Sequências de números reais Sequências de números reais Ana Carolina Boero E-mail: [email protected] Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Sequências de números reais Uma sequência de números reais é uma regra que associa cada número natural n > 0 a um único número real an , denominado o n-ésimo termo da sequência. Notações: (a1 , a2 , a3 , . . .) ou (an )∞ n=1 ou, simplesmente, (an ). Exemplos: (a) (1, 1, 1, . . .); (b) (n), (−n) e (1/n); (c) (an ) onde an = n(−1)n ; (d) (bn ) onde bn = sen(nπ/2); (e) (cn ) onde cn = (1 + 1/n)n . Atenção: (a1 , a2 , a3 , . . .) e {a1 , a2 , a3 , . . .} são objetos diferentes! Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Sequências recursivas É possı́vel definir uma sequência dando: • o primeiro termo; • uma “regra” que nos permita obter o (n + 1)-ésimo termo, desde que conheçamos os n primeiros termos. Uma sequência assim definida é denominada recursiva. Exemplos: (a) potenciação com expoente natural; (b) progressões aritméticas e geométricas: a, r e q números reais. I I PA: a1 = a e an+1 = an + r PG: a1 = a e an+1 = an · q Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Outros exemplos (c) A sequência denominada fatorial é definida por I I 1! = 1 (n + 1)! = (n + 1) · n! Na prática, n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 1. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Outros exemplos (d) A produtória associada à sequência (an ) é definida por Q1 I ai = a1 Qk Qi=1 k+1 I i=1 ai · ak+1 i=1 ai = Na prática, Qk i=1 ai Ana Carolina Boero = a1 · a2 · . . . · ak . Bases Matemáticas Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Sequências de números reais Outros exemplos (d) A produtória associada à sequência (an ) é definida por Q1 I ai = a1 Qk Qi=1 k+1 I i=1 ai · ak+1 i=1 ai = Na prática, Qk i=1 ai = a1 · a2 · . . . · ak . (e) A somatória associada à sequência (an ) é definida por P1 I 1 i=1 ai = aP Pk+1 k I a = i=1 i i=1 ai + ak+1 Na prática, Pk i=1 ai Ana Carolina Boero = a1 + a2 + . . . + ak . Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Sequências monótonas Seja (an ) uma sequência de números reais. Dizemos que: • (an ) é crescente se an ≤ an+1 para todo n; • (an ) é estritamente crescente se an < an+1 para todo n; • (an ) é decrescente se an ≥ an+1 para todo n; • (an ) é estritamente decrescente se an > an+1 para todo n. (an ) é dita monótona se é crescente ou decrescente. Observações: • as definições acima são compatı́veis com as dadas anteriormente; • se (an ) é estritamente crescente, então (an ) é crescente; se (an ) é estritamente decrescente, então (an ) é decrescente. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Exemplos (a) (1, 1, 1, . . .) é monótona (crescente e decrescente); (b) (n) é monótona (estritamente crescente); (−n) e (1/n) são monótonas (estritamente decrescentes); (c) (an ) dada por an = n(−1)n não é monótona (a1 < a2 e a2 > a3 ); (d) (bn ) dada por bn = sen (nπ/2) não é monótona (b1 > b2 e b3 < b4 ); (e) (cn ) dada por cn = (1 + 1/n)n é monótona (estritamente crescente). Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Sequências limitadas Seja (an ) uma sequência de números reais. Dizemos que: • (an ) é limitada superiormente se existe um número real c tal que an ≤ c para todo n; • (an ) é limitada inferiormente se existe um número real c tal que an ≥ c para todo n; • (an ) é limitada se é limitada superior e inferiormente; • (an ) é ilimitada se não é limitada. Observações: • (an ) é limitada se, e somente se, existe um número real k tal que |an | ≤ k para todo n; • se (an ) é crescente, então (an ) é limitada inferiormente por a1 ; se (an ) é decrescente, então (an ) é limitada superiormente por a1 . Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Exemplos (a) (1, 1, 1, . . .) é limitada; (b) (n) é ilimitada (limitada inferiormente, mas não superiormente); (−n) é ilimitada (limitada superiormente, mas não inferiormente); (1/n) é limitada (por 0 e 1, por exemplo); (c) (an ) dada por an = n(−1)n é ilimitada; (d) (bn ) dada por bn = sen (nπ/2) é limitada; (e) (cn ) dada por cn = (1 + 1/n)n é limitada (por 2 e 3, por exemplo). Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos A ideia de limite num exemplo Considere (xn ) a sequência de números reais dada por xn = 1 + (−1)n /n. x1 x2 x3 x4 x5 x6 .. . = 0 = 3/2 = 2/3 = 5/4 = 4/5 = 7/6 .. . Observe que: • seus termos vão se aproximando de 1 conforme n aumenta; Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos A ideia de limite num exemplo Considere (xn ) a sequência de números reais dada por xn = 1 + (−1)n /n. x1 x2 x3 x4 x5 x6 .. . = 0 = 3/2 = 2/3 = 5/4 = 4/5 = 7/6 .. . Observe que: • seus termos vão se aproximando de 1 conforme n aumenta; • a menos de uma quantidade finita, eles permanecem tão próximos de 1 quanto se queira. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos A ideia de limite num exemplo O que significa “a menos de uma quantidade finita, eles (os termos da sequência) permanecem tão próximos de 1 quanto se queira”? Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos A ideia de limite num exemplo O que significa “a menos de uma quantidade finita, eles (os termos da sequência) permanecem tão próximos de 1 quanto se queira”? Significa que se eu fixo uma vizinhança do 1 (a que eu quiser) então, a partir de um determinado termo da sequência, todos os termos seguintes pertencerão à vizinhança previamente fixada. A tı́tulo de esclarecimento: por “vizinhança do 1” entendemos um intervalo aberto ao qual 1 pertence. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos A ideia de limite num exemplo O que significa “a menos de uma quantidade finita, eles (os termos da sequência) permanecem tão próximos de 1 quanto se queira”? Significa que se eu fixo uma vizinhança do 1 (a que eu quiser) então, a partir de um determinado termo da sequência, todos os termos seguintes pertencerão à vizinhança previamente fixada. A tı́tulo de esclarecimento: por “vizinhança do 1” entendemos um intervalo aberto ao qual 1 pertence. Exemplos: 1 13 (a) fixada a vizinhança 10 , 10 do 1, observamos que os termos x3 , x4 , x5 , x6 , etc. pertencem a ela; (b) fixada a vizinhança 23 , 65 do 1, observamos que xn ∈ 23 , 65 para todo n > 4. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos A ideia de limite num exemplo Dizer que 1 é limite da sequência (xn ) ou, em outras palavras, que a sequência (xn ) converge para 1 é o mesmo que dizer que, a menos de uma quantidade finita, os termos de (xn ) permanecem tão próximos de 1 quanto se queira Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos A ideia de limite num exemplo Dizer que 1 é limite da sequência (xn ) ou, em outras palavras, que a sequência (xn ) converge para 1 é o mesmo que dizer que, a menos de uma quantidade finita, os termos de (xn ) permanecem tão próximos de 1 quanto se queira (isto é, que fixada qualquer vizinhança do 1, pode-se obter um número natural N tal que todos os termos xn com ı́ndice n > N pertencem à vizinhança em questão). Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos A ideia de limite num exemplo Dizer que 1 é limite da sequência (xn ) ou, em outras palavras, que a sequência (xn ) converge para 1 é o mesmo que dizer que, a menos de uma quantidade finita, os termos de (xn ) permanecem tão próximos de 1 quanto se queira (isto é, que fixada qualquer vizinhança do 1, pode-se obter um número natural N tal que todos os termos xn com ı́ndice n > N pertencem à vizinhança em questão). Portanto, para mostrar que 1 é limite de (xn ): (1) fixamos uma vizinhança arbitrária de 1, a qual podemos supor (por quê?) “simétrica” (isto é, da forma ]1 − , 1 + [ para algum > 0); (2) em seguida, justificamos a existência de um número natural N tal que xn ∈ ]1 − , 1 + [ para todo n > N. