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2
3
FLÁVIA DA COSTA QUEIROZ
NÚMEROS RELATIVOS: UMA ANÁLISE DE NATUREZA EPISTEMOLÓGICA DE
ALGUNS LIVROS DIDÁTICOS NACIONAIS DO TERCEIRO CICLO DO ENSINO
FUNDAMENTAL
Monografia
apresentada
ao
Curso
de
Especialização em Matemática para Professores de
Ensino Fundamental e Médio da Universidade
Federal Fluminense, como requisito parcial para
obtenção do Grau de Especialista.
Orientador: Prof . Dr. Wanderley Moura Rezende
Niterói
2006
3
4
FLÁVIA DA COSTA QUEIROZ
NÚMEROS RELATIVOS: UMA ANÁLISE DE NATUREZA EPISTEMOLÓGICA DE
ALGUNS LIVROS DIDÁTICOS NACIONAIS DO TERCEIRO CICLO DO ENSINO
FUNDAMENTAL
Monografia apresentada ao curso de Especialização em
Matemática para Professores de Ensino Fundamental e
Médio da Universidade Federal Fluminense, como
requisito parcial para obtenção do Grau de Especialista.
Aprovada em
de 2006.
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. Wanderley Moura Rezende – Orientador
Universidade Federal Fluminense
Profª. Dra. Solimá Gomes Pimentel
Universidade Federal Fluminense
Profª. Me. Lúcia Maria Aversa Villela
Universidade Severino Sombra
NITERÓI
2006
4
5
AGRADECIMENTOS
A Deus pela vida e proteção e ao Prof. Dr. Wanderley Moura Rezende
pelo comprometimento e paciência ao orientar-me neste trabalho.
5
6
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
9
CAPÍTULO 1: A história dos números relativos
12
CAPÍTULO 2: Obstáculos epistemológicos relacionados
ao conceito de número relativo
2.1. Obstáculos Epistemológicos
2.2. A epistemologia dos números relativos por Georges Glaeser
24
26
CAPÍTULO 3: Análise dos livros didáticos
33
Conclusão
48
Obras citadas
53
Obras consultadas
55
6
7
RESUMO
Os Parâmetros Curriculares Nacionais revelam que os resultados do ensino dos números
relativos na sexta série do ensino fundamental tem sido bastante insastisfatório. Tempos atrás, o
educador matemático francês Georges Glaeser observou, através de uma investigação de
natureza histórica e epistemológica, que os matemáticos tiveram dificuldades em compreender
as regras dos sinais, principalmente no que diz respeito ao produto de dois números negativos
ser um número positivo. Em sua pesquisa, Glaeser nomeou seis obstáculos epistemológicos dos
números relativos. Diante deste cenário, optamos por investigar como o tema “número
relativo” é abordado em dez livros didáticos nacionais do terceiro ciclo do ensino fundamental,
procurando analisar, sobretudo, como os autores dos livros respondem a questão “por que
menos vezes menos dá mais”, tendo como referência a pesquisa desenvolvida por Glaeser. Esta
monografia está estruturada em três capítulos: um inicial, em que se faz uma breve revisão
histórica dos números relativos; um segundo capítulo, em que se desenvolve um estudo dos
obstáculos epistemológicos relacionados ao conceito de números relativos tendo como
referência o trabalho de Glaeser; no terceiro e último capítulo desenvolvemos a análise dos
livros didáticos.
Palavras-chave: Números relativos, obstáculos epistemológicos, história da matemática,
educação básica, livro didático.
7
8
ABSTRACT
The “PCN’s” shows that the teaching of relative numbers in the sexth grade has not reached the
expectations. Times ago, the french mathematician educator Georges Glaeser noticed,
throughof anahistoric and epistemologic investigation, that the mathematician educators have
had difficulties in understanding the signs rules, mainly related to the product of two negative
numbers result in a positive number. In his research, Glaeser named these facts, we decided to
make a study of the “relative number” and its approach in ten national textbooks of the third
cycle of the secondary school, analysing, above all, how the authors of these books answer the
question “why minus times minus is igual to plus”, making reference to Glaeser’s research.
This monography has three chapters: the first where there is a brief historic review of relative
numbers. The second, where there is a study of the epistemologics obstacles related to the
concept of relative numbers to be based in Glaeser’s word and the third and last chapter we
develop na analysis of the texlbooks.
Key words: relative numbers, epistemologics obstacles, history of mathematics, basic
education, didatic book.
8
9
INTRODUÇÃO
O uso do número é comum em nossas vidas, porém quando nos referimos aos
números há uma frase de Wells (1866 - 1946) que define perfeitamente a dificuldade em torno
do seu aprendizado, que é “Nada no mundo é tão revoltante como os algarismos.
Aparentemente não passam de pequeninos rabiscos negros; mas que golpes terríveis podem nos
deferir!” 1 . Neste trabalho buscaremos explicar uma grande descoberta humana em relação aos
números, que é a regra dos sinais dos números relativos, “o porquê que menos vezes menos é
igual a mais”.
Este tema, no ensino básico, se resume às vezes apenas à memorização de
“regras” para efetuar operações matemáticas. No entanto, uma grande quantidade de anos, e
mesmo de séculos, foi necessária para justificar todo o seu entendimento. Vários matemáticos
revelaram em seus textos incompreensão a respeito dos números relativos. D’Alembert, por
exemplo, escreveu um artigo intitulado “Negativo”, onde mostrava-se confuso em relação ao
conceito de número negativo: “(...) dizer que as quantidades negativas estão abaixo do nada é
afirmar uma coisa que não se pode conceber (...)”.
Assim como D’Alembert, tantos outros célebres matemáticos tiveram
dificuldades no uso dos números relativos. Tal fato é evidenciado no artigo “Epistemologia dos
Números Relativos” (Traduzido e publicado no boletim GEPEM, nº 17, 1969) do professor e
historiador Georges Glaeser. Neste trabalho o educador matemático identificou seis obstáculos
epistemológicos relacionados ao conceito de número relativo. Ao fazer isto, Glaeser recupera,
tal e como sugere o epistemólogo Gaston Bachelard (1996), o verdadeiro espírito do
epistemólogo que é o de estudar nas sínteses progressivas das ciências as dificuldades
9
10
intrínsecas ao conhecimento, determinando, ou melhor, tecendo a rede de significações que
caracteriza e dá sentido ao mesmo. Segundo Bachelard (1996), “para um espírito científico,
todo conhecimento é uma resposta a uma questão. Se não pode haver questão, não pode haver
conhecimento científico. Nada é natural. Nada é dado. Tudo é construído”.
Por outro lado, observa-se que, curiosamente, as dificuldades encontradas no
decorrer da história quanto à compreensão dos números relativos repetem-se em sala de aula
quando da introdução desses números na sexta série do Ensino Fundamental. Muitos são os
professores e pesquisadores que têm discutido e apresentado novas metodologias que possam
levar os alunos a compreender e utilizar números negativos e suas operações com facilidade.
Como exemplo, podemos citar o professor Baldino (1990) que, em seu texto sobre a
epistemologia dos números relativos, faz referência a três jogos a fim de facilitar a
aprendizagem dos alunos. Os Parâmetros Curriculares Nacionais ratificam essa dificuldade,
segundo os PCN’s o ensino dos números relativos costuma ser cercado de dificuldades, e os
resultados, no que se refere à sua aprendizagem ao longo do Ensino Fundamental, tem sido
bastante insatisfatórios. Os PCN’s alertam que a ênfase na memorização de regras para efetuar
cálculos, geralmente descontextualizados, costuma ser a tônica da abordagem dada aos
números no terceiro e quarto ciclos. Como decorrência disso é que muitos alunos não chegam a
reconhecer os números relativos como extensão dos naturais e apesar de memorizarem as
regras de cálculo, não as conseguem aplicar adequadamente, por não terem desenvolvido uma
maior compreensão do que seja o número negativo. E aí surge uma questão: Como pode uma
criança, conceber algo que seja menor que o nada, e, além disso, achar natural que o produto
de duas coisas que são menores que o nada ser maior que o próprio nada?
Diante deste cenário, optamos por investigar como o tema “número relativo” é
abordado nos livros didáticos. Ou seja, Como os autores dos livros didáticos explicam o porquê
que “menos vezes menos é igual a mais”.
1
apud Tahan, 1965.
10
11
A fim de analisar a compreensão dos números relativos e mais especificamente
“o porquê que menos vezes menos é igual a mais” desenvolvemos esta monografia em três
capítulos. No primeiro capítulo fizemos uma breve revisão histórica dos números relativos. No
segundo desenvolvemos um estudo dos obstáculos epistemológicos relacionados ao conceito de
número relativo tendo como referência o trabalho de Glaeser e por fim no último capítulo
apresentamos o resultado da nossa pesquisa.
11
12
Capítulo I
A história dos números relativos
Ao que parece os números negativos surgiram pela primeira vez na China antiga. Os
chineses calculavam com duas coleções de barras – vermelha para os números positivos e preta
para os números negativos. Contudo, não aceitavam a idéia de um número negativo poder ser
solução de uma equação.
Sabe-se que outros povos do Oriente tinham conhecimento dos números negativos. Os
matemáticos indianos, por exemplo, descobriram os números negativos quando tentavam
formular um algoritmo para a resolução de equações quadráticas. As regras sobre grandezas
eram já conhecidas através dos teoremas gregos sobre subtração, como por exemplo:
(a – b )( c – d ) = ac + bd – ad – bc, mas os hindus converteram-na em regras numéricas sobre
os números negativos e positivos. Na obra de Brahmagupta ( 628 d.C aproximadamente ),
encontra-se pela primeira vez a aritmética sistematizada dos números negativos.
