DSOFT
Amintas
engenharia
DSOFT
Unidade 8
Integração Numérica
DSOFT
Integração Numérica
Ementa:
8.1 – Introdução
8.2 – Regra dos trapézios
8.3 – Primeira Regra de Simpson
8.4 – Segunda Regra de Simpson
8.5 – Quadratura Gaussiana
DSOFT
Integração Numérica
8.1 – Introdução
Dada uma função f(x), integrável no intervalo
[a,b], definimos a integral como sendo:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Onde F’(x)=f(x).
Mas quando a forma analítica de F(x) for de
difícil obtenção, ou quando conhecermos
somente valores discretos de f(x) (como uma
tabela de dados), precisamos recorrer a
métodos numéricos para a sua resolução.
DSOFT
Integração Numérica
8.2 – Regra dos trapézios
Esta regra aproxima pequenos trechos da
curva y=f(x) por segmentos de reta
igualmente espaçados no intervalo [a,b].
y
Pn1 xn1 , yn1 
Pn xn , yn 
y  f x 
x0  a
x1
x2
P0 x0 , y0 
P1 x1 , y1 
x
P2 x2 , y2 
xn 1 xn  b
x
DSOFT
Integração Numérica
A região entre a curva e o eixo x é
aproximada por trapézios. Realizando a soma
das áreas dos trapézios, encontramos a
integral de f(x). De forma geral, a fórmula
para obtenção da integral é:
h
T   y0  2 y1  2 y2    2 yn 1  yn 
2
Onde h é a largura do trapézio, geralmente
dada através do número “n” de intervalos:
h=(b-a)/n
DSOFT
Integração Numérica
Exemplo: Calcular a integral definida abaixo,
utilizando a regra dos trapézios com:
a) n = 5 intervalos.
b) n= 10 intervalos.
4
1
1 x dx
DSOFT
Integração Numérica
Solução:
a) O método prático de cálculo envolve
preencher uma tabela com os valores de x e y,
bem como os coeficientes de y:
i
x
y
c
0
1,0
1,000
1
1
1,6
0,625
2
2
2,2
0,454
2
3
2,8
0,357
2
4
3,4
0,294
2
5
4,0
0,250
1
b  a 4 1
h

 0,6
n
5
1
y
x
Integração Numérica
DSOFT
Portanto, utilizando a regra do trapézio:
h
T   y0  2 y1  2 y2  2 y3  2 y4  y5 
2
0,6
1  2.0,625 2.0,454 2.0,357 2.0,294 0,25
T
2
T  0,3.(1  1,25  0,908 0,714 0,588 0,250)
T  0,3.(4,71)  1,413
O valor exato desta integral é 1,3863.
Integração Numérica
DSOFT
b) Considerando agora 10 intervalos:
i
x
y
c
0
1,0
1,000
1
1
1,3
0,769
2
2
1,6
0,625
2
3
1,9
0,526
2
4
2,2
0,454
2
5
2,5
0,400
2
6
2,8
0,357
2
7
3,1
0,322
2
8
3,4
0,294
2
9
3,7
0,270
2
10
4,0
0,250
1
b  a 4 1
h

 0,3
n
10
1
y
x
Integração Numérica
DSOFT
Levando os dados à equação dos trapézios:
h
T   y0  2 y1  2 y2  2 y3  ...  2 y9  y10 
2
0,3
T
(9,288)  1,393
2
Como pode-se notar, um maior número de
pontos torna o resultado mais próximo do
valor real.
DSOFT
Integração Numérica
8.3 – Primeira Regra de Simpson
Também conhecida como regra do 1/3 de
Simpson, este método aproxima os pontos da
tabela por equações do 2º grau. A equação
geral para a primeira regra de Simpson é:
h m

I 2  .  ci . yi 
3  i 0

Onde os coeficientes ci são iguais a 1, para c0
e cn, 4 para os “i” ímpares e 2 para os “i”
pares. Um detalhe importante:
O número de subintervalos “m” deve ser par.
DSOFT
Integração Numérica
Exemplo:
Calcule a integral abaixo, utilizando m=4
intervalos.
4
1
1 x dx
Solução: Como temos m=4 intervalos,
utilizamos n=m+1=5 pontos. Assim:
b  a 4 1
h