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos A ideia de limite num exemplo Mãos à obra: (1) Começamos fixando > 0 arbitrário, obtendo assim a vizinhança “simétrica” ]1 − , 1 + [ de 1. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos A ideia de limite num exemplo Mãos à obra: (1) Começamos fixando > 0 arbitrário, obtendo assim a vizinhança “simétrica” ]1 − , 1 + [ de 1. (2) Justificaremos, agora, a existência de um número natural N tal que xn ∈ ]1 − , 1 + [ para todo n > N. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos A ideia de limite num exemplo Mãos à obra: (1) Começamos fixando > 0 arbitrário, obtendo assim a vizinhança “simétrica” ]1 − , 1 + [ de 1. (2) Justificaremos, agora, a existência de um número natural N tal que xn ∈ ]1 − , 1 + [ para todo n > N. Para que tenhamos xn < 1 + (isto é, 1 + (−1)n /n < 1 + ), basta que (−1)n /n seja menor que . Para que tenhamos xn > 1 − (isto é, 1 + (−1)n /n > 1 − ), basta que (−1)n /n seja maior que −. Portanto, basta que |(−1)n /n| = 1/n < (ou seja, que n > 1/). Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos A ideia de limite num exemplo Mãos à obra: (1) Começamos fixando > 0 arbitrário, obtendo assim a vizinhança “simétrica” ]1 − , 1 + [ de 1. (2) Justificaremos, agora, a existência de um número natural N tal que xn ∈ ]1 − , 1 + [ para todo n > N. Para que tenhamos xn < 1 + (isto é, 1 + (−1)n /n < 1 + ), basta que (−1)n /n seja menor que . Para que tenhamos xn > 1 − (isto é, 1 + (−1)n /n > 1 − ), basta que (−1)n /n seja maior que −. Portanto, basta que |(−1)n /n| = 1/n < (ou seja, que n > 1/). Ora, a propriedade Arquimediana garante a existência de um número natural N > 1/. Além disso, se n > N então n > 1/. Portanto, para todo n > N, xn pertence à vizinhança ]1 − , 1 + [. Acabamos de demonstrar que 1 é limite de (xn ). Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Limite de sequências Seja (an ) uma sequência de números reais. Dizemos que o número real a é limite de (an ) se para cada > 0 pode-se obter um número natural N tal que todos os termos an com ı́ndice n > N cumprem a condição an ∈ ]a − , a + [. Observações: • an ∈ ]a − , a + [ se, e somente se, |an − a| < ; • (an ) tem no máximo um limite; • se a > c então an > c a partir de um certo n; se a < c então an < c a partir de um certo n. Notação: a = lim an n→∞ Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Outros exemplos (a) lim 1 = 1 (isto é, 1 é limite da sequência (1, 1, 1, . . .)). n→∞ 1 n→∞ n (b) lim = 0. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Outros exemplos (a) lim 1 = 1 (isto é, 1 é limite da sequência (1, 1, 1, . . .)). n→∞ 1 n→∞ n (b) lim = 0. Em geral: (c) lim a = a, qualquer que seja a número real fixado; n→∞ 1 k n→∞ n (d) lim = 0, qualquer que seja k > 0 número natural fixado. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Sequências convergentes e divergentes Seja (an ) uma sequência de números reais. Dizemos que: • (an ) é convergente se existe um número real a tal que lim an = a; n→∞ • (an ) é divergente se não é convergente. Observação: se lim an = a, dizemos que (an ) converge para a. n→∞ Exemplos: (a) se a = 1, então (an ) converge para 1; (b) se a = −1, então (an ) é divergente. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Uma proposição importante Proposição Toda sequência de números reais convergente é limitada. