Problema da Agulha de Buffon
Lúcio Fassarella
DMA/CEUNES/UFES
2015
Problema: Num plano marcado por linhas paralelas com linhas adjacentes separadas por uma
distância fixa d, calcular a probabilidade de uma agulha de comprimento c tocar numa dessas
linhas quando lançada aleatoriamente sobre o plano.
Figura:
(A resolução computacional em termos de simulações apresentada a seguir considera que a situação possui
simetria translacional ao longo da direção paralela às linhas marcadas e simetria translacional em múltiplos de d
ao longo da direção perpendicular às linhas marcadas. Portanto, para realizar as simulações podemos considerar
apenas uma faixa entre duas linhas paralelas, uma identificada com o valor y=0 e a outra com o valor y=d.)
2
simulacao_problema-agulha.nb
In[1]:=
H*
Parâmetros
*L
Print@"Distância entre linhas paralelas adjacentes:"D
d=2
Print@"Comprimento da agulha:"D
c=1
H*
Função que identifica se a agula intersecta uma linha
Entrada:
® q = número real ~ ordenada da posição da base da agulha
® Θ = número real ~ ângulo polar da direção e sentido da agulha
Saída:
® 0 : a agulha não intersecta nenhuma linha horizontal
® 1 : a agulha cruza uma linha horizontal
*L
F@y_, Θ_D := If@
HHSin@ΘD ³ 0L ì Hy + c * Sin@ΘD ³ dLL ê
HHSin@ΘD £ 0L ì Hy + c * Sin@ΘD £ 0LL,
1,
0D
H*
Simulador
Entrada:
® s = número natural ~ quantidade de simulações
Saída:
® número real no intervalo @0,1D ~ estimativa da probabilidade de
uma agulha lançada randomicamente cruzar uma linha horizontal
*L
S@s_D := Module@8y, Θ, n = 0<,
For@i = 1, i £ s, i ++,
y = RandomReal@80, d<D;
Θ = RandomReal@80, 2 * Π<D;
If@F@y, ΘD == 1, n = n + 1D
D;
ns
D
Distâ ncia entre linhas paralelas adjacentes :
Out[2]=
2
Comprimento da agulha :
Out[4]=
1
simulacao_problema-agulha.nb
In[7]:=
Print@"ESTIMATIVA DA PROBABILIDADE"D
Print@"Número de simulações:"D
s = 1 000 000
Print@"Estimativa:"D
p = S@1 000 000D
ESTIMATIVA DA PROBABILIDADE
Número de simulaç ões:
Out[9]=
1 000 000
Estimativa :
Out[11]=
79 509
250 000
In[12]:=
NB
79 509
250 000
Out[12]=
0.318036
F
3