 0,75
m
4
DSOFT
Integração Numérica
i
x
y
c
c.y
0
1
1,75
1
0,571
1
4
1
2,285
2,5
0,4
2
0,8
3,25
4
0,308
0,25
4
1
1,230
0,25
1
2
3
4
De acordo com a primeira regra de Simpson:
h
I 2  .c0 . y0  c1. y1  c2 . y2  c3 . y3  c4 . y4 
3
0,75
I2 
.(1.1  4.0,571 2.0,4  4.0,308 1.0,25)
3
I 2  0,25.(5,566)  1,3915
DSOFT
Integração Numérica
8.4 – Segunda Regra de Simpson
Também conhecida como regra dos 3/8 de
Simpson, este método aproxima os pontos da
tabela por equações do 3º grau. A equação
geral para a segunda regra de Simpson é:
3.h  m

I3 
.  ci . yi 
8  i 1

Onde os ci são iguais a 1, para c0 e cn, 2 para
os “i” múltiplos de 3 e, 3 para os demais.
O número de subintervalos “m” deve ser
múltiplo de 3.
DSOFT
Integração Numérica
Exemplo:
Calcule a integral abaixo, utilizando m=6
intervalos.
4
1
1 x dx
Solução: Colocamos os dados em forma de
tabela, para facilitar a interpretação:
b  a 4 1
h

 0,5
m
6
DSOFT
Integração Numérica
i
x
y
c
c.y
0
1
1,5
1
0,667
1
3
1
2,001
2,0
2,5
0,500
0,400
3
2
1,500
0,800
3,0
3,5
0,333
0,286
3
3
0,999
0,858
4,0
0,250
1
0,25
1
2
3
4
5
6
Integração Numérica
DSOFT
De acordo com a primeira regra de Simpson:
3.h
.c0 . y0  c1. y1  c2 . y2  c3 . y3  c4 . y4  c5 . y5  c6 . y6 
I3 
8
3.0,5
.(1.1  3.0,667  3.0,5  2.0,4  3.0,333 3.0,286
I3 
8
 1.0,25)
I 3  0,1875.(1  2,001 1,5  0,8  0,999 0,858 0,25)
I 3  0,1875.(7,408)  1,3890
Como pôde-se ver, este método aproxima
ainda mais o valor real da integral.
DSOFT
Integração Numérica
8.5 – Quadratura Gaussiana
Os métodos mostrados até aqui necessitam de
valores de x igualmente espaçados escolhidos
por quem está trabalhando no método. Na
quadratura Gaussiana, a escolha segue um
padrão bem definido.
Este método tem como desvantagem a
necessidade de se conhecer a forma analítica
da função f(x). Sua principal vantagem é
oferecer resultados exatos para polinômios de
ordem até n-1.
Integração Numérica
DSOFT
Este método consiste em transformar a
integral definida:
b
I   f ( x ) dx
a
Em outra integral, na seguinte forma:
1
I   F (t )dt
1
Através de uma troca de variáveis, vista a
seguir.
Integração Numérica
DSOFT
Trocamos a variável x por:
1
1
x  .(b  a).t  .(b  a)
2
2
Então, a função F(t) será:
1
1
1

F (t )  .(b  a). f  .(b  a).t  .(b  a) 
2
2
2

Integração Numérica
DSOFT
Com isso, a equação geral da Quadratura
Gaussiana será:
1
n 1
1
i 0
I   F (t )dt   Ai .F (ti )
Onde:
n= número de pontos (escolhido)
Ai = coeficientes (tabela)
ti = raízes (tabela)
A tabela a seguir mostra alguns valores dos
coeficientes e raízes.
DSOFT
Integração Numérica
ti
Ai
n
i
1
0
0
2
0
-0,57735027
1
1
0,57735027
1
0
0,77459667
5/9=0,555556
1
-0,77459667
5/9=0,555556
2
0
8/9=0,888889
0
0,86113631
0,34785484
1
-0,86113631
0,34785484
2
0,33998104
0,65214516
3
-0,33998104
0,65214516
2
3
4
DSOFT
Integração Numérica
Exemplo:
Calcule a integral abaixo, utilizando n=3
pontos.
4
1
1 x dx
Solução:
Inicialmente, fazemos a substituição da
variável x por t:
DSOFT
Integração Numérica
1
1
x  .(b  a).t  .(b  a)
2
2
1
1
x  .(4  1).t  .(4  1)
2
2
x  1,5.t  2,5
Portanto, F(t) será:
1
1
1

F (t )  .(b  a). f  .(b  a).t  .(b  a) 
2
2
2

1
1
1,5
F (t )  .(4  1). f 1,5.t  2,5  1,5.