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Uma proposição importante Proposição Toda sequência de números reais convergente é limitada. Observações: • (−1, 1, −1, 1, . . .) é limitada, porém divergente; Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Uma proposição importante Proposição Toda sequência de números reais convergente é limitada. Observações: • (−1, 1, −1, 1, . . .) é limitada, porém divergente; este exemplo nos leva a pensar que se uma sequência possui duas “subsequências” com limites distintos, então ela é divergente... • ... e, consequentemente, se uma sequência (an ) é convergente, então toda “subsequência de (an )” deve convergir para o limite de (an ). Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Uma proposição importante Proposição Toda sequência de números reais convergente é limitada. Observações: • (−1, 1, −1, 1, . . .) é limitada, porém divergente; este exemplo nos leva a pensar que se uma sequência possui duas “subsequências” com limites distintos, então ela é divergente... • ... e, consequentemente, se uma sequência (an ) é convergente, então toda “subsequência de (an )” deve convergir para o limite de (an ). A tı́tulo de esclarecimento: por “subsequência de (an )” entendemos uma sequência (bm ) de números reais tal que (i) para cada m, existe n tal que bm = an e (ii) se bm = an , então bm+1 = an0 para algum n0 > n. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Exemplos (a) (n) é divergente, pois é ilimitada. (b) (−n) é divergente, pois é ilimitada. (c) (an ) dada por an = n(−1)n é divergente, pois é ilimitada. (d) (bn ) dada por bn = sen(nπ/2) é divergente, embora limitada. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Outra proposição importante Proposição Seja (an ) uma sequência limitada de números reais. Valem: (1) se (an ) é crescente, então (an ) é convergente e lim an = sup{an : n ∈ N∗ }; n→∞ (2) se (an ) é decrescente, então (an ) é convergente e lim an = inf{an : n ∈ N∗ }. n→∞ Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Outra proposição importante Proposição Seja (an ) uma sequência limitada de números reais. Valem: (1) se (an ) é crescente, então (an ) é convergente e lim an = sup{an : n ∈ N∗ }; n→∞ (2) se (an ) é decrescente, então (an ) é convergente e lim an = inf{an : n ∈ N∗ }. n→∞ Em suma, toda sequência limitada e monótona é convergente. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Exemplos (a) Se 0 < a < 1, então (an ) é convergente (pois é decrescente e limitada) e lim an = inf{an : n ∈ N∗ } = 0. n→∞ Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Sequências de números reais Exemplos (a) Se 0 < a < 1, então (an ) é convergente (pois é decrescente e limitada) e lim an = inf{an : n ∈ N∗ } = 0. n→∞ (b) A sequência (cn ) dada por cn = 1 1+ n n é convergente (pois é crescente e limitada). Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Sequências de números reais Exemplos (a) Se 0 < a < 1, então (an ) é convergente (pois é decrescente e limitada) e lim an = inf{an : n ∈ N∗ } = 0. n→∞ (b) A sequência (cn ) dada por cn = 1 1+ n n é convergente (pois é crescente e limitada). Definição (do número e) n 1 1+ n→∞ n e = lim Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Cálculo de limites Proposição (Propriedades aritméticas dos limites) Sejam (an ) e (bn ) tais que lim an = a e lim bn = b. Valem: n→∞ n→∞ (1) lim (an + bn ) = a + b; n→∞ (2) lim (an − bn ) = a − b; n→∞ (3) lim (an · bn ) = a · b (em particular, lim (a · bn ) = a · b); n→∞ n→∞ (4) lim (an /bn ) = a/b, se b 6= 0. n→∞ Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Cálculo de limites Exemplos: (a) lim n→∞ n+1 n = 1; 2 2n +1 2 n→∞ n +3 (b) lim (c) lim n→∞ 3 n +3n−1 4n3 +2 (d) lim 1 − n→∞ = 2; = 14 ; 1 n n = e1 . Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Cálculo de limites Proposição Seja m > 1 um número natural e seja (an ) tal que lim an = a. Valem: n→∞ √ √ m m (1) se m é par e a > 0, então lim an = a; n→∞ √ √ (2) se m é ı́mpar, então lim m an = m a. n→∞ Exemplos: (a) lim q n→∞ (b) lim n n→∞ 4n+1 n q = 2; 3+ 1 n − √ 3 = 1 √ . 