalização do número de movimentos para n discos
Quantidade Mínima
Generalização
Número de Discos
de Movimentos
Matemática
0
0
20 – 1 = 0
1
1
21 – 1 = 1
22 – 1 = 3
2
3
3
7
23 – 1 = 7
4
15
24 – 1 = 15
5
31
25 – 1 = 31
n
...
2n – 1
Fonte: Dados organizados pelo autor para a generalização matemática.
Ao final, fizemos um ensaio do cálculo para 64 discos com a calculadora, mas, sem
sucesso. Não conseguimos calcular mais do que 226 – 1 = 67.108.864 na calculadora simples
de 8 dígitos. Na calculadora científica, chegamos a 1,84 x 1019. Em uma de suas obras, Malba
Tahan (1974, p. 140) afirma que são necessários para o transporte dos 64 discos, nada menos
que 18 446 744 073 709 551 615 movimentos, necessitando de 584 942 417 355 anos de
trabalho ininterrupto, a um movimento por segundo. O mundo duraria então, mais de 584
milhões de séculos. Isto seria uma previsão otimista para o fim do mundo, segundo o autor,
3
A fórmula para o cálculo do número mínimo de movimentos de n discos é 2n – 1, que pode ser provada
matematicamente por indução (WATANABE, 1996).
13282
pois, afirma ele “os astrônomos mais cautelosos, com suas teorias e seus cálculos, acreditam
que o Sol dentro de poucos milhões de séculos deixará de irradiar luz e calor” (TAHAN;
1974, p. 141). Os alunos aceitaram bem a ideia, uma vez que já tínhamos nos deparado com a
potência 264 quando trabalhamos o problema do xadrez4.
Considerações Finais
Neste relato destacamos um exemplo de que devemos apostar na eficácia da resolução
de problemas e dos jogos no ensino da matemática, mesmo que enfrentemos alguns desafios,
como a resistência inicial dos alunos ou falta de material. Observamos ainda que há um longo
caminho a ser percorrido das primeiras constatações matemáticas dos alunos no ensino
fundamental até uma formalização matemática de conceitos. Devemos apostar em atividades
em que, através da interação social, o aluno aprenda pensando, colocando-o para discutir
estratégias e observações numa atividade investigativa motivadora.
Evidenciamos que, resolver problemas não é simplesmente repetir uma sequência de
procedimentos ensinados pelo professor. O aluno precisa ser incentivado a usar estratégias
próprias para a resolução de problemas às quais deverão ser validadas ou não mediante
reflexão mediada pelo professor, envolvidos numa atividade de investigação, no ato de
jogar, a qual procuramos mostrar que se trata mais de uma questão de atitude do que de
material. Constatamos também que, assim como no trabalho com jogos, o uso da
calculadora de maneira indiscriminada sem um objetivo claro pouco ou nada tem a
contribuir mas, se utilizada de maneira consciente, intencional e programada, como neste
trabalho pode se tornar um poderoso aliado no desenvolvimento do raciocínio
matemático.
REFERÊNCIAS
BRASIL, MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO. Parâmetros Curriculares
Nacionais – Matemática. Brasília: MEC/SEF,1997.
4
Problema descrito por Malba Tahan (Souza; 1998, p.125), em que o inventor do xadrez pede como recompensa
ao Rei, “um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro e, sempre o dobro da anterior para as demais”. Na
última casa são 263 grãos, o que não é possível pagar, mesmo que toda a superfície terrestre fosse cultivada com
trigo.
13283
GONÇALVES, Alex O. A Torre de Hanói em Sala de Aula. Revista do Professor de
Matemática, nº 63, p. 16-18. São Paulo: 2007.
GONÇALVES, Alex O. Algoritmos: uma perspectiva de professores de quarta e quinta
séries do ensino fundamental. 294 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Programa de
Pós-graduação, Setor de Educação, UFPR, Curitiba, 2010. Disponível em:
<http://dspace.c3sl.ufpr.br/dspace/bitstream/handle/1884/25299/goncalves_2010.pdf?sequenc
e=1>. Acesso em: 10/08/2010.
GONÇALVES, Alex O. Resolução de problemas de estrutura aditiva: a compreensão de
uma professora de primeira série. In: CONGRESSO NACIONAL DE EDUCAÇÃO –
EDUCERE, 9., 2009, Curitiba; ENCONTRO SUL BRASILEIRO DE PSICOPEDAGOGIA,
3.,
2009,
Curitiba.
Anais...
Curitiba:
PUCPR,
2009.
Disponível
em:
<www.pucpr.br/eventos/educere/educere2009/anais/pdf/3048_1601.pdf>.
Acesso
em:
11/08/2011.
JESUS, Marcos A. S. de; FINI, Lucila D. T. Uma proposta de aprendizagem significativa de
matemática através de jogos. In: BRITO, Márcia R. F. de (Org.). Psicologia da educação
matemática: teoria e pesquisa. Florianópolis: Insular, 2001. p. 129-146.
KAMII, Constance; DECLARK, Georgia. Reinventando a aritmética: implicações da
teoria de Piaget. Tradução: Elenisa Curt, Marina Célia M. Dias, Maria do Carmo D.
Mendonça. 8. ed. Campinas: Papirus, 1994.
LINS, Romulo C.; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em aritmética e álgebra para o
século XXI. 6. ed. Campinas, SP: Papirus, 2005.
OLIVEIRA, José C. G. de. A visão dos professores de matemática do estado do Paraná
em relação ao uso de calculadora nas aulas de matemática. 180 f. Tese (Doutorado em
Educação) – Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1999.
CD-ROM.
ONUCHIC, Lourdes de la R.; ALLEVATO, Norma S. G. Novas reflexões sobre o ensinoaprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, Maria. A. V.;
BORBA, Marcelo de C. (Orgs). Educação matemática: pesquisa em movimento. 2. ed. rev.
São Paulo: Cortez, 2005. p. 213-231.
POLYA, George. Sobre a resolução de problemas na high school. In: KRULIK, Stephen;
REYS, Robert E. (Orgs). Tradução: Hygino H. Domingues, Olga Corbo. A resolução de
problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997. p. 1-3.
PONTE, João P. da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações matemáticas na
sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.
SOUZA, Júlio C. de M. Matemática divertida e curiosa. 10 ed. Rio de Janeiro: Record,
1998.
TAHAN, Malba. A matemática na lenda e na história. Rio de Janeiro: Bloch Editores, 1974.
13284
WATANABE, Renate.Vale para 1, para 2, para 3, ... vale sempre? Revista do Professor de
Matemática, Nº 09, p. 34-37. São Paulo: 1986.