Curso de Geometria Analítica
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Resumo Teórico 08 – Sistema de Coordenadas, Pontos e Retas no Espaço.
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
Um Sistema de coordenadas Cartesianas no espaço é um conjunto formado por um Ponto O e por
→ → →
uma base ( i , j , k ). O ponto chamamos de origem do Sistema. As retas orientadas que
passam pelo ponto O e tem a direção e os sentidos dos vetores da base denominamos de eixos,
respectivamente das abscissas, ordenadas e cotas.
→ → →
Considerando o Sistema de Coordenadas Cartesianas( O, X, Y, Z ) e a base (i , j , k), qualquer
→
→
vetor V do espaço pode ser representado por (A-0)=V=(x, y, z), onde O é o ponto de origem do
→
Sistema e A é o ponto obtido por A= O+V.
z
→
k
→
→
j
i O
→
V
A
y
x
→
→
→
Observamos que as coordenadas dos vetores da base são: i = ( 1, 0, 0), j=(0, 1, 0) e k=(0, 0, 1).
Observamos também que os Pontos P=(x1,y1,z1) e Q=(x2,y2,z2) , o segmento orientado que é
→
PQ, determinado por estes pontos, representa o vetor obtido por (Q-P)=( x2-x1, y2-y1, z2-z1).
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS :
→ →
→
→ → →
Considerando dois sistemas de coordenadas E=(O, e1 , e2 , e3 ) e F=(O’, f1 , f2 , f3 ), é obvio
que os vetores de F podem ser obtidos como Combinação linear dos vetores de E. Assim teremos:
→
→
→
→
f1= a11 e1 + a21 e2 + a31 e3
a11 a12 a13
→
→
→
→
f2= a12 e1 + a22 e2 + a32 e3 A Matriz ME→F = a21 a22 a23
, é a matriz de Mudança de base,
→
→
→
→
para os vetores da base E, para
f3= a13 e1 + a23 e2 + a33 e3
a31 a32 a33
a base F.
Observamos que as linhas da matriz mudança de base, são respectivamente, os coeficientes
(reais) dos vetores e1 para a 1a linha, e2 para a 2a linha
e e3 para a 3a linha .
Analogamente, a matriz de mudança da base F para a base E, (MF→E), é a matriz (ME→F)-1, inversa
→
de (ME→F).
Desta forma para obtermos as coordenadas de um vetor VE=(xE , yE, zE) de uma base E para uma
→
outra base F, V F =(x F , y F, z F) teremos que solucionar a equação matricial como segue:
xE
yF
xF
= (ME→F) •
yE
xF
ou
zF
zE
EQUAÇÕES DA RETA NO ESPAÇO
yF
zF
xE
= (ME→F)-1 •
yE
zE
Equação da Reta na forma Vetorial:
→
Consideremos uma reta r , no espaço, que tem a direção do vetor V = (a, b, c) o e que contem o
Ponto A=(x0, y0, z0) . Para que um ponto qualquer, P=(x, y, z), do espaço, pertença a esta reta, é
→
necessário e suficiente que os vetores (P – A) e V sejam Linearmente Dependentes (de mesma
direção). Desta forma (P – A) pode ser escrito como cominação linear do vetor dado. Assim
teremos:
→
→
P=A+t•V
(P – A) = t • V (com t∈ IR), isto é: qualquer ponto P pode ser obtido por:
que constitui o que chamamos de Equação Vetorial da Reta.
Esta equação pode ser melhor detalhada na forma:
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t (a, b, c)
com t∈ IR.
Para o caso em que a reta é dada por dois Pontos, A=(x1,y1,z1) e B=(x2,y2,z2) , a equação será
obtida pelo uso do ponto A (ou B) e a direção do vetor B-A (que é a mesma do vetor A-B), assim:
(x, y, z) =(x1, y1, z1) + t (x2 – x1 , y2– y1, z2 – z1)
com t∈ IR.
Equações da Reta na forma Paramétrica:
Ao desmembrarmos a equação matricial (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t (a, b, c), podemos obter as
equações a seguir em função do Parâmetro t:
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
, que constituem as equações da reta na Forma Paramétrica.
ou as Equações Paramétricas da reta.
Equações da Reta na forma Simétrica:
y-y0
z-z0
x-x0
Ao resolvermos as equações paramétricas em função de t teremos: t= , t= , t= 
a
b
c
que quando igualá-las teremos:
y-y0
z-z0
x-x0
 =  = 
a
b
c
que constituem as equações da reta na Forma Simétrica ou as Equações Simétricas da reta.
Centro Universitário da FSA
Prof.: Anastassios H.K.