A origem da regra dos sinais é atribuída entretanto a Diofantes ( fim do século III d.C.
) por diversos autores como Boyer ( 1996 ), Glaeser ( 1969 ) e Talavera ( 2001 ). No início do
livro I da sua aritmética o matemático grego faz referência ao desenvolvimento do produto de
duas diferenças, escrevendo:
“ O que está em falta multiplicado pelo que está em falta dá o que é positivo;
enquanto que o que está em falta multiplicado pelo que é positivo, dá o que está
em falta”. (Diofanto apud Glaeser, 1969, p.47 ).
12
13
A aceitação dos números negativos bem como as operações com estes tipos de números
foram lentas e bastante polêmicas. Os algebristas árabes, por exemplo, só consideravam raízes
positivas, o mesmo ocorrendo entre os matemáticos da Europa Medieval, como Fibonacci.
A visão puramente geométrica ( multiplicação ) e comercial ( dívidas e bens )
influenciaram por séculos muitos dos célebres matemáticos. Um exemplo, é a obra de Nicolas
Chuquet ( 1445 – 1500 ) denominada “Triparty” ( 1484 ) onde aceita os números negativos
como representação de dívida e rejeita-os, em alguns casos, nas soluções negativas de
equações.
Nicolas Chuquet introduziu o expoente negativo e uma extensiva discussão de equações
que, ocasionalmente, admitem soluções negativas. Além disso, define número assim:
“Número, na medida em que ele é expediente de nossos propósitos, é tomado aqui
num sentido geral, não somente como coisa, que é a coleção de várias unidades,
mas também é 1 ou parte e partes de 1, tal como qualquer fração. Todo número,
qualquer que ele seja, é compreendido e interpretado em muitos caminhos.
(Chuquet apud Nepomuceno, 1999).
O matemático Stifel, no início do século XVI, mostrou que conhecia profundamente as
propriedades dos números negativos, os quais denominou “números absurdos”. Chegou a
imaginar os expoentes negativos, sem contudo dispor de nossa notação atual, mas persistiu em
negligenciar as raízes negativas das equações.
Os algebristas italianos Cardano ( 1501–1576 ), Scipione del Ferro ( 1465 – 1526 ) e
Tartaglia ( 1500 – 1557 ) que tanto contribuíram para o estudo dos métodos de evolução de
equações do terceiro e quarto graus evitaram os negativos como coeficientes de equações
algébricas. Este processo que renuncia a utilização dos números negativos foi caracterizado
por Glaeser ( 1969 ) como um sintoma de evitação.
O matemático Stevin ( 1548 – 1620 ) aceita números negativos como raízes e
coeficientes de equações, expressa número como aquilo pelo qual explica quantidade de
alguma coisa e proclama: “Concluímos, pois, que não existem números absurdos, irracionais,
13
14
irregulares, inexplicáveis, ou surdos; e sim, que, entre eles ( os números ) há uma tal excelência
e coerência, que temos meios de medir a noite e o dia, em sua admirável perfeição”. Contudo
não afirma nada sobre a existência do número negativo como símbolo de quantidade.
Stevin também faz a seguinte proposição : As raízes negativas das equações são as
raízes positivas da transformada em – x ( sintoma de evitação ) e apresenta uma demonstração
do produto de duas diferenças, dizendo:
“ Mais multiplicado por mais dá produto mais, e menos multiplicado por menos,
dá produto mais, e mais multiplicado por menos ou menos multiplicado por mais,
dá produto menos”. ( Stevin apud Glaeser , 1969, p. 47 ).
Abaixo aparece a explicação 2 de Stevin para este resultado:
“Seja 8 – 5 multiplicado por 9 – 7, deste modo: - 7 vezes –5 faz +35 ( + 35,
porque, como diz o teorema, - por -, faz + ). Depois –7 vezes 8 faz – 56 ( -56,
porque, como está dito no teorema, - por +, faz -). E similarmente seja 8 – 5
multiplicado pelo 9, e darão produtos 72 – 45; depois juntem + 72 + 35, fazem
107. Depois juntem os –56 – 45, fazem –101; e subtraído o 101 de 107 resta 6,
para produto de tal multiplicação. Da qual a disposição dos caracteres da operação
é este:
8 5
9
-
- 56
72
7
35
-45
6
Demonstração: O multiplicador 9 – 7 vale 2; mas multiplicando 2 por 3, o Produto
é 6, logo , o produto acima também é 6, mas o mesmo é obtido por multiplicação,
lá onde dissemos que + multiplicado por + , dá produto +, e – por -, dá produto +,
e + por -, ou – por +, dá produto -, portanto o teorema é verdadeiro.
Stevin apresenta também uma demonstração geométrica deste resultado:
D
2
F
7
5
5
10
B
3
5
35
0
6
21
G
3
14
15
A
C
7
E
Seja AB 8 – 5( a saber AD 8 – DB 5 ). Depois AC 9 – 7( a saber AE 9 – EC 7 ),
seu produto será CB; ou ainda de acordo com a multiplicação precedente ED 72 –
EF 56 – DG 45 + GF 35, os quais nos mostrarão serem iguais a CB desse modo.
Em suma, ED + GF, subtraído de EF e DG, resta CB.
Conclusão: Portanto mais multiplicado por mais, dá produto mais. E menos
multiplicado por menos, dá produto mais, e mais multiplicado por menos, ou
menos multiplicado por mais, dá produto menos; como queríamos demonstrar”. (
Stevin apud Glaeser, 1969, p.48 e 49).
No final do século XVII, surgiu a obra de Viéte ( 1540 – 1603 ), que admitia que as
expressões literais pudessem tomar valores negativos. No entanto, a álgebra não teria
conhecido um tal avanço se esta generalização do número não tivesse sido acompanhada por
uma descoberta igualmente fundamental, realizada em 1591 pelo próprio Viéte e aperfeiçoada
em 1637 por Descartes: a notação simbólica literal.
Com o passar da história, os matemáticos passaram a praticar cada vez melhor o cálculo
dos números relativos. No entanto, o seu entendimento ainda deixou a desejar, confundindo
inclusive a mente do “pai” da geometria analítica ( René Descartes ).
Rene Descartes ( 1596 – 1650 ) dedica um terço de seu livro “Geometria “( 1628 ), à
arte de se livrar das raízes falsas ( valor negativo da incógnita da equação ), o que demonstra
um outro sintoma de evitação. Descartes também construiu um sistema de coordenadas
“cartesianas”, em que considerou separadamente duas semi-retas opostas: as linhas negativas se
dirigem em sentido oposto ao das linhas positivas. Além disso, cabe ressaltar que Descartes
desenvolveu a curva x3 + y3 = 3axy restrigindo-a apenas ao primeiro quadrante. Tal curva é
conhecida, por esta razão, como Folium de Descartes 3 :
2
In ( Glaeser , 1969 )
x3 + y3 = 3axy
15
16
Outro aspecto interessante de se observar é que a criação dos termômetros contribuiram,
de certo modo, para a discussão sobre números negativos. Gabriel Fahrenheit ( século XVIII ),
por exemplo, criou o primeiro termômetro e tomou como origem de sua escala não o ponto de
fusão do gelo, como fizeram Réaumur e Celsius que vieram após ele, mas escolheu a
temperatura mais baixa que conhecera: o frio do inverno de 1709. Como segundo ponto fixo
tomou a temperatura do corpo humano, dividindo o intervalo correspondente em 100 graus.
Seu termômetro foi o primeiro a conter mercúrio como corpo termométrico. Esse mercúrio,
anos após seria a causa de grande curiosidade. Um frio na região fez o mercúrio encolher-se na
esfera do vidro, descendo abaixo do marco zero da escala, abaixo do começo dela. Fahrenheit
foi obrigado a reconhecer a continuação da existência de temperaturas, e defendeu-se criando
novas temperaturas: graus de calor e graus de frio. O que caracterizou um sintoma de evitação.
Segundo Colin Maclaurin ( 1698 – 1746 ), o uso do sinal negativo, em álgebra, dá
origem a numerosas consequências difíceis de admitir, em princípio, e que propiciam idéias
aparentemente sem qualquer fundamento real. Maclaurin enuncia a regra dos sinais, dizendo:
3
Folha de Descartes ( A curva de Descartes tem um formato de uma folha )
16
17
“Poder-se-ia deduzir daí a regra dos sinais tal como se costuma enunciá-la, ou
seja, que os sinais iguais nos termos do multiplicador e do multiplicando dão + no
produto, e os sinais diferentes dão -. Evitamos esta maneira de apresentar a regra,
para poupar aos iniciantes a revoltante expressão – por – dá +, que, todavia, é uma
consequência necessária da regra. Pode-se, como fizemos, disfarçá-la, mas não
anulá-la, nem contradizê-la; o leitor, sem perceber , observou todo o seu sentido
nos exemplos precedentes. Familiarizado com a coisa, como iria perturbar-se com
as palavras? Se ainda conserva alguma dúvida, que preste atenção à seguinte
demonstração, que ataca diretamente a dificuldade.
+ a – a = 0, assim, multiplicando + a – a por qualquer quantidade, o produto deve
ser 0; se multiplico por n, terei como primeiro termo + na, portanto o segundo será
– na, pois é preciso que os dois termos se destruam. Logo sinais diferentes dão –
no produto. Se multiplico + a – a por – n, de acordo com o caso precedente, obterei
– na como primeiro termos; logo terei + na como segundo, pois é sempre
necessário que os dois termos se destruam. Logo – multiplicado por – dá + no
produto ”. ( Maclaurin apud Glaeser, 1969, p. 60 e 61 ).