2
1,5.t  2,5 1,5.t  2,5
Integração Numérica
DSOFT
Para n=3, temos os seguintes valores
tabelados:
n
3
i
ti
Ai
0
0,77459667
5/9=0,555556
1
-0,77459667
5/9=0,555556
2
0
8/9=0,888889
Assim, temos a seguinte equação Gaussiana:
n 1
2
1,5
I   Ai .F (ti )   Ai .
1,5.ti  2,5
i 0
i 0
Integração Numérica
Assim:
DSOFT
2
1,5
I   Ai .

1,5.ti  2,5
i 0
1,5
1,5
1,5
I  A0 .
 A1.
 A2 .
1,5.t0  2,5
1,5.t1  2,5
1,5.t 2  2,5
1,5
I  0,555556.
1,5.0,77459667 2,5
1,5
1,5
 0,555556.
 0,888889.
1,5.(0,77459667)  2,5
1,5.0  2,5
I  0,2275690 0,6227717 0,5333334
I  1,38367
DSOFT
CÁLCULO NUMÉRICO
Integração Numérica
Fórmula de Newton-Cotes
Regra dos Trapézios
Amintas Paiva Afonao
DSOFT
Integração Numérica
• Introdução
• Fórmulas de Newton-Cotes
–
–
–
–
Regra dos Trapézios
Regra dos Trapézios Repetida
Regra de Simpson
Regra de Simpson Repetida
• Quadratura Gaussiana
DSOFT
Integração Numérica
• Os métodos mais utilizados são classificados em
dois grupos:
– Fórmulas de Newton-Cotes – empregam
valores de f(x), onde os valores de x são
igualmente espaçados
– Fórmulas de Quadratura Gaussiana – utilizam
pontos diferentemente espaçados, onde este
espaçamento é determinado por certas
propriedades de polinômios ortogonais
Integração Numérica
Interpretação geométrica da integral
O valor numérico da integral
b
DSOFT
 f ( x )dx
a
b
e escreve-se
é igual à área entre a função
e o eixo x no intervalo [a, b].
Para calcular a integral divide-se
o intervalo [a, b] em N subintervalos iguais
(b  a )
x 
N
N 1
 f ( x )dx 
a
lim
 f (x
x 0
N  n 0
n
)x
Integração Numérica
DSOFT
Interpretação geométrica da integral
N 1
Numericamente, toma-se x b
f ( x n )x  
a f ( x )dx  
pequeno o suficiente para
n 0
que o erro do cálculo seja
inferior a um certo valor pré-  (f0  f1  f2    fN 1 )x  
determinado
o que é equivalente à
soma de áreas de
retângulos, como
diagramado na figura ao
lado.
Integração Numérica
DSOFT
Interpretação geométrica da integral
• É evidente na figura que, a não ser que tomemos x muito
pequeno, os erros serão grandes:
– as “quinas” que sobram do retângulo
• O erro pode ser minimizado, sem diminuir o tamanho de x:
– escolhendo uma figura geométrica mais adequada para
calcular a área sob a função, como um trapézio, por
exemplo.
• É interessante observar que aproximar a área sob a função
pela soma de áreas de trapézios é o equivalente a:
– realizar interpolação linear de f(x), ou seja, ligar os
pontos {xn, yn} com retas.
DSOFT
Fórmulas de Newton-Cotes
Regra dos Trapézios
Se usarmos a fórmula de Lagrange para expressar o
polinômio p1(x) que interpola f(x) em x0 e x1 temos:
b  x1
( x  x0 )
 ( x  x1)

