Matemática 5
Módulo 2
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
1.
PARA SALA
A moldura representa um polígono regular e cada trapézio corresponde a um lado desse polígono.
c
b
=
10 + 8 8
c
b
=
18 8
c b
=
9 4
4c = 9b
I.
I)
II. 10 + b + c = 23
b + c = 13
ai + 108º + 108º = 360º
ai = 144º
De (I) e (II) montamos o sistema
4c = 9b
→b=4ec=9
b + c = 13
RS
T
(n − 2) 180º
II) ai =
n
180 n − 360º
144 =
n
180n – 360 = 144n
36n = 360
n = 10 lados
Resposta correta: 09
4. Do enunciado, temos:
Existem 10 trapézios.
Resposta correta: D
2.
Si
(n − 2) . 180°
180°n − 360°
∴ ai =
∴ ai =
n
n
n
360°
. Para que ai seja um número inteiro é
ai = 180°, −
n
necessário que “n” seja um divisor de 360, fatorando 360
obtemos 23 . 32 . 51, portanto o no de divisores positivos é
(3 + 1) . (2 + 1) . (1 + 1) = 24.
Seriam 24 polígonos, mas como para n = 1 e n = 2 não se
formam polígonos, FICA:
24 – 2 = 22 POLÍGONOS
ai =
Considerando um polígono de n lados e d diagonais,
n (n − 3)
, aumentando-se em 3 o núsabemos que d =
2
mero de lados (n + 3) o novo número de diagonais é
(n + 3) (n + 3) − 3)
(n + 3)n
dado por d’ =
=
. Sabemos
2
2
que o número de diagonais foi aumentado em 21, então:
d’ = d + 21
(n + 3)n
n(n − 3)
=
+ 21
2
2
Resposta correta: B
5.
Aplicando o teorema de Tales:
n2 + 3n
n2 − 3n + 42
=
2
2
6n = 42
n=7
O número de diagonais é d =
n(n − 3)
7 (7 − 3)
=
= 14
2
2
diagonais.
Resposta correta: 14
3.
Reta r
Aplicando o teorema da bissetriz externa e considerando o perímetro, temos:
Reta s
⇒
⇒
8
7
8x = 35
x
x = 4,375
=
5
O segmento BE vale x + 5 = 4,375 + 5 = 9,375cm
Resposta correta: A
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1
Resposta correta: D = 90 diagonais
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
4.
1.
→ 3x + 2x + x = 180° → 6x = 180° → x = 30°
I. Destaque ΔBCP :
Resposta correta: D
2.
Sendo x o comprimento desejado, teremos:
120
x
=
30
90
9x = 360
x = 40m
II. Destaque ΔABP :
Resposta correta: 40
III. Destaque ΔABC :
3.
Logo,
I. ai + 90° + 90° + 24° = 360°
ai = 156°
(n − 2) . 180°
n
180° n − 360°
156° =
⇒ 180° n – 360° = 156 n ⇒
n
⇒ 24 n = 360° ⇒ n = 15 lados
2
3 +2 3 +3
2p = 3 . ( 3 + 1) u.c.
Resposta correta: D
II. Como: ai =
III. D =
2p =
5. Aplicando o teorema da bissetriz interna:
n . (n − 3)
15 . (15 − 3)
⇒D=
⇒ D = 15 x 6
2
2
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x = 42
Resposta correta: 42
8.
4
24 36
=
18
x
3
4x = 108
x = 27
Resposta correta: A
6.
360°
, enquanto o
n
(n − 2) 180
ângulo interno é dado por ai =
, portanto:
n
ae
1
=
ai
4
O ângulo externo é dado por ae =
ai = 4 a e
(n − 2) 180o
360o
=4.
n
n
180n – 360o = 1440°
180n = 1800°
n = 10 lados
Aplicando os teoremas das bissetrizes interna e externa,
teremos:
I.
II.
Como: B̂ = Ĉ = 2x = 72° → B̂ + Ĉ = 144°
Resposta correta: A
9.
Sendo d, o número de diagonais e n, o número de lados, então:
b g
n n−3
I.
d=
II.
d=n
2
Igualando (I) e (II):
n n−3
n=
2
n2 – 3n = 2n
n2 – 5n = 0
n (n – 5) = 0
n = 0 (não convém)
n–5=0
n=5
A soma dos ângulos externos é sempre Se = 360o,
enquanto a soma dos ângulos internos é dada por
Si = (n – 2) 180o:
Si = (5 – 2) 180o
Si = 540o
Desta maneira:
Si + Se = 540o + 360o
Si + Se = 900o
A décima parte de 900o é igual a 90o.
b g
Resposta correta: 10
7.
Do ΔABC :
x + 2x + 2x = 180°
5x = 180°
x = 36°
Bissetriz Interna
c b
=
8 6
c 8
=
b 6
Resposta correta: 90º
Bissetriz Externa
c
b
=
8+6+ x x
c
b
=
14 + x x
c 14 + x
=
b
x
10. Prolongando um dos lados teremos:
Igualando (I) e (II):
8 14 + x
=
6
x
8x = 84 + 6x
2x = 84
Observe que 133o é o ângulo externo do triângulo 1,
então 133o = C + B enquanto o ângulo C é ângulo ex = Â + 52 .
terno do triângulo 2, então C
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3
+ B = 133o
C
+ 52 + B = 133o
A
+ B = 81o
A
Resposta correta: 81º
11. Cada ângulo interno do pentágono é dado por
bn − 2g 180
o
ai =
, para o pentágono n = 5.
n
b5 − 2g 180
o
ai =
5
ai = 108o
Então:
α + 72o + 72o = 180o
α = 36o
Resposta correta: B
12. O ângulo interno de um polígono é dado por
bn − 2g180
o
ai =
n
, então
bn − 2g180
o
= 150
n
180n – 360o = 150n
30n = 360o
n = 12 lados
Resposta correta: B
4
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