Léonard Euler ( 1707 -1783 ), manipulava os números relativos com engenhosidade e
arrojo em seus artigos. Em uma de suas obras destinada a principiantes, ( Euler , 1770 ), tentou
justificar a regra dos sinais. Sua argumentação, segundo Glaeser ( 1969 ), pode ser dividida em
três partes:
“1. A multiplicação de uma dívida por um número positivo não apresenta qualquer
dificuldade: Três dívidas de a escudos fazem uma dívida de 3a escudos. Logo b x
( - a ) = - ab.
2. Por comutatividade, Euler deduz daí que ( - a ) x b = - ab .
3. Resta determinar o que é ( grifo nosso ) o produto ( - a ) por ( - b ).
- É claro, diz Euler, que o valor absoluto é ab. Trata-se, portanto de decidir entre +
ab e – ab. Como ( -a ) x b já vale – ab, a única possibilidade restante é de que
( - a ) x ( - b ) = + ab.” ( Euler apud Glaeser , 1969, p. 64 e 65 ).
Euler, usa como exemplo de equação, as equações do 1º grau que tenham apenas raízes
positivas. Por outro lado, Euler admitiu em seu texto algumas equações quadráticas com raiz
negativa, porém não fez nenhum comentário sobre essas raízes negativas.
Parece que a compreensão dos números negativos desafiaram às mentes matemáticas
mais privilegiadas. Além de Euler, D`Alembert ( 1717 – 1783 ) também demonstra essa
incompreensão como podemos perceber no seu texto “Negativo”, publicado na enciclopédia
Francesa:
17
18
“ As quantidades negativas são o contrário das positivas: onde termina o positivo,
começa o negativo”. Dizer que as quantidades negativas estão abaixo do nada é
afirmar uma coisa que não se pode conceber. Os que pretendem que 1 não é
comparável a –1 e que a relação ( razão) entre 1 e –1 incidem num duplo erro: 1ºporque, todos os dias, nas operações algébricas, dividimos 1 por –1; 2º - a
igualdade do produto –1 por –1, e de +1 por +1 revela que 1 está para –1, assim
como –1 está para 1.
Considerando a exatidão e a simplicidade das operações algébricas com
quantidades negativas, somos levados a crer que a idéia precisa que se deve fazer
das quantidades negativas é uma idéia simples, não dedutível, absolutamente, de
uma metafísica presumida. Para tentar descobrir a verdadeira noção, deve-se
primeiro, notar que as quantidades a que chamamos negativas e que falsamente
consideramos como abaixo de zero, são comumente representadas por quantidades
reais, como na geometria, onde as linhas negativas só diferem das positivas por sua
situação em relação a qualquer linha no ponto comum. Daí, é natural concluir que
as quantidades negativas encontradas no cálculo são, de fato, quantidades reais,
mas quantidades reais a que se deve associar uma idéia diferente daquela que
fazíamos. Imaginemos, por exemplo, que estamos procurando o valor de um
número x, que somado a 100 perfaça 50. Pelas regras de álgebra , teremos x + 100
= 50 e x = - 50. Isto mostra que a quantidade x é igual a 50 e que, em vez de ser
acrescida a 100, ela deve ser retirada . Enunciaríamos, portanto, o problema desta
maneira: encontrar uma quantidade x que, retirada de 100, deixe como resto 50:
enunciado assim o problema, teremos 100 – x = 50, e x = 50, e a forma negativa de
x não subsistiria mais. Assim, as quantidades negativas, no cálculo, indicam
realmente quantidades positivas que supusemos numa falsa posição. O sinal – que
encontramos antes de uma quantidade serve para retificar e corrigir um erro que
cometemos na hipótese, como o exemplo acima demonstra claramente.
Note-se que estamos falando de quantidades negativas isoladas, como –a, outras
quantidades a – b, em que b é maior que a; pois, para aquelas em que a – b é
positivo, isto é, em que b é menor que a, o sinal não acarreta qualquer dificuldade.
Realmente, pois, não existe absolutamente quantidade negativa isolada. –3 tomado
abstratamente, não apresenta qualquer idéia ao espírito; mas se digo que um
homem deu a outro –3 escudos, isto quer dizer, em linguagem inteligível, que ele
lhe tirou 3 escudos.
Eis porque o produto de –a por –b dá + ab; pois o fato de que a e b estejam
precedidos, por suposição, do sinal -, é uma indicação de que as quantidades a e b
estão misturadas e combinadas com outras às quais nós as comparamos, pois se
elas fossem consideradas como sozinhas e isoladas, os sinais – de que fossem
precedidas nada apresentariam de claro ao espírito. Portanto, essas quantidades – a
e – b, só estão precedidas pelo sinal porque há algum erro tácito na hipótese do
problema ou da operação; se o problema fosse bem enunciado, essas quantidades a
e b deveriam estar com o sinal + e então seu produto seria + ab, o que significa a
multiplicação de –a por –b, onde retiramos b vezes a, quantidade negativa – . Ora,
pela idéia que demos acima das quantidades negativas, acrescentar ou impor uma
quantidade negativa e retirar uma positiva; portanto, pela mesma razão, retirar uma
negativa é acrescentar uma positiva; e o enunciado simples e natural do problema
deve ser, não de multiplicar –a por –b e, sim, +a por +b, o que dá o produto + ab.
Não é possível desenvolver suficientemente esta idéia em uma obra da natureza
desta, mas ela é tão simples, que eu duvido que se possa substituí-la por outra mais
clara e mais exata; e creio poder assegurar que, se a aplicarmos a todos os
problemas que tivermos de resolver onde apareçam quantidades negativas, jamais
lhe atribuiremos falhas. De qualquer modo, as regras das operações algébricas
sobre as quantidades negativas são admitidas por todo mundo; e geralmente
recebidas como exatas quaisquer idéias que, aliás, possamos atribuir a tais
quantidades sobre as ordenadas negativas de uma curva e sua situação em relação
as ordenadas positivas”. ( D`Alembert apud Glaeser, 1969, p. 73, 74, 75 e 76 ).
18
19
O leitor mais assíduo de D`Alembert foi Lazare Carnot ( 1753 – 1823 ), que foi
considerado no seu tempo um dos maiores matemáticos franceses. Antes de prosseguirmos
nossa análise crítica convém comentar alguns aspectos do texto de Carnot. Vejamos alguns
fragmentos de sua obra:
“Para obter realmente uma quantidade negativa isolada, seria preciso retirar uma
quantidade efetiva do zero, privar o nada de alguma coisa: operação impossível.
Como, portanto, conceber uma quantidade negativa isolada? (...) As noções até
agora conhecida das quantidades negativas isoladas se reduzem a duas: aquela de
que acabamos de falar, saber que são quantidades menores que zero; e aquela que
consiste em dizer que as quantidades negativas têm a mesma natureza que as
quantidades positivas, mas tomadas em sentido contrário. D`Alembert destrói ambas
as noções, inicialmente ele refuta a primeira com um argumento que me parece
irreplicável.
Seja, diz ele, esta proporção + 1 : - 1 = - 1 : 1; se a noção combatida fosse exata, isto
é, se –1 fosse menor que zero, com mais razão ele seria menor que 1; assim , o
segundo termo desta proporção deveria ser menor que –1; e assim –1 seria ao
mesmo tempo menor e maior que 1, o que é contraditório. É necessário, diz ele,
demonstrar essa posição (quantidades negativas em sentido contrário das positivas),
na medida em que ela nem sempre acontece”. (Carnot apud Glaeser,1969, p.79 ).
Segue-se, da mesma obra, uma passagem ainda mais espantosa:
“Uma multidão de paradoxos, ou antes de palpáveis absurdos resultaria da mesma
noção; por exemplo: -3 seria menor que 2; contudo, ( -3 ) 2 seria maior que 22, ou
seja, entre duas quantidades diferentes, o quadrado da maior seria menor que o
quadrado da menor, o que afronta todas as idéias claras que se poderiam formar
sobre a quantidade. Para à Segunda noção, que consiste em dizer que as
quantidades negativas só diferem das quantidades positivas por serem tomadas em
sentido oposto. Esta idéia é engenhosa, mas não é mais justa que a precedente. De
fato, se duas quantidades, uma positiva, outra negativa, sendo ambas reais e não
diferindo senão por sua posição, por que a raiz de uma seria uma quantidade
imaginária, enquanto a da outra seria efetiva? Por que raiz quadrada de –a não
seria tão real quanto raiz quadrada de a? Pode-se conceber uma quantidade efetiva
da qual não se possa extrair a raiz quadrada? E de onde proviria o privilégio da
primeira em conceder seu sinal ao produto –a x + a ? ” ( Carnot apud Glaeser,
1969 p.80 e 81 ).
Em algumas de suas conferências pedagógias, Pierre de Laplace (1749 – 1827 ), outro
“gênio da matemática”, manifestou o mesmo embaraço que seus antecessores, dizendo que a
teoria dos números relativos não era considerada matéria fácil, disse:
“A regra dos sinais apresenta algumas dificuldades: custa conceber que o produto
de –a por –b seja o mesmo que a por b. Para tornar sensível esta idéia,
observaremos que o produto de –a por +b é –ab ( porque o produto nada mais é
que –a repetido tantas vezes quantas são as unidades existentes em b).
