Universidade Federal do Espírito Santo
Prova Final de Cálculo I
Prof. Lúcio Fassarella
DMA/CEUNES/UFES
Data: 06/08/2014
Aluno:________________________ Matrícula________ . Nota:
:
:
_______
.Observações:
I A prova tem duração de 150 min; não é permitido entrar na sala após 20 min desde seu início
e não é permitido sair da sala antes desse prazo. I A resolução da prova é individual e sem consulta;
só é permitido o uso de caneta, lápis e borracha, além das folhas de prova e rascunho cedidas; não
são permitidos conversas, uso de calculadora ou qualquer outro dispositivo eletrônico. I As respostas
devem ser justi…cadas para serem consideradas válidas; resoluções caóticas, confusas e vagas serão
anuladas. I As respostas devem ser registradas a caneta.
Questão 1 (1 ponto) Calcule os limites
p
3
4 + 3x
a) lim
Não existe!
x!0
x
2
x2
:
x!1 3x
=0
b) lim
Questão 2 (1 ponto) Determine o(s) valor(es) de a 2 R para os quais a função é contínua
2x2
x a
:
x+1 x>a
f (x) =
a = 1 ou a = 1/2
Questão 3 (1 ponto) Determine o ponto da seguinte curva no qual a reta tangente faz com o eixo-x o
ângulo de 120o ,
Ponto : (√3/3 , ln(2/3))
y = ln 1 x2 :
Questão 4 (1 ponto) Determine os valores de máximo e mínimo da função
x) x2 ; 1
g (x) = (9
x
Valor Mínimo : g(1) = 8
Valor Máximo : g(6) = 108
8:
Questão 5 (1 ponto) Calcule a integral
Z
p
3=2
1=2
p
11
dt:
1 t2
= (11/6)*Pi
Questão 6 (1 ponto) Determine a área da região plana limitada pelas curvas
y=
4
; y=5
x
Área = 15/2 - 4ln(4)
x:
Questão 7 (2 pontos) Faça um esboço do grá…co da função
h (x) =
9
x
x2
; 1
x
8:
Questão 8 (2 pontos) Um avião voando horizontalmente passa sobre uma estação de monitoramento.
Num certo momento, a estação mede o ângulo de elevação do avião obtendo =3 rad com taxa de decrescimento =9 rad= s. Supondo que a altitude do avião 5 km e que sua velocidade é constante, determine o valor
dessa velocidade.
Velocidade = (20/27)*Pi Km/s
1
Chave de Correção
Questão 1a
- Cálculo dos limites laterais = 0:4
- Conclusão correta = 0:1
Questão 1b
- Cálculo dos limites laterais = 0:4
- Conclusão correta = 0:1
Questão 2
- Igualdade dos limites laterais em a = 0:3
- Cálculo dos limites laterais em (dedução da equação para) a = 0:3
- Cálculo de a (resolução da equação quadrática implicada) = 0:4
Questão 3
- Condição que caracteriza o ponto em questão = 0:4
- Cálculo da derivada da função em questão = 0:4
- Resolução da equação quadrática implicada = 0:2
Questão 4
- Derivada de g = 0:3
- Pontos críticos de g = 0:3
- Cálculo dos valores de g nos pontos críticos e extremos = 0:2
- Conclusão correta = 0:2
Questão 5
- Substituição trigonométrica = 0:2
- Cálculo da primitiva = 0:6
- Retorno a variável original ou mudança dos extremos da integral = 0:2
Questão 6
- Cálculo da interseção das curvas = 0:2
- Expressão integral da área = 0:2
- Cálculo da primitiva = 0:6
Questão 7
- Cálculo da derivada da função e dedução do decrescimento = 0:5
- Cálculo da segunda derivada da função e dedução da concavidade = 0:5
- Cálculo de valores de referência da função e esboço = 1:0
Questão 8
- Relação entre o ângulo de elevação e o espaço percorrido pelo avião = 0:8
- Relação entre as taxas de variação do ângulo e do espaço percorido em relação ao tempo = 0:8
- Cálculo da velocidade do avião = 0:4
2