a f ( x )dx  ax p1( x )dx  x   h f ( x0 )  h f ( x1 )dx
0
0
b
x1
DSOFT
Fórmulas de Newton-Cotes
Regra dos Trapézios
h
Assim, IT  f ( x 0 )  f ( x1 ),
2
que é a área do trapézio de altura h = x1 – x0 e bases f(x0)
e f(x1).
f(x)
f(x1)
p1(x)
f(x0)
P0
a = x0
b = x1
Fórmulas de Newton-Cotes
Regra dos Trapézios Repetida
DSOFT
• Este método de integração numérica consiste em:
– dividir a área sob a função em trapézios e
– somar a área dos trapézios individuais.
• Então, para intervalos x iguais:
f0  f1
f2  f3
f1  f2
fn 1  fn
a f ( x )dx  2 x  2 x  2 x    2 x
b
x
a f ( x )dx  f0  2f1  2f2  2f3    2fn1  fn  2
b
x
Exemplo  f ( x )dx  f0  2f1  2f2  2f3    2fn1  fn  2
a
2
dx
Calcular I  
usando a regra dos trapézios, usando 5
1 x
0
sub-intervalos.
b
DSOFT
A função a ser integrada é, então, f ( x ) 
Um possível procedimento é o indicado
na tabela ao lado.
20
 0,4;
Nesta tabela, x 
5
p é o número pelo qual f(xn) é
multiplicada na expressão da integral
e  p f(x) indica a soma dos termos
entre colchetes, na mesma expressão.
x
0,4
I   pf ( x )
 5,5513 
 1,1103
2
2
1
.
1 x
x
f(x)
p
pf(x)
0,00 1,0000 1 1,0000
0,40 0,7143 2 1,4286
0,80 0,5556 2 1,1111
1,20 0,4545 2 0,9091
1,60 0,3846 2 0,7692
2,00 0,3333 1 0,3333
 pf (x)  5,5513
Estimativa para o Erro
DSOFT
Há duas maneiras de estimar incertezas no uso da regra dos
trapézios:
ba
2


(

x
)
f ' ' ( ),
• quando se conhece f(x):
12
onde  é o valor para o qual a derivada segunda de
f(x) é máxima no intervalo a ≤  ≤ b.
• quando não se conhece f(x):
ba 2

f,
12
onde 2f é o módulo do valor médio de 2fn e
fn  fn  fn1 e 2fn  fn  fn1.
Exemplo
2f - módulo do valor médio de 2fn
fn  fn  fn 1
2fn  fn  fn 1
Tomando o exemplo anterior,
DSOFT
Então,
ba 2

f
12
2,0  0,0

0,0586
12
 0,01.
f
2f
x
f(x)
0,0
1,0000
0,4
0,7143 -0,2857
0,8
0,5556 -0,1587 0,1270
1,2
0,4545 -0,1011 0,0576
1,6
0,3846 -0,0699 0,0312
2,0
0,3333 -0,0513 0,0186 0,0586
2f
Então, a maneira correta de expressar o resultado da
integração numérica do exemplo anterior é
x
0,4
I   pf ( x )
   5,5513 
 0,01  1,1103  0,01
2
2
Exercício
DSOFT
Calcular a integral da função tabelada abaixo, usando a
regra dos trapézios, e estimar o erro.
x
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
f(x)
0,000
0,164
0,268
0,329
0,359
0,368
DSOFT
CÁLCULO NUMÉRICO
Integração Numérica
Quadratura Gaussiana
Amintas Paiva Afonso
41
DSOFT
Integração Numérica
• Introdução
• Fórmulas de Newton-Cotes
–
–
–
–
Regra dos Trapézios
Regra dos Trapézios Repetida
Regra 1/3 de Simpson
Regra 1/3 de Simpson Repetida
• Quadratura Gaussiana
DSOFT
Polinômios Ortogonais
Ao lado das fórmulas de Newton-Cotes para integração
numérica, as fórmulas de Quadratura de Gauss se destacam
por fornecerem resultados altamente precisos.
Tais fórmulas, baseiam-se em propriedades de polinômios
ortogonais.
Sejam 0 ( x ), 1( x ), 2 ( x ),..., uma família de polinômios de
graus 0, 1, 2, . . .
(i ( x ),  j ( x ))  0, para i  j,
Se 
(i ( x ), i ( x ))  0, para i  0,
então os polinômios 0 ( x ), 1( x ), 2 ( x ),... se dizem ortogonais.
DSOFT
Polinômios Ortogonais
Neste estudo, estamos considerando o
b
produto escalar:
(f , g )   w ( x )f ( x )g ( x )dx,
a
com w (x) 0 e contínua em [a, b], onde w (x)é a funçãopeso.
Os polinômios i ( x ), i  0, 1, 2, . . ., podem ser obtidos através
do seguinte :
Teorema : Sejam os polinômios 0 ( x ), 1( x ), 2 ( x ),..., de graus
0, 1, 2, . . ., definidos por :
0 ( x )  1,