Observaremos, a seguir, que o produto de –a por b-b é nulo, pois o multiplicador é
19
20
nulo; assim já que o produto de –a por +b é –ab, o produto de –a por –b deve ser
de sinal contrário ou igual a +ab para destruí-lo”. (Laplace apud Glaeser, 1969, p.
94 ).
Em consequência a obra de Laplace, aparece um comentário de um professor de uma
escola politécnica, dizendo: “Toda demonstração de regras sobre as quantidades negativas
isoladas só pode ser uma ilusão, pois não faz nenhum sentido aplicável a operações aritméticas
efetuadas com coisas que não são números e não tem existência real”. Isto é, o que falta na
demonstração de Laplace.
Em 1821, Augustin Cauchy ( 1789 – 1857 ) publicou seu curso destinado a escola
politécnica. No início, ele fez uma nítida distinção entre os números ( reais positivos ) e
quantidades ( números relativos ), onde disse que do mesmo modo que se vê a idéia de número
nascer da medida de grandezas, adquire-se a idéia de quantidade ( positiva ou negativa ), se
considerarmos cada grandeza de uma espécie dada capaz de servir para o crescimento ou
diminuição de outra grandeza fixa da mesma espécie. Para indicar, indicam-se as grandezas que
servem para aumentar por números precedidos do sinal +, e as grandezas que servem de
diminuição por números precedidos do sinal -.
Isto posto, os sinais + ou – colocados antes dos números podem-se comparar, segundo a
observação feita, a adjetivos colocados junto a seus substantivos. Designam-se os números
precedidos do sinal + pelo nome de quantidades positivas, e os números precedidos do sinal -,
pelo nome de quantidades negativas.
Aparecem desta forma, uma confusão entre os sinais ( + ou - ) operatórios e
predicativos, onde os primeiros designam uma ação ( aumentar, diminuir ) e os segundos
qualificam um estado ( positivo , negativo ).
20
21
Cauchy passa a recorrer a uma metáfora ( positivo = aumento ; negativo = diminuir ) e
apresenta a multiplicação de um modo formal e passa a operar com símbolos ( formado por um
sinal e um valor absoluto ). O matemático francês demonstra a composição apenas para sinais
predicativos e depois aplica-a aos sinais operatórios, sem chamar atenção para esse abuso:
“Com base nessas convenções, se representamos por A, seja um número, seja uma
quantidade qualquer, e se fazemos:
a = + A, b = - A, teremos +a = + A, + b = - A, - a = - A, - b = + a
Se, nas quatro últimas equações, atribuírmos a a e b seus valores entre parênteses,
obtemos as fórmulas:
+(+A)=+A,
+(-A)= -A
-(+A)=-A ,
- (-A)= +A
Em cada uma destas fórmulas, o sinal do segundo membro é o que chamamos de
produto dos sinais do primeiro. Multiplicar dois sinais é formar seu produto. Daí,
surge a regra dos sinais enunciada do seguinte modo: O produto de dois sinais
iguais é sempre positivo e o produto de dois sinais opostos é negativo.”( Cauchy
apud Glaeser, 1969, p. 100).
Finalmente, às vésperas do século XX, o alemão Herman Hankel publica “Teoria dos
sistemas complexos”, tendo o propósito de definir a teoria dos números complexos – um
conceito matemático muito mais recente que o de números negativos – consegue em suas
demonstrações desvendar por completo algumas dúvidas relacionadas com os números
relativos.
Hankel afirmava que os números não são descobertos e sim inventados, imaginados.
Sob esta linha de raciocínio ele abandonou o ponto de vista “concreto” baseado em exemplos
práticos passando a adotar uma perspectiva totalmente diversa e mais “formal”. O matemático
propõe estender a multiplicação de R+ a R, respeitando um princípio de permanência. A
existência e a unicidade dessa extensão resulta do seguinte teorema: A única multiplicação em
R, que estende a multiplicação usual em R+, respeitando a distributividade ( à esquerda e à
direita) , está de acordo com a regra dos sinais.
21
22
Uma vez formulado o problema, a demonstração é trivial:
0 = a . 0 = a . ( b + op . b) = ab + a . ( op . b )
0 = 0 . ( op. B ) = ( op. A ) . ( op. B ) + a . ( op. B )
Donde: ( op.a ) . ( op. B ) = ab.
Assim, ao recusar a busca de um bom modelo que justificasse a adição e a multiplicação
dos números relativos, Herman Hankel, consegue ultrapassar a barreira de todos os obstáculos
4
dos números relativos.
Apesar de todo o estudo voltado para os números relativos, a legitimação dos números
relativos poderia ter ocorrido antes, para isso, bastaria que se dispusesse de um bom modelo,
familiar à época de modo que fosse possível ilustrar todas as principais propriedades do sistema
numérico.
Segundo Glaeser ( 1969 ), um modelo eficaz deveria satisfazer às seguintes condições:
1 – Explicar simultaneamente a adição e a multiplicação dos números relativos, bem
como as interações dessas operações.
2 – Basear-se em operações internas.
3 – Ser suficientemente familiar aos que ainda ignoravam os números relativos.
Observa-se, por exemplo, que o modelo comercial dos ganhos e dívidas é um obstáculo
à compreenssão das propriedades multiplicativas. Se considerarmos os números negativos
como dívidas, temos que o produto de duas dívidas daria um lucro. A citação de D’ Alembert
que nos revela que “é difícil conceber que o produto de dois números negativos é um número
positivo” demonstra as dificuldades de alguns matemáticos sobre a compreensão do produto
dos números negativos. A demonstração formal sobre a regra dos sinais desenvolvida por
alguns matemáticos é que permitiu o avanço dos números relativos.
4
tal tema será desenvolvido no próximo capítulo
22
23
Deste modo, o estudo de alguns matemáticos, desde Diofantes até Hankel, é o que nos
permite compreender as dificuldades inerentes ao produto dos números inteiros; isto é, o por
quê que menos vezes menos é igual a mais?
CAPÍTULO II
23
24
OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS RELACIONADOS AO CONCEITO DE
NÚMERO RELATIVO.
2.1- Obstáculos epistemológicos
A noção de obstáculo epistemológico desenvolvida por Gaston Bachelard
5
(1884 –
1962) é essencial para o entendimento do processo dinâmico de construção do conhecimento
científico. O filósofo francês usou o termo “obstáculos epistemológicos” para referir-se a tudo
aquilo que impede, impossibilita o progresso da ciência.
Em 1938, Bachelard publica uma de suas obras mais importantes, “A Formação do
Espírito Científico”, na qual aborda os mais diversos “obstáculos epistemológicos” que devem
ser superados para que se estabeleça e se desenvolva uma mentalidade verdadeiramente
científica.
Segundo Bachelard, o progresso do conhecimento científico se dá no momento em que este
supera obstáculos para romper o seu estado inercial.
“... é no próprio ato de conhecer, intimamente, que aparece por
uma espécie de necessidade funcional, lentidões e pertubações. É aí que mostraremos
as causas da estagnação e mesmo do regresso; é aí que nós revelaremos as causas da
inércia, que nós chamamos de obstáculos epistemológicos.” (Bachelard, 1970, p.6)
Na visão do filósofo é no ato de conhecer que estamos contextualizando os obstáculos.
Não queremos com isso negar a influência dos obstáculos externos, principalmente os fatores
históricos e sócio-econômicos, no progresso das ciências. O que queremos, isto sim, é isolar
5
Bachelard nasceu em Bar-sur-Arabe de uma modesta família e após acabar os estudos secundários trabalhou nos
correios de Remiremont até 1906. Em 1912 formou-se em licenciatura de matemática, mas tinha pretensão de ser
engenheiro de telegrafia. Quando iniciou a I Guerra Mundial foi alistado no exército. Depois da desmobilização,
foi nomeado professor de física e química. Porém, a teoria da relatividade deita por terra as suas idéias sobre
física, o que o levou a estudar filosofia. Concluiu seu doutorado em 1927, com a tese “ensaio sobre o
conhecimento aproximado e estudo sobre a evolução de um problema da física, a propagação térmica dos sólidos”
( a tese é premiada ).
24
25
criticamente essas variáveis para que possamos estudar e encontrar no próprio conhecimento as
causas de sua inércia.
Para um espírito científico, todo o conhecimento é uma resposta a uma questão. Se
não pode haver questão, não pode haver conhecimento científico. Nada é natural.
Nada é dado. Tudo é construído”. ( Bachelard, p. 166 ).
A noção de obstáculo epistemológico pode ser estudada no desenvolvimento histórico
do pensamento científico e na prática educativa. É importante ressaltar que tudo que aparece no
pensamento científico está longe de servir efetivamente a evolução desse pensamento. Sendo
assim, o epistemólogo tem de fazer uma triagem dos documentos recolhidos pelo historiador.
Deve julgá-los do ponto de vista da razão, isto é, o epistemólogo tem de tomar os fatos como
idéias num sistema de pensamento.
No capítulo I ressaltamos o processo histórico de construção dos números relativos. Na
próxima seção apresentaremos e analisaremos os obstáculos epistemológicos dos números
relativos, tendo como referência o trabalho do epistemólogo Georges Glaeser.
2.2 – A Epistemologia dos números relativos por Georges Glaeser
A construção dos números relativos foi um processo lento, que durou mais de 1500
anos – desde Diofantes (300 d. C.) até Hankel (1867 d. C. ).
O professor e historiador Georges Glaeser, da Universidade de Estrasburgo, estudou a
construção do conhecimento dos números relativos. O método científico empregado pelo
pesquisador foi coletar dados de artigos ou livros já publicados e analisar estas informações.
