Álgebra I
IM-UFRJ
2013-1
Questão 1.
Prova Final
Bachalerado
Queremos encher uma garrafa de 1475ml com dois recipientes de 69ml e 115ml.
(a) É possível? (Calcule o mdc de 69 e 115). Qual é o volume maximal V de líquido que
podemos verter na garrafa.
(b) Determine todos pares (x, y) tais que 3x + 5y = 64.
(c) Deduza de quantos modos pode-se verter o volume V na garrafa com os dois recipientes.
Questão 2.
(a) Vérique que 123448 é divisível por 13. Se colocamos o primeiro algarismo desse número
no nal obtemos 234481, verique que esse número é ainda divisívle por 13.
(b) Calcule 10k (mod 13), por 0 ≤ k ≤ 5.
(c) Mostre que se um número com 6 algarismos é divisível por 13, então o número obtido
colocando o primeiro algarismo no nal é ainda divisível por 13.
Questão 3.
(a) Lembre a denição da função de Euler ϕ(n) e calcule ϕ(65).
(b) Enuncie o Teorema de Euler.
(c) Seja a um intiero primo com n, dê a denição de on (a) a ordem multiplicativa de a módulo
n.
(d) Calcule a ordem multiplicativa de 19 módulo 5 e módulo 13. Deduza a ordem multiplicativa
de 19 módulo 65.
(e) Determine o resto da divisão de (46)121 por 65.
(f) Dê a denição de um grupo cíclico. Os grupos Z∗5 e Z∗13 são cíclicos? O grupo Z∗65 é cíclico?
Justique.