Vetores e Geometria Analítica
Produto de número real por vetor
É bom recordar as propriedades da multiplicação de um número real por um
vetor. Se λ e µ são dois números reais e ~u, ~v e w
~ são três vetores quaisquer,
então valem as seguintes identidades:
1. λ(~u + ~v ) = λ~u + λ~v
2. (λ + µ)w
~ = λw
~ + µw
~
3. 1~v = ~v
4. λ(µ~v ) = (λµ)~v = µ(λ~v )
Exercícios
1.
Regra de sinais.
valem:
Verique que, para todo escalar λ e para todo vetor ~v ,
(a) (−λ)~v = −(λ~v )
(b) λ(−~v ) = −(λ~v )
(c) (−λ)(−~v ) = λ~v
2. Prove que (−1)~v = −~v , ou seja, que o número real menos-um vezes um
vetor qualquer é igual ao oposto desse vetor.
3. Prove que se λ 6= 0 e ~v = λw
~ , então w
~ = λ1 ~v .
4. Mostre que ~v + ~v = 2~v e que se ~v = −~v então ~v = ~0.
5. Verique que se λ 6= 0 e λ~v = λw
~ então ~v = w
~.
6. Resolva a seguinte equação:
2~x − 3~u = 10(~x + ~v )
onde a incógnita é o vetor ~x. Em cada passo da sua resolução observe
cuidadosamente a aplicação das propriedades da multiplicação de número
real por vetor.
7. Suponha que ~v = λw
~ . Prove que:
(a) Se w
~ 6= ~0, então |λ| = k~v k / kwk
~ .
(b) Se ~v e w
~ têm o mesmo sentido então ~v =
~v =
vk
~
− kk~wk
~ w
1
k~
vk
~.
kwk
~ w
Caso contrário,