Através destas, chegar a conclusões que levem a avanços e identificação de desafios que ainda
25
26
se opõem à compreensão “completa” do problema em perspectiva. Desta forma, percebe-se os
obstáculos que fizeram com que os matemáticos trabalhassem com esse assunto.
Tendo como base de estudo a tentativa de identificar os principais obstáculos para o
entendimento completo dos números relativos e os sintomas de evitação usados pelos
matemáticos para contornar suas inseguranças, o professor Georges Glaeser listou os seis
principais obstáculos.
• Lista de Obstáculos
1 – Inaptidão para manipular quantidades isoladas.
Este obstáculo demonstra a rejeição a quantidade negativas. Diofantes de Alexandria
( fim do século III d.C ) é um exemplo, pois no livro I da sua “Aritmética” não faz qualquer
referência aos números negativos isolados. Ele simplesmente enuncia que: “O que está em
falta multiplicado pelo que está em falta dá o que é positivo; enquanto que o que está em falta
multiplicado pelo que é positivo, dá o que está em falta”.
2 – Dificuldade em dar um sentido a quantidades negativas isoladas.
Apesar de muitos matemáticos antigos utilizarem os números negativos em seus cálculos
como elementos intermediários destes, demorou muito para que as quantidades negativas
adquirissem o status de números.
26
27
Um exemplo, é o matemático Stevin
6
, que ao longo de sua obra, trabalha com os
números negativos como artifícios de cálculo. O matemático escreve: “Em vez de dizer
diminua 3, diga acrescente –3”.
3 – Dificuldade em unificar a reta numérica.
Segundo Glaeser ( 1969 ), este obstáculo se manifesta quando se insiste nas diferenças
qualitativas entre as quantidades negativas e os números positivos, ou quando se descreve a reta
como uma justaposição de duas semi-retas opostas com sinais heterogêneos, ou quando não se
consideram simultaneamente as características dinâmicas e estáticas dos números.
Até o século XVII o homem comum teve poucas oportunidades de utilizar os números
negativos na sua vida cotidiana. Os comerciantes por exemplo faziam suas contas aonde
prevalecia o sistema de créditos e débitos.
Este obstáculo aparece claramente nos trabalhos de Colin Maclaurin, que em sua obra
“Tratado de Álgebra” ( 1748 ) apresenta as quantidades negativas escrevendo:
“Chamam-se quantidades positivas, ou afirmativas, as que são precedidas do sinal
+, e negativas, as que são precedidas do sinal - . Para se ter uma idéia clara e exata
desses dois tipos de quantidades, deve-se notar que toda quantidade pode entrar
num cálculo algébrico, acrescentada, ou subtraída, ou seja, como aumento, ou
como diminuição; ora a oposição que se observa entre aumento e diminuição
ocorre na comparação das quantidades. Por exemplo: entre o valor do dinheiro
devido a um homem, e o do dinheiro que ele deve; entre uma linha traçada à
direita, e uma linha traçada à esquerda; entre a elevação sobre o horizonte e o
posicionamento abaixo dele. Assim, a quantidade negativa, longe de ser
rigorosamente menor que nada, não é menos real na sua espécie do que a positiva,
mas é tomada num sentido oposto; segue-se daí que uma quantidade considerada
isoladamente não poderia ser negativa, pois ela só o será por comparação; e que,
quando a quantidade que chamamos positiva não tem outra que lhe seja oposta,
não se poderia dela subtrair outra maior. Por exemplo: seria absurdo querer
subtrair uma quantidade maior de matéria, de outra menor”. ( Maclaurin apud
Glaeser, 1969, p.60).
6
Capítulo 1 ( página 14 )
27
28
4 – A ambiguidade dos dois zeros.
Durante séculos os matemáticos interpretaram o zero como zero absoluto, isto é, abaixo
do qual nada se poderia conceber. Com isso, os números negativos eram considerados
“absurdos”. Como exemplo dessa “evitação” dos números negativos podemos citar a escala
Kelvin de temperatura que adota como ponto de partida ( 0º K ) o zero absoluto.
Contrapondo esta idéia podemos imaginar o zero origem que é apenas um referencial
sobre um eixo orientado.
5 – Estagnação no estágio das operações concretas ( em confronto com o estágio
das operações formais ).
Glaeser
define este obstáculo como a dificuldade de afastar-se de um sentido
“concreto” atribuído aos seres numéricos. Ou seja, de querer sempre justificar as operações
matemáticas com experiências do mundo real.
6 – Desejo de um modelo unificador
Este obstáculo indica a intenção de fazer funcionar um “bom” modelo aditivo,
igualmente válido para ilustrar o campo multiplicativo, em que esse modelo é inoperante.
Como exemplo, podemos citar a frase de Stendhal (1783 – 1843):
28
29
“Multiplicando-se 10000 francos de dívida por 500 francos de dívida, como esse
homem possuirá, ou conseguirá obter, uma fortuna de 5000000 de francos?” (
Stendhal, apud Glaeser, p. 46 )
O quadro a seguir construído por Glaeser (1969, p. 42) indica a compreensão adquirida
pelos pesquisadores já citados. Apesar da genialidade incontestável a cada um deles, todos com
exceção de Hankel, não conseguiram atingir seus objetivos.
Por exemplo, podemos observar o caso de Maclaurin, que não conseguiu ultrapassar os
obstáculos 3 e 4, que são, respectivamente, a dificuldade em unificar a reta numérica e a
ambiguidade dos dois zeros.
Obstáculos
1
2
3
4
5
6
Autores
Diofantes
-
29
30
Simon Stevin
René Descartes
Colin Maclaurin
Leonard Euler
Jean D`Alembert
Lazare Carnot
Pierre de Laplace
Augustin Cauchy
Herman Hankel
+
-
-
-
-
-
+
?
-
?
+
+
-
-
+
+
+
+
+
?
-
-
+
-
-
-
-
-
+
-
-
-
-
-
+
+
+
?
-
?
+
+
-
-
+
?
+
+
+
+
+
+
• Simbologia usada no quadro construído por Glaeser:
( + ) : Obstáculo ultrapassado;
( - ) : Apesar de pesquisado, o obstáculo não foi ultrapassado;
30
31
( ? ) : Não há como informar se o autor conseguiu ultrapassar o obstáculo;
(
) : Não houve tentativa por parte do autor em ultrapassar esse obstáculo.
Analisando o quadro de obstáculos construído por Glaeser ( 1969 ), podemos verificar
que a superação dos obstáculos não representa uma trajetória crescente e linear. Assim, com
base nos dados fornecidos pelo quadro, podemos construir um gráfico que indica o número de
obstáculos superados ( eixo vertical ) pelos respectivos matemáticos
( eixo horizontal )
citados por Glaeser .
Y
Nº de obstáculos
superados
6
5
4
3
2
1
0
D
I
O
F
A
N
T
O
Sec
III
dc
S
T
E
V
I
N
1548
1620
x
D
E
S
C
A
R
T
E
S
M
A
C
L
A
U
R
I
N
1596
1650
1698
1746
E
U
L
E
R
1707
1783
D`
A
L
E
M
B
E
R
T
1717
1783
C
A
R
N
O
T
1753
1823
L
A
P
L
A
C
E
1749
1827
C
A
U
C
H
Y
H
A
N
K
E
L
1789
1857
1839
1873
Matemático
(tempo)
No próximo capítulo analisaremos estas dificuldades no campo pedagógico, tendo como
referência os livros didáticos. Além disso, verificaremos como os autores desses livros
demonstram o porquê que o produto de dois números negativos resulta em um número
positivo.
31
32
32
33
CAPÍTULO III
3 - ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS
Em um país como o Brasil em que a educação não possui o seu valor devido é comum
um professor ter uma jornada muito grande de trabalho. Mesmo assim, a maioria destes
profissionais não possuem uma condição financeira adequada para investir em materiais
didáticos para a melhoria do seu conhecimento, bem como para melhorar sua atuação na sala de
aula. Assim, diante deste cenário, o livro didático representa uma boa opção – quando muitas
vezes é a única opção - de pesquisa para o professor (e também para os alunos). Por esta razão
resolvemos investigar como os autores de livros didáticos nacionais apresentam o conteúdo dos
números relativos, em especial “o porquê que o produto de dois números negativos é um
número positivo”
As obras literárias utilizadas nesta pesquisa possuem demonstrações variadas quanto aos
números relativos. Analisamos alguns dos principais livros desde 1978 até 2005. São eles:
Matemática conceituação moderna de Marcus Brandão, Matemática de Álvaro Andrini,
Matemática de Edwaldo Bianchini , A conquista da matemática de Giovanni Castrucci e
Giovanni Jr, Matemática na vida e na escola de Ana Lúcia Bordeaux, Cléa Rubinstein,
Elizabeth França, Elizabeth Ogliari e Gilda Portela, Matemática hoje é feita assim
de
Antônio José Lopes Bigode, Matemática para todos de Imenes e Lellis, Matemática uma
aventura do pensamento de oscar Guelli, Tudo é matemática de Dante e Vencendo com a
matemática de Miguel Asis Name.
33
34
Antes de apresentarmos os resultados de nossa análise dos livros didáticos, convém
observar, a título de curiosidade, uma interpretação inusitada do professor Cristovão Colombo
dos Santos revelada pelo saudoso mestre Malba Tahan em sua obra didática da matemática.
A regra dos sinais é apresentada pelo professor Cristovão, dentro dos princípios
cristãos, da seguinte maneira:
Ensina a álgebra que:
+ por + dá +
+ por – dá - por + dá - por - dá +
Considere que, na primeira coluna vertical o sinal + ( mais ) significa precisamente
“ganhar”; o sinal – ( menos ) , “perder”.