( x0 (0),0 (0))
(x,1)
0 ( x )  x 
1,
1( x )  x 
(0 (0),0 ( x ))
(1,1)

e, para k  1, 2, 3,...
 ( x )  x ( x )    ( x )    ( x )),
k
k k
k k -1
 k 1
Polinômios Ortogonais
DSOFT
onde:
( xk ( x ),k ( x ))
(k ( x ),k ( x ))
k 
; k 
.
(k ( x ),k ( x ))
(k -1( x ),k -1( x ))
Os polinômios 0 ( x ), 1( x ), 2 ( x ),..., assim definidos,
são dois a dois ortogonais, isto é, satisfazem
(i ( x ), j ( x ))  0, para i  j,

(i ( x ), i ( x ))  0, para i  0.
Principais Polinômios Ortogonais
DSOFT
• A seqüência de polinômios 0(x), 1(x), 2(x),...,
evidentemente, depende do produto escalar adotado.
• Os mais conhecidos (inclusive já tabelados) e com os quais
trabalharemos são os seguintes:
– Polinômios de Legendre
– Polinômios de Tchebyshev
– Polinômios de Laguerre
– Polinômios de Hermite
DSOFT
Principais Polinômios Ortogonais
• Polinômios de Legendre
Os polinômios de Legendre P0(x), P1(x),..., são obtidos
segundo o produto escalar:
1
(f , g )   f ( x )g( x )dx ,
1
isto é, com w(x)=1, a = -1, b = 1.
• Polinômios de Tchebyshev
O produto escalar para obter os polinômios de Tchebyshev
T0(x), T1(x),..., é dado por:
1
1
(f , g )  
f ( x )g( x )dx ,
2
1 1  x
ou seja, w (x)
1
1 x
2
, a  - 1 e b  1.
DSOFT
Principais Polinômios Ortogonais
• Polinômios de Laguerre
Os polinômios de Laguerre L0(x), L1(x),..., são obtidos
segundo o produto escalar:

(f , g )   e  x f ( x )g ( x )dx ,
x
0
portanto, w (x) e , a  0 e b  .
• Polinômios de Hermite
O produto escalar para obter os polinômios de Hermite
H0(x), H1(x),..., é dado por:

(f , g ) 
isto é, w (x) e
x 2
e

x2
f ( x )g ( x )dx ,
, a  -  e b  .
Obter os primeiros polinômios de Legendre.
DSOFT
Exemplo
Para obter os polinômios P ( x )  xP ( x )   P ( x )   P ( x )
1
1 1
1 0
de Legendre, devemos utilizar 2
1
3
x
o teorema dos polinômios
( xP1( x ),P1( x )) 1 dx
1 
 1
ortogonais e o produto escalar
2
(P1( x ),P1( x ))
x
1 dx
definido pelo mesmo. Assim:
1
x 4
 3  0
x 3  1
4
P0 ( x )  1
( x,1)
P1( x )  x 
1
(1,1)
1
1
x dx