2 3 Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Cálculo de limites Teorema do confronto (ou do sanduı́che) Se (an ), (bn ) e (cn ) são tais que (i) an ≤ bn ≤ cn a partir de um certo n e (ii) lim an = a = lim cn n→∞ n→∞ então lim bn = a. n→∞ Exemplos: (a) lim sen 1 n = 0 (e, consequentemente, lim cos n→∞ n→∞ (b) lim n · sen n1 = 1. n→∞ Ana Carolina Boero Bases Matemáticas 1 n = 1); Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Cálculo de limites Proposição Sejam (an ) e (bn ) tais que lim an = 0 e (bn ) é limitada. Vale: n→∞ lim (an · bn ) = 0. n→∞ Exemplos: (a) lim n→∞ (b) lim n→∞ sen n n = 0; cos(n2 +2n ) 2 n4 = 0. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Limites infinitos Seja (an ) uma sequência de números reais. Escrevemos: • limn→∞ an = +∞ para indicar que, para cada número real b, pode-se obter um número natural N tal que todos os termos an com ı́ndice n > N cumprem a condição an > b. • limn→∞ an = −∞ para indicar que, para cada número real b, pode-se obter um número natural N tal que todos os termos an com ı́ndice n > N cumprem a condição an < b. Observação: se lim an = ±∞ então (an ) é ilimitada (logo, divergente). n→∞ Exemplos: (a) lim n = +∞ e lim −n = −∞; n→∞ n→∞ (b) (an ) dada por an = n(−1)n é ilimitada, mas não vale lim an = ±∞. n→∞ Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Limites infinitos Proposição Sejam (an ) e (bn ) tais que lim an = +∞. Valem: n→∞ (1) se (bn ) é limitada inferiormente, então lim (an + bn ) = +∞; n→∞ (2) se existe c > 0 tal que bn > c a partir de um certo n, então lim (an · bn ) = +∞. n→∞ Exemplo: 2n5 +3n 3 n→∞ 3n +2 (a) lim = +∞. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Limites infinitos Proposição Se lim an = +∞ então lim (1/an ) = 0. n→∞ n→∞ Exemplo: 3n3 +2 5 n→∞ 2n +3n (a) lim = 0. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Limites infinitos Proposição Se (an ) é tal que (i) lim an = 0 e n→∞ (ii) an > 0 a partir de um certo n então lim (1/an ) = +∞. n→∞ Exemplo: 1 n→∞ 1−cos(1/n) (a) lim = +∞. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Observação Para lidar com “−∞”, use • as regras de sinal, • as três proposições anteriores e • o seguinte fato: lim an = +∞ se, e somente se, lim −an = −∞. n→∞ n→∞ Exemplo: 1 n→∞ cos(1/n)−1 (a) lim = −∞. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Uma palavrinha sobre “expressões indeterminadas” Se (an ) e (bn ) tais que lim an = +∞ e lim bn = −∞ n→∞ n→∞ então (an + bn ) pode: • divergir (an = n + (−1)n e bn = −n); • divergir para +∞ (an = 2n e bn = −n); • divergir para −∞ (an = n e bn = −2n); • convergir para qualquer número real a (an = n + a e bn = −n). Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Uma palavrinha sobre “expressões indeterminadas” Se (an ) e (bn ) tais que lim an = +∞ e lim bn = −∞ n→∞ n→∞ então (an + bn ) pode: • divergir (an = n + (−1)n e bn = −n); • divergir para +∞ (an = 2n e bn = −n); • divergir para −∞ (an = n e bn = −2n); • convergir para qualquer número real a (an = n + a e bn = −n). Devido a este comportamento imprevisı́vel, dizemos que +∞ − ∞ é uma “expressão indeterminada”. Ana Carolina Boero Bases Matemáticas Sequências de números reais Sequências monótonas e limitadas Limite de sequências Cálculo de limites Limites infinitos Uma palavrinha sobre “expressões indeterminadas” Se (an ) e (bn ) tais que lim an = +∞ e lim bn = −∞ n→∞ n→∞ então (an + bn ) pode: • divergir (an = n + (−1)n e bn = −n); • divergir para +∞ (an = 2n e bn = −n); • divergir para −∞ (an = n e bn = −2n); • convergir para qualquer número real a (an = n + a e bn = −n). Devido a este comportamento imprevisı́vel, dizemos que +∞ − ∞ é uma “expressão indeterminada”. Outras “expressões indeterminadas”: ∞ · 0, ∞/∞, 0/0, ∞0 , 1∞ e 00 . Ana Carolina Boero Bases Matemáticas
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