Considere que, na segunda coluna vertical, o sinal “mais” traduz-se por virtude;
O sinal “menos” por vício; na terceira coluna, enfim, o sinal “mais” significa “crescer
aos olhos de Deus”; e o sinal “menos” significa “desmerecer aos olhos de Deus”.
Dentro dessa interpretação, temos:
1º ) ganhar virtude importa crescer aos olhos de Deus; isto é, “mais” por “mais” dá
“mais”;
2º ) ganhar vício, é desmerecer aos olhos de Deus; isto é, “mais” por “menos” dá
“menos”;
3º ) perder virtude? Ora, quem perde virtude desmerece aos olhos de Deus; isto é,
“menos” por “mais” dá “menos”;
4º ) perder vício importa crescer aos olhos de Deus; isto é, “menos” por “menos” dá
“mais”. ( Santos apud Tahan, 1965, p. 221).
LIVRO 1 : MATEMÁTICA CONCEITUAÇÃO MODERNA ( Brandão, São Paulo: Editora
do Brasil, 1978 )
34
35
Esta obra literária é composta por 251 páginas com pouquíssimas ilustrações. Isto deve
ser explicado pelo fato do livro não ser atual.
Os números negativos são apresentados através de um referêncial que são:
Temperaturas ( acima do ponto zero e abaixo do ponto zero ). Deste modo, acima do zero
nomeou-se positivo, abaixo do zero nomeou-se negativo.
As operações dos números relativos são explicadas através de regras sem qualquer
demonstração, como exemplo, a regra de multiplicação:
1º ) Efetua-se a multiplicação dos valores absolutos dos fatores;
2º ) Conta-se o número de fatores negativos; se for par o produto será positivo e se
ímpar, negativo.
LIVRO 2: MATEMÁTICA ( Andrini, São Paulo: Editora do Brasil, 1984)
A apresentação dos números negativos é realizada através da operação de subtração,
colocando os seguintes exemplos:
5–3=2
9–9=0
3–5=?
Para tornar possível a última subtração acima, foi criado o conjunto dos números
negativos, diz o autor.
A multiplicação dos números negativos é apresentada da seguinte forma:
1º ) Multiplicação de dois números de sinais iguais:
( + 5 ) . ( + 2 ) = + 10
( - 5 ) . ( - 2 ) = + 10
35
36
Conclusão: Se os fatores tiverem sinais iguais, o produto é positivo.
2º ) Multiplicação de dois números de sinais diferentes.
( +3).(-2 )=-6
( - 5 ) . ( + 4 ) = - 20
Conclusão: Se os fatores tiverem sinais diferentes, o produto é negativo.
Percebe-se que não há nenhuma explicação, seja ela concreta ou formal, o autor
simplesmente afirma as regras para a multiplicação dos números relativos.
LIVRO 3: MATEMÁTICA ( Bianchini, São Paulo: Editora Moderna, 1986)
O autor mostra os números negativos de uma maneira semelhante a já realizada na obra
anterior, ou seja, é colocada a seguinte situação:
5–8=?
0–6=?
2–9=?
Para resolver essas subtrações, passou-se a considerar os números negativos.
A multiplicação dos números negativos, em particular o produto de dois números
negativos, é explicada com base na seguinte situação:
( - 3 ) . ( - 5 ) = - ( + 3 ) . ( - 5 ) = - [ 3. ( - 5 ) ] = - [ ( - 5 ) + ( - 5 ) + ( - 5 ) ] = - [ - 15 ] =
15
Como consequência do exemplo citado, é afirmado que “menos vezes menos é igual a
mais”.
LIVRO 4: A CONQUISTA DA MATEMÁTICA ( Giovanni et tal, São Paulo: FTD, 1998 )
36
37
Os números positivos e negativos são apresentados no 5º capítulo da obra que contém
10 capítulos através da noção de temperatura. Já no capítulo seguinte estes números são
apresentados como conjunto dos números inteiros, onde é formada a reta numérica inteira, o
que sugere inicialmente a superação do obstáculo “Dificuldade em unificar a reta numérica”
citada no capítulo anterior.
As operações de adição e subtração são explicadas através da “reta numérica inteira”.
A questão da multiplicação de dois números negativos é analisada conforme o esquema
abaixo:
“ Considere a tabela de multiplicação:
X -4
-3
-2
-1
0
+1
+2
-6
Considerando que:
(-6).0=0
(-6).(+1)=-6
X
-4
-3
-2
( - 6 ) . ( + 2 ) = -12, temos:
-1
-6
0
+1
+2
0
-6
-12
+6
+6
Observando a linha dos resultados, notamos que cada resultado tem seis unidades a
mais que o número à sua direita.
Aplicando este fato, vamos preencher os quadrados restantes:
X
-4
-3
-2
-6
+24
+18
+12
-1
+6
0
0
+1
-6
+2
-12
37
38
Neste caso é concluído que:
A multiplicação de dois números inteiros negativos resulta em
número inteiro positivo”. ( Giovanni, Castrucci & Giovanni Jr., 1998, p. 55 )
um
O autor fez uma extensão de uma tabuada numa tentativa de chegar a formalização.
LIVRO 5: MATEMÁTICA NA VIDA E NA ESCOLA ( Bordeaux et al, São Paulo: editora do
Brasil, 1999)
A obra é composta por duzentos e oitenta e oito páginas com conteúdos e muitas
atividades. Os números relativos são apresentados através da noção de saldos positivos e
negativos. A adição também é explicada com a noção de saldo. Já a subtração utiliza-se a noção
de oposto.
A multiplicação é ensinada através de atividades propostas para o aluno, conforme o
esquema abaixo:
“ Copie as sequências abaixo no caderno, observe-as e descubra os números
ocultos.
3.3=9
3 . 5 = 15
-1
-3
-1
2.3=6
-5
2 . 5 = 10
-1
-3
-1
1.3=3
-5
1.5=5
-1
-3
-1
0.3=0
-5
0.5=0
-1
-3
-1
(- 1) . 3 = ?
-5
(-1). 5 = -5
-1
-3
-5
(-2). 5 = ?
-10
Copie as sequências a seguir no caderno, observe-as e descubra o número
oculto em cada uma.
3 . (- 4 ) = -12
38
39
-1
+4
2 . (- 4 ) = -8
-1
+4
1 . (-4 ) = -4
-1
+4
0 . (-4 ) = 0
-1
+4
(-1) . (-4) = ?
+4 ” ( Bordeaux, Rubinstein, França, Ogliari & Portela, 2002, p. 160 ).
O procedimento adotado pelos autores deste livro didático é similar ao autor do texto
analisado anteriormente.
Livro 6: MATEMÁTICA HOJE É FEITA ASSIM ( Bigode, são paulo: FTD, 2000 )
O livro possui trezentas e duas páginas de conteúdos variados e
diversos exercícios com bastantes ilustrações.
Os números relativos são apresentados no oitavo capítulo como
números negativos e a explicação inicial para esses números é dada através de saldos bancários
e temperaturas.
Quanto às operações, a adição é apresentada com base no modelo
comercial envolvendo ganho e perda. Enquanto que a subtração é apresentada através da noção
de oposto no qual o autor chama de escrita simplificada.
A multiplicação dos números inteiros é ensinada com a utilização de barras coloridas
( vermelha e preta ) conforme foi utilizado pelos chineses há muitos anos (como foi visto no
primeiro capítulo). A operação foi dividida em quatro casos, da seguinte forma:
Primeiro foi atribuído um significado ao primeiro fator da multiplicação. O
multiplicador vai indicar quantos grupos de barras vamos acrescer ou subtrair.
39
40
“1º caso: Multiplicação de dois números positivos.
( +2 ) . ( + 3)
O multiplicador ( +2 ) é positivo. Devemos, portanto, acrescentar dois
grupos de
três barras pretas.
O resultado é 6 barras pretas, ou seja, ( + 2 ) . ( + 3 ) = + 6 .
2º caso: Multiplicação de um número positivo por um número negativo.
(+2).(-3)
O multiplicador ( + 2 ) é positivo e o multiplicando ( - 3 ) é negativo. Devemos
portanto acrescentar dois grupos de três barras vermelhas.
O resultado é 6 barras vermelhas, ou seja, ( + 2 ) . ( - 3 ) = - 6.
Para explicar melhor o 3º e 4º caso, foi colocado a seguinte ilustração:
Figura 2
3º caso: Multiplicação de um número negativo por um número positivo
( -2 ) . ( + 3 )
40
41
Como aqui o multiplicador ( -2 ) é negativo, devemos tirar dois grupos de 3
barras pretas.
Restarão seis barras vermelhas, logo:
( - 2 ). ( + 3 ) = - 6
4º caso: Multiplicação de dois números negativos
(-2).(-3)
O multiplicador ( - 2 ) é negativo; isto significa que temos que tirar dois grupos de
3 barras vermelhas pois o multiplicando ( - 3 ) também é negativo.
Tirando as 6 barras vermelhas, ficam apenas as 6 barras pretas. Daí,
( - 2 ) . ( - 3 ) = + 6”. ( Bigode, 2000, p. 284 )
LIVRO 7: MATEMÁTICA PARA TODOS ( Imenes et tal, 1ª edição, São Paulo, Scipione,
2002 )
A obra literária é composta por quatorze capítulos e as operações com os números
relativos são apresentadas em dois módulos. O primeiro recebe o título de números negativos e
contabilidade. Este é iniciado mostrando que os números negativos e os positivos já são
conhecidos através das escalas termométricas.