x
 dx
1
1
1
1
x2 2
x

x  1
P1( x )  x
(P1( x ),P1( x ))
1 

(P0 ( x ),P0 ( x ))
1

x 2 dx
1
1
 dx
1
x 3
23 1




x  1
2
3
1
1
2
2
P2 ( x )  x  0 x  1  x 
3
3
3
DSOFT
Propriedades dos Polinômios
Ortogonais
Vejamos algumas das propriedades dos polinômios
ortogonais que serão importantes para a obtenção das fórmulas
de Quadratura de Gauss.
Propriedade 1 - Sejam 0 ( x ), 1( x ), 2 ( x ),..., polinômios ortogonais,
não nulos, segundo um produto escalar qualquer. Então, qualquer
polinômio de grau menor ou igual a n pode ser escrito como
combinação linear de 0 ( x ), 1( x ),..., n ( x ).
Propriedade 2 - Sejam 0 ( x ), 1( x ),..., n ( x ) nas condições
da propriedade 1. Então n ( x ) é ortogonal a qualquer polinômio Q(x)
de grau menor que n.
DSOFT
Propriedades dos Polinômios
Ortogonais
Propriedade 3 - Sejam 0 ( x ), 1( x ), 2 ( x ),..., polinômios ortogonais
segundo o produto escalar :
b
(f , g )   w ( x )f ( x )g ( x )dx,
a
com w (x) 0 e contínua em [a, b].
Então n (x)possuin raízes (reais) distintas em [a, b].
Propriedade 4 - Sejam 0 ( x ), 1( x ), 2 ( x ),..., nas condições da
propriedade 3. Sejam x 0 , x1,..., x n as raízes de n1( x ).
Se f(x)é um polinômio de grau menor ou igual a 2n  1, então :
b
 w ( x )f ( x )dx   A f ( x
a
b
n
k 0
k
k
), onde Ak   w ( x ) k ( x )dx.
a
Quadratura Gaussiana
b
• Consideraremos integrais da forma:  w ( x )f ( x )dx,
DSOFT
a
onde w(x)  0 e contínua em [a, b].
• A função w(x) é chamada função peso e é igual a
zero somente num número finito de pontos.
• Usaremos Fórmulas de Quadratura para aproximar a
integral.
• Fórmulas de quadratura são aquelas que aproximam
a integral usando combinação linear dos valores da
função, isto é:
b
n
 w ( x )f ( x )dx   A f ( x
a
k 0
k
k
),
Fórmulas de Quadratura de Gauss
• São fórmulas usadas para se calcular:
DSOFT
b
 w ( x )f ( x )dx,
a
• Calculamos o valor aproximado da integral usando:
b
n
 w ( x )f ( x )dx   A f ( x
k 0
a
• onde
k
k
),
b
Ak   w ( x ) k ( x )dx
a
e  k ( x ) são os polinômios de Lagrange sobre as raízes
x 0 , x1,, xn de n1( x ).
53
Fórmulas de Quadratura de Gauss
DSOFT
Assim, o procedimento para se calcular uma integral
usando Quadratura de Gauss, é o seguinte:
a) determinar o polinômio ortogonal n1( x ), segundo o produto
escalar conveniente, isto é, com a funçãopeso w (x)e no intervalo [a, b].
b) calcular as raízes x0, x1,, xn de n1( x ).
c ) determinar os polinômios de Lagrange  k ( x ), k  0, 1,..., n, usando
os pontos x0 , x1,, xn obtidos em b).
b
d ) calcular Ak   w ( x ) k ( x )dx, k  0, 1,..., n.
a
e) calcular o valor de f(x)em x0, x1,, xn.
b
n
a
k 0
f ) calcular, finalmente , w ( x )f ( x )dx   Ak f ( x k ),

Exemplo
1
Usando quadratura de Gauss, calcular:
3
(
x
  5x )dx .
DSOFT
1
• Na integral, vemos que: a = −1, b = 1, w(x) = 1, e
f(x) = x3 − 5x.
• Assim f(x) é um polinômio de grau 3, e pela
propriedade 4, temos que: se f(x) é um polinômio de
grau 2n + 1, o resultado da integral é exato (a menos
de erros de arredondamento).
• Portanto, fazendo 2n + 1 = 3, obtemos que n = 1.
Assim, devemos utilizar os zeros de n1(x)  2 (x),para
resolver a integral. O produto escalar,para obter 2 (x),será :
1
 f ( x )g( x )dx .
1
Exemplo
DSOFT
• Logo o polinômio procurado é x2 − 1/3.
• Portanto, fazendo x2 − 1/3 = 0, obtemos x0 = −0.57735 e x1 =
0.57735 , (que são os zeros de 2(x) em [−1, 1]).
( x  x0 )
( x  x1 )
• Temos que:
 0 (x) 
,  1( x ) 
, e portanto,
( x0  x1 )
( x1  x0 )
1
A0    0 ( x )dx 
1
( x  x1 )
1 ( x0  x1 )dx
1
1
x