A operação de adição é demonstrada usando a idéia de lucro e prejuízo, já a subtração é
demonstrada usando a noção de dívida. Em um outro capítulo aparece a multiplicação dos
números relativos cujo título é multiplicação de números com sinais. O produto de dois
números é mostrado através de um conteúdo de física que é força. Neste caso foi considerado
que a multiplicação por um número negativo inverte o sentido da força. Então, multiplicando
por –1, obtém-se a força simétrica. Segundo o autor:
“Uma multiplicação por –3 dá uma força de sentido oposto com o triplo da
intensidade. Vejamos o esquema:
41
42
X(-1)
X(-3)
Desse modo, multiplicações por números negativos passaram a ter sentido, tornando
possível formular regras para multiplicar números negativos e positivos. A seguir,
vamos ver como se faz isso.
x(3)
x(2)
x(6)
Multiplicar uma força por 3 e, depois, multiplicar essa última por 2, equivale a
multiplicar a força inicial por 6. Agora, vamos analisar este caso:
X(-6)
X(2)
x(-3)
Multiplicar uma força por 2 e, depois, por –3 é equivalente a multiplicar a força
inicial por –6 . Concluímos, então, que ( -3 ) x 2 = - 6.
De modo resumido, costumamos dizer: negativo vezes positivo dá negativo.
42
43
Pensando sempre em multiplicar a força por um número e, depois, por outro, também
concluímos que: positivo vezes negativo dá negativo. Além disso, já sabemos que
positivo vezes positivo dá positivo.
Somente nos falta examinar um tipo de multiplicação: aquela em que os dois números
são negativos. Observe:
X(-2)
x(6)
x(-3)
Daí, ( - 2 ) x ( - 3 ) = 6
Temos, então, a seguinte conclusão surpreendente:
Negativo vezes negativo dá positivo”. (Imenes & Lellis, 2002, p. 174).
Para demonstrar a multiplicação, o autor fez uma analogia à regra dos sinais com a
multiplicação do vetor força por um escalar. Nesta demonstração percebe-se uma semelhança à
idéia de Cauchy, que considerou A um número e concluiu:
Se a = + A, b = - A, tem-se:
+a=+A
+b=-A
-a= -A
-b=+A
Para o autor multiplicar por um número positivo o vetor continua no mesmo sentido e
multiplicar por um número negativo o vetor muda de sentido.
LIVRO 8: TUDO É MATEMÁTICA ( Dante, São Paulo: Ática, 2002 )
43
44
Assim como apareceu em outros livros já mencionados, os números negativos e
positivos são apresentados neste trabalho utilizando o conceito de temperatura. A multiplicação
dos números inteiros é ensinada através de atividades propostas como exercícios, porém a
multiplicação de dois números negativos é apresentada pela seguinte situação:
Figura 3
44
45
Com base no quadro colocado na atividade e nas questões propostas como exercícios é
ensinado que “menos vezes menos é igual a mais”. O autor apresenta a regra dos sinais através
das regularidades presentes no quadro.
LIVRO 9: MATEMÁTICA UMA AVENTURA DO PENSAMENTO ( Guelli, 2º edição, São
Paulo : Ática, 2002 )
Os números inteiros, como são considerados nesta obra literária, são apresentados em
duas unidades que representa aproximadamente 50% de todo conteúdo da obra. No primeiro
momento é trabalhada a noção de números negativos, números positivos, as operações de
adição e subtração. Já num segundo momento é explicada a multiplicação com o seguinte
discurso:
“O produto 4 . 3 expressa uma soma de quatro parcelas iguais a 3:
4 . 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 ou uma soma de três parcelas iguais a 4:
4 . 3 = 3 . 4 = 4 + 4 + 4 = 12.
O produto 4 . ( - 8 ) pode ser interpretado como uma soma de quatro parcelas
iguais a – 8:
4 . ( - 8 ) = ( - 8 ) + ( - 8 ) + ( - 8 ) + ( - 8 ) = - 32.
No entanto, os produtos ( - 4 ) . ( + 8 ) e ( - 4 ) . ( - 8 ) nos colocam em dificuldade.
Não podemos imaginar menos 4 ou menos 8 celulares.
Mas podemos imaginar problemas que dêem sentido a multiplicações como essas.
Imagine uma caixa-d’água, com capacidade de 720 ℓ, inicialmente vazia, sendo
enchida com uma mangueira que despeja 20ℓ de água por minuto.
• Após 36 minutos, + 36, a caixa estará cheia:
( + 20 ). ( + 36 ) = + 720
• Há 18 minutos, -18, faltavam 360ℓ para encher a caixa:
( + 20 ) . ( - 18 ) = - 360
Imagine a mesma caixa-d’água, agora cheia, sendo utilizada para irrigar lavouras. Seis
litros de água por minuto estão saindo da caixa: -6.
•Após 36 minutos, +36, a caixa terá 216ℓ a menos:
( - 6 ) . ( + 36 ) = - 216
•Há 18 minutos, - 18, havia 108ℓ a mais na caixa:
( - 6 ) . ( - 18 ) = + 108
Os exemplos sugerem as seguintes conclusões:
•Se dois números diferentes de 0, a e b, têm o mesmo sinal ( ambos positivos ou
ambos negativos ), o produto ab é igual ao produto de seus módulos.
(+2).(+3)=2.3=6
45
46
( - 10 ) . ( - 8 ) = 10 . 8 = 80
•Se dois números diferentes de 0, a e b, têm sinais contrários ( um é positivo e o outro
negativo ) , o produto ab é igual ao oposto do produto de seus módulos.
( - 2 ) . ( + 5 ) = - ( 2 . 5 ) = - 10
( + 4 ) . ( - 9 ) = - ( 4 . 9 ) = - 36”( Guelli, 2002, p. 52 ).
Através de um exemplo prático, o autor conclui, mas não justifica o porque que o
produto de dois números negativos é um número positivo. Em seguida enuncia o seguinte
modelo:
Se dois números diferentes de 0, a e b, têm o mesmo sinal, o produto ab é igual ao
produto de seus módulos.
Se dois números diferentes de 0, a e b, têm sinais contrários, o produto ab é igual ao
oposto do produto de seus módulos.
LIVRO 10: VENCENDO COM A MATEMÁTICA ( Name, 1º edição, São Paulo: Editora do
Brasil, 2005 )
Os números relativos são apresentados no primeiro capítulo como o conjunto dos
números inteiros num livro formado por 218 páginas.
A idéia de número negativo é apresentada através de algumas situações, tais como falta,
temperatura e débito. Em relação as operações de adição e subtração utiliza idéia de perdas,
ganhos e o conceito de números opostos.
Na multiplicação, a regra dos sinais, é justificada a princípio pela própria definição de
multiplicar, ou seja, soma de parcelas iguais. Porém, ao justificar a regra dos sinais para o
produto de números negativos, o autor utiliza o conceito de números opostos e a propriedade da
multiplicação de números com sinais diferentes. Por exemplo:
46
47
( - 3 ) . ( - 5 ) = - ( + 3 ) . ( - 5 ) = - ( - 15 ) = 15
Desta forma, fica demonstrado para o autor que o produto de dois números negativos é
um número positivo.
O autor utiliza-se de um processo formal e prático, muito parecido com as fórmulas de
Cauchy, para demonstrar a multiplicação dos números relativos.
Diante da dificuldade na aprendizagem da regra dos sinais, em especial “menos vezes
menos for igual a mais”, diversos matemáticos desde Diofantes até os dias atuais procuraram
desenvolver demonstrações para explicá-la. Observamos no primeiro capítulo e neste algumas
dessas tentativas.
47
48
CONCLUSÃO
Segundo a história da matemática, a aceitação dos números negativos bem
como a compreensão do significado de suas operações foram lentas e bastantes polêmicas,
tendo durado um longo período da humanidade cerca de 1500 anos. A origem da “regra dos
sinais” para a multiplicação dos números inteiros relativos, conforme relata o matemático e
historiador Georges Glaeser, é atribuída a Diofantes.
Ao estudar a evolução dos números negativos, Glaeser percebeu a rejeição
destes números por parte de alguns matemáticos, denominando esta reticência ao uso dos
números negativos de “sintoma de evitação”. Em sua análise percebeu dificuldades que estes
matemáticos tinham em explicar o significado da regra dos sinais, principalmente em entender
o porquê que “menos vezes menos é igual a mais”. D’Alembert (1717 - 1783), por exemplo,
deixa transparecer esta dificuldade quando diz que é difícil conceber que o produto de dois
números negativos é igual a um número positivo. Stendhal 7 ( 1783 - 1843 ) vai além,
colocando a seguinte questão: “multiplicando-se 10000 francos de dívida por 500 francos de
dívida, como esse homem possuirá, ou conseguirá obter, uma fortuna de 5000000 francos?” (Stendhal, apud Glaeser, p.46)
Inspirado no método histórico e na teoria de conhecimento de Bachelard,
Glaeser determinou seis obstáculos epistemológicos com respeito ao conceito de número
relativo. Em sua pesquisa, o epistemólogo francês verificou que somente o matemático Herman
Hankel ( 1839 – 1873 ) conseguiu ultrapassar todos os obstáculos.
7
Sthendal, escritor francês, que, em autobiografia, se refere a um episódio de sua meninice, datado de fins do
século XVIII, pelo qual se vê que suas dúvidas diante dos números relativos eram essencialmente as mesmas ainda
exibidas pelos alunos de hoje e pelo escritor Henri Beyle ( 1783 – 1842 ) que frequentou uma das primeiras
instituições em que o ensino da matemática foi ministrado e declara que nem a leitura do manual de Bezout (1772)
satisfez sua curiosidade quando tentou compreender a origem da regra dos sinais. Na verdade, seus próprios
professores não compreendiam. Para Henri a hipocrisia era impossível em matemática, pois percebeu que ninguém
podia explicar como que o produto de dois números negativos poderia dar um número positivo.
48
49
E no campo pedagógico: Será que os textos didáticos produzidos para a jornada
de um ano letivo conseguem superar os obstáculos determinados por Glaeser? Será que
explicam efetivamente a regra dos sinais? Estas são, certamente, as questões que nortearam a
nossa pesquisa.
No intuito de investigar como os livros didáticos nacionais abordam o ensino de
número relativo, analisamos dez livros de 1978 à 2005. Na maioria dos livros os números
negativos são apresentados através dos conceitos de dívida e de temperatura. Esta metáfora do
número relativo também é usada em alguns livros para explicar a operação de adição e
subtração. Porém observamos distintas argumentações quanto às regras dos sinais, algumas
mais “concretas” e outras mais “formais” tal e como aconteceu com os matemáticos
pesquisados por Glaeser. Assim, a fim de ilustrar resumidamente os resultados de nossa
pesquisa no que se refere aos obstáculos epistemológicos determinados por Glaeser, fizemos
um quadro semelhante àquele construído pelo pesquisador, onde a primeira coluna representa
os autores dos livros didáticos pesquisados e as outras colunas representam os obstáculos
epistemológicos citados por Glaeser.
OBSTÁCULOS
1
2
3
4
5
6
MARCIUS BRANDÃO
+
+
+
+
ÁLVARO ANDRINI
+
+
+
+
BIANCHINI
+
+
+
+
+/-
+
GIOVANNE
+
+
+
+
+/-
+
BORDEAUX
+
+
+
+
+/-
+
BIGODE
+
+
+
+
-
+
IMENES
+
+
+
+
-
+
DANTE
+
+
+
+
+/-
+
OSCAR GUELLI
+
+
+
+
-
+
ASSIS NAME
+
+
+
+
+/-
+
AUTORES
49
50
Simbologia usada no quadro anterior:
( + ): Obstáculo ultrapassado;
( - ) : Apesar de pesquisado, o obstáculo não foi ultrapassado;
( ? ): Não há como informar se o autor conseguiu ultrapassar o obstáculo;
(
): Não houve tentativa pôr parte do autor em ultrapassar esse obstáculo;
( +/- ): Obstáculo ultrapassado parcialmente.
Do mesmo modo, podemos, baseando-nos na tabela anterior, construir um gráfico que
indica o número de obstáculos superados ( eixo vertical ) pelos respectivos autores ( eixo
horizontal ).
Y
Nº de obstáculos
superados
6
5
4
3
2
1
0
B
R
A
N
D
Ã
O
A
N
D
R
I
N
I
1978
1984
B
I
A
N
C
H
I
N
I
1986
G
I
O
V
A
N
N
I
1998
B
O
R
D
E
A
U
X
B
I
G
O
D
E
2000
I
M
E
N
E
S
2002
D
A
N
T
E
2002
x
G
U
E
L
L
I
N
A
M
E
2005
2002
1999
Matemático
(tempo)
50
51
Conforme já observado na quase totalidade dos livros investigados, a noção dos
números negativos emerge de experiências práticas, como perder no jogo, constatar saldos
negativos, observar variações de temperaturas, comparar alturas, altitudes, etc. Tal fato está em
consonância com as diretrizes indicadas nos PCN’s. A sugestão do PCN’s é ensinar a
multiplicação dos números relativos através de tabelas que implicam em identificar
regularidades e estabelecer relações. Por outro lado, para os PCN’s o ensino dos números
relativos não deve se apoiar somente em propostas concretas, pois nem sempre essas
concretizações explicam os significados das noções envolvidas. É preciso ir um pouco além e
possibilitar, pela extensão dos conhecimentos já construídos para os naturais, compreender e
justificar algumas das propriedades dos números relativos. Sendo assim, chegamos a uma
conclusão que se identifica com a afirmação do matemático francês George Glaeser (1969 ):
“ (...) se proclama de bom grado que a matemática deve ser ensinada com base em
exemplos concretos. A didática científica se esforça para evidenciar as vantagens e
desvantagens de um ensino baseado em exemplos. O estudo histórico (...) mostra
precisamente um caso em que uma pedagogia baseada exclusivamente em exemplos
concretos é perniciosa. Além disso, uma aprendizagem satisfatória das propriedades
aditivas, apoiadas num “bom modelo”, pode criar bloqueios posteriores, quando for o
caso de compreender as propriedades multiplicativas (...)” ( p. 121 ) .
Em outras palavras: o esclarecimento da questão dos números relativos, deu-se
não somente pela superação dos obstáculos epistemológicos, mas essencialmente pelo salto
epistemológico do concreto para o formal.
Segundo Caraça (1989 ) “as operações sobre números relativos definem-se por
extensão imediata das operações com o mesmo nome estudadas no campo real ( ... ) por
exemplo, quanto à adição e subtração:
(p–q)+(r–s)=p–q+r–s=p+r–q–s=(p+r)–(q+s)
( p – q ) – ( r – s ) = p – q – r + s = p + s – q – r = ( p + s ) – ( q + r ), de onde
facilmente se tiram as regras quando algum dos dados seja negativo. Em particular, tem-se
a
+ ( - b ) = a + ( 0 – b ) = a + 0 – b = a – b; a – ( - b ) = a – ( 0 – b ) = a + b – 0 = a + b. Isto é,
51
52
somar um número negativo equivale a subtrair o número positivo com o mesmo módulo;
subtrair um número negativo equivale a somar o número positivo com o mesmo módulo”.
Porém, quanto a multiplicação, Caraça considera:
( p – q ). ( r – s ) = p . ( r – s ) – q . ( r – s ) = pr – ps – ( qr – qs )
= pr – ps – qr + qs = pr + qs – ps – qr
= ( pr + qs ) – ( ps + qr )
e em particular define:
(+a).(+b)=(a–0).(b–0)=+a.b
(+a).(-b) =(a–0).(0–b)=-a.b
(-a).(+b)= (0–a).(b–0)=-a.b
(-a).(-b )= (0–a).(0–b)=+a.b
Por outro lado, convém ressaltar que ao desenvolver um tratamento
exclusivamente formal com os números relativos aos alunos da Sexta série do ensino
fundamental, corre-se o risco de reduzir a regra dos sinais a um formalismo vazio, que pode
levar a equívocos e ser facilmente esquecido. Deste modo, fica a seguinte pergunta: não estaria
o problema da aprendizagem da regra dos sinais dos números relativos na localização
prematura deste conteúdo programático na grade curricular oficial do ensino básico de
matemática, ou, de outro modo, será que um aluno possui maturidade intelectual suficiente para
interpretar questões abstratas tal como “menos vezes menos igual a mais” numa sexta séria do
ensino fundamental? Estas questões ficam pra depois, para uma outra monografia, quem sabe?
52
53
BIBLIOGRAFIAS
OBRAS CITADAS
BACHELARD, G. A formação do espírito científico: contribuição para uma psicanálise do
conhecimento. Rio de Janeiro: Contraponto, 1996.
BALDINO, R. R. Sobre a epistemologia dos números inteiros. Educação matemática em
revista, São Paulo, SP, v.5, p.4-14, 1996.
BOYER, C. B. História da matemática: 2º edição. São Paulo: Editora Edgard Blucher, 1996.
BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais, Ministério da Educação e do Desporto, 1997.
CARAÇA, B.de J. Conceitos fundamentais da matemática: 9º ed. Lisboa: Livraria Sá da Costa
editora, 1989.
GLAESER, G. Epistemologia dos números relativos: Boletim do Gepem-Grupo de estudos e
pesquisas em educação matemática, nº 17, 1969.
NEPOMUCENO, V. Os números negativos e a contabilidade. revista do CRC do SS. Nº 97,
Porto Alegre: 1999.
REZENDE, W. M. Uma análise histórica epistêmica da operação de limite, U.S.U, 1994.
53
54
TAHAN, M. Antologia da Matemática. 2º edição. São Paulo: Editora Saraiva, 1965.
TALAVERA, L.M.B. Uma abordagem histórica dos números negativos. Revista Unicamp.
São Paulo, 2001.
54
55
OBRAS CONSULTADAS
ANDRINI, A. Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 1984.
BIANCHINI, E. Matemática. 2º edição. São Paulo: Editora Moderna, 1986.
BIGODE, A.J.L. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2000.
BORDEAUX, A. L. et al. Matemática na vida e na escola. São Paulo: Editora do Brasil, 1999.
BRANDÃO, M. Matemática conceituação moderna. 25º edição. São Paulo: Editora do Brasil,
1978.
DANTE, L. R. Tudo é matemática. 1º edição. São Paulo: Editora Ática, 2002.
GIOVANNI, J. R. Castrucci, Benedito e Giovanni Jr., José Ruy. A conquista da matemática
nova. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, O. Matemática uma aventura do pensamento. 2º edição. São Paulo: Editora Ática,
2005.
55
56
IFRAH, G. Os números: A história de uma grande invenção. 9º ed. São Paulo. Editora Globo,
1998.
IMENES, L. M. e Lellis, M. Matemática para todos. 1º edição. São Paulo: Editora Scipione,
2002.
NAME, M. A. Vencendo com a matemática. 1º edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2005.
56