1
1


( x  x1 )dx 
 ( x  x1 )

( x0  x1 ) 1
( x0  x1 )  2
 1
1
 2 x1
2
x 

1
desde que x0   x1 e   0.
 2 x1
2  1
1
2
Exemplo
• Do mesmo modo:
1
DSOFT
A1    1 ( x )dx 
1
( x  x0 )
1 ( x1  x0 )dx
1
1
1

( x  x0 )dx

( x1  x0 ) 1
• Finalmente, podemos
calcular a integral, isto é:
1
3
(
x
  5 x )dx  A0f ( x0 )  A1f ( x1 )
1
 x2

1


 ( x  x0 )
( x1  x0 )  2
 1
 2 x0

1
 2 x0
1
 1 [(-0.57735)3 - 5(-0.57735)]
 1 [(0.57735)3 - 5(0.57735)]
0
• Agora, calculamos a f nos zeros de 2(x). Assim:
 f(x0) = f(−0.57735) = (−0.57735)3 − 5(−0.57735)
 f(x1) = f(0.57735) = (0.57735)3 − 5(0.57735)
DSOFT
Fórmulas de Gauss
• Fórmula de Gauss-Legendre
• Para utilizar a fórmula de Gauss-Legendre a integral a ser
calculada deve ter a função peso w(x) = 1 , a = −1 e b = 1. Caso
o intervalo de integração não coincida com o intervalo [−1, 1],
devemos fazer uma mudança de variável.
• Fórmula de Gauss-Tchebyshev
• Para utilizar as fórmulas de Gauss-Tchebyshev a
integral a ser calculada deve ter a função peso
w (x)
1
1 x
2
, a  - 1 e b  1.
• Novamente, caso o intervalo de integração não
coincida com o intervalo [−1, 1], devemos fazer uma
mudança de variável.
DSOFT
Fórmulas de Gauss
• Fórmula de Gauss-Laguerre
• Para utilizar a fórmula de Gauss-Laguerre a integral a ser
calculada deve ter a função peso w(x) = e-x, a = 0 e b =.
• Novamente, caso o intervalo de integração não coincida com
o intervalo [0, ], devemos fazer uma mudança de variável.
• Fórmula de Gauss-Hermite
• Para utilizar as fórmulas de Gauss-Hermite a integral a
ser calculada deve ter a função peso w(x) = e-x2, a = - e
b =.
• Neste caso, se o intervalo de integração não coincidir
com o intervalo [-, ], não podemos utilizar a fórmula de
Gauss-Hermite.
DSOFT
Erro nas Fórmulas de Gauss
• Quando f(x) é um polinômio, sabemos que as fórmulas de
quadratura fornecem um resultado exato a menos, é claro,
dos erros de arredondamento.
• Na maioria das situações reais, f(x) não é um polinômio e,
portanto, sua integral é aproximada quando calculada através
das fórmulas de quadratura.
• Exibiremos algumas expressões do termo do resto (ou erro
de truncamento) para as várias fórmulas apresentadas.
• Não nos preocuparemos com a dedução de tais expressões
por ser extremamente trabalhosa e sem nenhum interesse
prático.
Erro nas Fórmulas de Gauss
  (a, b)
DSOFT
Fórmula de Gauss-Legendre
22n 3 [(n  1)!]4
( 2n  2 )
En 
f
( )
3
(2n  3)[(2n  2)!]
Fórmula de GaussTchebyshev
En 
Fórmula de Gauss-Laguerre
2
( 2n 2 )
f
( )
( 2n  2 )
e
(2n  2)!
[(n  1)!]2 ( 2n 2)
En 
f
( )
(2n  2)!
Fórmula de Gauss-Hermite
En 
(n  1)!  ( 2n 2)
f
( )
n 1
2 (2n  2)!
Exercício
DSOFT
Usando quadratura de Gauss, calcular
1

1
:
senx
1 x 2
dx
e estimar o erro.
DSOFT
www.matematiques.com.br
engenharia